05 hàm số bậc hai phần 1 đặng việt hùng image marked

Chuyên đề: Hàm số bậc nhất, bậc hai

05. HÀM SỐ BẬC HAI (Phần 1)

DẠNG 1. XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC 2 – PARABOL

Ví dụ 1 [ĐVH]. Xác định parabol  P  : y  ax 2  c biết:
a) y  3 tại x  2 , và có giá trị nhỏ nhất là 1.
b) Đỉnh là I  0; 3 và một trong hai giao điểm của  P  với trục hoành là A  2; 0  .
Lời giải:
Δ
4ac
 1  4a  c  3, a  0,
 1 .
a) Ta có : f  2   3, a  0, 
4a
a
 c  1, a  1  0. Vậy  P  : y  x 2  1 .
0
Δ
4ac
 0, 
 3, f  2   0 
 3, 4a  c  0
2a
4a
a
3
3
 c  3; a   . Vậy  P  : y   x 2  3
4

4

b) Theo giả thiết :

Ví dụ 2 [ĐVH]. Xác định parabol  P  : y  a  x  m  biết :
2

a) Đỉnh I  3; 0  và cắt trục tung tại M  0;  5  .
b) Đường thẳng y  4 cắt  P  tại A  1; 4  và B  3; 4  .
Lời giải:
a)  P  : y  a  x  m   ax  2amx  am
2

2

2

b
Δ
 3; 
 0, f  0   5
2a
4a
4a 2 m 2  4a 2 m 2
 m  3, 
 0, am 2  5
4a
5
5
2

 m  3, a   . Vậy  P  : y    x  3 .
9
9
2
2
b) Theo giả thiết: f  1  4, f  3  4  a  1  m   4, a  3  m   4

Theo giả thiết : 

Do đó  1  m    3  m   1  2m  m 2  9  6m  m 2
2

2

 m  1 nên a  1 . Vậy  P  : y   x  1 .
2

Cách khác :  P  có trục đối xứng d : x  m nên theo giả thiết m 

x A  xB
 1.
2

Ví dụ 3 [ĐVH]. Xác định parabol (P) biết:
a)  P  : y  ax 2  bx  3 đi qua điểm A  1;9  và có trục đối xứng x  2 .
b)  P  : y  2 x 2  bx  c có trục đối xứng là đường thẳng x  1 và cắt trục tung tại điểm M  0; 4  .


Lời giải:
a) Theo bài

- Qua điểm A  1;9   a  b  3  9  a  b  6
b
 2  b  4a
2a
a  b  6
 a  4a  6
a  2
Ta có hệ: 


b  4a
b  4a
b  8

- Trục đối xứng x  

Vậy parabol cần tìm là y  2 x 2  8 x  3
b) Theo bài
- Cắt trục tung tại M  0; 4   2.02  b.0  c  4  c  4
b
 1  b  4
2.2
Vậy parabol cần tìm là  P  : 2 x 2  4 x  4

- Trục đối xứng x  

Ví dụ 4 [ĐVH]. Xác định parabol (P) biết:
a)  P  : y  ax 2  4 x  c đi qua hai điểm A 1; 2  và B  2;3 .
b)  P  : y  ax 2  4 x  c có đỉnh là I  2; 1 .
Lời giải:

a)  P  : y  ax  4 x  c qua 2 điểm A 1; 2  và B  2;3
2

2
a  c  2
a  3
a.1  4.1  c  2
 2


a.2  4.2  c  3 4a  c  11 c  1

Vậy parabol  P  : y  3 x 2  4 x  1

b)  P  : y  ax 2  4 x  c có đỉnh là I  2; 1
b

 b
a

 1



2

a  1
a  1
 2a


4a

 2


c  5
   1
 b  4ac  1 16  4c  4
 4a
 4a
Vậy parabol cần tìm là:  P  : y   x 2  4 x  5

Ví dụ 5 [ĐVH]. Xác định parabol (P) biết:
a)  P  : y  ax 2  4 x  c có hồnh độ đỉnh là 3 và đi qua điểm A  2;1 .
b)  P  : y  ax 2  bx  c đi qua điểm A  0;5  và có đỉnh I  3; 4  .
Lời giải:

a) Parabol  P  : y  ax  4 x  c có:
2

 Hồnh độ đỉnh là 3  

b
b 4
2
 3  a  

2a
6 6
3

 Đi qua điểm A  2;1  1  a  2   4  2   c  c  
2

2
13
Vậy parabol cần tìm là  P  : y   x 2  4 x 
3
3
2
b) Parabol  P  : y  ax  bx  c :

