De thi chon HSG

TRƯỜNG THPT SỐ 1
NGHĨA HÀNH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MƠN TỐN LỚP 11
NĂM HỌC 2107 – 2018
(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (9điểm). Giải các phương trình và hệ phương trình sau :
4
2
4
2
a/ ( x  x  2)( x  3x  18) 0
3
3
b/ x  2 5 5 x  2
3
2
 y  y x  3 x  6 y 0
 2
 x  xy 3

c/
Bài 2 (3điểm) . Giải phương trình lượng giác sau :
1
cos6x – cos4x + cos2x = 2

Bài 3 (4điểm) .Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vng ABCD , trung
11 1
; )

điểm của BC là điểm M( 2 2 . N là điểm trên cạnh CD sao CN = 2ND,

đường thẳng AN có phương trình 2x – y – 3 = 0 .
0

a/ Chứng minh góc MAN 45 .
b/ Tìm toạ độ của đỉnh A .
Bài 4 (4điểm) . Cho tam giác ABC bất kỳ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức :

P cot

A
B
C
cot cot
2
2
2.

................HẾT..............
ĐÁP ÁN MƠN TỐN HSG LỚP 11
Bài 1 : (9đ)
a/ (3điểm) * PT đã cho tương đương
( x 2  1)( x 2  2)( x 2  3)( x 2  6)  20 x 4 0
4

2

4

2

(1,0)

4

 ( x  7 x  6)( x  5 x  6)  20 x 0 (1)
* Vì x = 0 khơng phải là nghiệm của (1) nên
6
6
( x 2  2  7)( x 2  2  5)  20 0
x
x
(1) 
6
t x 2  2
x , dễ thấy t  0
* Đặt

(0,5)

(2)

(0,5)


 t  3(l )

2

 t 5
PT (2) trở thành (t  7)(t  5)  20 0  t  2t  5 0
(0,5)
2
 x 2
 x 2
t 5  x 2  6 x 5  x 4  5 x 2  6 0   2

 x 3 (0,5)
 x 3
* Với
………………………………………………………………………………
………..
 x3  5u  2(1)
 3
3
u

5
x

2
b/ (3đ) * Đặt
, ta có hệ pt u  5 x  2(2)
(1đ)
*Trừ (1) cho (2) theo vế ta có
u 3  x 3  5(u  x) 0  (u  x)(u 2  x 2  ux  5) 0 (3)

x
3

u 2  x 2  ux  5 (u  )2  x 2  5  0x, u
2
4
Vì
nên (3)  u x
(1đ)
 x 2
x3  5 x  2 0  
 x  1  2
*Thay u = x vào (1) ta được
(1đ)
………………………………………………………………………………
……….
 y 3  y 2 x  3x  6 y 0(1)
 2
c/ (3đ) Giải hệ pt  x  xy 3(2)
3  x2
3
x y
x và
x
*Từ (2) ta thấy x 0 nên (2)
2
* Khi đó (1)  y ( x  y )  6( x  y )  9 x 0
9  6x2  x4
3
(

6).
 9 x 0  4 x 4  12 x 2  9 0

2
x
x
 y

(1đ)

(1đ)

3
6
6
 x 2   x 
y 
2
2 Từ đó tính được
2
*
6 6
6
6
( ; ),(
;
)
2
2
2
2
Vậy nghiệm của hệ là
(1đ)

………………………………………………………………………………
……….
Bài 2 (3đ)
* Với đk sinx 0(*) thì Pt đã cho tương đương với Pt


1
sin 2 x.cos6 x  sin 2 x.cos4 x  sin 2 x.cos2 x  sin 2 x
2
1
1
1
1
 (sin8 x  sin 4 x)  (sin 6 x  sin 2 x)  sin 4 x  sin 2 x
2
2
2
2
 x k (l )
 8 x 6 x  k 2
 sin8 x sin 6 x  



 x   k (a)
 8 x   6 x  k 2
14
7

(1,5)

(1đ)



7l  1
 k 2 l  2k  1 7l  k 
7
7
2
* Công thức nghiệm (a) thoả đk (*)
Với k , l   thì l 2t  1 suy ra k 7t  3, t  




x   k (k  , k 7t  3, t  )
14
7
Vậy nghiệm của PT là

(0,5)
...........................................................................................................................
...............
Bài 3(4đ)
a/ *Đặt AB = a , tính được

cos MAN




2

2

AN 

a 10
a 5
5a
, AM 
, MN 
3
2
6

(1,0)

2

AM  AN  MN
1


 MAN
450
2 AM . AN
2

(1,0)

b/ A  AN  A( m; 2m  3) , gọi H là hình chiếu của A trên AN
3
3 10
MA MH . 2 
5 Suy ra
2
 m 1
 A(1;  1)
11
7
45
 (m  ) 2  (2m  ) 2   

2
2
2
 m 4 . Suy ra  A(4;5)
AH d ( M , MN ) 

(1,0)

(1,0)
......................................................................................................................
...............
Bài 4 (4đ)
 Chứng minh

M tan

A
B
B
C
C
A
.tan  tan .tan  tan .tan 1
2
2
2
2
2
2

 AD bất đẳng thức Cơ si ta có
(1,5)

1 M 3 3 tan 2

A
B
C
3
tan 2 tan 2 
3
2
2
2
P2

(1,0)


2
 Suy ra P 27  P 3 3 , P 3 3  A B C Vậy MinP 3 3
(1,5)

...................HẾT..................