Bài 2 hàm số y = ax + b nhóm ĐHSPHN image marked

CHUYÊN ĐỀ
BÀI 2. HÀM SỐ y  ax  b
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nhận dạng được hàm số y  ax  b nắm được các nội dung về tập xác định, sự đồng biến,
nghịch biến và đồ thị của hàm số.
+ Phát hiện được vấn đề toán học và về hàm số được nghiên cứu từ những bài toán thực tế.
+ Phát biểu và vận dụng được điều kiện để điểm M  x 0 ; y 0  thuộc đồ thị hàm số y  ax  b , điều
kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập X, điều kiện để hàm số là hàm chẵn (hàm lẻ)
trên D.
 Kĩ năng
+ Biểu diễn được các điểm trên mặt phẳng tọa độ, biết vẽ đồ thị hàm số y  ax  b , y  a x  b ,

y  ax  b , kiểm tra được các điểm cho trước có thuộc đồ thị hàm số hay khơng, tìm giao điểm
của đồ thị hàm số với các trục tọa độ, xét sự tương giao của hai đồ thị.
+

Xét được sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y  ax  b .

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Ví dụ: Hàm số y  2x  1 có tập xác định

Nhắc lại về hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức

DR.

y  ax  b  a  0  .

Vì a  2  0 nên hàm số y  2x  1 đồng biến

- Tập xác định của hàm số bậc nhất D  R .

trên R.

- Khi a  0 , hàm số y  ax  b  a  0  đồng biến trên R.

Bảng biến thiên của hàm số y  2x  1 :

Bảng biến thiên của hàm số y  ax  b  a  0  :



x

x








y  ax  b  a  0 



y  2x  1



Đồ thị của hàm số y  2x  1 là một đường
- Khi a  0 , hàm số y  ax  b  a  0  nghịch biến trên thẳng cắt trục tung tại  0; 1 và cắt trục hoành
 1 
tại   ;0  . Đồ thị hàm số như hình vẽ.
 2 

R.
Bảng biến thiên của hàm số y  ax  b  a  0  :



x





y  ax  b  a  0 


Hàm số hằng y  b
Đồ thị của hàm số y  b là một đường thẳng song song
hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm  0; b 
. Đường thẳng này được gọi là đường thẳng y  b .
Hàm số y  ax  b

Ví dụ: Đồ thị hàm số y  x  1 như hình vẽ

- Hàm số y  ax  b có tập xác định D  R .

ax  b khi ax  b  0
- Hàm số y  ax  b  
ax  b khi ax  b  0
- Vẽ đồ thị hàm số y  ax  b với a  0 bằng cách: Vẽ
hai đường thẳng y  ax  b và y  ax  b rồi xóa đi hai
phần đường thẳng nằm ở dưới trực hoành.

Trang 2


HỆ THỐNG SƠ ĐỒ HÓA
 b

Đồng biến trên   ;   
 a


Đồng biến khi a  0

b

Nghịch biến trên  ;  
a


Nghịch biến khi a  0

Tập xác định

DR

Hàm số

Hàm số

y  ax  b

y  ax  b

 a  0

 a  0
Đồ thị hàm số luôn đi qua
 b 
điểm   ;0 
 a 

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Đồ thị hàm số y  ax  b

Ví dụ: Đồ thị hàm số y  3x  2 là đường thẳng

Phương pháp giải

qua hai điểm M  0;  2  , N 1; 1

Đồ thị của hàm số y  ax  b là một đường thẳng.
Do đó để vẽ đồ thị này ta chỉ cần xác định hai điểm
phân biệt thuộc đồ thị, chẳng hạn M  x1 ;ax1  b  ,

N  x 2 ;ax 2  b  và vẽ đường thẳng đi qua hai điểm
này.
Ta lưu ý tới các điểm là giao điểm của đồ thị với
Trang 3


trục tọa độ.
Nhận xét: Đồ thị hàm số bậc nhất y  ax+b  a  0  là một đường thẳng không song song và không trùng
 b 
với các trục tọa độ Ox, Oy. Đường thẳng đó cắt Ox, Oy lần lượt tại các điểm A   , 0  ; B  0, b  , có
 a 

hướng đi lên (đi xuống) từ trái sang phải nếu a  0 (tương ứng a  0 ). Nếu b  0 thì đồ thị hàm số đi qua
gốc tọa độ O  0;0  và điểm C 1;a  . Vì đồ thị hàm số y  ax+b  a  0  là đường thẳng d luôn cắt Oy tại
điểm B  0; b  nên hệ số b được gọi là tung độ gốc của d. Hơn nữa nếu gọi  là góc tạo bởi phần đường
thẳng d nằm ở phía bên trên Ox và tia Ox thì ta có tan   a . Do vậy  được gọi là hệ số góc của đường
thẳng d .