 Đi qua điểm A  0;5   a.02  b.0  c  5  c  5

13
3


 Có đỉnh là
 b
b  6a
b  6a
 2a  3
b  6a
a  1
 2

a0
I  3; 4   
  b  4ac

  36a 2  4ac



4
4
9a  c  4
b  6
   4


4
a
4
a


 4a
Vậy parabol cần tìm là  P  : y  x 2  6 x  5

Ví dụ 6 [ĐVH]. Xác định parabol (P) biết:
a) ( P) : y  ax 2  bx  c đi qua điểm A  2; 3 và có đỉnh I 1; 4  .
b) ( P) : y  ax 2  bx  c đi qua điểm A 1;1 và có đỉnh I  1;5  .
Lời giải:
a) Parabol ( P) : y  ax  bx  c :
 Đi qua điểm A  2; 3  4a  2b  c  3
2

 b
1

b  2a  0


 Có đỉnh là I 1; 4    2a
a  b  c  4
a  b  c  4
4a  2b  c  3 a  1


Từ đó ta có hệ 2a  b  0
 b  2
a  b  c  4
c  3


Vậy parabol cần tìm là  P  : y  x 2  2 x  3
b) Parabol ( P) : y  ax 2  bx  c :
 Đi qua điểm A 1;1  a  b  c  1

 b
 1
 2a  b  0


 Có đỉnh I  1;5    2a
a  b  c  5
a  b  c  5
a  b  c  1
a  1



Ta có hệ 2a  b  0  b  2
 a  b  c  5 c  4


Vậy parabol cần tìm là y   x 2  2 x  4
Ví dụ 7 [ĐVH]. Xác định parabol (P) biết:
a) ( P) : y  ax 2  bx  c đi qua các điểm A 1;1 , B  1;3 , O  0;0  .
b) ( P) : y  ax 2  bx  c đi qua các điểm A  0; 1 , B 1; 1 , C  1;1 .
Lời giải:
a  b  c  1
a  2


a) Đi qua các điểm A 1;1 , B  1;3 , O  0;0   a  b  c  3  b  1
c  0
c  0


2
Vậy parabol cần tìm là  P  : y  2 x  x

c  1
a  1


b) Đi qua các điểm A  0; 1 , B 1; 1 , C  1;1  a  b  c  1  b  1
a  b  c  1
c  1





Vậy parabol cần tìm là  P  : y  x 2  x  1
Ví dụ 8 [ĐVH]. Xác định parabol (P) biết:
a) ( P) : y  ax 2  bx  c đi qua các điểm A  1;1 , B  0; 2  , C 1; 1 .
b)  P  : y  x 2  bx  c đi qua điểm A 1;0  và đỉnh I có tung độ bằng 1 .
c) ( P) : y  ax 2  bx  c có đỉnh là I  3; 1 và cắt trục Ox tại điểm có hồnh độ là 1.
Lời giải:

a  b  c  1
a  2


 b  1
a) ( P) : y  ax  bx  c đi qua các điểm A  1;1 , B  0; 2  , C 1; 1  c  2
a  b  c  1 c  2


2

Vậy parabol cần tìm là  P  : y  2 x 2  x  2
b) Parabol  P  : y  x 2  bx  c có:

 đi qua điểm A 1;0   1  b  c  0  b  c  1
b
 b  2a  2  c  3
2a
Vậy parabol cần tìm là  P  y  x 2  2 x  3

 Đỉnh I có tung độ  1  

c) Parabol ( P) : y  ax 2  bx  c :
 Cắt trục Ox tại điểm có hồnh độ là 1  a  b  c  0
 b
3
6 a  b  0


 Có đỉnh I  3; 1   2a
9a  3b  c  1 9a  3b  c  1
1

a  4
a  b  c  0

3
x 2 3x 5


 b   . Vậy parabol cần tìm là  P  : y   
Ta giải hệ 6a  b  0
4 2 4
2
9a  3b  c  1 

5

c  4


Ví dụ 9 [ĐVH]. Xác định parabol y  ax 2  bx  2 biết rằng parabol :
a) đi qua hai điểm M 1; 5  và N  2; 8  .
3
b) đi qua điểm B  3;  4  và có trục đối xứng x   .
2
1
c) đi qua điểm B  1; 6  , đỉnh có tung độ  .
4
Lời giải:
a) Theo giả thiết ta có:
 f 1  5
a  b  2  5
a  b  3
a  2




b  1
 f  2   8 4a  2b  2  8 4a  2b  6

Vậy  P  : y  2 x 2  x  2.

 f  3  4
1

9a  3b  6

a  


b) Theo giả thiết:  b
3
3

3a  b  0

b  1
2
 2a
1 2
Vậy  P  : y   x  x  2.
3


 f  1  6
a  b  4
a  b  4

 2
c) Theo giả thiết:  Δ
1 2

b  8a  a
b  9a  0

4
 4a
Ta có a  b  4 nên : b 2  9b  36  0  b  3 hoặc b  12  a  1 hoặc a  16 .

