CHUYEN DE CBH

Tháng 7 năm 2018
CHUYÊN ĐỀ I: CĂN BẬC HAI
RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỬA CĂN THỨC BẬC HAI
A. CÁC KIẾN THỨC VỀ CĂN BẬC HAI
1) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0,

A có nghĩa thì A ≥ 0

2) Để
)

3
4)
5)
6)

a = x  x2 = a

A2  A
AB  A. B ( với A  0 và B  0 )
A
A

B
B ( với A  0 và B > 0 )
A2 B  A B

(với B  0 )

2
7) A B  A B ( với A  0 và B  0 )

9)

A B  A 2 B ( với A < 0 và B  0 )
A
AB

B
B



( với AB

A

10)
11)

0 và B

0)

A B
B ( với B > 0 )
B
C
C ( A B )

A  B2

A B
( Với A  0 và A  B2 )


C
C( A  B )

A B
A B
( với A  0, B  0 và A  B )

12)
B. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN:
I. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC KHÔNG CHỨA BIẾN
A2  A

1.Rút gọn nhờ sử dụng hằng đẳng thức
*) Ví dụ 1: Rút gọn:
2
2
a) ( 3)  ( 8) ;

2
b) (3  5 )

2
2
c) (1  2 )  (1  2 )

2

2
d) ( 5  3)  (2  5 )

Giải:
a)
c)
d)

( 3) 2  ( 8) 2   3   8 3  8 11

(1 

2) 2 

(1  2) 2  1 

( 5  3) 2  (2 

*)Ví dụ 2: Rút gọn :

b)



(3 

5) 2  3 

 



5 3 

5

2  1  2   1  2  1  2  1  2  1 

5) 2  5  3  2 

5  5  3  2  5 1

2  2


14  8 3 .( 2 2 

a) A= 4  2 3

b) B =

c) C = 7  4 3 + 7  4 3

d) D = 5  2 7  2 6

6) ;

Giải:
a) A =

3  2 3  1  ( 3  1) 2  3  1  3  1

b) B =

14  8 3 .( 2 2 

8  2 8. 6  6 .( 8 

6 ) = 14  2 48 (2 2 

6) =

6)

2
= ( 8  6 ) ( 8  6 ) ( 8  6 )( 8  6 ) 8  6 2
2
2
c) C = 7  4 3 + 7  4 3 = 7  2.2 3  7  2.2 3  ( 2  3 )  (2  3 )

3 +2+

= 2-

3 =4

2
d) D = 5  2 7  2 6  5  2 6  2 6 1  5  2 ( 6  1)  5  2( 6  1)  7  2 6
2
= ( 6  1)  6  1

*)Ví dụ 3: Rút gọn

A = 2 3  2 3

Giải:
Cách1: 2 A =

4  2 3  4  2 3  3  2 3 1  3  2 3 1 

 3  1  3  1  3  1  3  1 2 3

Cách 2: Ta có: A2 = 2  3  2 4  3  2  3 6





2

31 





3 1

2

Suy ra A = 6

Do A > 0 nên A = 6

*)Bài tập:
Bài 1: Tính:

a)

1 3 

Bài 2: Tính: a) 8  2 7
Bài 3: Rút gọn A =

2

3



b)

b) 4 

3  1

 2  3
7

2



4 7

1 3 
c)

3

2

5  3 5

21  12 3

Bài 4: Rút gọn A = 6  2 3  2 2  2 6
2. Rút gọn vận dụng các quy tắc khai phương, nhân chia các căn bậc hai:
*)Ví dụ 1:Tính
Giải:

a)

14. 56

b)

1
3
3 . 3 . 12

2
7

c) 4  7 . 4  7


14.56  14.14.4  14 2.4  14 2. 4 14.2 28

a)

14. 56 =

b)

1
3
7 24
7 24
3 . 3 . 12  .
. 12  . .12  12 2 12
2
7
2 7
2 7

c)

4

4 7 4 7 

7. 4 7 

16  7  9 3

*)Ví dụ 2: Rút gọn: a) 5  20  80 b) 3  12  3 2. 24
a ) 5  20 

80  5  2 5  4 5 (1  2  4) 5  5

b) 3  12  3 2. 24  3  2 3  3.2.2. 3 (1  2  12) 3 15 3

Giải:

*) Bài tập:
12 . 75

Bài 1: Tính: a)