Khi a  0 thì hàm số y  ax+b trở thành hàm hằng y  b và có đồ thị là đường thẳng vng góc với trục
tung tại điểm có tung độ bằng b (ta coi hệ số góc của đường thẳng này bằng 0).
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau đây
a) y 

1
x

2

c) y  3  x

b) y  2x  1
d) y  1

Hưỡng dẫn giải
a) Cho x  0 thì y  0 . Cho x  2 thì y  1 .
Do đó đồ thị hàm số y 

1
x là đường thẳng đi qua hai điểm O  0; 0  , N  2;1
2

Trang 4


b) Cho x  0 thì y  1 . Cho x  1 thì y  1 . Do đó đồ thị hàm số y  2x  1 là đường thẳng đi qua hai
điểm M  0;  1 , N 1;1

c) Cho x  0 thì y  3 . Cho x  3 thì y  0 . Do đó đồ thị hàm số y  3  x là đường thẳng đi qua hai
điểm M  0; 3 , N  3;0 

d) Đồ thị hàm hằng y  1 là đường thẳng vng góc với trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

Ví dụ 2.
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số y  3  2x , y  x  1 trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Tập nghiệm của bất phương trình 3  2x  x  1 là
2


A. S   ; 
3


4

B. S   ; 
3


2

C. S   ;   
3


4

D. S   ;   
3


Hướng dẫn giải
Trang 5


a) Đồ thị hai hàm số y  3  2x , y  x  1 như hình vẽ

Chú ý: Ta có thể biến đổi

3  2x  x  1  4  3x

x

4
3

b) Đồ thị hàm số y  3  2x nằm phía dưới đồ thị hàm số y  x  1 khi và Từ đó suy ra tập nghiệm
của bất phương trình là
4
chỉ khi x 
4

3
 ;  
3

4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 3  2x  x  1 là  ;   
3

Chọn D.

Ví dụ 3. Vẽ đồ thị của hai hàm số
a) y  x  2

b) y  x  2

Hướng dẫn giải

 x  2 khi x  2
a) Ta viết lại hàm số y  x  2 ở dạng y  
.
 x  2 khi x  2

Nhận xét:

Để vẽ đồ thị hàm số ta thực hiện các bước sau đây

y  x  2 ta có thể vẽ đồ

- Bước 1. Ta vẽ đồ thị hàm số y  x  2 (hình 1)

thị

- Bước 2. Lấy đối xứng qua trục hồnh phần đồ thị y  x  2 nằm phía dưới

y  x  2 , y   x  2 trên

trục hồnh (hình 2).

cùng một hệ trục tọa độ rồi

- Để vẽ đồ thị hàm số

của

hai

hàm

số

- Bước 3. Xóa đi tồn bộ phần đồ thị y  x  2 nằm phía dưới trục hồnh ta xóa đi toàn bộ những phần
được đồ thị hàm số y  x  2 như hình 3 dưới đây.

đồ thị nằm ở phía dưới trục
hồnh.
- Đồ thị hàm số y  x  2
nhận đường thẳng x  2
làm trục đối xứng.
- Hàm số y  x  2 đạt giá
trị nhỏ nhất bằng 0 tại

x  2.

Trang 6


 x  2 khi x  0
b) Ta viết lại hàm số y  x  2 ở dạng 
.
 x  2 khi x  0

Nhận xét:

Để vẽ đồ thị hàm số ta thực hiện các bước sau đây

hàm chẵn và đồ thị của nó

- Bước 1. Ta vẽ phần đồ thị hàm số y  x  2 ứng với x  0 (hình 1)

nhận trục tung làm trục

- Hàm số y  x  2 là

- Bước 2. Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị vừa vẽ ta được đồ thị hàm đối xứng.
số y  x  2 như hình 2 dưới đây.

- Hàm số y  x  2 đạt
giá trị nhỏ nhất bằng -2 tại
x  0.

- Đồ thị của hai hàm số

y  f x

và

y  f  x 

đối xứng với nhau qua
trục hoành.
- Đồ thị của hai hàm số

y  f x

và

y  f  x 

đối xứng với nhau qua
trục tung.
Ví dụ 4. Vẽ đồ thị hàm số y  2x  1  x  3
Hướng dẫn giải

3x  2 khi x  3
Ta viết lại hàm số y  
 x  4 khi x  3
Đồ thị hàm số gồm phần đồ thị y  3x  2 ứng với x  3 và phần đồ thị y  x  4 ứng với x  3

Trang 7


 x  2 khi x  1
Ví dụ 5. Vẽ đồ thị hàm số y  f  x   
2 x  1 khi x  1
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của f  x  .
Hướng dẫn giải

 x  2 khi x  2
 x  2 khi 1  x  2

Ta viết lại hàm số y  f  x   
2x  1 khi 0  x  1
2x  1 khi x  0
Đồ thị hàm y  f  x  như hình vẽ dưới đây

Do f  x   1, x  R và f  x   1  x  0 , nên min f  x   1 đạt được khi x  0 .

