TInh chat chia het

MỤC LỤC
I. Nhắc lại lý thuyết về chia hết
II. Các phương pháp giải bài toán chia hết
1. Phương pháp 1: Sử dụng dấu hiệu chia hết
2. Phương pháp 2: Sử dụng tính chất chia hết
3. Phương pháp 3: Xét tập hợp số dư trong phép chia
4. Phương pháp 4: Phân tích thành nhân tử
5. Phương pháp 5: Biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng tổng
6. Phương pháp 6: Dùng phương pháp quy nạp toán học
7. Phương pháp 7: Sử dụng đồng dư thức
8. Phương pháp 8: Sử dụng nguyên lý Dirichle
9. Phương pháp 9: Phương pháp phản chứng
III. Kết luận


CHUYÊN ĐỀ: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT ĐỂ GIẢI TỐN
Lời nói đầu:
Trong chương trình học cấp 2 (lớp 6,7) các em học sinh đã được làm quen với các bài
tốn liên quan đến tính chất chia hết. Hơn nữa, trong các đề thi HSG, đề thi vào trường
Chuyên, lớp chọn thì các bài tốn về chia hết rất hay xuất hiện và là phần quan trọng
trong cấu trúc đề thi.
Nhằm giúp các em học sinh củng cố kiến thức cơ bản, vận dụng kiến thức giải các bài
toán nâng cao về chia hết, ChuTieuThichHocToan biên soạn chuyên đề này. Chuyên đề
có thể được dùng cho các học sinh giỏi lớp 6, các học sinh lớp 7,8,9 ôn thi học sinh giỏi,
thi vào trường Chuyên, lớp Chọn.
I. Nhắc lại lý thuyết về chia hết
1. Định nghĩa phép chia hết
Cho 2 số nguyên a và b trong đó b  0 ta ln tìm được hai số ngun q và r duy nhất
sao cho:
a = bq + r Với 0  r   b
Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.

Khi a chia cho b cú thể xẩy ra  b số dư
r  {0; 1; 2; …;  b}
Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a.
Ký hiệu: ab hay b\ a
Vậy: a  b  Cú số nguyên q sao cho a = bq
2. Các tính chất chia hết
1. Với  a  0  a  a
2. Nếu a  b và b  c  a  c
3. Với  a  0  0  a
4. Nếu a, b > 0 và a  b ; b  a  a = b
5. Nếu a  b và c bất kỳ  ac  b
6. Nếu a  b  (a)  (b)
7. Với  a  a  (1)
8. Nếu a  b và c  b  a  c  b
9. Nếu a + b  c và a  c  b  c
10. Nếu a  b và n > 0  an  bn
11. Nếu ac  b và (a, b) =1  c  b
12. Nếu a  b, c  b và m, n bất kỳ am + cn  b
13. Nếu a  b và c  d  ac  bd
14. Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!


3. Một số dấu hiệu chia hết

a a

...a a

1 0
Gọi N = n n  1

1. Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125
+ N  2  a0  2  a0{0; 2; 4; 6; 8}
+ N  5  a0  5  a0{0; 5}

+ N  4 (hoặc 25) 

a1 a 0

 4 (hoặc 25)

aaa

+ N  8 (hoặc 125)  2 1 0  8 (hoặc 125)
2. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9
+ N  3 (hoặc 9)  a0+a1+…+an  3 (hoặc 9)
3. Một số dấu hiệu khác
+ N  11  [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)]  11
+ N  101  [(

a1 a 0 a 5 a 4
+

aa aa
+…) - ( 3 2 + 7 6 +…)]101

aaa
+ N  7 (hoặc 13)  [( 2 1 0 +
11 (hoặc 13)
aaa

a8 a 7 a 6

aaa
+…) - [( 5 4 3 +

a11a10 a 9

+…)

