05 bất đẳng thức cô si phần 3 đặng việt hùng image marked

05. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (Phần 3)

DẠNG 3. KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI

Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra.
Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:
Các biến có giá trị bằng nhau. Khi đó ta gọi bài tốn có cực trị đạt được tại tâm
Khi các biến có giá trị tại biên. Khi đó ta gọi bài tốn có cực trị đạt được tại biên
Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong
các trường hợp trên.
Ví dụ 1 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  3 .
Chứng minh rằng:

3

a  2b  3 b  2c  3 c  2a  33 3
Lời giải:

Phân tích:
Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi:
a  2b  3

a  b  c  1  b  2c  3
c  2a  3

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
1
1 a  2b   3  3 6  a  2b
3
a  2b  3 3 a  2b .3.3  3


(1)
3
9
9
33 9
6  b  2c
3
b  2c 
(2)
33 9
6  c  2a
3
c  2a 
(3)
33 9
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
18  3a  b  c 
3
a  2b  3 b  2c  3 c  2a 
 33 3 (đpcm).
3
3 9
Ví dụ 2 [Svip]. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  1 (*).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  a 2  b 2  c 2
Lời giải:
Phân tích: Sự chênh lệch về số mũ của các biểu thức a 2  b 2  c 2 và a  b  c gợi cho ta sử dụng bất
đẳng thức Cauchy để hạ bậc a 2  b 2  c 2 . Nhưng ta cần áp dụng cho bao nhiêu số và là những số
nào? Căn cứ vào bậc của các biến số a, b, c trong các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp
dụng bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho a 2 , b 2 và c 2 cùng với 1 hằng số dương tương ứng khác để
làm xuất hiện a, b và c . Do a, b, c dương và có vai trị như nhau nên ta dự đốn A đạt giá trị nhỏ

1
nhất khi a  b  c , từ (*) ta có a  b  c  . Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra
3
khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau. Khi đó ta có lời giải như sau:
Lời giải:
1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số: a 2 và
ta có:
9


1
1 2
1
1
 2 a 2 .  a (1) Dấu “=” xảy ra  a 2   a 
9
9 3
9
3
Tương tự:
1 2
1
b2   b
(2) Dấu “=” xảy ra  b 
9 3
3
1 2
1
c2   c

(3) Dấu “=” xảy ra  c 
9 3
3
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
1 2
2
1
a 2  b 2  c 2   a  b  c    a 2  b 2  c 2  .
3 3
3
3
1
1
Dấu “=” xảy ra  a  b  c  . Vậy GTNN của A là
3
3
a2 

Ví dụ 3 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa ab  bc  ca  3 . CMR: a 3  b 3  c 3  3
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a 3  b 3  1  33 a 3 b 3  3ab (1) ; b 3  c 3  1  3bc (2) ; c 3  a 3  1  3ca (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:









2 a 3  b3  c3  3  3  ab  bc  ca   2 a 3  b3  c3  3  3.3
 a 3  b 3  c 3  3 (đpcm)
Ví dụ 4 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
a2
b2
c2
abc



Chứng minh bất đẳng thức sau:
2b  c 2c  a 2a  b
3
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a2
2b  c
a 2 2b  c 2a
(1) ;

2
.

2b  c
9
2b  c 9

3
b2
2c  a 2b
c2
2a  b 2c




(2) ;
(3)
2c  a
9
3
2a  b
9
3
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
a2
b2
c2
3a  b  c  2a  b  c 




2b  c 2c  a 2a  b
9
3

a2
b2
c2
abc




(đpcm)
2b  c 2c  a 2a  b
3
Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật cộng thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi và kỹ
thuật hạ bậc để tìm hạng tử cho phù hợp.
Ví dụ:
Đối với bài 1 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi
a
a
1
1
.
a  b  c . Khi đó 2  2  , ta chọn
a
a
b
a
Đối với bài 2 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi
a2
a2
a


 , muốn sử dụng bất đẳng thức Cauchy để làm mất mẫu thì ta
a  b  c . Khi đó
2b  c 2a  a 3
2b  c
2b  c 2a  a a
cộng thêm
. Chọn mẫu là số 9 vì

