35 bài tập về phương trình file word có lời giải chi tiết image marked

 BÀI 01
KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH
I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương trình một ẩn
Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng

f (x ) = g (x )
(1)
trong đó f ( x ) và g ( x ) là những biểu thức của x . Ta gọi f ( x ) là vế trái, g ( x ) là vế phải
của phương trình (1).
Nếu có số thực x 0 sao cho f ( x 0 ) = g ( x 0 ) là mệnh đề đúng thì x 0 được gọi là một nghiệm
của phương trình (1).
Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).
Nếu phương trình khơng có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vơ nghiệm (hoặc nói tập
nghiệm của nó là rỗng).

2. Điều kiện của một phương trình
Khi giải phương trình (1) , ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f ( x ) và g ( x ) có
nghĩa (tức là mọi phép tốn đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của
phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).

3. Phương trình nhiều ẩn
Ngồi các phương trình một ẩn, ta cịn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn
3 x + 2 y = x 2 - 2 xy + 8,
(2 )
4 x 2 - xy + 2 z = 3 z 2 + 2 xz + y 2 .

(3)

Phương trình (2) là phương trình hai ẩn ( x và y ), cịn (3) là phương trình ba ẩn ( x , y và

z ).
Khi x = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp

( x ; y ) = (2;1) là một nghiệm của phương trình (2).
Tương tự, bộ ba số ( x ; y; z ) = (-1;1;2) là một nghiệm của phương trình (3).
4. Phương trình chứa tham số

Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngồi các chữ đóng vai trị ẩn số cịn có thể có
các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ
PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
1. Phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

2. Phép biến đổi tương đương
Định lí
Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà khơng làm thay đổi
điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức ln có
giá trị khác 0.
Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế
với biểu thức đó.

3. Phương trình hệ quả

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Nếu mọi nghiệm của phương trình

f ( x ) = g ( x ) đều là nghiệm của phương trình

f 1 ( x ) = g1 ( x ) thì phương trình f 1 ( x ) = g1 ( x ) được gọi là phương trình hệ quả của phương

trình f ( x ) = g ( x ).
Ta viết

f ( x ) = g ( x ) Þ f 1 ( x ) = g1 ( x ).

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm khơng phải là nghiệm của phương trình ban đầu.
Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH

2x
3
là
-5 = 2
x +1
x +1
A. x ¹ 1.
B. x ¹ -1.
C. x ¹ ±1.
D. x Ỵ .
Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình x -1 + x - 2 = x - 3 là
A. x > 3.
B. x ³ 2.
C. x ³ 1.

D. x ³ 3.
Câu 1. Điều kiện xác định của phương trình

2

Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình

x -2 +

A. x ³ 2.

7-x
C. 2 £ x £ 7.

B. x < 7.

Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình
A. x ³ 0.
C. x > 0 và x 2 -1 ³ 0.
Câu 5. Điều kiện xác định của phương trình

x2 +5

= 0 là

D. 2 £ x < 7.

1

+ x 2 -1 = 0 là

x
B. x > 0.

D. x ³ 0 và x 2 -1 > 0.

x2

=

8

1

=

là
x -2
x -2
A. x ¹ 2.
B. x ³ 2.
C. x < 2.
D. x > 2.
1
Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình 2
= x + 3 là:
x -4
A. x ³ -3 và x ¹ ±2.
B. x ¹ ±2.
C. x > -3 và x ¹ ±2.
D. x ³ -3.

1
Câu 7. Điều kiện xác định của phương trình x 2 - 4 =
là
x -2
A. x ³ 2 hoặc x £ -2.
B. x ³ 2 hoặc x < -2.
C. x > 2 hoặc x < -2.
D. x > 2 hoặc x £ -2.
Câu 8. Điều kiện xác định của phương trình x +

2x + 4

3 - 2x
là
x

A. x > -2 và x ¹ 0.

3
B. x > -2, x ¹ 0 và x £ .
2

3
C. x > -2 và x < .
2

D. x ¹ -2 và x ¹ 0.

Câu 9. Điều kiện xác định của phương trình x + 2 A. x > -2 và x ¹ -1.

1
x +2

=

4 - 3x
là
x +1

4
B. x > -2 và x < .
3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


4
C. x > -2, x ¹ -1 và x £ .
3

D. x ¹ -2 và x ¹ -1.

Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình
1
A. x ³ - .
2
1
C. x ³ - và x ¹ 0.
2

2x +1
= 0 là
x 2 + 3x
1
B. x ³ - và x ¹ -3.
2

D. x ¹ -3 và x ¹ 0.

Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
Câu 11. Hai phương trình được gọi là tương đương khi
A. Có cùng dạng phương trình.
B. Có cùng tập xác định.
C. Có cùng tập hợp nghiệm.
D. Cả A, B, C đều đúng.
Câu 12. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 - 4 = 0 ?
A. (2 + x )(-x 2 + 2 x + 1) = 0.
B. ( x - 2)( x 2 + 3 x + 2) = 0.
C. x 2 - 3 = 1.
D. x 2 - 4 x + 4 = 0.
Câu 13. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 - 3 x = 0 ?
1
1
A. x 2 + x - 2 = 3 x + x - 2.
B. x 2 +
= 3x +
.
x -3
x -3
D. x 2 + x 2 + 1 = 3 x + x 2 + 1.