7
24 36
2 . 1 .
9
25 25

b)

c) 0,04.25 ;

d ) 90.6,4

e) 9  17 . 9  17
Bài 2: Rút gọn: a) 12  5 3  48
b) 5 5  20  3 45 c) 2 32  4 8  5 18
d) 3 12  4 27  5 48 e) 12  75  27
f) 2 18  7 2  162
3. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu vận dụng trục căn thức ở mẫu
bằng phương pháp nhân liên hợp.
*)Ví dụ 1: Trục căn ở mẫu các biểu thức sau
1

1

a) 3  2

1

b) 2  3

1

c)

1
2



1

d) 1  3 1  3

Giải:
a)
b)

1
3 2
3 2


1;
3 2
3  2 ( 3  2)( 3  2)
1
2

3
1



2 3
2  3
4 3



c)

1
1

1 3

1

1 2

 (1  2)
1 2
2
1



3

d) 1  3 1  3 = (1  3 )(1  3 ) (1  3 )(1 

1  3 1  3 1  3  (1 



1 3
1 3
 2
3)

1 3  1 3 2 3


 3
 2
 2
=
7
*)Ví dụ 2: Trục căn ở mẫu: a) 5  3 2

b)

Giải:



a)







7 5 3 2
7 5 3 2
7


5  3 2
25  18
5  3 2 (5  3 2) 5  3 2





11
2 3 1

3)




b)







11 2 3  1
11 2 3  1
11


2 3  1
12  1
2 3  1 (2 3  1) 2 3  1






2


5

3

*)Ví dụ 3: Rút gọn: A =

 2 3
2
 4  :
5 3
 3 2

*)Bài tâp: Rút gọn các biểu thức sau:
1

a) 2  3

3



1


1 2

2

3 1

b)

3

2
3 1

1
1


2 3
3 4

3 1  1

c)

1
1


4 5

5 6

3



3 1 1

1
1


6 7
7 8

1
8 9

d)
1.4/ Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu nhờ phân tích thành nhân tử:
3 3
a) 3  1

*) Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức:

3 3  
3 3 
 2 
 .  2 


3 1  
3  1 

c)



3  6 2 8

1

2
1 2
b)

5  7 5 11  11

5
1  11
d)



3 31
3 3

 3
3 1
a) 3  1

Giải:



 



3 1 2 2 1 2
3 6 2 8



 3 2
1

2
1

2
1

2
1

2
b)



c)

   2  3 


3 3 1

3 3  
3 3  
 2 
 .  2 
  2 
3 1  
3 1 
3 1



5
5  7 5 11  11


5
1  11
d)



5 7
5



11








31 

3  1   2  3 . 2  3 4  3 1






11  1

11  1





5  7  11

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Rút gọn biểu thức
1) 2 5  125  80  605 ;
2 8  12

4) 18  48

7)
2

10)

3



2) 15  216  33  12 6 ;

5  27
30  162 ;

4 3

75
3 5
;

2 27  6

5 2

;

10  2 10
8

3) 5  2 1  5

5)

2

1

8) 2  2  3



16
1
4
3
6
3
27
75

3

1
2  2 3

11) 14  8 3  24  12 3

6)

9)

2 3
2 3

2 3
2 3



5. 3  5
10  2

12) 4  9  4 2




5  9 4 5

13)





22)
25)

2

5 2  8 5

64 2

2 5 4

16)

19)

14) 8 3  2 25 12  4

3

4
1
6


3 1 3  2
3 3

20) 1 



2



5 1 



5 1

28)
31)

18

2



75  5 2





15

5

37) 1  3 1  3
40 2  57 

2

6 4 2

21) 

3 1

2

29)

2

2

3

24)

38)





5  2 6 49  20 6
2  5
12

2



5 2 6





2

6 5 



2  2 3 3 2 2 3



48)

1

53)

2

3



49)

3

1
15
120 
4
2





2 2

51) 8 3  2 25 12  4

192

5  27
30  162

42) 7  4 3  7  4 3

45)

3

6 2 5
2  20

10  2 10
8

47) 5  2 1  5



2 3 2



3 2 2

52) 15  216  33  12 6

1 1
1 1
1 1
1
1
 2  1  2  2  1  2  2  ...  1 

2

2
2 3
3 4
4 5
1999 20002
5 2

1 
 : 16
16 

2 3
2 3

2 3
2 3



2

5

2 8  12

18

48
36)