 .
9
9
9
3


Ví dụ 5 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
ab
bc
ca
11 1 1
 2
 2
    
Chứng minh bất đẳng thức sau: 2
c a  b  a b  c  b c  a  2  a b c 
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

ab
ab

ab
ab 1
(1)

2 2
.

c
c a  b  4ab
c a  b  4ab
2

bc
bc 1


a b  c  4bc a
2

(2) ;

ca
ca 1


(3)
b c  a  4ca b
2

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

ab
bc
ca
ab bc ca 1 1 1
 2
 2



  
2
4bc
4ca a b c
c a  b  a b  c  b c  a  4ab
ab
bc
ca
1
1
1
1
1
1 1 1 1
 2
 2
 2







  
c a  b  a b  c  b c  a  4b 4a 4c 4b 4a 4c a b c
ab
bc
ca
11 1 1
 2
 2
 2
     (đpcm)
c a  b  a b  c  b c  a  2  a b c 
Ví dụ 6 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abc  1 .
Chứng minh bất đẳng thức sau:

a3
b3
c3
3



1  b 1  c  1  c 1  a  1  a 1  b  4

Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a3
1 b 1 c

a3
1 b 1 c 3


 33
.
.
 a (1) ;
1  b 1  c  8
1  b 1  c  8 8 4
8
b3
1 c 1 a 3


 b (2) ;
1  c 1  a  8
8
4
c3
1 a 1 b 3


 c (3)
1  a 1  b  8
8
4
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

a3

b3
c3
1
3 3


 a  b  c    a  b  c 
1  b 1  c  1  c 1  a  1  a 1  b  4
4 4


a3
b3
c3
1
3 3
3 3


 a  b  c    3 abc  
1  b 1  c  1  c 1  a  1  a 1  b  2
4 2
4 4

Ví dụ 7 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
Chứng minh bất đẳng thức sau:

a 3  b3 b3  c 3 c 3  a 3



 2a  b  c 
ab
bc
ca
Lời giải:

a3  b3 b3  c3 c3  a3 a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2








ab
bc
ca
b
a
c
b
a
c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Ta có:

b2
b2

a2
a2
 a  2b (2) ;
 c  2b (3) ;
b  2
.b  2a (1);
a
c
b
b


c2
c2
a2
 b  2c (4) ;
 a  2c (5) ;
 c  2a (6)
b
a
c
Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1) đến (6) ta được:
a2 b2 b2 c2 c2 a2





 2a  b  c   4a  b  c 
b

a
c
b
a
c
a2 b2 b2 c2 c2 a2






 2a  b  c 
b
a
c
b
a
c
a3  b3 b3  c3 c3  a3



 2a  b  c  (đpcm)
ab
bc
ca

Ví dụ 8 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
a2 b2 c2 1 1 1



  
b3 c3 a3 a b c
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Chứng minh bất đẳng thức sau:

b2 1 1 3
c2 1 1 3
a2 1 1
a2 1 1 3
3
   (3)
(2);
   3 3 . .  (1) ; 3   
b b c
c
a3 c c a
b3 a a
b a a b
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
a2 b2 c2
a2 b2 c2 1 1 1
1 1 1 1 1 1


 2     3     3  3  3    (đpcm)
a b c

b3 c3 a3
b
c
a
a b c a b c

Ví dụ 9 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
a3 b3 c3


 a2  b2  c2
b
c
a
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Chứng minh bất đẳng thức sau:

a3 a3
a3 a3 2

 b 2  33
. .b  3a 2 (1) ;
b
b
b b
b3 b3
c3 c3


 c 2  3b 2 (2) ;
  a 2  3c 2 (3)
c
c
a
a
Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:

 a3 b3 c3 
a3 b3 c3


 a 2  b 2  c 2 (đpcm)
2 
   a 2  b 2  c 2  3 a 2  b 2  c 2 
b
c
a
c
a
 b



 