C. x 2 x - 3 = 3 x x - 3.

Câu 14. Cho phương trình ( x 2 + 1)( x – 1)( x + 1) = 0 . Phương trình nào sau đây tương đương
với phương trình đã cho ?
A. x -1 = 0.
B. x + 1 = 0.

C. x 2 + 1 = 0.

D. ( x – 1)( x + 1) = 0.

Câu 15. Phương trình nào sau đây khơng tương đương với phương trình x +

1
=1?
x

B. 2 x -1 + 2 x + 1 = 0.

A. x 2 + x = -1.

C. x x - 5 = 0.
D. 7 + 6 x -1 = -18.
Câu 16. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 3 x + x - 2 = x 2 Û 3 x = x 2 - x - 2. B. x -1 = 3 x Û x -1 = 9 x 2 .
2x -3
2
= x -1 Û 2 x - 3 = ( x -1) .
C. 3 x + x - 2 = x 2 + x - 2 Û 3 x = x 2 . D.

x -1
Câu 17. Khẳng định nào sau đây là sai?
x -1
= 0.
A. x -1 = 2 1 - x Û x -1 = 0.
B. x 2 + 1 = 0 Û
x -1
C. x - 2 = x + 1 Û ( x - 2) = ( x + 1) .
2

2

D. x 2 = 1 Û x = 1.

Câu 18. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. x + x -1 = 1 + x -1 và x = 1.
B. x + x - 2 = 1 + x - 2 và x = 1.
C. x ( x + 2) = x và x + 2 = 1.
D. x ( x + 2) = x và x + 2 = 1.
Câu 19. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
x x +1
A. 2x + x - 3 = 1 + x - 3 và 2 x = 1.
B.
= 0 và x = 0.
x +1
C.

x + 1 = 2 - x và x + 1 = (2 - x ) .
2

D. x + x - 2 = 1 + x - 2 và x = 1.

Câu 20. Chọn cặp phương trình khơng tương đương trong các cặp phương trình sau:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A. x + 1 = x 2 - 2 x và x + 2 = ( x -1) .
2

B. 3 x x + 1 = 8 3 - x và 6 x x + 1 = 16 3 - x .

C. x 3 - 2 x + x 2 = x 2 + x và x 3 - 2 x = x .
D. x + 2 = 2 x và x + 2 = 4 x 2 .
Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:
2 x 2 + mx - 2 = 0 (1) và 2 x 3 + (m + 4 ) x 2 + 2 (m -1) x - 4 = 0 (2) .
1
C. m = .
D. m = -2.
2
Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:
mx 2 - 2 (m -1) x + m - 2 = 0 (1) và (m - 2) x 2 - 3 x + m 2 -15 = 0 (2) .

A. m = 2.

B. m = 3.

A. m = -5.
B. m = -5; m = 4.
Câu 23. Khẳng định nào sau đây là sai?

A.

x - 2 = 1 Þ x - 2 = 1.

C. m = 4.
B.

C. 3 x - 2 = x - 3 Þ 8 x 2 - 4 x - 5 = 0.

x ( x -1)

D.

x -1

D. m = 5.

= 1 Þ x = 1.

x - 3 = 9 - 2 x Þ 3 x -12 = 0.

Câu 24. Cho phương trình 2 x - x = 0 . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào
khơng phải là hệ quả của phương trình đã cho?
x
A. 2 x B. 4 x 3 - x = 0.
= 0.
1- x
2

C. (2 x 2 - x ) + ( x - 5) = 0.

2

D. 2 x 3 + x 2 - x = 0.

2

Câu 25. Cho hai phương trình: x ( x - 2) = 3 ( x - 2) (1) và
sau đây là đúng?
A. Phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2) .

x ( x - 2)
x -2

= 3 (2) . Khẳng định nào

B. Phương trình (1) và (2) là hai phương trình tương đương.
C. Phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1) .
D. Cả A, B, C đều sai.
Vấn đề 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Câu 26. Tập nghiệm của phương trình
A. S = {0}.
B. S = Ỉ.

x 2 - 2 x = 2 x - x 2 là:
C. S = {0;2}.

Câu 27. Phương trình x ( x 2 -1) x -1 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. S = {2}.
D. 3.

