de thi hsg

đề kiểm tra học sinh giỏi
Năm học 2009-2010
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút
đề bài:
Bài 1( 6 điểm): Cho biểu thức:

2x 3
2x  8
3  21  2 x  8 x 2



1
 2
:
2
2
4
x

12
x

5
13
x

2
x


20
2
x

1
4
x

4
x

3

P= 

a) Rót gän P

x 

1
2

b) TÝnh gi¸ trị của P khi
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
d) Tìm x để P > 0.
Bài 2(3 điểm):Giải phơng trình:

15 x
1
1

1

12



2
x

3
x

4
x

4
3
x

3


a)
b)

148 x 169  x 186  x 199  x




10
25
23
21
19

x 2 3 5

c)
Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu ngời ấy tăng
vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận
tốc dự định đi của ngời đó.
Bài 4 (7 điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối
xứng của điểm C qua P.
a) Tứ giác AMDB là hình gì?
b) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh
EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc
vào vị trí của điểm P.
PD
9

d) Giả sử CP BD và CP = 2,4 cm, PB 16 . Tính các cạnh của hình chữ
nhật ABCD.
Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010
b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

1

1
2


1 x2 1 y2
1 xy
đáp án và biểu điểm
Bài 1: Phân tích:
4x2 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5)
13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x)
4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3)

0,5®


1
5
3
7
x  ; x  ; x  ; x  ; x 4
2
2
2
4
§iỊu kiƯn:
2x  3
a) Rót gän P = 2 x  5
1
1

1
 x
x
x 
2 hc
2
2
b)
1
1
x
2  …P= 2
+)
1
2
x
2  …P = 3
+)
2
2x  3
1
x 5
c) P = 2 x  5 =
Ta cã:

0,5®
2®

1®

1 Z

2
Z
x

5

Z
VËy P
khi

 x – 5 Ư(2)

Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2}
x – 5 = -2  x = 3 (TM§K)
x – 5 = -1  x = 4 (KTM§K)
x – 5 = 1  x = 6 (TM§K)
x – 5 = 2  x = 7 (TM§K)
KL: x  {3; 6; 7} thì P nhận giá trị nguyên.
2
2x 3
1
x 5
d) P = 2 x  5 =
Ta cã: 1 > 0

2
Để P > 0 thì x 5 > 0  x – 5 > 0  x > 5

Víi x > 5 thì P > 0.
Bài 2:

15 x
1
1

1

12



2
x

3
x

4
x

4
3
x

3


a)

 1
15 x
1 

 1 12 


x

4
3
x

1
 x  4   x  1





§K:
 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)
…
 3x.(x + 4) = 0

1®
0,25®

0,5®
0,25

x  4; x 1


 3x = 0 hc x + 4 = 0
+) 3x = 0 => x = 0 (TM§K)
+) x + 4 = 0 => x = -4 (KTM§K)
S = { 0}

b)

1®

148  x 169  x 186  x 199  x



10
25
23
21
19

 148  x   169  x
  186  x
  199  x


1



2


3


4

 
 
 
 0
  23
  21
  19

  25
1
1 1
 1
   

 (123 – x)  25 23 21 19  = 0
1
1 1 
 1
   

Do  25 23 21 19  > 0

Nªn 123 – x = 0 => x = 123
S = {123}
c)

1®

x  2  3 5

Ta cã:

x  2 0x

=>

x  2 3

>0

x  2 3  x  2 3

nên
PT đợc viết dới dạng:

x 2 3 5
x 2 =5–3
 x 2 =2
+) x - 2 = 2 => x = 4
+) x - 2 = -2 => x = 0
S = {0;4}
Bài 3(2 đ)

Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0)
Vận tốc dự định của ngời đ xe gắn máy là:

x 3x
(km / h)
1 10
3
3

1
h
h

3
(3 20 =
)

Theo đề bài ta có phơng trình:

0,25đ

3

Vận tốc của ngời đi xe gắn máy khi tăng lên 5 km/h là:

3x
5 km / h 
10

1®

0,25®

0,25®


3x


5

.3 x
10



0,5đ
0,5đ
0,25đ

x =150
Vậy khoảng cách giữa A vµ B lµ 150 (km)
3.150
45  km / h
Vận tốc dự định là: 10
Bài 4(7đ)
Vẽ hình, ghi GT, KL đúng
D

0,5đ

C

P
M
I

F

O

E
A
B
a) Gọi O là giao điểm 2 đờng chéo của hình chữ nhật ABCD.
PO là đờng trung bình của tsm giác CAM.
AM//PO
tứ giác AMDB là hình thang.
1đ
b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)
Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB
Gọi I là giao điểm 2 đờng chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân
ở I nªn gãc IAE = gãc IEA.
Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = gãc OAB, do ®ã EF//AC (1)
1đ
Mặt khác IP là đờng trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng.
1đ
c)

MAF DBA g g

MF AD

nên FA AB không đổi.

(1đ)

PD PB
PD 9

k  PD 9k , PB 16k

16
d) NÕu PB 16 th× 9

CBD DCP  g  g  

NÕu CP BD thì
do đó CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm)
BD = 5 (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16
do ®ã BC = 4 (cm)
CD = 3 (cm)

CP PB

PD CP

Bµi 5:
a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)
V× 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - …)
= 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1)
2010
2011 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + …)
= 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2)

1®

0,5d
0,5®
0,5®

1®


Từ (1) và (2) ta có đpcm.

1
1
2


2
2
1

x

1

y
1 xy
b)

(1)

1
1   1
1 




 
 0
2
2
1

x
1

xy
1

y
1


xy

 

x  y  x
y  x  y


0
2
2
 1  x   1  xy   1  y   1  xy 
2



 y  x   xy  1 0 2
 
2
2
1

x
1

y
1

xy






V× x 1; y 1 => xy 1 => xy 1 0
=> BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu = xảy ra khi x = y)

Chú ý: Các cách giải khác đúng vẫn cho ®iÓm tèi ®a.

1®