Ví dụ 10 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
a4

b4
c4


 abc
bc 2 ca 2 ab 2
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Chứng minh bất đẳng thức sau:

a4
a4
4

b

c

c

4
.b.c.c  4a (1)
bc 2
bc 2
b4
 c  a  a  4b (2)
ca 2
c4
 a  b  b  4c (3)

ab 2


Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
a4
b4
c4
a4
b4
c4







3
a

b

c

4
a

b

c




 a  b  c (đpcm)
bc 2 ca 2 ab 2
bc 2 ca 2 ab 2

Ví dụ 11 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a 2  b 2  c 2  3 .
Chứng minh rằng:

a3
b3
c3
3



bc ca ab 2

Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a3
ab  c 
a 3 ab  c 

2
.
 a 2 (1) ;
bc

4
bc
4
b3
bc  a 

 b 2 (2) ;
(3)
ca
4
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
a3
b3
c3
ab  bc  ca



 a 2  b 2  c 2 (1' )
bc ca ab
2
mn
mn
Mặt khác ta có: a
b
 c mn  a m b n  b m c n  c m a n
m  1
a 2  b 2  c 2 ab  bc  ca
2
2

2

Chọn 
ta được: a  b  c  ab  bc  ca 
2
2
n  1
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:


a3
b3
c3
ab  bc  ca a 2  b 2  c 2
ab  bc  ca




 a2  b2  c2 
bc ca ab
2
2
2



a3
b3
c3

a2  b2  c2 3



 (đpcm)
bc ca ab
2
2

Ví dụ 12 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
a5 b5 c5
 2  2  a3  b3  c3
2
b
c
a
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Chứng minh bất đẳng thức sau:

a5
a5
2

ab

2
.ab 2  2a 3 (1) ;
2

2
b
b
b5
c5
2
3

bc

2b
 ca 2  2c 3 (3)
(2)
;
2
2
c
a
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:





a5 b5 c5
 2  2  ab 2  bc 2  ca 2  2 a 3  b 3  c 3 (1' )
2
b
c
a

Mặt khác ta có: a m  n  b m  n  c m  n  a m b n  b m c n  c m a n
m  1
Chọn 
ta được: a 3  b 3  c 3  ab 2  bc 2  ca 2 (2' )
n  2

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:





a5 b5 c5


 ab 2  bc 2  ca 2  a 3  b 3  c 3  2 a 3  b 3  c 3  ab 2  bc 2  ca 2
b2 c2 a2
a5 b5 c5
 2  2  2  a 3  b 3  c 3 (đpcm)
b
c
a

(2')


Ví dụ 13 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c.



a3
b3
c3
1


 a2  b2  c2
Chứng minh bất đẳng thức sau:
a  2b b  2c c  2a 3
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:



a3
aa  2b 
a 3 aa  2b  2 2

2
.
 a (1) ;
a  2b
9
a  2b
9
3
b3
bb  2c  2 2
c3
cc  2b  2 2


 b (2) ;

 c (3)
b  2c
9
3
c  2b
9
3
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
a3
b3
c3
1
2
2


 a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca   a 2  b 2  c 2
a  2b b  2c c  2a 9
9
3
3
3
3
a
b
c
2

5



 ab  bc  ca   a 2  b 2  c 2 (1' )
a  2b b  2c c  2a 9
9
mn
mn
mn
m n
m n
Mặt khác ta có: a
b
c
 a b  b c  cman
m  1
Chọn 
ta được: a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca
n  1





















2 2
2
a  b 2  c 2   ab  bc  ca  (2')
9
9
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:






a3
b3
c3
2
2
5
2



 ab  bc  ca   a 2  b 2  c 2  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca 
a  2b b  2c c  2a 9
9
9
9






a3
b3
c3
1


 a 2  b 2  c 2 (đpcm)
a  2b b  2c c  2a 3

Ví dụ 14 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
bc ca ab 2 2 2
 2  2   
Chứng minh bất đẳng thức sau:
a b c
a2
b
c

Lời giải:
bc
4
bc 4
4

2
.

(1) ;
2
2
bc
a
a bc a
ca
4
4
ab
4
4




Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
(2) ;
(3)
2
2

ca b
ab c
b
c
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
bc ca ab
4
4
4
4 4 4
 2  2 


  
(1' )
2
ab bc ca a b c
a
b
c

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

1 1
1 1
4
4
 2 . 