Câu 28. Phương trình -x + 6 x - 9 + x = 27 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2

Câu 29. Phương trình
A. 0.
Câu 30. Phương trình
A. 0.
Câu 31. Phương trình
A. 0.
Câu 32. Phương trình

3

( x - 3) (5 - 3 x ) + 2 x = 3 x - 5 + 4 có bao nhiêu nghiệm?
2

B. 1.

C. 2.

x + x -1 = 1 - x có bao nhiêu nghiệm?
B. 1.
C. 2.

D. 3.
D. 3.

2 x + x - 2 = 2 - x + 2 có bao nhiêu nghiệm?
B. 1.
C. 2.
D. 3.

x 3 - 4 x 2 + 5 x - 2 + x = 2 - x có bao nhiêu nghiệm?

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A. 0.

B. 1.

C. 2.
D. 3.
1
2 x -1
Câu 33. Phương trình x +
có bao nhiêu nghiệm?
=
x -1

x -1
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
Câu 34. Phương trình ( x - 3 x + 2) x - 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
2
Câu 35. Phương trình ( x - x - 2) x + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.
D. 3.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH

2x
3
là
-5 = 2
x 2 +1
x +1

A. x ¹ 1.
B. x ¹ -1.
C. x ¹ ±1.
D. x Ỵ .
Lời giải. Chọn D. Vì x 2 + 1 ạ 0 vi mi x ẻ .
Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình x -1 + x - 2 = x - 3 là
A. x > 3.
B. x ³ 2.
C. x ³ 1.
D. x ³ 3.
ïìï x -1 ³ 0
ïìï x ³ 1
ïï
ï
Lời giải. Phương trình xác định khi í x - 2 ³ 0 Û ïí x ³ 2 Û x ³ 3. Chọn D.
ïï
ï
ïỵï x - 3 ³ 0 ïïỵï x ³ 3
Câu 1. Điều kiện xác định của phương trình

Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình
A. x ³ 0.
C. x > 0 và x 2 -1 ³ 0.

x -2 +

x2 +5

= 0 là
7-x

A. x ³ 2.
B. x < 7.
C. 2 £ x £ 7.
D. 2 £ x < 7.
ì
ì
x
2
³
0
x
³
2
ï
ï
Ûï
Û 2 £ x < 7. Chọn D.
Lời giải. Phương trình xác định khi ï
í
í
ï
ï
7
x
>
0
ï
ïx < 7
ỵ
ỵ

Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình

1

+ x 2 -1 = 0 là
x
B. x > 0.

D. x ³ 0 và x 2 -1 > 0.

ìx > 0
ï
Lời giải. Phương trình xác định khi ïí 2
. Chọn C.
ï
ï
ỵ x -1 ³ 0
x2
8
Câu 5. Điều kiện xác định của phương trình
là
=
x -2
x -2
A. x ¹ 2.
B. x ³ 2.
C. x < 2.
D. x > 2.
Lời giải. Phương trình xác định khi x - 2 > 0 Û x > 2 . Chọn D.

1
Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình 2
= x + 3 là:
x -4
A. x ³ -3 và x ¹ ±2.
B. x ¹ ±2.
C. x > -3 và x ¹ ±2.
D. x ³ -3.
ìx 2 - 4 ¹ 0 ì
ï
ï x ¹ ±2
Ûï
Lời giải. Phương trình xác định khi ï
. Chọn A.
í
í
ï
ï
ï x ³ -3
ïx + 3 ³ 0
ỵ
ỵ

– Website chun đề thi – tài liệu file word mới nhất


1
là
x -2
A. x ³ 2 hoặc x £ -2.

B. x ³ 2 hoặc x < -2.
C. x > 2 hoặc x < -2.
D. x > 2 hoặc x £ -2.
ì
ïé x ³ 2
ìx 2 - 4 ³ 0 ï
éx > 2
ï
ïêê
ï
Ûï
Lời giải. Phương trình xác định khi í
. Chọn D.
íë x £ -2 Û êê
ï
ï
x £ -2
ïx - 2 ¹ 0
ù
ở
ợ
ù
ù
ợx ạ 2
Cõu 7. iu kin xỏc nh ca phng trình

x2 -4 =

Câu 8. Điều kiện xác định của phương trình x +

1
2x + 4

=

3 - 2x
là
x

A. x > -2 và x ¹ 0.

3
B. x > -2, x ¹ 0 và x £ .
2

3
C. x > -2 và x < .
2

D. x ¹ -2 và x ¹ 0.

A. x > -2 và x ¹ -1.

4
B. x > -2 và x < .
3

4
C. x > -2, x ¹ -1 và x £ .
3

D. x ¹ -2 và x ¹ -1.

ì x > -2
ï
ì
2x + 4 > 0 ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï x £ 3 . Chn B.
Li gii. Phng trỡnh xỏc nh khi ù
3
2
x

0

ớ
ớ
ù
ù
2
ù
ù
ù
ù
x

ạ
0
ù
ợ
ù
x
ạ
0
ù
ợ
1
4 - 3x
Câu 9. Điều kiện xác định của phương trình x + 2 là
=
x +1
x +2

ì
x > -2
ï
ï
ìx + 2 > 0
ï
ï
ï
ï
4
ï
Lời giải. Phương trình xác định khi ïí4 - 3 x ³ 0 Û ïí x £
. Chọn C.