xR

Ví dụ 6. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y  mx  2m  1 luôn đi qua với mọi m.
Hướng dẫn giải
Đồ thị của hàm số y  mx  2m  1 là đường thẳng d .
Gọi M  x 0 ; y 0  là điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua với mọi m.
Cách 1: M  x 0 ; y 0    d  :y  mx  2m  1, m  R  y 0  mx 0  2m  1, m  R

x 0  2  0
 x 0  2
  x 0  2  m    y 0  1  0, m  R  

 y0  1  0
 y 0  1
Vậy điểm cố định mà d luôn đi qua với mọi m là điểm M  2;  1
Cách 2: M  x 0 ; y 0    d  :y  mx  2m  1, m  R

 y 0  mx 0  2m  1 1 , m  R
Vì (1) đúng với mọi m nên nó phải đúng với m  0 và m  1 .

 y 0  1
 x 0  2
Thay lần lượt m  0 và m  1 vào (1) ta thu được 

 y 0  x 0  1  y 0  1
Thử lại thấy x 0  2, y 0  1 thì (1) ln đúng với mọi m.
Vậy M  2;  1 là điểm cố định mà d luôn đi qua với mọi giá trị của m.
Trang 8

Nhận xét:
- Phương trình a n t n  a n 1t n 1  ...  a 2 t 2  a1t  a 0  0 thỏa mãn với mọi giá trị của t khi và chỉ khi

a 0  a1  ...  a n  0 .
- Nếu khẳng định P  m  đúng với mọi m  A thì với một giá trị nào đấy a  A khẳng định P  a  đúng.
Ví dụ 7. Tìm m để bất phương trình  m  1 x  2m  5  0 có nghiệm x   1; 2 .
Hướng dẫn giải

Gọi d là đồ thị của hàm số y   m  1 x  2m  5 . Trên đường thẳng d ta lấy hai điểm A  1; m  6  ,

B  2; 4m  3 . Xét đoạn thẳng AB trong đó lấy điểm đầu mút B nhưng không lấy điểm đầu mút A. Ta
phải tìm m để đoạn thẳng này có ít nhất một điểm nằm ở phía trên hoặc thuộc trục Ox. Điều này xảy ra
khi y A  0 hoặc y B  0  m  6  0 hoặc 4m  3  0 . Từ đó ta được m  6 .
Vậy với m  6 thì bất phương trình  m  1 x  2m  5  0 có nghiệm x   1; 2 .
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1: Điểm M 1; 3 không thuộc đồ thị hàm số nào sau đây?
A. y  x  2

B. y  4x  1

C. y  3x  1

D. y  3x

Câu 2: Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số y  2x  9 ?
A.  4; 1

B.  2; 13

C.  0; 9 

D. 1; 11

Câu 3: Hàm số y  2  3x có đồ thị là hình vẽ nào sau đây?

A.

B.

C.

D.
Trang 9


Câu 4: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?
A. y  2x  3
B. y  1  x
C. y  5x  2
D. y  3  2x

Câu 5: Trong các hàm số cho ở bốn đáp án sau đây, hàm số nào có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số
y  2x  3 qua trục Oy?
A. y  2x  3

B. y  2x  3

C. y  4  x

D. y  6x  1

Câu 6: Đường thẳng nào sau đây có hệ số góc lớn nhất?
A. y  2x  4

B. y  2x  8

C. y  11  x

D. y  6  7x

Câu 7: Đường thẳng nào sau đây có tung độ gốc nhỏ nhất?
A. y  2x  2

B. y  2019x+2020

C. y  3  2x

D. y  x  11

Câu 8: Giá trị của m để đồ thị hai hàm số y   m  1 x  m, y  1  5x đối xứng với nhau qua trục hoành
là
A. m  6

B. m  1

C. m  4

D. Khơng có m.

Câu 9: Giá trị của m để đồ thị hai hàm số y   m  1 x  m, y  1  5x đối xứng với nhau qua trục tung là
A. m  6

B. m  1

C. m  4

D. Khơng có m.

Câu 10: Giá trị của m để đồ thị hai hàm số y   m  1 x  m  3, y  1  5x đối xứng với nhau qua gốc tọa
độ là
A. m  6

B. m  1

C. m  4

D. Khơng có m.

Câu 11: Điểm cố định mà đồ thị hàm số y   m  1 x  2m luôn đi qua mới mọi m là
A.  2; 2 

B.  2;  1

C.  2; 0 

D.  2;  2 

Bài tập nâng cao
Sử dụng giả thiết sau để trả lời các câu hỏi từ 12 đến 14.

Cho bất phương trình  a  4  x  1  2a  0 1 , ở đó x là ẩn và a là tham số.
Câu 12: Tất cả các giá trị của a để (1) có nghiệm trên  0; 1 là
A. a 

5
3

B. a 

5
3

C. a 

1
2

D.

