03 bất đẳng thức cô si phần 1 đặng việt hùng image marked

03. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (Phần 1)

Câu 1 [Svip]. Cho các số thực a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
b) (a  b  c)(a 2  b 2  c 2 )  9abc

a) (a  b)(b  c)(c  a )  8abc

Câu 2 [Svip]. Cho các số thực a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (1  a )(1  b)(1  c)  1  3 abc 

3

b)

bc ca ab
 
 abc
a b
c

Câu 3 [Svip]. Cho các số thực a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a 2 (1  b 2 )  b 2 (1  c 2 )  c 2 (1  a 2 )  6abc

b)

ab
bc
ca
abc




ab bc ca
2

Câu 4 [Svip]. Cho các số thực a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)

1 1 1
b) (a 3  b3  c3 )      (a  b  c) 2
a b c

a
b
c
3



bc ca ab 2

Câu 5 [Svip]. Cho các số thực a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 3(a 3  b3  c3 )  (a  b  c)(a 2  b 2  c 2 )
Câu 6 [Svip]. Cho a, b > 0. Chứng minh

b) 9(a 3  b3  c3 )  (a  b  c)3

1 1
4
 
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a b ab

a)

1 1 1
1
1 
 1
   2


 ; với a, b, c > 0.
a b c
 ab bc ca 

b)

1
1
1
1
1
1




 2



 ; với a, b, c > 0.
ab bc ca
 2a  b  c a  2b  c a  b  2c 

Câu 7 [Svip]. Chứng minh các BĐT sau:
a) Cho x, y, z > 0 thoả x  2 y  4 z  12 . Chứng minh:

2 xy
8 yz
4 xz


 6.
x  2 y 2 y  4z 4z  x

b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi.
Chứng minh rằng:

1
1
1
1 1 1


 2    .
p a p b p c
a b c

Câu 8 [Svip]. Cho a, b, c > 0. Chứng minh

1 1 1
9
  
(1).
a b c abc

Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
1
1  3
 1


a) (a 2  b 2  c 2 ) 
  (a  b  c) .
 ab bc ca  2

b) Cho x, y, z > 0 thoả x  y  z  1 . Tìm GTLN của biểu thức: P 

x
y
z


.
x 1 y 1 z 1


Câu 9 [Svip]. Chứng minh các BĐT sau:
a) Cho a, b, c > 0 thoả a  b  c  1 .
Tìm GTNN của biểu thức P 

1
1
1
.
 2
 2
a  2bc b  2ac c  2ab
2

b) Cho a, b, c > 0 thoả a  b  c  1 . Chứng minh rằng

1
1
1
1

 
 30 .
2
2
ab bc ca
a b c
2

Câu 10 [Svip]. Cho 2 số thực dương a và b thỏa mãn a 2  b 2  2 .
Chứng minh a 3a  a  2b   b 3b  b  2a   6 .
Câu 11 [Svip]. Cho a; b  0 : a  b  1 . Chứng minh rằng ab  a  b  
2

Câu 12 [Svip]. Cho ba số thực a  c; b  c; c  0 . Chứng minh rằng

1
.
4

c  a  c   c  b  c   ab .





Câu 13 [Svip]. Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn x  y  1 . Chứng minh 8 x 4  y 4 

1
 5.
xy

Câu 14 [Svip]. Cho ba số thực dương x; y; z thỏa mãn x3  y 3  z 3  1 .
Chứng minh

x2
1  x2



y2
1 y2



z2
1 z2

 2.