ï
ï
3
ï
ï
ï
ï
ï
ỵx + 1 ạ 0
ù
ù
ợ x ạ -1

Cõu 10. iu kin xác định của phương trình
1
A. x ³ - .
2
1
C. x ³ - và x ¹ 0.
2

2x +1
= 0 là
x 2 + 3x
1
B. x ³ - và x ¹ -3.
2

D. x ¹ -3 và x ¹ 0.

ìï
ïï x > - 1
ïï
1
2
ïìï
ïì2 x + 1 ³ 0
x ³Û ïí x ¹ 0 Û ïí
Lời giải. Phương trình xác định khi ïí 2
2 . Chn C.
ùợù x + 3 x ạ 0 ùù
ùù
ùù x ạ -3
ợù x ạ 0
ùù
ùợ

Vn 2. PHNG TRèNH TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
Câu 11. Hai phương trình được gọi là tương đương khi
A. Có cùng dạng phương trình.
B. Có cùng tập xác định.
C. Có cùng tập hợp nghiệm.
D. Cả A, B, C đều đúng.
Lời giải. Chọn C.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 12. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 - 4 = 0 ?
A. (2 + x )(-x 2 + 2 x + 1) = 0.

B. ( x - 2)( x 2 + 3 x + 2) = 0.
C. x 2 - 3 = 1.
D. x 2 - 4 x + 4 = 0.
Lời giải. Ta có x 2 - 4 = 0 Û x = ±2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là
S0 = {-2;2} .
Xét các đáp án:

é x = -2
éx + 2 = 0
Û êê
 Đáp án A. Ta có (2 + x )(-x 2 + 2 x + 1) = 0 Û ê 2
. Do đó, tập
ê-x + 2 x + 1 = 0
ë
ëê x = 1 ± 2

{

}

nghiệm của phương trình là S1 = -2;1 - 2;1 + 2 ¹ S0 .

éx = 2
ê
éx - 2 = 0
ê
 Đáp án B. Ta có ( x - 2)( x + 3 x + 2) = 0 Û 2
Û ê x = -1 . Do đó, tập nghiệm
ê
ê x + 3x + 2 = 0

ë
ê x = -2
ë
của phương trình là S2 = {-2; -1;2} ¹ S0 .
2

 Đáp án C. Ta có x 2 - 3 = 1 Û x 2 - 3 = 1 Û x = ±2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình là
S3 = {-2;2} = S0 . Chọn C.
 Đáp án D. Ta có x 2 - 4 x + 4 = 0 Û x = 2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình là
S 4 = {2} ¹ S0 .
Câu 13. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 - 3 x = 0 ?
1
1
A. x 2 + x - 2 = 3 x + x - 2.
B. x 2 +
= 3x +
.
x -3
x -3
C. x 2 x - 3 = 3 x x - 3.

D. x 2 + x 2 + 1 = 3 x + x 2 + 1.

éx = 0
Lời giải. Ta có x 2 - 3 x = 0 Û ê
. Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là
êx = 3
ë
S0 = {0;3} .

Xét các đáp án:

ïìï x ³ 2
ïìï x - 2 ³ 0
ï
ï
Û íé x = 0 Û x = 3 . Do đó, tập
 Đáp án A. Ta có x + x - 2 = 3 x + x - 2 Û í 2
ïỵï x - 3 x = 0 ïïê
ïïỵêë x = 3
nghiệm của phương trình là S1 = {3} ¹ S0 .
2

 Đáp án B. Ta có x 2 +

ìï x - 3 ¹ 0
1
1
= 3x +
Û ïí 2
Û x = 0 . Do đó, tập nghiệm của
x -3
x - 3 ïïỵ x - 3 x = 0

phương trình là S2 = {0} ¹ S0 .

ïìï x - 3 ³ 0
ìï x ³ 3
ïï
ïï 2

 Đáp án C. Ta có x x - 3 = 3 x x - 3 Û íéê x - 3 x = 0 Û ïíé x = 0 Û x = 3 . Do đó, tập
ïïê
ïïê
ïïê x - 3 = 0
ïïỵêë x = 3
ë
ỵ
nghiệm của phương trình là S3 = {3} ¹ S0 .
2

éx = 0
 Đáp án D. Ta có x 2 + x 2 + 1 = 3 x + x 2 + 1 Û x 2 = 3 x Û ê
. Do đó, tập nghiệm của
êx = 3
ë
phương trình là S 4 = {0;3} = S0 . Chọn D.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 14. Cho phương trình ( x 2 + 1)( x – 1)( x + 1) = 0 . Phương trình nào sau đây tương đương
với phương trình đã cho ?
A. x -1 = 0.
B. x + 1 = 0.