1
5
a
2
3

Câu 13: Tất cả các giá trị của a để (1) có nghiệm đúng với mọi x   1; 2 là
A. a  3

B. a 

9
4

C. a  3

D. a 

9
4

Câu 14: Tất cả các giá trị của a để (1) vô nghiệm trên khoảng  0; 8  là

Trang 10


A. a 

1
2

B. a 

1
2

C. a 

33
10

D. a 

33
10

Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình mx  2m  1  0 nghiệm đúng với mọi

x   1; 2 là
A. m 

1
4

B. m  1

C. m  2

D. m  0

Dạng 2: Sự biến thiên của hàm số y  ax  b
Phương pháp giải
Xét hàm số y  ax  b với a, b là các hằng số.

Ví dụ: Hàm số y  3x  1 (có hệ số

- Nếu a  0 thì hàm số y  ax  b đồng biến trên R.

a  3  0 ) đồng biến trên R.

- Nếu a  0 thì hàm số y  ax  b nghịch biến trên R.

Hàm số y   x  1 (có hệ số a  1  0 )

- Nếu a  0 thì hàm số y  ax  b trở thành hàm hằng y  b

nghịch biến trên R.

trên R (không đồng biến, cũng khơng nghịch biến).
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên R?
A. y  3x  2 .

B. y  1  x

C. y  2x  1

D. y  5x  3

Hướng dẫn giải
Các hàm số y  3x  2 , y  1  x , y  2x  1 nghịch biến trên R do có hệ số a  0 . Hàm số y  5x  3
đồng biến trên R do có hệ số a  0 .
Chọn D.
Ví dụ 2. Trong các hàm số y  2x  2 , y  4 , y  5x  1 , y  3  x , y 

1
x có bao nhiêu hàm số
2

nghịch biến trên R?.
A. 1

B. 2.

C. 3

D. 5.

Hướng dẫn giải
Trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số y  2x  2 nghịch biến trên R.
Chọn A.
Ví dụ 3. Cho hàm số y   m  1 x  2m  1 ẩn x và m là tham số. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
Hướng dẫn giải
Hàm số y   m  1 x  2m  1 đồng biến trên R khi và chỉ khi m  1  0  m  1 .
Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị ngun dương của m để hàm số
Trang 11


y   2m  11 x  2019m 2 nghịch biến trên R?
A. 11.

B. 2.

C. 5.

D. 7

Hướng dẫn giải
Hàm số y   2m  11 x  2019m 2 nghịch biến trên R khi và chỉ khi 2m  11  0  m 

11

2

Có 5 giá trị nguyên dương của m là m  1; 2; 3; 4; 5
Chọn C.
Ví dụ 5. Lập bảng biến thiên của hàm số sau đây.
a) y  2x  3 .

b) y  3x  1

Hướng dẫn giải
a) Hàm số y  2x  3 nghịch biến trên R và có bảng biến thiên như sau
x







y


b) Hàm số y  3x  1 đồng biến trên R và có bảng biến thiên như sau.
x






y


Bài tập tự luyện dạng 2
Bai tập cơ bản
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y   3m  2  x  2020 đồng biến trên R.
A. m  0

B. m  2

C. m 

2
3

D. m 

2
3

Câu 2: Cho hàm số y  3x  2 xác định trên tập R. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị của hàm số là một đường thẳng.
B. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y  5 tại duy nhất một điểm M  1; 5  .
C. Hàm số đồng biến trên R.
D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất và khơng có giá trị lớn nhất
Câu 3: Cho hàm số y  4x  1 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên R.
B. Hàm số đồng biến trên R.

Trang 12

1

C. Hàm số nghịch biến trên  ;  và đồng biến trên
4


1

 ;   .
4


1

D. Hàm số đồng biến trên  ;  và nghịch biến trên
4


1

 ;   .
4


Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số y   28  3m  x  111 nghịch biến trên R?
A. 12

B. 8

C. 10

D. 9

Bài tập nâng cao
Câu 5: Cho hàm số sau xác định trên R

2x  1 khi x  1
y
3  x khi x  1
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số nghịch biến trên R.
B. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm M  0; 3 .
C. Hàm số không phải hàm chẵn, cũng không phải hàm lẻ trên R.
1 
D. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm N  ; 0  .
2 

Dạng 3: Sự xác định hàm số y  ax  b
Phương pháp giải
Hàm số y  ax  b xác định khi biết các hệ số a, b. Ví dụ. Xác định hàm số y  ax  b biết rằng đồ thị
Ta gọi a là hệ số góc và b là tung độ gốc của đồ thị của nó là đường thẳng cắt trục hồnh tại điểm có
hàm số y  ax  b .

hồnh độ bằng -1 và cắt trục tung tại điểm có tung

Điểm M  x 0 ; y 0  thuộc đồ thị hàm số y  ax  b

độ bằng 2

Hướng dẫn giải

khi và chỉ khi y 0  ax 0  b

Thay x  1, y  0 vào hàm số ta được a  b  0 .
Thay x  0, y  2 vào hàm số ta được b  2 .
Suy ra a  b  2 . Vậy y  2x  2 .

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số y   m  1 x  2m  1 ẩn x và m là tham số. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số
đi qua điểm M  2; 1 ?
A. m  1 .