aaa

+ N  37  ( 2 1 0 + 5 4 3 +…)  37
+ N  19  ( a0+2an-1+22an-2+…+ 2na0)  19
4. Đồng dư thức
a. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương. Nếu hai số nguyên dương a và b có cùng số
dư d khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m.
Ký hiệu: a  b (modun m)
Vậy: a  b (modun)  a - b  m
b. Các tính chất
1. Với  a  a  a (modun m)
2. Nếu a  b (modun m)  b  a (modun m)
3. Nếu a  b (modun m), b  c (modun m)  a  c (modun m)
4. Nếu a  b (modun m) và c  d (modun m)  a+c  b+d (modun)
5. Nếu a  b (modun m) và c  d (modun m)  ac  bd (modun)
6. Nếu a  b (modun m), d là ước chung của a,b và (d, m) =1
a b
≡

(modun)
d d

7. Nếu a  b (modun), d > 0 và d là ước chung của a, b, m.
a b
m
≡

(modun
)
d d
d


Việc chứng minh các tính chất trên hết sức đơn giản. Các em học sinh có thể tự chứng
minh để hiểu rõ hơn bản chất và dễ dàng ghi nhớ hoặc tự xây dựng lại được tính chất khi
cần thiết.
5. Một số định lý
1. Định lý Euler
Nếu (m) là số các số nguyên dương nhỏ hơn m và nguyên tố cùng nhau với m, (a, m) =
 ( m)
1 (modun m)
 1 (modun m) thì a

Cơng thức tính (m)
Phân tích m ra thừa số nguyên tố
m  p11 p2 2 p33 ... pk k với pi  P,  i  N *

1 
1 
1  
1 
 (m)  1 

 ...  1 

 1
  1
p1  
p2  
p3  
pk 

Thì
2. Định lý Fermat
Nếu p là số nguyên tố và a không chia hết cho p thì ap-1  1 (modp)
3. Định lý Wilson
Nếu p là số nguyên tố thì
( p - 1)! + 1  0 (modp)
II. Các phương pháp giải bài toán chia hết
1. Phương pháp 1: Sử dụng dấu hiệu chia hết
Ví dụ 1: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b  45
Giải
Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1
để a56b  45  a56b  5 và 9
Xét a56b  5  b  {0 ; 5} (Dấu hiệu chia hết cho 5)


Nếu b = 0 ta có số a56b  9  a + 5 + 6 + 0  9 (Dấu hiệu chia hết cho 9)
 a + 11  9
a=7
Nếu b = 5 ta có số a56b  9  a + 5 + 6 + 0  9
 a + 16  9
a=2

Vậy:

a = 7 và b = 0 ta có số 7560
a = 2 và b = 5 ta có số 2560

Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng minh
răng số đó chia hết cho 9.
Giải
Gọi số đã cho là a. Vì tổng các chữ số của a không đổi khi ta nhân với 5 nên:
Ta có a và 5a khi chia cho 9 cùng có 1 số dư
 5a - a  9  4a  9 mà (4 ; 9) = 1
 a  9 (Đpcm)
Ví dụ 3: CMR số

111
 
 111

81 sè 1

 81

Giải
Ta thấy: 111111111  9
Có

111
 
 111


81 sè 1

72
63
54
9
= 111111111 (10  10  10  ...  10  1)

72
63
54
9
Mà tổng (10  10  10  ...  10  1) có tổng các chữ số bằng 9  9
72
63
54
9
 (10  10  10  ...  10  1)  9

Vậy:

111
 
 111

81 sè 1

 81 (Đpcm)

Nhận xét: Khi gặp các bài toán liên quan đến tìm số hay chứng minh thỏa mãn tính chất
chia hết nào đó, chúng ta hãy quan sát số bị chia, xem số bị chia có phân tích thành nhân
tử được hay khơng, khi phân tích thành nhân tử, có chứa các thừa số mà có dấu hiệu chia
hết đặc biệt (số 2,3,5,9,11…) hay không. Khi gặp các số bị chia dạng này, chúng ta hãy
nghĩ ngay đến việc áp dụng tính chất về dấu hiệu chia hết để giải. Các em hãy giải một số
bài tập tương tự sau đây.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Tìm các chữ số x, y sao cho
a. 34x5y  4 và 9
b. 2x78  17
Bài 2: Cho số N = dcba CMR
a. N  4  (a + 2b)  4
b. N  16  (a + 2b + 4c + 8d)  16 với b chẵn
c. N  29  (d + 2c + 9b + 27a)  29
Bài 3: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của số đó.
Bài 4: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta được số A = 192021…7980.
Hỏi số A có chia hết cho 1980 khơng ? Vì sao?
Bài 5: Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 khơng? Vì sao?