Câu 15 [Svip]. Cho ba số thực dương x; y; z thỏa mãn xyz 

16
.
x yz

Chứng minh  x  z  x  y   8 .
Câu 16 [Svip]. Cho ba số thực dương a; b; c  0 sao cho a  b  c  3 .
Chứng minh rằng a  b  c  ab  bc  ca .
Câu 17 [Svip]. Cho ba số thực dương a; b; c .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

3
17 a  b  c
abc
.
. 3

6
abc
abc

03. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (Phần 1)

Câu 1 [Svip]. Cho các số thực a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (a  b)(b  c)(c  a )  8abc
b) (a  b  c)(a 2  b 2  c 2 )  9abc
Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: (a  b)(b  c)(c  a )  2 ab .2 bc .2 ca  8abc .
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có (a  b  c)(a 2  b 2  c 2 )  3 3 abc .3 3 a 2b 2 c 2  9abc .
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 2 [Svip]. Cho các số thực a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau:


a) (1  a )(1  b)(1  c)  1  3 abc 
bc ca ab
 
 abc
b)
a b
c

3

Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

(1  a )(1  b)(1  c)  1  3 abc   1  a  b  c  ab  bc  ca  abc
3

 1  3 3 abc  3 3 a 2b 2 c 2  abc  1  3 abc 

Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
bc ca ab 1  bc ca   ca ab   bc ab  
 
           
a b
c 2  a b   b
c   a
c 
3

1  bc ca
ca ab
bc ab 
. 2
. 2
.   abc
2
2
a b
b c
a c 
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 3 [Svip]. Cho các số thực a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a 2 (1  b 2 )  b 2 (1  c 2 )  c 2 (1  a 2 )  6abc
ab

bc
ca
abc



b)
ab bc ca
2
Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
a 2 (1  b 2 )  b 2 (1  c 2 )  c 2 (1  a 2 )  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  a 2  b 2  c 2  6 3 a 6b6b6  6abc
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
ab
bc
ca
ab
bc
ca





a  b b  c c  a 2 ab 2 bc 2 ca
ab bc ca


ab  bc  ca

2
2
2  abc


2
2
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 4 [Svip]. Cho các số thực a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a
b
c
3



a)
bc ca ab 2
1 1 1
b) (a 3  b3  c3 )      (a  b  c) 2
a b c
Lời giải:
a) Biến đổi tương đương
a
b
c
3

a
b
c
9


 
1
1
1 
bc ca ab 2
bc
ca
ab
2
abc abc abc 9




bc
ca
ab
2
1
1 
 1
  2a  2b  2c  



9
 ab bc ca 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có


2a  2b  2c  a  b  b  c  c  a  3 3  a  b  b  c  c  a 
1
1
1



ab bc ca

3
3

 a  b  b  c  c  a 

1
1 
 1


Nhân từng vế ta có  2a  2b  2c  
  9 , bất đẳng thức cuối cùng đúng.
 ab bc ca 
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.
b) Biến đổi tương đương
1 1 1

1 1
1 1
1 1
( a 3  b3  c 3 )      ( a  b  c ) 2  a 2  b 2  c 2  a 3     b3     c 3   
a b c
b c
a c
a b

a 3 b3 a 3 c 3 b3 c 3
 a  b  c  2ab  2bc  2ac 
      2ab  2bc  2ca
b a
c
a c b
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
2

2

2

a 3 b3 a 3 c 3 b3 c 3
a 3 b3
a3 c3
b3 c 3
     2
. 2
. 2
.  2ab  2bc  2ca .

b a
c
a c b
b a
c a
c b
Bất đẳng thức cuối cùng đúng. Dấu bằng xảy ra khi ba số bằng nhau.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 5 [Svip]. Cho các số thực a, b, c  0 . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 3(a 3  b3  c3 )  (a  b  c)(a 2  b 2  c 2 )
b) 9(a 3  b3  c3 )  (a  b  c)3
Hướng dẫn giải:

a) BĐT  2(a  b  c )   a b  b a    b 2 c  bc 2    c 2 a  ca 2  .
3

3

3

2

2

Chú ý: a 3  b3  ab(a  b) . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.
b) Áp dụng b) ta có: 9(a 3  b3  c3 )  3(a  b  c)(a 2  b 2  c 2 ) .
Dễ chứng minh được: 3(a 2  b 2  c 2 )  (a  b  c) 2  đpcm.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 6 [Svip]. Cho a, b > 0. Chứng minh

1 1
4
 
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a b ab

1 1 1
1
1 
 1
   2


 ; với a, b, c > 0.
a b c
 ab bc ca 
1
1
1
1
1
1




 2



b)
 ; với a, b, c > 0.
ab bc ca
 2a  b  c a  2b  c a  b  2c 
Lời giải:

a)