B. m  1

C. m  0

D. m  

1
2

Hướng dẫn giải
Đồ thị hàm số y   m  1 x  2m  1 đi qua điểm M  2; 1 khi và chỉ khi
Trang 13


1   m  1 .2  2m  1  4m  0  m  0 .
Chọn C.
Ví dụ 2. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y  ax  b là đường thẳng đi qua hai điểm

A  2;  3 , B 1; 1 .
Hướng dẫn giải
Đường thẳng y  ax  b đi qua điểm A  2;  3  3  2a  b .
Đường thẳng y  ax  b đi qua điểm B 1; 1  1  a  b .

2a  b  3 a  4
Ta có hệ phương trình 

a  b  1
b  5
Vậy với a  4 , b  5 thì đồ thị hàm số y  ax  b đi qua hai điểm A  2;  3 , B 1; 1 .
Ví dụ 3. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y  ax  b  a  0  là đường thẳng  đi qua điểm

M 1; 3 , đồng thời  cắt các tia Ox, Oy tại A, B (khác O) sao cho tam giác OAB có diện tích đạt giá trị
nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng  : y  ax  b đi qua điểm M 1; 3  a  b  3 .
 b 
Đường thẳng y  ax  b cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A   ; 0  , B  0; b  với b  0 và a  0 .
 a 

b
1
b2
Ta có OA   , OB  b, SOAB  .OA.OB   . Vì a  b  3 nên b  3  a .
a
2
2a

Do đó SOAB  

3  a 
2a

Dấu “=” xảy ra SOAB

2



a 2  6a  9
a
9
a 9
 3

 3 2
.
6
2a
2 2a
2 2a

Chú ý: Ở bên ta đã sử
dụng bất đẳng thức Côsi:


a  0  b


a  3
 6  a  b  3  
b  6
a
9
 
 2 2a

a  b  2 ab, a, b  0 ,
dấu bằng xảy ra khi
ab

Vậy a  3 , b  6 là các giá trị cần tìm.
Bài tập tự luyện dạng 3
Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho hàm số f  x   ax  b (biến x, với a, b là hằng số) xác định trên R, thỏa mãn

f  2   3, f  3  2 . Khi đó f  5  bằng
A. -1

B. 2

C. 0

D. 5

Câu 2: Cho hàm số y   m  2  x  3m  2 (biến x, với m là tham số) có đồ thị là đường thẳng d. Tập
hợp các giá trị của m để đường thẳng d cắt hai trục tọa độ tại A, B tạo thành tam giác cân OAB là
Trang 14

A. 1;  3

B. 1


D. 1;  3;


C. 3

2

3

Câu 3: Tìm m để đồ thị hàm số y   2m  1 x  m  3 đi qua điểm M 1;  2  .
A. m  3

B. m  1

C. m  

4
3

D. m  0

Câu 4: Tìm a, b để đường thẳng  :y  ax  b đi qua điểm M 1;3 và góc giữa chiều dương Ox với
phần đường thẳng  nằm phía trên Ox là 60 .
1

A. a  3, b  3  3

B. a 

C. a   3, b  3  3

D. a  3, b  3

3

,b  3 3

Câu 5: Hàm số y  ax  b có đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm A 1; 2  , B  1; 1 . Khẳng định nào
sau đây đúng?
A. a 2  b 2  2

B. a 2  b 2 

5
2

C. a 2  b 2 

7
4

D. a 2  b 2 

4

3

Câu 6: Cho hàm số f  x   ax  b (biến x, với a, b là hằng số) xác định trên R, thỏa mãn f  2   f  3  7
, 2f 1  f  4   1 . Giá trị f  5  bằng
A. 6

B. 2

C. 0

D. 5

Câu 7: Cho hàm số f  x   ax  b (biến x, với a, b là hằng số) thỏa mãn f  f  x    9x  4, x  R .
Giải phương trình f  x  
A. 3

1
được tập nghiệm là
2

B. 2

4
C.  
9 

1 
D.  
2

Câu 8: Một chất điểm chuyển động biến đổi đều với vận tốc ban đầu v 0  1  cm / s  , gia tốc
a  2  cm / s 2  . Gọi v  t  là vận tốc của chất điểm tại thời điểm t  0 ( v  t  có đơn vị cm/s, thời gian t đo

bằng giây). Khi đó v  t  là hàm số bậc nhất theo biến t. Hỏi tại thời điểm nào chất điểm chuyển động với
vận tốc lớn gấp 15 lần vận tốc ban đầu?
A. t  7  s 

B. t  8  s 

C. t  2  s 

D. t  5  s 

Dạng 4: Bài toán tương giao của hai đồ thị
Phương pháp giải
Để xét sự tương giao của đồ thị các hàm số

Ví dụ. Xét các hàm số y  2x  1, y  5  x có đồ

y  f  x  , y  g  x  ta thường xét phương trình

thị lần lượt là các đường thẳng d1 , d 2 . Phương

hoành độ điểm chung f  x   g  x  (1)

trình hồnh độ giao điểm của d1 , d 2 là

- Nếu (1) vơ nghiệm thì đồ thị của hai hàm số đã

2x  1  5  x  3x  6  x  2 .

cho khơng có điểm chung.