11
 
 11 22
 
 22
Bài 6: Chứng tỏ rằng số

100 sè 1

100 sè 2

là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.

Các em học sinh hãy tự giải các bài tập trên để nâng cao khả năng vận dụng kiến thức của
mình. Có gì thắc mình, vui lịng liên hệ ChuTieu

2.

Phương pháp 2: Sử dụng tính chất chia hết

* Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n.


CM: Gọi n là số nguyên liên tiếp
m + 1; m + 2; … m + n với m  Z, n  N*
Lấy n số nguyên liên tiếp trên chia cho n thì ta được tập hợp số dư là: {0; 1; 2; … n - 1}
* Nếu tồn tại 1 số dư là 0: giả sử m + i = nqi ; i = 1, n
m+i n
* Nếu khơng tồn tại số dư là 0  khơng có số nguyên nào trong dãy chia hết cho n 
phải có ít nhất 2 số dư trùng nhau.


 m  i  nq i  r

 m  j  nq j  r
Giả sử: 
 i - j = n( q i -

qj

1 i; j  n

) ni-j  n

mà i - j< n  i - j = 0  i = j
m+i=m+j
Vậy trong n số đó có 1 số và chỉ 1 số đó chia hết cho n…
Ví dụ 1: CMR:

a. Tích của 2 số nguyên liên tiếp ln chia hết cho 2
b. Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.

Giải
a. Trong 2 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn
 Số chẵn đó chia hết cho 2.
Vậy tích của 2 số ngun liên tiếp ln chia hết cho 2.
b. Tích 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên tích của 3 số ngun liên tiếp ln
chia hết cho 2.
Trong 3 sô nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 3.
 Tích 3 số đó chia hết cho 3 mà (2; 3) = 1.
Vậy tích của 3 số ngun liên tiếp ln chia hết cho 6.


Ví dụ 2: CMR: Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9.
Giải
Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: n - 1 , n , n+1
Ta có: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3
= 3n3 + 6n.
= 3n(n2+2) = 3n(n2-1+3) =3(n-1)n(n+1) + 9n.
Ta thấy (n - 1)n (n + 1)  3 (CM Ví dụ 1)
 3(n - 1)n (n + 1)  9

mà

9n9

 A  9 (ĐPCM)
Ví dụ 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n  384 với  n chẵn, n4
Giải
Vì n chẵn, n4 ta đặt n = 2k, k2
Ta có n4 - 4n3 - 4n2 +16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k
= 16k(k3 - 2k2 - k + 2)
= 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1)
Với k  2 nên k - 2, k - 1, k + 1, k là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số đó có 1 số chia
hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4.  (k - 2)(k - 1)(k + 1)k  8
Mà (k - 2) (k - 1)k  3 ; (3,8)=1
 (k - 2) (k - 1) (k + 1)k  24
 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k  (16,24)
Vậy n4 - 4n3 - 4n2 +16n  384 với  n chẵn, n  4
Nhận xét: Với các bài toán yêu cầu chứng minh một biểu thức chia hết cho 1 số. Chúng ta
hãy phân tích số chia thành thừa số nguyên tố. Phân tích biểu thức đã cho thành thừa số.


