13 he PT dong bac baigiang đặng việt hùng image marked

Tài liệu bài giảng (Khóa Tốn 10)

13. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG BẬC
2 x 2  4 xy  y 2  1
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2
2
3 x  2 xy  2 y  7
2
2
 x  2 xy  3 y  0
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 x x  y y  2
 x3  8 x  y 3  2 y

Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2
2
 x  3  3 y  1
 x3  4 y  y 3  16 x
Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2
2
1  y  5 1  x 
2 y x 2  y 2  3x

Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2
2
 x x  y  10 y
 x 2 1  y 2  2
Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 

 x 2 y 2  xy  3 x 2  1
 x 2  2 xy  3 y 2  9 1
Ví dụ 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2
2
 x  4 xy  5 y  5  2 
Hướng dẫn giải:
Lấy (1) nhân 5 và (2) nhân 9 ta được phương trình đồng bậc
















x  5y
Với
 5  x 2  2 xy  3 y 2   9  x 2  4 xy  5 y 2   4 x 2  26 xy  30 y 2  0   x  5 y  2 x  3 y   0  
2 x  3 y
1
2
5 2

x  5 y thay vào (1) ta có 18 y 2  9  y 2   y  
tương ứng x  
.
2
2
2
3y
Với x 
thay vào (1) ta có y 2  4  y  2 tương ứng x  3 .
2
5 2 2   5 2
2
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là 
;
;
 ;  
 ;  3; 2  ;  3; 2  .
2  
2
2 
 2
2
2
 x y  y x  30 (1)
Ví dụ 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  3
3
 x  y  35  2 
Hướng dẫn giải:
Phương trình này là phương trình đối xứng loại một tuy nhiên chúng ta cũng có thể giải theo phương pháp
đồng bậc.

Lấy (1) nhân 7 và (2) nhân 6 ta được phương trình đồng bậc

x   y

3
2
2
3
3
3
2
2
3
7  x y  y x   6  x  y   6 x  7 x y  7 y x  6 y  0   x  y  2 x  3 y  3 x  2 y   0   x  y Với

2

2
x  y
3

x   y thay vào (2) suy ra vô nghiệm.


3
y thay vào (2) ta có y 3  8  y  2 suy ra x  3 .
2
2
+) Với x  y thay vào (2) ta có y 3  27  y  3 suy ra x  2 .
3

Vậy hệ có nghiệm là  x; y    3; 2  ,  2;3 .

+) Với x 

2 2 x 2  y 2  y 2  2 x 2  3, (1)

Ví dụ 9: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 

3
3
 x  2 y  y  2 x, (2)

Hướng dẫn giải:
Điều kiện: 2 x  y .
2

2

 2 x2  y 2  1
Ta có (1)  (2 x  y )  2 2 x  y  3  0  
 2 x 2  y 2  1.
 2 x 2  y 2  3  0

3
3
3
3
Khi đó (2)  x  2 y  ( y  2 x).1  x  2 y  ( y  2 x).( x 2  2 y 2 )
2

2

2

2

 x3  2 y 3  2 x 2 y  4 x3  y 3  2 xy 2  5 x3  2 x 2 y  2 xy 2  y 3  0, (*)
Do y = 0 không thỏa mãn (*) nên chia (*) cho y  0 ta được
3

2

x
x
x
x
5    2    2    1  0 . Đặt t  ta có phương trình 5t 3  2t 2  2t  1  0
y
 y
 y
 y
t  1
 (t  1)(5t 2  3t  1)  0   2
5t  3t  1  0  vno
x  0  y  0
Với t  1  x  y. Thay vào (2) ta được x  x  0   x  1  y  1
 x  1  y  1
Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta được x = y = 1 và x = y = 1 thỏa mãn hệ phương trình.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là  x; y   (1;1),(1; 1) .
3

 x  y  x  y  2 y 1
Ví dụ 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 2
 x  5 y  3
Hướng dẫn giải:
Điều kiện của phương trình x  y  0
Phương trình (1) của hệ là phương trình đồng bậc

2 y  x  0
x  y  x  y  2 y  2x+2 x 2  y 2  4 y  x 2  y 2  2 y  x   2
2
2
 x  y   2 y  x 
2 y  x
2 y  x

 2
  y  0
5 y  4 xy  0
 5 y  4 x  0

Với y  0 thay vào (2) ta suy ra x  9 (loại)
Với 5 y  4 x  0 thay vào (2) ta có

x 1 x 1 y 

4
(thỏa mãn).
5

 4
Vậy hệ phương trình có nghiệm là 1;  .
 5
 x 2  xy  y 2  3

Ví dụ 11: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  x5  y 5 31
 x3  y 3  7