39)



2 5  125  80  605

3

3 2 3
6

3
3 3
33)

24

32 3 2 2

 3 3  2 2
3
2 1
43) 14  6 5  14  6 5 44)
 2
 2  3

3
3 
2
3 


 2



 24  8 6 

2 3
2 3
 2 3
46)  3 2   4 2

50)



21

12
3


9
2 1 
16


30)

16

1
4
3
6
3
27
75

1
41) 2

40 2  57



3

 

2 1 

27) 3  2 2

1 

8  .3 6
 2 6  4 3 5 2 
4



35)

40)

3

2
2

18) 3  5 3  5

18

2

3

26) 4  10  2 5  4  10  2 5

32)



6 4 2



2

12

3

3  50 5  24

34)

2  2 3

23)

1
 175  2 2
8 7

5

3 1 1 



15) 3  5  3  5

3



2 3

1
1

+
√5+ √2 √ 5 − √ 2



2  64 2

17)

192

54)



Bài 2: Các bài tập tổng hợp
2
2
4
2
2
4
1. Tính giá trị của biểu thức: A = a  4ab  4b  4a  12ab  9b với a  2 ; b 1 .


Đặt M  57  40 2 ; N  57  40 2 . Tính giá trị của các biểu thức sau:

2.

b. M3- N3

a. M-N

 x x 3 3
 x  3 
 2 x  

 1
3  x 
x  3x  3



3. Chứng minh:
(với x 0 và x 3 ).



a

4.
5.

b



2

 4 ab a b  b a


a  b
a b
ab

Chứng minh



13  30 2  9  4 2 5  3 2 ; 3  2 2  1 

9  4 2 2 2  1 ;
2

1

2 2


6.

; a  0, b  0

1



 3 2  17  
 2 2  17 
7


 2 2  17








3 2 6


27  3

7. Chứng minh đẳng thức:

2



2

2



150  1
4
  

3  6
3

2002
2003

 2002  2003
2002
8. Chứng minh 2003
2000  2 2001  2002  0
9.

Chứng minh rằng

1
1
1
+
+⋅⋅+
<2
( n+1 ) √ n
10. 2 3 √ 2

7
2 3
2 3
29




5
2  2 3
2  2  3 20

;

11.Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của n, kn có:
1

 n  1
S

12.

n  n n 1
1



2 2



1
n

1
3 2 2 3

1




n  1 . Từ đó tính tổng:
1
4 3 3 4

 ... 

1
100 99  99 100

6  6  6  6  30  30  30  30  9



a 2



a 1; a 0

13.
2
14. 3  4 x  4 x  1  16 x  8 x  1 b) 3  4 x  4 x  1 2 với mọi x t/mãn:
1
3
x 
4

4.

15.(*) Cho a, b l à hai số dương, chứng minh rằng:



a 2  b2  a





a 2  b2  b 

A=

16) Rỳt gọn biểu thức
C=

1
x 1
:
x  x x x x x ;
2

a b

a 2  b2
2

x  2  x2  4
x 2

D=

x2  4



x2  4

 x  x  x  x 
B =  1 
  1 

2
x

1
x  1 


x 2 x  4 ;
;

x 2

x  1 2 x  2
x 2 1

1)

4)

2

3  2 3

2)


3 3  
3 3 
 2 
 .  2 

3 1  
3  1 


3  1

21  12 3

5)

3)

62 32 2 2 6

5  7 5 11  11

5
1  11

6)

 5 5   5 5 
 1 
 . 1 

5  1  
5  1 


2 3 2 5 5

2
1 5
7)

II. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA BIẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN PHU
1) CÁC BƯỚC THỰC HIÊN PHẦN RÚT GỌN:
Bước 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức (Nếu bài tốn chưa cho)(Phân tích mẫu thành nhân
tử, tìm điều kiện để căn có nghĩa, các nhân tử ở mẫu khác 0 và phần chia khác 0)
Bước 2:Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được).
Bước 3:Quy đồng, gồm các bước:
+ Chọn mẫu chung : là tích củc nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng.