Sau đó hãy quan sát và vận dụng các tính chất về chia hết như tích của n số tự nhiên liên
tiếp thì chia hết cho n hay trong n số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho n.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: a. n(n + 1) (2n + 1)  6
b. n5 - 5n3 + 4n  120 Với  n  N
Bài 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n  24 Với  n  Z
Bài 3: CMR: Với  n lẻ thì
a. n2 + 4n + 3  8
b. n3 + 3n2 - n - 3  48

c. n12 – n8 - n4 + 1  512
Bài 4: Với p là số nguyên tố p > 3 CMR : p2 - 1  24
Bài 5: CMR: Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27.
Các em học sinh tự làm nhé. Sau đây là gợi ý bài số 5.
Bài 5: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là
n, n +1; n + 2; … ; n + 1989 (1)
trong 1000 tự nhiên liên tiếp n, n + 1; n + 2; …; n + 999
có 1 số chia hết cho 1000 giả sử n0, khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0 giả sử tổng các
chữ số của n0 là s khi đó 27 số n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; …; n0 + 99; n0 + 199;
… n0 + 899 (2)
Có tổng các chữ số lần lượt là: s; s + 1 … ; s + 26
Có 1 số chia hết cho 27 (ĐPCM)
* Chú ý: n + 899  n + 999 + 899 < n + 1989
 Các số ở (2) nằm trong dãy (1)

3.

Phương pháp 3: Xét tập hợp số dư trong phép chia


Ở phương pháp này, hướng đi chính của chúng ta khi giải các bài toán chia hết hoặc các
bài toán giải phương trình nghiệm ngun, đó là chúng ta sẽ xét tất cả các khả năng về số
dư có thể của biến khi chi cho 1 số nào đó. Các số chia mà chúng ta hay xét đến có thể là
2, 3, 4, 5, 8, 9….Chúng ta hãy xét 1 số ví dụ dưới đây:
Ví dụ 1: CMR: Với  n  N
Thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hết cho 6
Giải
Ta thấy 1 trong 2 thừa số n và 7n + 1 là số chẵn. Với  n  N  A(n)  2
Ta chứng minh A(n)  3
Lấy n chia cho 3 ta được n = 3k + 1 (k  N)

Với r  {0; 1; 2}
Với r = 0  n = 3k  n  3  A(n)  3
Với r = 1  n = 3k + 1  2n + 7 = 6k + 9  3  A(n)  3
Với r = 2  n = 3k + 2  7n + 1 = 21k + 15  3  A(n)  3
 A(n)  3 với  n mà (2, 3) = 1
Vậy A(n)  6 với  n  N
Như vậy, ở bài toán trên các em thấy chúng ta đã xét tất cả các khả năng có thể của số dư
của n khi chi cho 3. Ở bài tốn này, các em dễ dàng tìm được số chia để xét số dư. Ở đây,
đề bài yêu cầu chứng minh A(n) chia hết cho 6 với mọi n, điều này đồng nghĩa với việc
chúng ta sẽ đi chứng minh A(n) chia hết cho 2 và 3 với mọi n. Từ đó các em dễ dàng tìm
được số chia cần xét là 2,3. Với số chia là 2 thì rất đơn giản, chỉ cần chỉ ra 2 số khác tính
chẵn lẻ, khi đó chắc chắn sẽ có 1 số chia hết cho 2.
Ví dụ 2: CMR: Nếu n khơng chia hết cho 3 thì A(n) = 32n + 3n + 1  13 Với  n  N
Giải
Vì n không chia hết cho 3  n = 3k + r (k  N); r  {1; 2}
2(3k r )
 33k r  1
 A(n) 3


2r 6k
r 3k
= 3 .3  3 .3  1

Đến đây, các em hãy để ý là 33-1 = 26 chia hết cho 13. Vì thế, ta sẽ cố gắng tách biểu
thức đã cho sao cho có chứa thừa số 33-1. Phần còn lại ta sẽ chứng minh chia hết cho 13
là xong.
2r
6k
r

3k
2r
r
Ta có: A(n) 3 (3  1)  3 (3  1)  3  3  1
3k
3
Ta thấy : 3  1 (3  1) N 13 (áp dụng khai triển hằng đẳng thức an-1)
6k
3k
3k
Tương tự ta có: 3  1 (3  1)(3 1) 13
2r
r
Như vậy ta chỉ cần chứng minh: 3  3 113