Hướng dẫn giải:
Điều kiện của phương trình x   y


 x 2  xy  y 2  3  2
x  xy  y 2  3
1
 5

5

x  y

31
5
5
3
3
 x3  y 3  7
7  x  y   31 x  y   2 


Lấy (2) nhân 3 kết hợp với (1) ta được phương trình đồng bậc
21 x5  y 5   31 x 2  xy  y 2  x3  y 3   10 x5  31x 4 y  31x3 y 2  31xy 4  10 y 4  0  3 .
Rõ ràng x  y  0 không phải là nghiệm hệ phương trình. Đặt x  ty thay vào (3) ta được:
y 5 10t 5  31t 4  31t 3  31t  10   0  10t 5  31t 4  31t 3  31t  10  0

t  1  0
  t  1 10t 4  21t 3  10t 2  21t  10   0   4
3
2
10t  21t  10t  21t  10  0
Với t  1  0  t  1 hay x   y  x  y  0 (loại).

Với 10t 4  21t 3  10t 2  21t  10  0  3 . Vì t  0 khơng phải là nghiệm của phương trình (3) chia hai vế
1

 1
phương trình cho t 2 ta được: 10  t 2  2   21 t    10  0 ,
t 

 t
1
1
1
Đặt u  t   u  2; u 2  t 2  2  2  t 2  2  u 2  2 . Khi đó (3) trở thành
t
t
t
2

u  (loại)


5
10u 2  21u  10  0  
u   5

2
t  2
5
1
5
2
+) Với u   ta có t     2t  5t  2  0  
t   1
2
t
2

2
2
2
+) Với t  2 ta có x  2 y thế vào (1) ta có 3 y  3  y  1  y  1 tương ứng x  2 .
1
+) Với t   ta có y  2 x thế vào (1) ta có 3 x 2  3  x 2  1  x  1 tương ứng y  2 .
2
Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm là 1; 2  ,  1; 2  ,  2; 1 ,  2;1 .

 x3 y  y 4  7
Ví dụ 12: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2
2
3

 x y  2 xy  y  9
Hướng dẫn giải:
3
4
 y  x3  y 3   7 1
 x y  y  7

Ta có hệ tương đươnng với  2
2
3
2
 x y  2 xy  y  9
 y  x  y   9  2 
Từ hệ suy ra x.y  0; x   y, y  0 .
Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn. Lấy hai phương trình thu được chia cho
nhau ta thu được phương trình đồng bậc:

t

3

 1

 t  1

3

8

Xét

73
 4
9

t
f t  

y 3  x3  y 3 
y4  x  y 

8

 3 . Từ phương trình này suy ra t  1 .
3

 1

 t  1

3

8

; t  1.

3



73
. Đặt x  ty ta được phương trình:
94


9t 2  t 3  1  t  1  8  t  1  t 3  1
2

f'  t  

t


3

8

7

 t  1

8

 1  t  1  t 3  9t 2  8 
2

3

t


3

 1  t  1  9t 3  9t 2  8t 3  8 
2

7

 t  1

8

7

 t  1

8

 0 t  1

Vậy f(t) đồng biến với mọi t  1 . Nhận thấy t  2 là nghiệm của (3). Vậy t  2 là nghiệm duy nhất. Với
t  2 ta có x  2 y thế vào (1) ta được y 4  1  y  1 (vì y  0 ) suy ra x  2 .
Vậy hệ có nghiệm là  2;1 .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
 y 2  3 xy  4
Bài 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau 
2
2
 x  4 xy  y  1

3 x 2  2 xy  y 2  11
Bài 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau 
2
2
 x  2 xy  3 y  17
2
2
3 x  5 xy  4 y  3
Bài 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau  2
2
9 y  11xy  8 x  6

2 x 2  3 xy  y 2  15
Bài 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau  2
2
 x  xy  2 y  8
6 x 2  xy  2 y 2  56
Bài 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau  2
2
5 x  xy  y  49

 x 2  2 xy  3 y 2  9
Bài 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau 
2
2
 x  4 xy  5 y  5
 x 2  2 xy  3 y 2  9
Bài 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau  2
2
2 x  2 xy  y  2

2
2
 x  2 xy  3 y  9
Bài 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau  2
2
2 x  13 xy  15 y  0

y
2
2
 x 2 x  y  1
Bài 9: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau 
 x x2  y 2  2
 y








 x 2  y 2  xy  3
Bài 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau 
3
3
 x  2 y  y  2 x
 4 x 2  2 xy  3
Bài 11: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau  2
 y  2 xy  2

 x 2  y 2  xy  1
Bài 12: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau 
3
2 x  x  y


 x3  y 3  2 x 2 y 2
Bài 13: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau 
2 y  x  3 xy
 x 2  y 2  2
Bài 14: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau 
3
3
2
 x  y  xy  x  2 y
 x  y  2 xy 3
Bài 15: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau 
3
3
3 3
2 x  y  3 x y