1
1 1
Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số dương ta có  a  b      2 ab .2
4
ab
a b
1 1
4
. Dấu "  " xảy ra  a  b. Vậy (1) được chứng minh.
Do a, b  0   
a b ab
a) Áp dụng (1) với a, b, c  0 ta có
1 1
4
1 1
4
1 1
4
 
;  
;  

a b ab b c bc c a ca
2 2 2
4
4
4
1 1 1
1
1 
 1
   


    2


.
a b c ab bc ca
a b c
 ab bc ca 
BĐT được chứng minh, dấu "  " xảy ra  a  b  c.
1
1
4
4



.
b) Áp dụng (1) với a, b, c  0 ta có
a  b b  c  a  b    b  c  a  2b  c

1
1
4
1
1
4


;


b  c c  a a  b  2c c  a a  b 2 a  b  c
2
2
2
4
4
4






a  b b  c c  a 2a  b  c a  2b  c a  b  2c
1
1
1

1
1
1





 2



ab bc ca
 2a  b  c a  2b  c a  b  2c 
BĐT được chứng minh, dấu "  " xảy ra  a  b  c.

Tương tự

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 7 [Svip]. Chứng minh các BĐT sau:
2 xy
8 yz
4 xz


 6.
x  2 y 2 y  4z 4z  x
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi.
1

1
1
1 1 1


 2    .
Chứng minh rằng:
p a p b p c
a b c
Lời giải:
a) Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số dương ta có

a) Cho x, y, z > 0 thoả x  2 y  4 z  12 . Chứng minh:

x  2 y  2 x.2 y   x  2 y 

2

 x  2y
 8 xy  2 xy 

2

4

2 y  4 z  2 2 y.4 z   2 y  4 z 

2

, dấu "  " xảy ra  x  2 y.

 2 y  4z 
 32 yz  8 yz 

4 z  x  2 4 z.x   4 z  x   16 zx  4 zx 
2

 x  2y

 4z  x ,
4

 2 y  4z 

2

2

P

2 xy
8 yz
4 xz



x  2 y 2 y  4z 4z  x

P

 x  2 y    2 y  4 z    4 z  x   x  2 y  4 z  12  6.

4

2

, dấu "  " xảy ra  2 y  4 z.

dấu "  " xảy ra  4 z  x.

 4z  x

2

4
4
4


x  2y
2 y  4z
4z  x

4

2

2

x  4

x  2 y  4z

BĐT được chứng minh, dấu "  " xảy ra  
 y  2
 x  2 y  4 z  12
 z  1.

b) Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi ta có
abc
bca
abc
a c b
pa 
a 
 0; p  b 
b 
 0.
2
2
2
2
Khi đó áp dụng BĐT (1) trong bài 6 ta có
1
1
4
4
4
4





 .
p  a p  b  p  a   p  b 2 p  a  b a  b  c  a  b c
Tương tự

1
1
4
1
1
4

 ;


p b p c a p c p a a

2
2
2
4 4 4
1
1
1
1 1 1


   



 2    .
p a p b p c a b c
p a p b p c
a b c
BĐT được chứng minh, dấu "  " xảy ra  a  b  c  ABC đều.


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 8 [Svip]. Cho a, b, c > 0. Chứng minh

1 1 1
9
  
(1).
a b c abc

Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
1
1  3
 1


a) (a 2  b 2  c 2 ) 
  (a  b  c) .
 ab bc ca  2


b) Cho x, y, z > 0 thoả x  y  z  1 . Tìm GTLN của biểu thức: P 

x
y
z


.
x 1 y 1 z 1

Lời giải:

1
1 1 1
Áp dụng BĐT Cơsi cho ba số dương ta có  a  b  c       3 3 abc .3 3
 9.
abc
a b c
1 1 1
9
. Dấu "  " xảy ra  a  b  c.
Do a, b, c  0    
a b c abc
Như vậy BĐT (1) được chứng minh.
a) Áp dụng (1) với a, b, c  0 ta có

a







1
1 
9
9
 1
2
2
2
 b2  c2 



.
  a b c .
 a  b  b  c   c  a  2  a  b  c 
 ab bc ca 
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có

1

2

2

2

2

1 1

 a

2

2

b c

2

  a  b  c

2

2

2

 a b c

2

a  b  c


2

3

1
1  a  b  c
9
3
 1
 a 2  b2  c2 


.
  a  b  c.