Ta xét các khả năng của r.
2r
r
2
1
Với r = 1: 3  3  1 3  3  1 1313
2r
r
4
2
Với r = 2: 3  3  1 3  3  1 9113

Như vậy, với mọi trường hợp của r ta đều có A(n) chia hết cho 13.
Nhận xét: Ở bài toán trên, số bị chia mà chúng ta cần xét số dư dễ dàng nhận thấy ngay là
3 (Vì đề bài đã cho ngay là n không chia hết cho 3)

Ví dụ 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2n - 1  7
Giải
Lấy n chia cho 3 ta có n = 3k + 1 (k  N); r  {0; 1; 2}
Với r = 0  n = 3k ta có
2n - 1 = 23k - 1 = 8k - 1 = (8 - 1)M = 7M  7
với r =1  n = 3k + 1 ta có:
2n - 1 = 23k+1 - 1 = 2.23k - 1 = 2(23k - 1) + 1
mà 23k - 1  7  2n - 1 chia cho 7 dư 1


với r = 2  n = 3k + 2 ta có :
2n - 1 = 23k+2 - 1 = 4.23k = 4(23k - 1) + 3
mà 23k - 1  7  2n - 1 chia cho 7 dư 3
Vậy 2n - 1  7  n = 3k (k  N)
Nhận xét: Đây là bài toán khá dễ. Đề bài yêu cầu chúng ta tìm số n để biểu thức chia hết
cho 7. Chúng ta sẽ dự đoán được n sẽ có dạng tổng quát nào đó. Các em cẩn thận kẻo
nhầm với các bài tốn ví dụ phía trên. Ở đây, vấn đề là tại sao chúng ta lại biết là cần xét
số dư khi chia cho 3. Để làm việc này, các em hãy thử 1 số giá trị nhỏ của n để tìm ra
dạng tổng quát. Ví dụ khi các em thử với n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, các em sẽ tìm ra ngay
dạng tổng qt của n. Sau đó ta sử dụng phương pháp xét số dư để giải.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: A(n) = n(n2 + 1)(n2 + 4)  5 Với  n  Z
Bài 2: CMR: Nếu (n, 6) =1 thì n2 - 1  24 Với  n  Z
Bài 3: Tìm số tự nhiên n để 22n + 2n + 1  7
Bài 4: Cho 2 số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m4 + 1 = n2
CMR: mn  55
(Còn tiếp)
4.

Phương pháp 4: Phân tích thành nhân tử

5.

Phương pháp 5: Biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng tổng

6.

Phương pháp 6: Dùng phương pháp quy nạp toán học

7.

Phương pháp 7: Sử dụng đồng dư thức

8.

Phương pháp 8: Sử dụng nguyên lý Dirichle

9.

Phương pháp 9: Phương pháp phản chứng


III. Kết luận
Để rèn luyện thêm về dạng toán này, ChuTieuThichHocToan khuyến khích các em hãy
tìm trong bộ đề thi vào lớp 10 Chuyên của các năm trước, đề thi HSG các bài toán cùng
thuộc dạng này để luyện tập thêm.
Nếu có gì thắc mắc, khơng hiểu hay bài tập cần giải đáp, các em có thể liên hệ với
ChuTieu qua số điện thoại bên dưới vào thời gian buổi tối.
ChuTieuThichHocToan hi vọng rằng qua chuyên đề này, các em sẽ tự rút ra cho mình

những bài học bổ ích, thêm say mê mơn Tốn và tiếp tục cố gắng để đạt được mục tiêu
học tập của mình.
Chúc các em sức khỏe, học tập tốt và đạt được ước mơ của mình
Hà nội, Ngày 18/07/2012
ChuTieuThichHocToan

Đây là tài liệu được soạn bởi ChuTieuThichHocToan.
Đây là tài liệu được chia sẻ miễn phí, khơng mang mục đích lợi nhuận.
Đề nghị giữ ngun bản khi chia sẻ cho người khác.
Mọi thắc mắc xin liên hệ: ChuTieu (0987 702 775)