D. ( x – 1)( x + 1) = 0.

C. x 2 + 1 = 0.

Lời giải. Ta có ( x + 1)( x – 1)( x + 1) = 0 Û ( x -1)( x + 1) = 0 (vì x + 1 > 0, "x Ỵ  .

2

2

Chọn D.
Câu 15. Phương trình nào sau đây khơng tương đương với phương trình x +

1
=1?
x

B. 2 x -1 + 2 x + 1 = 0.

A. x 2 + x = -1.
C. x x - 5 = 0.

D. 7 + 6 x -1 = -18.
ì
x
¹
0
ï
1
Lời giải. Ta có x + = 1 Û ïí 2
(vơ nghiệm). Do đó, tập nghiệm của phương trình
ïïỵ x - x + 1 = 0
x
đã cho là S0 = Ỉ .
Xét các đáp án:

ìï x 2 ³ 0
ắắ
đ x 2 + x 0 . Do ú, phương trình x 2 + x = -1 vơ nghiệm.
 Đáp án A. Ta có ïí
ïï x ³ 0
ỵ
Tập nghiệm của phương trình là S1 = Ỉ = S0 .
ì
ï 2 x -1 = 0
 Đáp án B. Ta có 2 x -1 + 2 x + 1 = 0 Û ï
(vơ nghiệm). Do đó, phương trình
í
ï
ï
ỵ 2x +1 = 0
2 x -1 + 2 x + 1 = 0 vơ nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S2 = Æ = S0 .

ïìï x - 5 ³ 0
ï
 Đáp án C. Ta có x x - 5 = 0 Û ï
Û x = 5 . Do đó, phương trình x x - 5 = 0 có
íïìï x = 0
ïïí
ïïỵïï x - 5 = 0
ỵ
tập nghiệm là S3 = {5} ¹ S0 . Chọn C.
 Đáp án D. Ta có

6 x -1 0 ắắ
đ 7 + 6 x -1 ³ 7 > -18 . Do đó, phương trình

7 + 6 x -1 = -18 vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S 4 = Ỉ = S0 .
Câu 16. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 3 x + x - 2 = x 2 Û 3 x = x 2 - x - 2. B. x -1 = 3 x Û x -1 = 9 x 2 .
2x -3
2
= x -1 Û 2 x - 3 = ( x -1) .
C. 3 x + x - 2 = x 2 + x - 2 Û 3 x = x 2 . D.
x -1
Lời giải. Chọn A.
Câu 17. Khẳng định nào sau đây là sai?
x -1
= 0.
A. x -1 = 2 1 - x Û x -1 = 0.
B. x 2 + 1 = 0 Û
x -1

C. x - 2 = x + 1 Û ( x - 2) = ( x + 1) .
2

2

D. x 2 = 1 Û x = 1.

Lời giải. Chọn D. Vì x 2 = 1 Û x = ±1 .
Câu 18. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. x + x -1 = 1 + x -1 và x = 1.
B. x + x - 2 = 1 + x - 2 và x = 1.
C. x ( x + 2) = x và x + 2 = 1.
D. x ( x + 2) = x và x + 2 = 1.

Lời giải. Xét các đáp án:
 Đáp án A. Ta có

ìx ³ 1
ï
x + x -1 = 1 + x -1 Û ï
Û x = 1 ¾¾
® x + x -1 = 1 + x -1 Û x = 1 . Chọn A.
í
ï
ï
ỵx = 1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ỡx - 2 0
ù
x ẻặ.
ỏp ỏn B. Ta có x + x - 2 = 1 + x - 2 Û ï
í
ï
ï
ỵx = 1
Do đó, x + x - 2 = 1 + x - 2 và x = 1 khơng phải là cặp phương trình tương đương.
ìx ³ 0
ï
ï
ï
x ( x + 2) = x Û ï

Û x =0
íé x = 0
ê
ï
 Đáp án C. Ta có
. Do đó, x ( x + 2) = x và
ï
ê
ï
ï
ỵë x + 2 = 0
x + 2 = 1 Û x = -1

x + 2 = 1 không phải là cặp phương trình tương đương.
éx = 0
x ( x + 2) = x Û ê
ê x = -1 . Do đó, x ( x + 2) = x và x + 2 = 1 không phải là
 Đáp án D. Ta có
ë
x + 2 = 1 Û x = -1
cặp phương trình tương đương.
Câu 19. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
x x +1
A. 2x + x - 3 = 1 + x - 3 và 2 x = 1.
B.
= 0 và x = 0.
x +1
C.

x + 1 = 2 - x và x + 1 = (2 - x ) .