+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung.
Bước 4: Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
Bước 5: Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.
Bước 6: Phân tích tử thành nhân tử (mẫu giữ nguyên).
Bước 7:Rút gọn.
2. CÁC VÍ DỤ VỀ BÀI TẬP RÚT GỌN TỔNG HỢP:
a a
  a 2 a

A 
 1 : 
 1
 a  1   a 2

*)Ví dụ 1: Cho biểu thức:
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A
 a 0
a 0


a  1 0  a 1


Bài giải: ĐKXĐ:

a a
  a 2 a
  a ( a  1)   a ( a  2) 
A 
 1 : 

 1 
 1 : 
 1
a

1
a

2
a

1
a

2

 
 
 

Ta có:

( a  1) : ( a  1)

a 1
a1

Vậy A =
b) Tìm a để A = 5 (Dạng bài tốn phụ thứ nhất).
Phương pháp: Thay A bởi biểu thức vừa rút gọn được vào và giải phương trình:

a 1
5

a1

a  1 5( a  1) 

a  1 5 a  5  4 a 6


3
9
9
a   a
2
4 (TMĐK)
Vậy với a = 4 thì A = 5.
c) Tính giá trị của A khi a = 3 + 2 2 (Dạng bài toán phụ thứ hai).


Phương pháp: Thay giá trị của biến vào biểu thức vừa rút gọn được rồi thực hiện các
phép tính (Lưu ý: Có thể tính giá trị a rồi thay vào).
2
2
2
Ta có: a 2  2 2 1 ( 2)  2. 2.1 1 ( 2 1)

Suy ra

a  2 1  2 1

. Do đó thay vào biểu thức A ta được:

2 1 1
2 2

1  2
2 1  1
2

A=
d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên (Dạng bài toán phụ thứ ba).
Phương pháp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu là ước của phần dư (một số), chú ý điều
a 1
a1 =1+

kiện xác định. Ta có: A =
Để A ngun thì








2
a  1 ngun, suy ra

2

a1
a  1 là ước của 2

a  1  1

 a 0
  a 4
a  1 2
 a 9
a  1  2
a  1 1

(TMĐK).Vậy a = 0; 4; 9 thì A có giá trị ngun.
e) Tìm a để A < 1 (Dạng bài tốn phụ thứ tư).
M
M
Phương pháp: Chuyển vế và thu gọn đưa về dạng N < 0 (hoặc N > 0) trong đó dựa

vào điều kiện ban đầu ta đã biết được M hoặc N dương hay âm, từ đó dễ dàng tìm được
điều kiện của biến.
a 1
a1 <1 

a 1
a1 -1<0 

a 1  a 1
a1
<0 
hợp điều kiện ban đầu, suy ra 0  a < 1.

2
a  1< 0 

x
2
1

):
x  1 x x
x1
*)Ví dụ 2: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1. Rút gọn
A (

A (

x



2

x  1 x x

):

1

x1

(

x
x1



2
x ( x  1)

):

1
x1

( x )2  2
x  1 (x  2)( x  1) x  2
.


1
x ( x  1)
x ( x  1)
x
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của A (Dạng bài toán phụ thứ năm).
Phương pháp: Dựa vào điều kiện ban đầu và các bất đẳng thức.
A

a  1 < 0  a <1. Kết


x2
2
 x
2 2
x
x
Ta có A=
(BĐT Cơsi cho hai số dương)
2
 A min 2 2  x 
 x 2
x
(TMĐK)
Vậy Amin = 2 2  x 2 .
1 
1 
 1
A 

 . 1 

x 1 
x
 x1
*)Ví dụ 3: Cho biểu thức
a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A.
b)Tìm giá trị của x để A  A.

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1 .
1 
1 
x 1  x  1 x 1
 1
A 

.
 . 1 

x 1 
x
x
 x1
x  1 x 1
=




 x  1 
2 x

b)


x  1

x 1

x

 A

2

x1



2
x1

A  A  0  A 1  0 

)0 



2
 1.
x1

x  1  0  x  1 1

2
2
x3
1  1
0

0
x1
x1
x1
 x  3  0

 x  1  0 (vì x > 1)  x  9 . Vậy x > 9 thì
x
2 x1
A

x1 x x
*)Ví dụ 4: Cho biểu thức
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A
b) Với giá trị nào của x thì A  A
)

A A.