Thay x  2 vào phương trình của d1 hoặc d 2 ta
Trang 15


- Nếu (1) có k nghiệm phân biệt thì hai đồ thị đó có

được y  3 .

k điểm chung phân biệt, các điểm chung có tọa độ

Vậy hai đồ thị d1 , d 2 cắt nhau tại điểm duy nhất

dạng M  x 0 ; y 0  , với x 0 là nghiệm của (1) và

y0  f  x 0   g  x 0 

M  2; 3 .

Nói cách khác, tọa độ điểm chung của đồ thị hai

 y  2x  1
Ta cũng có thể xét hệ phương trình 
.
y  5  x

hàm số đã cho là nghiệm của hệ phương trình

Hệ này có nghiệm duy nhất  x; y    2; 3 nên

 y  f  x 

 y  g  x 

hai đồ thị d1 , d 2 cắt nhau tại điểm duy nhất

M  2; 3 .

Chú ý: Xét hai hàm số y  a1x  b1 , y  a 2 x  b 2 có đồ thị lần lượt là các đường thẳng d1 , d 2 . Ta có
1) d1 , d 2 trùng nhau  a1  a 2 , b1  b 2 .
2) d1 / /d 2  a1  a 2 , b1  b 2
3) d1 , d 2 cắt nhau  a1  a 2
4) d1  d 2  a1.a 2  1
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xét sự tương giao giữa các đường thẳng d1 , d 2 trong mỗi trường hợp sau đây.
a) d1 : y  x  1, d 2 : y  x  1 .
b) d1 : y  2x  1, d 2 : y  2x  3
c) d1 : y  x  5, d 2 : y  3x  1
1
1
d) d1 : y   x  1, d 2 : y  4x 
4
3

Hướng dẫn giải
a) Hai đường thẳng d1 , d 2 trùng nhau.
b) Hai đường thẳng d1 , d 2 là hai đường thẳng song song.
c) Hai đường thẳng d1 , d 2 là hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vng góc với nhau.

d) Hai đường thẳng d1 , d 2 là hai đường thẳng cắt nhau và vng góc với nhau.
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị của m để đường thẳng d1 : y   m 2  3m  x  m song song với đường thẳng

d 2 : y  4x  1 ?
A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Hướng dẫn giải
Nếu hai đường thẳng song song thì hai hệ số góc của chúng bằng nhau.
Trang 16


 m  1
Suy ra m 2  3m  4  m 2  3m  4  0  
m  4
Với m  1 thì d1  d 2 .
Với m  4 thì d1 / /d 2
Vậy có một giá trị của m để đường thẳng d1 : y   m 2  3m  x  m song song với đường thẳng

d 2 : y  4x  1 .
Chọn B.
Ví dụ 3. Tìm m để ba đường thẳng phân biệt d1 : y  2x  1, d 2 : y  mx  m, d 3 : y  3x  m đồng quy.
Hướng dẫn giải
Dễ thấy d1  d 3  M  m  1; 2m  3
Do đó d1 , d 2 , d 3 đồng quy khi

m  1
M  d 2  2m  3  m  m  1  m  m 2  4m  3  0  
m  3
Do đó m  1 hoặc m  3 .
Với m  1 thì d1 : y  2x  1, d 2 : y  x  1, d 3 : y  3x  1 (thỏa mãn)
Với m  3 thì d1 : y  2x  1, d 2 : y  3x  3, d 3 : y  3x  3 (loại)
Vậy m  1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4. Cho hai hàm số y  mx  3, y  2x  1 , biến x và m là tham số, có đồ thị lần lượt là d1 , d 2 . Tìm
tất cả các giá trị của m để d1 , d 2 có điểm chung.
A. m  2, m  3

B. m  2

C. m  0

D. m  2

Hướng dẫn giải
Xét phương trình hồnh độ giao điểm mx  3  2x  1   m  2  x  4  0 (1)
Đồ thị  d1  và  d 2  có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm, điều này xảy ra khi m  2
Chọn B.
Ví dụ 5. Cho hai điểm A  2;  3 , B 1; 1 .
a) Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y  ax  b là đường thẳng đi qua điểm A và cách điểm B một
khoảng nhỏ nhất.
b) Xác định các hệ số k, m để đồ thị hàm số y  kx  m là đường thẳng trung trực của đoạn AB.
Hướng dẫn giải
a) Gọi  : y  ax  b là đường thẳng đi qua A và H là hình chiếu của B trên  .
Ta có d  B,    HB  0
Khoảng cách từ B đến  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi B trùng với H, hay B thuộc  .