2

D. x + x - 2 = 1 + x - 2 và x = 1.

Lời giải. Xét các đáp án:

ìx ³ 3
ï
ì
ïx - 3 ³ 0 ï
ï
2x + x - 3 = 1 + x - 3 ù

ớ
ớ
1 x ẻặ
ù
ù
2
x
=
1
x=
ù
ợ
ù
Đáp án A. Ta có
. Do đó,
ï
2

ỵ
1
2x = 1 Û x =
2
2x + x - 3 = 1 + x - 3 và 2 x = 1 không phải là cặp phương trình tương đương.
ì
ïx + 1 > 0 ì
ï x > -1
x x +1
x x +1
 Đáp án B. Ta có
=0Ûï
Ûï
Û x = 0 . Do đó,
= 0 và
í
í
ï
ï
x
=
0
x
=
0
x +1
x +1
ï
ï
ỵ

ỵ

x = 0 là cặp phương trình tương đương. Chọn B.

 Đáp án C. Ta có

đó,

ìx £ 2
ï
ì
ï
2-x ³ 0
ï
5 - 13
ï
ï
x +1 = 2 - x Û í
2 Ûí
5 ± 13 Û x =
ï
ï
2
x=
ï
ï
ỵ x + 1 = (2 - x )
. Do
ï
2

ï
ỵ
5 ± 13
2
x + 1 = (2 - x ) Û x 2 - 5 x + 3 = 0 Û x =
2

x + 1 = 2 - x và x + 1 = (2 - x ) khơng phải là cặp phương trình tương đương.
2

ì
ïx - 2 ³ 0
x + x - 2 = 1+ x - 2 ù
x ẻ ặ . Do
ớ
ù
ù
ợx = 1
x + x - 2 = 1 + x - 2 và x = 1 không phải là cặp phương trình tương đương.
Câu 20. Chọn cặp phương trình khơng tương đương trong các cặp phương trình sau:



Đáp

án

D.

Ta

có

đó,

A. x + 1 = x 2 - 2 x và x + 2 = ( x -1) .
2

B. 3 x x + 1 = 8 3 - x và 6 x x + 1 = 16 3 - x .

C. x 3 - 2 x + x 2 = x 2 + x và x 3 - 2 x = x .
D. x + 2 = 2 x và x + 2 = 4 x 2 .
Lời giải. Chọn D.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Ta có

ì
ï
ïx ³ 0
ì2 x ³ 0
ï
1 + 33
ï
x + 2 = 2x Û í
Ûï
Ûx=
í

1
±
33
2
ï
ï
8
x=
ïx + 2 = 4 x
ï
ỵ
.
ï
8
ï
ỵ
1 ± 33
x + 2 = 4x 2 Û x =
8

Do đó, x + 2 = 2 x và x + 2 = 4 x 2 không phải là cặp phương trình tương đương.
Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:
2 x 2 + mx - 2 = 0 (1) và 2 x 3 + (m + 4 ) x 2 + 2 (m -1) x - 4 = 0 (2) .
1
C. m = .
D. m = -2.
2
é x = -2
.
Lời giải. Ta có (2) Û ( x + 2)(2 x 2 + mx - 2) = 0 Û ê 2

ê 2 x + mx - 2 = 0
ë
Do hai phương trình tương đương nên x = -2 cũng là nghiệm của phương trình (1) .

A. m = 2.

B. m = 3.

Thay x = -2 vào (1) , ta được 2 (-2) + m (-2) - 2 = 0 Û m = 3 .
2

Với m = 3 , ta có

1
· (1) trở thành 2 x 2 + 3 x - 2 = 0 Û x = -2 hoặc x = .
2

· (2) trở thành 2 x 3 + 7 x 2 + 4 x - 4 = 0 Û ( x + 2) (2 x + 1) = 0 Û x = -2 hoặc x =
2

1
.
2

Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy m = 3 thỏa mãn. Chọn B.
Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:
mx 2 - 2 (m -1) x + m - 2 = 0 (1) và (m - 2) x 2 - 3 x + m 2 -15 = 0 (2) .
C. m = 4.
éx = 1
..

Lời giải. Ta có (1) Û ( x -1)(mx - m + 2) = 0 Û ê
ê mx - m + 2 = 0
ë
A. m = -5.

B. m = -5; m = 4.

D. m = 5.

Do hai phương trình tương đương nên x = 1 cũng là nghiệm của phương trình (2) .