3
2a  b  c 2
 ab bc ca 
BĐT được chứng minh, dấu "  " xảy ra  a  b  c.
x
y
z


b) Cho x, y, z > 0 thoả x  y  z  1 . Tìm GTLN của biểu thức: P 
.
x 1 y 1 z 1



Có P 

2



 1
x
y
z
1
1
1
1
1 


 1
1
1
 3


.
x 1 y 1 z 1
x 1
y 1
z 1
 x 1 y 1 z 1 

Áp dụng (1) với x, y, z  0 ta có
1

1
1
9
9
9
9






x  1 y  1 z  1  x  1   y  1   z  1 x  y  z  3 1  3 4

 1
1
1
1  9
9 3
 


   P  3   . Dấu "  " xảy ra  x  y  z  .
3
4 4
 x 1 y 1 z 1  4
3
1
Vậy Pmax  đạt được khi x  y  z  .
4

3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 9 [Svip]. Chứng minh các BĐT sau:
a) Cho a, b, c > 0 thoả a  b  c  1 .
1
1
1
Tìm GTNN của biểu thức P  2
.
 2
 2
a  2bc b  2ac c  2ab
1
1
1
1
b) Cho a, b, c > 0 thoả a  b  c  1 . Chứng minh rằng 2

 
 30 .
2
2
ab bc ca
a b c
Lời giải:
a) Áp dụng BĐT (1) trong bài 8 với a, b, c  0 ta có
9
9
P 2


.
2
2
2
a  2bc  b  2ca  c  2ab
a  b  c



 

 



9
1
 9. Dấu "  " xảy ra  a  b  c  .
2
3
1
1
Vậy Pmin  9 đạt được khi a  b  c  .
3
1
1
1
9
 


b) Áp dụng BĐT (1) trong bài 8 với a, b, c  0 ta có
ab bc ca ab  bc  ca

Bài ra 0  a  b  c  1  P 

(1)


Với a  b  c  1 có

1
1
1


2
2
2
a b c
 a  b  c   2  ab  bc  ca  1  2  ab  bc  ca 

Từ (1) và (2) ta được

2

(2)

1
1

1
1
1
9

 


2
2
ab bc ca 1  2  ab  bc  ca  ab  bc  ca
a b c
2





Lại có  a  b    b  c    c  a   0  2 a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca 
2

2

2

 a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca   a  b  c   3  ab  bc  ca  .
2

1
1

Bài ra a  b  c  1  3  ab  bc  ca   1  ab  bc  ca  . Dấu "  " xảy ra  a  b  c  .
3
3
1
9
 1
 .
Đặt ab  bc  ca  t  t   0;  và P 
1  2t t
 3

Ta sẽ chứng minh

1
9
 1
 1
  30 (*), t   0;  . Thật vậy, với t   0;  có
1  2t t
 3
 3

(*)  t  9 1  2t   30t 1  2t   60t 2  47t  9  0   3t  1 20t  9   0
1
 1
Điều này luôn đúng với t   0;  . BĐT được chứng minh, dấu "  " xảy ra  a  b  c  .
3
 3
Cách 2 (Sơ lược)
1

1   1
1  2 1
1
1 



Biến đổi P   2

    
2
2
3ab   3bc 3ca  3  ab bc ca 
 a b c
4
4
2
9
P 2

 .
2
2
a  b  c  3ab 3bc  3ca 3 ab  bc  ca
16
2
9
P 2

.