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1 .
A

x

x1

2 x1
x





x1

A A  A 0

 x


x

2

 2 x 1



x1
0
x



x1



x  1 0



x1



x



2



x1



x1
x

b)
(vì x  0 )
 x  1  x  1 . Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì A  A .
*)Ví dụ 5:


1 
1


P  1 
.
x  1 x  x

Cho biểu thức:
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
5  2 6.

b) Tìm x để P.
Bài giải:
a) ĐKXĐ: x > 0; x 1 :





2

x  1 x  2005  2  3.


1 
1
x


P  1 
.





x

1
x

x
x

1



P. 5  2 6.

b)



1





x1

2

.








  P
x1 


1

1
x









x1

2

2

x  1 x  2005  2  3
2

 

2 3 .



2

x  1 x  2005  2  3

2  3 x  2005  2  3  x 2005 (TMĐK)

52 6





2

x  1 x  2005  2  3

Vậy x = 2005 thì P.
2.3/ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1 

3
 1
A 

:
x 3 x  3
 x3
Bài 1: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A
1
b) Với giá trị nào của x thì A > 3
c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất.
1 
1
 3
P 

:

x 1  x 1
 1 x
Bài 2. Cho biểu thức
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P
5
b) Tìm các giá trị của x để P = 4
x  12 1

.
x1 P
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M

 2 x
x
3x  3   2 x  2 
D 


 1

x 3
x  3 x  9  x  3


Bài 3. Cho biểu thức:
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức
1
b) Tìm x để D < - 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D


 a 2 a
 a a

P 
 1 : 
 1
 a 2
  a1 
Bài 4. Cho biểu thức:
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm a  Z để P nhận giá trị nguyên.
1
1
B

2 x  3  1 2 x  3 1
Bài 5. Cho biểu thức
a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B.
b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.
x2  x
2x  x 2  x  1
P


x

x

1
x
x1
Bài 6. Cho biểu thức
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
2 x
Q
P nhận giá trị nguyên.
c) Tìm x để biểu thức



 



1 
x 1
 1
P 

2
:
 x  x 1 x  1 x



Bài 7. Cho biểu thức:
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm x để P > 0
1   a 1
 1
P 


 :
a1
a  a 2

Bài 8. Cho biểu thức



a 2

a  1

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P
b) Tìm giá trị của a để P > 0
Bài 9. (Đề thi tuyễn sinh vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012)
A

Cho

x
10 x


x  5 x  25

5
x  5 , với x  0 và x  25.

1) Rỳt gọn biểu thức A.
1
2) Tỡm giỏ trị của A khi x = 9. 3) Tỡm x để A < 3 .

Bài 10. Cho biểu thức:

P

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P.

x
3
6 x 4


x 1
x1
x 1
1
b) Tìm x để P < 2 .
x
1 
1

:
x  1 x x x  1


A 

Bài 11. Cho biểu thức
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
1  1
 1

P 


 1

 1 a 1 a  a
 với a > 0 và a 1.
Bài 12. Cho biểu thức:
1
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Với những giá trị nào của a thì P > 2 .


x
2x  x

Bài 13. Cho biểu thức : A = x  1 x  x với ( x > 0 và x ≠ 1)
1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của biểu thức khi x 3  2 2

Bài 14. Cho biểu thức
a) Rút gọn P

 1
x 
x

:


x  1  x  x
P = x

13

b) Tính GT của P khi x= 4 c) Tìm GT của x để P = 3

x 1  2 x x  x

x1
x 1
Bài 15. Cho biểu thức : A =

1) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A
(1 

2) Với giá trị nào của x thì A < -1

x x
x x
)(1 
)
x 1
x1

(Với x 0; x 1 )

Bài 16. Cho biểu thức : A =
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = - 1
1



1

Bài 17. Cho biểu thức : B = 2 x  2 2 x  2
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B.
b) Tính giá trị của B với x = 3



x
1 x

c) Tính giá trị của x để
x 1



2 x



A 

25 x
4 x

x 2
Bài 18. Cho biểu thức :
P= x 2
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn P b) Tìm x để P = 2

1

1
a 1

):(

a 2
Bài 19. Cho biểu thức : Q = ( a  1 a

a 2
)
a1

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q. b) Tìm a để Q dương.
c) Tính giá trị của biểu thức khi a = 9 - 4 5
 a
1  a  a a  a 




 2
 a  1  a  1 
2
a


Bài 20. Cho biểu thức : M = 

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn M

b) Tìm giá trị của a để M = - 4.

1
2