Ví dụ 10 [ĐVH]. Xác định hàm số bậc hai y  2 x 2  bx  c biết rằng đồ thị :
a) Có trục đối xứng là đường thẳng x  1 và cắt trục tung tại điểm  0; 4  .
b) Có đỉnh là I  1;  2  .
c) Có hồnh độ đỉnh là 2 và đi qua điểm I 1;  2  .
Lời giải:
 b
1
b  4


. Vậy  P  : y  2 x 2  4 x  4.
a) Theo giả thiết :  2a
c

4

 f  0  4

 b
1
b  4
b  4



b) Theo giả thiết:  2a
. Vậy  P  : y  2 x 2  4 x
2  b  c  2
c  0
 f  1  2


 b
2
b  8
b  8



c) Theo giả thiết:  2a
. Vậy  P  : y  2 x 2  8 x  4 .
2

b

c


2
c

4


 f 1  2


Ví dụ 11 [ĐVH]. Xác định parabol y  ax 2  bx  c :
a) đi qua A  0;  1 , B 1;  1 , C  1;1
b) đi qua A  8; 0  và có dỉnh I  6;  12 
Lời giải:

 f  0   1 c  1
a  1



a) Theo giả thiết:  f 1  1  a  b  c  1  b  1 . Vậy  P  : y  x 2  x  1 .

a  b  c  1
c  1


 f  1  1

 f 8  0
64a  8b  c  0
a  3



b) Theo giả thiết:  f  6   12  36a  6b  c  12  b  36 .
 b
12a  b  0
c  96



6
 2a
2

Vậy  P  : y  3 x  36 x  96 .

Ví dụ 12 [ĐVH]. Xác định parabol  P  : y  ax 2  bx  c :
a) Đạt giá trị nhỏ nhất 3/4 khi x = 1/2 và nhận giá trị y = 1 tại x = 1
b) Đạt giá trị lớn nhất bằng 1/4 khi x = 3/2 và tổng lập phương các nghiệm của y = 0 bằng 9.
Lời giải:
a  0
a  0
 b 1
a  b  0


a  1  0

 2a 2

a) Theo giả thiết: 
 a b
 b  1 . Vậy  P  : y  x 2  x  1.
3
1
3
 f   
4  2  c  4

c  1
 2 4


a  b  c  1

 f 1  1
b) y  0  ax 2  bx  c  0


Khi Δ  0 thì x  x   x1  x2 
3
1

3
2

3

3

2
 b  c  b  3abc  b
 3 x1 x2  x1  x2         
a3
a a a

a  0
 b 3
a  0


3a  b  0
a  1  0
 2a 2




Theo giả thiết:   3  1   9
.
3
1  b  3
 f  2   4
4 a  2 b  c  4
c  2



3
3
3
3abc  b  9a
 3abc  b
9
 a 3
Vậy  P  : y   x 2  3 x  2.

Ví dụ 13 [ĐVH]. Xác định parabol  P  : y  ax 2  bx  c biết rằng :
a)  P  đi qua M  2; 3 , N  2; 3 và tiếp tuyến ở đỉnh của  P  là đường thẳng y = 1.
b) Nhận trục tung làm trục đối xứng và cắt đường thẳng y 

x
tại các điểm có hồnh độ là 1 và 3/2
2

Lời giải:

a) Đường thẳng y  1 là tiếp tuyến tại đỉnh nên y1  1 .


 f  2   3
b  0
4a  2b  c  3 4a  2b  c  3 b  0





 4a  2b  c  3  b  0
 ac  a
 c  1 .
Theo giả thiết :  f  2   3
 2

4ac  b 2  4a
 4a  c  3 
2
1


 b  4ac  1 4ac  b  4a
a 

2

4a
2

b) Vì đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng cho nên hàm số y  f  x   ax  bx  c là hàm số chẵn,

do đó f   x   f  x  , x  ax 2  bx  c  ax 2  bx  c, x  2bx  0, x  b  0 . Do đó y  ax 2  c .
Vì parabol cắt đường thẳng y 
1

3 3
M  1;   , N  ;  .
2

2 4

 f
Ta có hệ phương trình : 
f


x
3
tại các điểm có hồnh độ 1 và
nên  P  đi qua hai điểm
2
2

 1  
3 3
 
2 4

1

2

1

a  1
a  c   2
3

2


3 . Vậy  P  là y  x  .
2
 9a  c  3
c   2
 4
4