(2' ) ;

a b
a b 2 ab a  b
1 1
4
1 1
4
 
(3' ) ;
 
(4' )
b c bc
c a ca
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’), (2’), (3’) và (4’) ta được:
bc ca ab
4
4
4
2 2 2 4 4 4
4
4
4
 2  2 


      


2
ab bc ca a b c a b c ab bc ca
a

b
c
bc ca ab 2 2 2
 2  2  2    (đpcm)
a b c
a
b
c
Mà ta có:


Ví dụ 15 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
a 2 b 2 4c 2


 a  3b
Chứng minh bất đẳng thức sau:
b
c
a
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a2
a2
b  2
.b  2a (1);
b
b

b2
 4c  4b (2) ;
c

4c 2
 a  4c (3)
a

Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được


a 2 b 2 4c 2


 a  b  4c  2a  4b  4c
b
c
a

a 2 b 2 4c 2


 a  3b (đpcm). Dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi a  b  2c
b
c
a

Ví dụ 16 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
a2
b2

16c 2 1


 64c  a  b 
bc ca ab 9
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Chứng minh bất đẳng thức sau:

a2
4b  c  4a
b2
4c  a  4b
16c 2




 a  b   8c (3)
(1);
(2) ;
bc
9
3
ca
9
3
ab
Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:

a2
b2
16c 2 13
8
4


 a  b   c  a  b   8c
bc ca ab 9
9
3
a2
b2
16c 2 1



 64c  a  b  (đpcm)
bc ca ab 9

Ví dụ 17 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
a
b
c 1 1 1
Chứng minh bất đẳng thức sau: 2  2  2   
b
c
a
a b c
Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a 1
a 1 2
  2 2 .  (1) ;
2
b
a
b a b

b 1 2
c 1 2
 
  (3)
(2);
2
c
b c
a2 c a
a
b
c 1 1 1 2 2 2
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được 2  2  2      
a b c a b c
b
c
a
a b
c 1 1 1
 2  2  2    (đpcm)
b

c
a
a b c

Ví dụ 18 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a 3  b 3  c 3  3 . CMR: a 5  b 5  c 5  3
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số: 3 số a 5 và 2 số 1, ta có: 3a 5  2  55 a 15 1.1  5a 3 (1)
Tương tự: 3b 5  2  5b 3 (2) ;
3c 5  2  5c 3 (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

3  a 5  b5  c5   6  5  a 3  b3  c3   3  a 5  b5  c5   6  5.3  a 5  b 5  c 5  3 (đpcm)


Ví dụ 19 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a 3 b 3  b 3 c 3  c 3 a 3  3 . CMR: a 7  b 7  c 7  3
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số: 3 số a 7 , 3 số b 7 và số 1, ta có:

3a 7  3b 7  1  77 a 21 .b 211  7 a 3 b 3 (1)
Tương tự: 3b 7  3c 7  1  7b 3 c 3 (2) ; 3c 7  3a 7  1  7c 3 a 3 (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

6  a 7  b 7  c 7   3  7  a 3b3  b3c3  c3 a 3   6  a 7  b 7  c 7   3  7.3  a 7  b 7  c 7  3 (đpcm)

Ví dụ 20 [Svip]. Cho 2 số thực dương a, b. CMR: a 2  b 2  4  2a  2b  ab
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

a 2  4  2 a 2 .4  4 a (1);

b 2  4  4b (2) ; a 2  b 2  2ab (3)

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: 2a 2  2b 2  8  4a  4b  2ab

 a 2  b 2  4  2a  2b  ab (đpcm)
Ví dụ 21 [Svip]. Cho 3 số thực dương a, b, c. CMR: a 3  b 3  c 3  a 2 bc  b 2 ca  c 2 ab
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số: 4 số a 3 ,1 số b 3 và 1 số c 3 ta có:

4a 3  b 3  c 3  66 a 12 .b 3 .c 3  6a 2 bc (1)
Tương tự: 4b 3  c 3  a 3  6b 2 ca (2) ;
4c 3  a 3  b 3  6c 2 ab (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:



 

6 a 3  b 3  c 3  6 a 2 bc  b 2 ca  c 2 ab



 a 3  b 3  c 3  a 2 bc  b 2 ca  c 2 ab (đpcm)