2a  b  3 a  4
Lúc này  đi qua hai điểm A  2;  3 , B 1; 1 nên 
.

a  b  1
b  5
Trang 17


Vậy với a  4 , b  5 thì đồ thị hàm số y  ax  b là đường thẳng đi qua điểm A  2;  3 và cách điểm

B 1; 1 một khoảng nhỏ nhất.
Lúc này đường thẳng AB có phương trình y  4x  5 .
3

b) Điểm M  ;  1 là trung điểm của AB. Đường thẳng d : y  kx  m là đường trung trực của AB khi
2

và chỉ khi d qua điểm M và d  AB .
3
3

- Điểm M  ;  1  d  k  m  1 .
2
2


- Hai đường thẳng d và AB vng góc với nhau  a.k  1
 4.k  1  k 

1
3
11
 m  1  k   .
4
2
8

1
11
Vậy k  , m   thì đồ thị hàm số y  kx  m là đường thẳng trung trực của đoạn AB.
4
8

Cách khác: Ta thấy rằng, điểm N  x; y  thuộc đường trung trực d của đoạn AB khi và chỉ khi AN  BN



 x  2    y  3
2

2



 x  1   y  1
2

  x  2    y  3   x  1   y  1

2

2

2

2

2

 x 2  4x  4  y 2  6y  9  x 2  2x  1  y 2  2y  1
y

1
11
x
4
8

Từ đó suy ra đường trung trực của AB là đường thẳng d có phương trình y 

1
11
x
4
8

1
11
Vậy k  , m   .

4
8

Ví dụ 6. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y  ax  b là đường thẳng  đi qua điểm A  2;  3 ,
đồng thời khoảng cách từ B 1; 1 đến  đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Ở ví dụ 5 câu a, ta đã tìm được phương trình của đường thẳng AB là y  4x  5 .
Gọi H là hình chiếu của điểm B trên đường thẳng  thì khoảng cách từ B đến  là d  B,    HB

Ta có d  B,    HB  AB  17
Khi đó d  B,   đạt giá trị lớn nhất bằng 17 khi A  H , hay AB   .
Trang 18


Hai đường thẳng AB,  vng góc với nhau khi và chỉ khi tích hai hệ số góc bằng -1, tức là
4.a  1  a 

1
4

Đường thẳng  : y  ax  b đi qua điểm A  2;  3 khi và chỉ khi 3  2a  b
Mà a 

1
7
nên b   .
4
2

1

7
Vậy với a  , b   thì đồ thị hàm số y  ax  b là đường thẳng  đi qua điểm A  2;  3 , đồng thời
4
2

khoảng cách từ B 1; 1 đến  đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập tự luyện dạng 4
Bài tập cơ bản
Câu 1: Cho các hàm số y  2mx  1, y  x  3, y  5  3x (biến x, m là tham số) có đồ thị là ba đường
thẳng đồng quy. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. m   2;3

B. m   3; 2 

C. m   3;   

D. m   ;  3

Câu 2: Giá trị của m để hai đường thẳng y  3x  2, y   m 2  6  x  m  1 song song là
A. m  3

B. m  3

C. m  3

D. Khơng có m

Câu 3: Giá trị của m để hai đường thẳng y  2x  3, y   m  1 x  m  1 vng góc là
A. m  3

B. m  1

C. m  

1
2

D. m 

1
2

Câu 4: Tìm a, b để đường thẳng y  ax  b song song với đường thẳng y  2x và cắt trục hồnh tại điểm
có hoành độ bằng 3.
1
3
A. a   , b 
2
2

B. a  b  2

C. a  2, b  3

D. a  2, b  6

1
Câu 5: Tìm a, b để đường thẳng y  ax  b vuông góc với đường thẳng y  1  x và cắt đường thẳng
3
y  x  1 tại điểm có tung độ bằng 1.

1
5
A. a   , b  .
3
3

B. a  3, b  5 .

C. a  3, b  1

Câu 6: Tìm a để ba đường thẳng d1 : 3x  y  1, d 2 : 2x  ay  a, d 3 : y 
A. a  

1
5

B. a 

2
13

C. a  

D. a  3, b  7 .
1
3
x  đồng quy.
2
2

8
5

Câu 7: Với a là giá trị để ba đường thẳng d1 : a x  y  2, d 2 : x  ay  3, d 3 : y 

D. a 

3
2

x
đồng quy. Khẳng định
2

nào sau đây đúng?
A. a  1

B. 1  a  4

C. 4  a  10

D. a  10

Câu 8: Tìm a để hai đường thẳng d : x  ay  0,  : y  ax  2a  1 cắt nhau tại điểm M  x 0 ; y 0  thỏa mãn

x 0  0, y 0  0
Trang 19


A. Mọi a  R

B. a  0

C. a  1

D. a  0 và a  1

Câu 9: Cho hàm số y   3m  1 x  15m  2 (biến x, m là tham số) có đồ thị là đường thẳng  . Tìm m để
khoảng cách từ M 1;  2  đến  đạt giá trị lớn nhất.
A. m 

2
15

B. m 

1
3

C. m 

5
3

D. m 

5
12

Câu 10: Tìm m để hai đường thẳng y  2mx  1, y  3x  5m cắt nhau tại điểm nằm trên trục tung.