é m = -5
.
Thay x = 1 vào (2) , ta được (m - 2) - 3 + m 2 -15 = 0 Û m 2 + m - 20 = 0 Û ê
êm = 4
ë
Với m = -5 , ta có
7
 (1) trở thành -5 x 2 + 12 x - 7 = 0 Û x = hoặc x = 1 .
5
10
 (2) trở thành -7 x 2 - 3 x + 10 = 0 Û x = hoặc x = 1 .
7
Suy ra hai phương trình khơng tương đương
Với m = 4 , ta có
1
 (1) trở thành 4 x 2 - 6 x + 2 = 0 Û x =
hoặc x = 1 .
2
1

 (2) trở thành 2 x 2 - 3 x + 1 = 0 Û x =
hoặc x = 1 .
2
Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy m = 4 thỏa mãn. Chọn C.
Câu 23. Khẳng định nào sau đây là sai?
x ( x -1)
= 1 Þ x = 1.
A. x - 2 = 1 Þ x - 2 = 1.
B.
x -1

C. 3 x - 2 = x - 3 Þ 8 x 2 - 4 x - 5 = 0.

D.

x - 3 = 9 - 2 x Þ 3 x -12 = 0.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Li gii. Chn C.
Ta cú:

ỡx 3
ù
ù
ù
ù
ộ
5

ỡ
ù
x
3

0
ỡ
ù
x

3
ù
ùờ
x=
ù
ù
ù

x ẻặ .
3x - 2 = x - 3 Û í
íê
2
2 Ûí
4
2
ï
ï
ï
ï(3 x - 2) = ( x - 3)
ï8 x - 6 x - 5 = 0 ïê

ïê
ỵ
ỵ
1
ï
êx = ï
ï
ê
2
ë
ï
ỵ
1 ± 11
 8x 2 - 4 x - 5 = 0 Û x =
.
4
Do đó, phương trình 8 x 2 - 4 x - 5 = 0 không phải là hệ quả của phương trình 3 x - 2 = x - 3

.
Câu 24. Cho phương trình 2 x 2 - x = 0 . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào
khơng phải là hệ quả của phương trình đã cho?
x
A. 2 x B. 4 x 3 - x = 0.
= 0.
1- x
C. (2 x 2 - x ) + ( x - 5) = 0.
2

2

D. 2 x 3 + x 2 - x = 0.

éx = 0
ê
Lời giải. Ta có 2 x 2 - x = 0 Û ê
1 . Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là
êx =
2
ëê
ìï 1 üï
S0 = í0; ý .
ïỵï 2 ùỵù
Xột cỏc ỏp ỏn:
ỡx ạ 1
ù
ù
ộx = 0
ù
ỡ
1
x
ạ
0
ù
ù
x
ùộờ x = 0 Û êê
ï
 Đáp án A. Ta có 2 x =0Ûí
Ûí

1 . Do đó, tập
ï
êx =
ê
1- x
1
ï2 x (1 - x ) - x = 0 ï
ï
ỵ
êë
êx =
ï
2
ï
ï
2
ỵëê

ì 1ï
ü
ï
nghiệm của phương trình là S1 = í0; ý É S0 .
ï
ï 2ù
ù
ợ
ỵ
ỡx = 0
ù
ù

ỏp ỏn B. Ta cú 4 x 3 - x = 0 Û ïí
1 . Do đó, tập nghiệm của phương trình là
ï
x =±
ï
ï
2
ỵ
ì 1 1ï
ü
ï
S2 = ớ- ;0; ý ẫ S0 .
ù
ù 2 2ù
ù
ợ
ỵ

ỡù2 x 2 - x = 0 ìï2 x 2 - x = 0
2
2
Û ïí
 Đáp án C. Ta có (2 x 2 - x ) + ( x - 5) = 0 Û ïí
(vơ nghiệm). Do
ïỵï x - 5 = 0
ïỵï x = 5
đó, tập nghiệm của phương trình là S3 = Æ É S0 . Chọn C.
éx = 0
ê
ê

1
3
2
 Đáp án D. Ta có 2 x + x - x = 0 Û ê x =
. Do đó, tập nghiệm của phương trình là
ê
2
ê
ê x = -1
ë
ì
ü
1ï
ï
S2 = í-1;0; ý É S0 .
ù
2ù
ù
ù
ợ
ỵ

Website chuyờn thi ti liu file word mới nhất


Câu 25. Cho hai phương trình: x ( x - 2) = 3 ( x - 2) (1) và
sau đây là đúng?
A. Phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2) .

x ( x - 2)

x -2

= 3 (2) . Khẳng định nào

B. Phương trình (1) và (2) là hai phương trình tương đương.
C. Phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1) .

D. Cả A, B, C đều sai.
Lời giải. Ta có:

éx - 2 = 0
éx = 2
Ûê
 Phương trình (1) Û ê
. Do đó, tập nghiệm của phương trình (1) là
êx = 3
êx = 3
ë
ë
S1 = {2;3} .
ìx - 2 ¹ 0
ï
Û x = 3 . Do đó, tập nghiệm của phương trình (2) là S2 = 3
 Phương trình (2) Û ï
í
ï
ï
ỵx = 3
.
Vì S2 Ì S1 nên phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2) . Chọn A.