a  b 2  c 2  3ab  3bc  3ca 3 ab  bc  ca
16
6
16
6
P


  30.
2
 a  b  c   ab  bc  ca ab  bc  ca 1  1 1
3 3
1
BĐT được chứng minh, dấu "  " xảy ra  a  b  c  .
3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 10 [Svip]. Cho 2 số thực dương a và b thỏa mãn a 2  b 2  2 .
Chứng minh a 3a  a  2b   b 3b  b  2a   6 .
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
3a  a  2b
3b  b  2a
a 3a  a  2b   b 3b  b  2a   a.
 b.
2
2
2
2
2

2
 2a  2ab  2b  2.2  2ab  4  a  b  6
Dấu đẳng thức xảy ra khi hai số cùng bằng 1.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 11 [Svip]. Cho a; b  0 : a  b  1 . Chứng minh rằng ab  a  b  
2

Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

1
.
4


1
ab  a  b   .2
2




a b



1 2
ab .  a  b   .

ab  a  b

2



2

4

4



8

1
1
2
 ab  a  b  
8
64

2 ab  a  b
1
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
ab .
4
 a  b  1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 12 [Svip]. Cho ba số thực a  c; b  c; c  0 . Chứng minh rằng

c  a  c   c  b  c   ab .

Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
P
c ac
c bc

.

.
b a
a b
ab
c ac c bc c
c c
c


1  1
a a
b b
a a
b  1  P  ab
b
2
2

2
Khi đó ta có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  2c .
P  c  a  c   c b  c  

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------





Câu 13 [Svip]. Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn x  y  1 . Chứng minh 8 x 4  y 4 

1
 5.
xy

Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng 2 xy  x 2  y 2 

1
2
 x  y   x2  y 2 .
2

Ta có

x
 8.





xy 

1
2
 x  y
4

8 x4  y 4

Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b 



2

2

  x  y 2 
4
   x  y  1
 4. 


2
2



1
1
1
 
 4  8 x4  y 4 
5
4
xy
xy
2

 y2





1
.
2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 14 [Svip]. Cho ba số thực dương x; y; z thỏa mãn x3  y 3  z 3  1 .
Chứng minh

x2
1  x2



y2
1 y2



z2
1 z2

 2.

Lời giải:



Tương tự

y2
1 y

2

 2 y3 ;

Kết hợp lại ta được

z2
1 z

x2

1 x

2



2



x2 1  x2 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

x2  1  x2 1
x2
 

2
2
2
1 x

x3



x2 1  x2



 2 x3 .

 2z3 .
y2

1 y

2



z2
1 z

2





 2 x3  y 3  z 3  2 .

Dấu đẳng thức khơng xảy ra nên ta có đpcm.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Câu 15 [Svip]. Cho ba số thực dương x; y; z thỏa mãn xyz 

16

.
x yz

Chứng minh  x  z  x  y   8 .
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
2
2
16
 x  z  x  y     x  x  y  z   yz   4 xyz  x  y  z   4.
.  x  y  z   64
x yz

  x  z  x  y   8

 x  x  y  z   yz
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
 xyz  x  y  z   16
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 16 [Svip]. Cho ba số thực dương a; b; c  0 sao cho a  b  c  3 .
Chứng minh rằng a  b  c  ab  bc  ca .
Lời giải:
Biến đổi tương đương 2 a  2 b  2 c  2ab  2bc  2ca





 2 a  2 b  2 c   a  b  c   a 2  b2  c2  2 a  2 b  2 c  a 2  b2  c2  9

2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a 2  2 a  a 2  a  a  3 3 a 3  3a .
Tương tự b 2  2 b  3b; c 2  2 c  3c .
Dẫn đến 2 a  2 b  2 c  a 2  b 2  c 2  3  a  b  c   9 .
Bất đẳng thức cuối đúng, dấu đẳng thức xảy ra khi ba số cùng bằng 1.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 17 [Svip]. Cho ba số thực dương a; b; c .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

Đặt

3
17 a  b  c
abc
.
. 3

6
abc
abc
Lời giải:

abc
 t , theo bất đẳng thức Cauchy thì a  b  c  3 3 abc  t  3 .
3
abc

17 1 1 t 49

1 t 49
53
t     t  2 .  .3 
.
6
t t 9 18
t 9 18
6
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.

Mặt khác P 