A. m 

1
5

B. m  

1
5

C. m 

3
2

D. m  

3
2

Câu 11: Đồ thị hai hàm số y  x  1, y  3x  5 cắt nhau tại A. Khoảng cách từ A đến gốc tọa độ là
A. 5

B. 4

C. 3

D.

7

Bài tập nâng cao
Câu 12 (Đề 2 thử sức trước kì thi, Tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ, số 500, tháng 2-2019). Trong mặt
phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : x  my  4m  2  0, d 2 : mx  y  3m  1  0 , với m là tham số.
Biết rằng với mỗi giá trị của m thì d1 , d 2 luôn cắt nhau tại M. Khi m thay đổi thì điểm M chạy trên đường
nào trong số các đường có phương trình cho ở bốn đáp án sau đây?
A. x 2  y 2  3x  15  0

B. x 2  y 2  5x  5y  10  0

C.  x  1  y 2  2

D. x 2   y  3  16

2

2

ĐÁP ÁN
BÀI 2. HÀM SỐ y  ax  b
Dạng 1. Đồ thị hàm số y  ax  b
1-C

2-D

3-A

4-C

5-A

11-A

12-A

13-A

14-C

15-B

6-D

7-A

8-D

9-B

10-C

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 12. Chọn A.
Đồ thị của hàm số y   a  4  x  1  2a ứng với x   0; 1 là đoạn thẳng AB, với A  0; 2a  1 và

B 1; 3a  5  , kể cả điểm A nhưng khơng kể điểm B.
Bất phương trình (1) có nghiệm trên  0; 1 khi đoạn AB có phần nằm phía dưới trục hồnh, hoặc có phần
thuộc trục hoành.
1


a

y

0
2a

1

0
 A

5
2


a
Điều này xảy ra khi 
3
3a  5  0
 yB  0
a  5

3

Câu 13. Chọn A.
Trang 20


Đồ thị của hàm số y   a  4  x  1  2a ứng với x   1; 2 là đoạn thẳng CD với C  1; a  3 và

D  2; 4a  9  kể cả hai điểm C, D.
Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x   1; 2 khi đoạn CD khơng có phần nào nằm phía bên trên
trục hoành.
a  3
 yC  0
a  3  0
Điều này xảy ra khi 


9  a  3 .

4a

9

0
y

0
a


 D

4

Câu 14. Chọn C.
Đồ thị của hàm số y   a  4  x  1  2a ứng với x   0; 8  là đoạn thẳng AM với A  0; 2a  1 và

M  8; 10a  33 không kể cả hai điểm A, M.
Bất phương trình (1) vơ nghiệm trên khoảng  0; 8  khi toàn bộ đoạn AM nằm phía bên trên trục hồnh.
1

a

 yA  0
 2a  1  0
33
2


a
Điều này xảy ra khi 
.
10
10a  33  0
 yM  0
a  33

10

Câu 15. Chọn B.
Đồ thị hàm số y  mx  2m  1 ứng với x   1; 2 là đoạn thẳng PQ với P  1; m  1 và Q  2; 4m  1 ,
kể cả hai điểm P, Q.
Bất phương trình mx  2m  1  0 nghiệm đúng với mọi x   1; 2 khi tồn bộ đoạn PQ khơng nằm phía
dưới trục hồnh.
m  1
 yP  0
m  1  0

Điều này xảy ra khi 


 m  1.
m  1
y

0
 4m  1  0
 Q

4

Dạng 2. Sự biến thiên của hàm số y  ax  b
1-D

2-D

3-B

4-D

5-D

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 5. Chọn D.
Nếu x  1 thì y  2x  1  1 , nếu x  1 thì y  3  x  2 . Vậy đồ thị hàm số đã cho nghịch biến trên R,
cắt trục tung tại điểm M  0;3 , không phải hàm số chẵn, không phải hàm số lẻ trên R và đồ thị hàm số
khơng cắt trục hồnh.
Dạng 3. Sự xác định của hàm số y  ax  b

1-C

2-A

3-C

4-A

5-B

6-A

7-D

8-A

Trang 21


HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 7. Chọn D.
Ta có f  x   ax  b  f  f  x    a  ax  b   b  a 2 x  ab  b nên a 2  9, ab  b  4
Suy ra a  3, b  1 hoặc a  3, b  2
1
1
1
Cả hai phương trình 3x  1  ,  3x  2  đều có nghiệm x  .
2
2
2

Câu 8. Chọn A.
Ta có v  t   2t  1  cm / s  , và v  t   15 khi và chỉ khi 2t  1  15  t  7  s 
Dạng 4. Bài toán tương giao của hai đồ thị
1-A

2-B

11-A

12-B

3-D

4-D

5-B

6-B

7-B

8-D

9-C

10-B

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 12. Chọn B.

 4  y  m  2  x
 x  my  4m  2  0

  4  y 1  y    2  x  x  3  x 2  y 2  5x  5y  10  0

mx  y  3m  1  0
 x  3 m  1  y

Trang 22