Vấn đề 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Câu 26. Tập nghiệm của phương trình
A. S = {0}.
B. S = Ỉ.

x 2 - 2 x = 2 x - x 2 là:
C. S = {0;2}.

D. S = {2}.

éx = 0
ïì x 2 - 2 x ³ 0 ïìï x 2 - 2 x ³ 0
Ûí 2
Û x 2 - 2x = 0 Û ê
.
Lời giải. Điều kiện: ïí
2
êx = 2
ïï2 x - x ³ 0 ïï x - 2 x £ 0
ë
ỵ
ỵ
Thử lại ta thấy cả x = 0 và x = 2 đều thỏa mãn phương trình. Chọn C.
Câu 27. Phương trình x ( x 2 -1) x -1 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0.
B. 1.
C. 2.
Lời giải. Điều kiện: x -1 ³ 0 Û x ³ 1.

éx = 0
éx = 0
ê
ê
2
ê
Phương trình tương đương với ê x -1 = 0 Û ê x = ±1.
ê
ê
êx = 1
ë
ëê x -1 = 0

D. 3.

Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.
Câu 28. Phương trình -x 2 + 6 x - 9 + x 3 = 27 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải. Điều kiện: -x 2 + 6 x - 9 ³ 0 Û -( x - 3) ³ 0 Û x = 3 .
2

Thử lại ta thấy x = 3 thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.
Câu 29. Phương trình
A. 0.

( x - 3) (5 - 3 x ) + 2 x = 3 x - 5 + 4 có bao nhiêu nghiệm?
2

B. 1.
C. 2.
ìï( x - 3)2 (5 - 3 x ) ³ 0
Lời giải. Điều kiện: ïí
. (* )
ïï3 x - 5 ³ 0
ỵ
Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (*) .

D. 3.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ìï
ïx £ 5
ïìï5 - 3 x ³ 0 ïïï
5
3
Ûí
Ûx= .
Nếu x ạ 3 thỡ (*) ớ
ùùợ3 x - 5 ³ 0 ïï
5
3
ïï x ³
3

ỵï

Do đó điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x =

5
.
3

5
vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn.
3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.
Câu 30. Phương trình x + x -1 = 1 - x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
ïì x -1 ³ 0 ïìï x ³ 1
Ûí
Û x =1.
Lời giải. Điều kiện ïí
ïỵï1 - x ³ 0 ïỵï x £ 1
Thay x = 3 và x =

Thử lại x = 1 thì phương trình khơng thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm. Chọn A.
Câu 31. Phương trình 2 x + x - 2 = 2 - x + 2 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.

D. 3.
ïìï x ³ 0
ï
Lời giải. Điều kiện: í x - 2 ³ 0 Û x = 2 .
ïï
ïïỵ2 - x ³ 0
Thử lại phương trình thấy x = 2 thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.

Câu 32. Phương trình x 3 - 4 x 2 + 5 x - 2 + x = 2 - x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
3
2
ì
éx = 1
ïì x - 4 x + 5 x - 2 ³ 0 ïï( x -1) ( x - 2) ³ 0
Ûí
Ûê
Lời giải. Điều kiện: ïí
.
êx = 2
ïïỵ2 - x ³ 0
ïï x £ 2
ë
ỵ
Thay x = 1 và x = 2 vào phương trình thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.
1
2 x -1
Câu 33. Phương trình x +
có bao nhiêu nghiệm?
=
x -1
x -1
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải. Điều kiện: x ¹ 1 .
Với điều kiện trên phương trình tương đương x 2 - x + 1 = 2 x -1 Û x = 1 hoặc x = 2 .
Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Chọn B.
Câu 34. Phương trình ( x 2 - 3 x + 2) x - 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Lời giải. Điều kiện: x ³ 3 .
 Ta có x = 3 là một nghiệm.
Nếu x > 3 thì x - 3 > 0 . Do đó phương trình tuong đương
( x 2 - 3x + 2) x - 3 = 0 Û x 2 - 3x + 2 = 0 Û x = 1 hoặc x = 2 .

D. 3.

A. 0.
B. 1.
Lời giải. Điều kiện: x ³ -1 .
 Ta có x = -1 là một nghiệm.

D. 3.

Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. Chọn B.
Câu 35. Phương trình ( x 2 - x - 2) x + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
C. 2.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 Nếu x > -1 thì x + 1 > 0 . Do đó phương trình tương đương
x 2 - x - 2 = 0 Û x = -1 hoặc x = 2 .
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = -1 , x = 2 .
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Chọn C.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất