Chương 5
LƯỢNG GIÁC
CHUYÊN ĐỀ 2
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
Câu 1.
Giá trị cot
A.
89
là
6
3.
B. 3 .
C.
3
.
3
D. –
3
.
3
Lời giải
Chọn B
89
cot 15 cot cot 3 .
6
6
6
6
Giá trị của tan180 là
A. 1 .
B. 0 .
C. –1 .
Lời giải
Chọn B
Biến đổi tan180 tan 0 180 tan 0 0 .
Biến đổi cot
Câu 2.
Câu 3.
a . Kết quả đúng là
2
A. sin a 0 , cos a 0 . B. sin a 0 , cos a 0 . C. sin a 0 , cos a 0 .D. sin a 0 , cos a 0 .
Lời giải
Chọn C
Cho
Vì
Câu 4.
D. Khơng xác định.
2
a sin a 0 , cos a 0 .
5
. Kết quả đúng là
2
A. tan a 0 , cot a 0 .
C. tan a 0 , cot a 0 .
Cho 2 a
B. tan a 0 , cot a 0 .
D. tan a 0 , cot a 0 .
Lời giải
Chọn A
5
tan a 0 , cot a 0 .
2
Đơn giản biểu thức A 1 – sin 2 x .cot 2 x 1 – cot 2 x , ta có
Vì 2 a
Câu 5.
A. A sin 2 x .
B. A cos 2 x .
C. A – sin 2 x .
Lời giải
D. A – cos 2 x .
Chọn A
A 1 – sin 2 x .cot 2 x 1 – cot 2 x cot 2 x cos 2 x 1 cot 2 x sin 2 x .
Câu 6.
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ?
A. sin 1800 – a – cos a .
C. sin 1800 – a sin a .
B. sin 1800 – a sin a .
D. sin 1800 – a cos a .
Lời giải
Câu 7.
Chọn C.
Theo công thức.
Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Trang 1/12
A. sin x cos x .
2
C. tan x cot x .
2
B. sin x cos x .
2
D. tan x cot x .
2
Lời giải
Chọn D.
Câu 8.
Giá trị của biểu thức A
A. 3 3 .
cos 7500 sin 4200
bằng
sin 3300 cos 3900
B. 2 3 3 .
C.
2 3
.
3 1
D.
1 3
.
3
Lời giải
Chọn A.
cos 300 sin 600
2 3
A
3 3 .
0
0
sin 30 cos 30 1 3
Câu 9. Đơn giản biểu thức A cos sin cos sin , ta có :
2
2
2
2
A. A 2sin a .
B. A 2 cos a .
C. A sin a – cos a . D. A 0 .
Lời giải
Chọn A .
A sin cos sin cos A 2sin .
Câu 10. Giá trị của cot1458 là
B. 1 .
A. 1.
C. 0 .
Lời giải
D.
5 2 5 .
D.
5
.
2
Chọn D
cot1458 cot 4.360 18 cot18 5 2 5 .
Câu 11. Trong các giá trị sau, sin có thể nhận giá trị nào?
A. 0, 7 .
B.
4
.
3
C. 2 .
Lời giải
Chọn A.
Vì 1 sin 1 . Nên ta chọn A.
Câu 12. Trong các công thức sau, công thức nào sai?
A. sin 2 cos 2 1 .
C. 1 cot 2
1
k , k .
sin 2
1
k , k .
2
cos
2
k
,k .
D. tan cot 1
2
Lời giải
B. 1 tan 2
Chọn D
k
,k .
D sai vì : tan .cot 1
2
1
Câu 13. Cho biết tan . Tính cot
2
1
A. cot 2 .
B. cot .
4
C. cot
1
.
2
D. cot 2 .
Lời giải
Chọn A
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Trang 2/12
Ta có : tan .cot 1 cot
Câu 14. Cho sin
A.
4
.
5
1
1
2.
tan 1
2
3
và . Giá trị của cos là :
5
2
4
4
B. .
C. .
5
5
Lời giải
D.
16
.
25
Chọn B.
4
cos
9 16
5
Ta có : sin 2 cos 2 1 cos 2 =1 sin 2 1
.
4
25 25
cos
5
4
Vì cos .
2
5
3
cot 2 tan
Câu 15. Cho sin và 900 1800 . Giá trị của biểu thức E
là :
5
tan 3cot
2
2
4
4
A.
.
B. .
C.
.
D. .
57
57
57
57
Lời giải
Chọn B.
4
cos
9 16
5
sin 2 cos 2 1 cos 2 =1 sin 2 1
25 25
cos 4
5
4
3
4
Vì 900 1800 cos . Vậy tan và cot .
5
4
3
4
3
2.
cot 2 tan
3
4 2 .
E
3
tan 3cot
57
4
3.
4
3
3sin cos
Câu 16. Cho tan 2 . Giá trị của A
là :
sin cos
5
7
A. 5 .
B. .
C. 7 .
D. .
3
3
Lời giải
Chọn C.
3sin cos 3 tan 1
A
7.
sin cos
tan 1
Câu 17. Các cặp đẳng thức nào sau đây đồng thời xảy ra?
B. sin
A. sin 1 và cos 1 .
C. sin
1
1
và cos .
2
2
3
1
và cos
.
2
2
D. sin 3 và cos 0 .
Lời giải
Chọn B
2
2
3
1
B đúng vì: sin cos
1.
2 2
2
2
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Trang 3/12
4
với 0 . Tính sin .
5
2
1
1
A. sin .
B. sin .
5
5
Câu 18. Cho cos
C. sin
3
.
5
3
D. sin .
5
Lời giải
Chọn C
2
3
9
4
sin .
Ta có: sin 1 cos 1
5
25
5
3
Do 0 nên sin 0 . Suy ra, sin .
2
5
Câu 19. Tính biết cos 1
2
A. k
C.
2
k .
k 2
2
B. k 2
k .
k .
D. k 2
k .
Lời giải
Chọn C
Ta có: cos 1
Câu 20.
Giá trị của A cos 2
A. 0 .
Chọn C.
2
k 2
k .
3
5
7
cos 2
cos 2
bằng
8
8
8
8
B. 1 .
C. 2 .
Lời giải
cos 2
D. 1 .
3
3
3
cos 2
cos 2 A 2 cos 2 cos 2
8
8
8
8
8
8
A 2 cos 2 sin 2 2 .
8
8
Câu 21. Cho tam giác ABC. Hãy tìm mệnh đề sai
AC
B
AC
B
cos .
sin .
A. sin
B. cos
2
2
2
2
C. sin A B sin C .
D. cos A B cos C .
A cos 2
cos 2
Lời giải
Chọn D .
Đơn giản biểu thức A cos sin , ta có
2
A. A cos a sin a .
B. A 2sin a .
C. A sin a – cos a .
Lời giải
Chọn D.
A cos sin A sin sin 0 .
2
sin 2340 cos 2160
Câu 23. Rút gọn biểu thức A
.tan 360 , ta có A bằng
0
0
sin144 cos126
Câu 22.
A. 2 .
B. 2 .
C. 1 .
Lời giải
D. A 0 .
D. 1 .
Chọn C.
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Trang 4/12
A
sin 2340 sin1260
2 cos1800.sin 540
0
.tan
36
A
.tan 360
0
0
0
0
cos 54 cos126
2sin 90 sin 36
A
Câu 24.
1.sin 540 sin 360
.
A 1.
0
1sin 360 cos 36
Biểu thức
A. 1 .
cot 44
B
0
tan 2260 .cos 4060
cos 316
0
cot 720.cot180 có kết quả rút gọn bằng
B. 1 .
C.
1
.
2
D.
1
.
2
Lời giải
Chọn B.
cot 440 tan 460 .cos 460
2 cot 440.cos 460
0
0
B
1 B 2 1 1.
B
cot
72
.tan
72
cos 440
cos 440
12
Câu 25. Cho cos –
và . Giá trị của sin và tan lần lượt là
13
2
5 2
2
5
5 5
5
5
A. ; .
B. ; .
C. ;
.
D.
; .
13 3
3
12
13 12
13
12
Lời giải
Chọn D
2
5
25
12
sin
Do nên sin 0. Từ đó ta có sin 1 cos 1
2
13
13 169
sin
5
tan
.
cos
12
Câu 26.
2
2
Biết tan 2 và 180 270 . Giá trị cos sin bằng
A.
3 5
.
5
B. 1 – 5 .
C.
3 5
.
2
D.
5 1
.
2
Lời giải
Chọn A
Do 180 270 nên sin 0 và cos 0 . Từ đó
1
1
1
1 tan 2 5 cos 2 cos
Ta có
.
2
cos
5
5
2
1
sin tan .cos 2.
5
5
2
1
3 5
.
5
5
5
Câu 27. Biểu thức D cos 2 x.cot 2 x 3cos 2 x – cot 2 x 2sin 2 x không phụ thuộc x và bằng
A. 2.
B. –2 .
C. 3.
D. –3 .
Lời giải
Chọn A
D cos 2 x.cot 2 x 3cos 2 x – cot 2 x 2sin 2 x cos 2 x 2 cot 2 x cos 2 x 1
Như vậy, cos sin
cos 2 x 2 cot 2 x.sin 2 x cos 2 x 2 cos 2 x 2 .
1
2
Câu 28. Cho biết cot x . Giá trị biểu thức A
bằng
2
2
sin x sin x.cos x cos 2 x
A. 6.
B. 8.
C. 10.
D. 12.
Lời giải
Chọn C
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Trang 5/12
1
2
2 1
2
2
1
cot
x
2
4 10.
2
sin x
A
2
2
2
2
sin x sin x.cos x cos x 1 cot x cot x 1 cot x cot x 1 1 1
2 4
0
0
0
0
sin 328 .sin 958 cos 508 .cos 1022
Câu 29. Biểu thức A
rút gọn bằng:
cot 5720
tan 2120
A. 1 .
B. 1 .
C. 0 .
Lời giải
D. 2 .
Chọn A
sin 3280 .sin 9580 cos 5080 .cos 10220
sin 320.sin 580 cos 320.cos 580
A
A
cot 320
tan 320
cot 5720
tan 2120
sin 320.cos 320 cos 320.sin 320
sin 2 320 cos 2 320 1.
cot 320
tan 320
Câu 30. Biểu thức:
2003
A cos 26 2sin 7 cos1,5 cos
cos 1,5 .cot 8 có
2
kết quả thu gọn bằng :
A. sin .
B. sin .
C. cos .
D. cos .
Lời giải
Chọn B
A cos 26 2sin 7 cos 1,5 cos 2003 cos 1,5 .cot 8
2
A cos 2sin cos cos( cos .cot
2
2
2
A cos 2sin 0 sin sin .cot cos sin cos sin .
4
3
2 . Khi đó :
Câu 31. Cho tan với
5
2
4
5
4
5
A. sin
, cos
.
B. sin
, cos
.
41
41
41
41
4
5
4
5
cos
C. sin
.
D. sin
, cos
.
41
41
41
41
Lời giải
Chọn C
5
1
16
1
1
41
25
cos
1 tan 2
1
cos 2
2
2
2
cos
25 cos
cos 25
41
41
4
25 16
sin
sin 2 1 cos 2 1
41 41
41
5
cos
0
cos
3
41
2
4 .
2
sin 0 sin 41
A
Câu 32. Cho cos150
A.
32
2 3
. Giá trị của tan15 bằng :
2
B.
2 3
2
C. 2 3
D.
2 3
4
Lời giải
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Trang 6/12
Chọn C
2
1
4
1
1 2 3 tan150 2 3 .
2
0
cos 15
2 3
0
sin 515 .cos 4750 cot 2220.cot 4080
Câu 33. Biểu thức A
có kết quả rút gọn bằng
cot 4150.cot 5050 tan197 0.tan 730
tan 2 150
A.
1 2 0
sin 25 .
2
B.
1
cos 2 550 .
2
C.
1
cos 2 250 .
2
D.
1 2 0
sin 65 .
2
Lời giải
Chọn C .
sin 250. sin 250 cot 420.tan 420
sin1550.cos1150 cot 420.cot 480
A
A
cot 550.tan 550 1
cot 550.cot 1450 tan17 0.cot17 0
sin 2 250 1
cos 2 250
A
.
2
2
2 cos 2 x 1
Câu 34. Đơn giản biểu thức A
ta có
sin x cos x
A. A cos x sin x .
B. A cos x – sin x . C. A sin x – cos x .
Lời giải
Chọn B
2
2
2
2 cos 2 x 1 2 cos x sin x cos x cos 2 x sin 2 x
Ta có A
sin x cos x
sin x cos x
sin x cos x
cos x sin x cos x sin x cos x sin x
sin x cos x
Như vậy, A cos x – sin x .
2
Câu 35. Biết sin cos
. Trong các kết quả sau, kết quả nào sai ?
2
A
1
.
4
7
C. sin 4 cos 4 .
8
A. sin .cos –
B. sin cos
D. A sin x – cos x .
6
.
2
D. tan 2 cot 2 12 .
Lời giải
Chọn D
2
1
1
1
2
sin cos 1 2sin cos sin cos
2
2
2
4
6
1 6
1 2sin cos 1 2 sin cos
2
4 4
Ta có sin cos
sin cos
2
2
2
1 7
sin 4 cos 4 sin 2 cos 2 2sin 2 cos 2 1 2
4 8
7
4
4
sin
cos
tan 2 cot 2
8 2 14
sin 2 cos 2
1
4
2
2
Như vậy, tan cot 12 là kết quả sai.
Câu 36. Tính giá trị của biểu thức A sin 6 x cos 6 x 3sin 2 x cos 2 x .
A. A –1 .
B. A 1 .
C. A 4 .
D. A –4 .
Lời giải
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Trang 7/12
Chọn B
Ta có A sin 6 x cos 6 x 3sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x 3sin 2 x cos 2 x
3
3
sin 2 x cos 2 x 3 sin 2 x.cos 2 x sin 2 x cos 2 x 3 sin 2 x cos 2 x 1 .
3
1 tan x
A
2
Câu 37.
Biểu thức
1
không phụ thuộc vào x và bằng
4 tan x
4sin x cos 2 x
1
1
B. –1 .
C. .
D. .
4
4
Lời giải
2
A. 1 .
Chọn B
1 tan x
A
2
Ta có
2
2
4 tan 2 x
2
2
1 tan 2 x
1
1
1
4sin 2 x cos 2 x
4 tan 2 x
4 tan 2 x cos 2 x
2
1 tan x 1 tan x 1 tan x 1 tan x
2
2
2
2
2
2
2
4 tan 2 x
2
4 tan 2 x
1 .
4 tan 2 x
4 tan 2 x
4 tan 2 x
cos 2 x sin 2 y
cot 2 x.cot 2 y không phụ thuộc vào x, y và bằng
Câu 38. Biểu thức B
2
2
sin x.sin y
A. 2 .
B. –2 .
C. 1 .
D. –1 .
Lời giải
Chọn D
cos 2 x sin 2 y
cos 2 x sin 2 y cos 2 x.cos 2 y
2
2
cot
x
.cot
y
Ta có B
sin 2 x.sin 2 y
sin 2 x sin 2 y
sin 2 x.sin 2 y
Câu 39.
cos 2 x 1 cos 2 y sin 2 y
sin 2 x sin 2 y
2
2
cos 2 x sin 2 y sin 2 y sin y cos x 1
1 .
sin 2 x sin 2 y
1 cos2 x sin 2 y
Biểu thức C 2 sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x – sin 8 x cos8 x có giá trị không đổi và bằng
2
A. 2 .
B. –2 .
C. 1 .
Lời giải
D. –1 .
Chọn C
Ta có C 2 sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x – sin 8 x cos8 x
2
2
2
2
2 sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x – sin 4 x cos 4 x 2sin 4 x cos 4 x
2
2
2
2 1 sin 2 x cos 2 x – sin 2 x cos 2 x 2 sin 2 x cos 2 x 2sin 4 x cos 4 x
2
2
2 1 sin 2 x cos 2 x – 1 2 sin 2 x cos 2 x 2sin 4 x cos 4 x
2 1 2 sin 2 x cos 2 x sin 4 x cos 4 x – 1 4 sin 2 x cos 2 x 4sin 4 x cos 4 x 2sin 4 x cos 4 x
1
Câu 40. Hệ thức nào sai trong bốn hệ thức sau:
.
2
1 sin a
1 sin a
2
B.
4 tan a .
1 sin a
1 sin a
sin
cos
1 cot 2
sin cos
2 cos
C.
.
D.
.
2
cos sin cos sin 1 cot
1 cos
sin cos 1
Lời giải
Chọn D
tan x tan y
tan x.tan y .
A.
cot x cot y
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Trang 8/12
A đúng vì VT
tan x tan y
tan x.tan y VP
1
1
tan x tany
B đúng vì
1 sin a 1 sin a 2 2 2sin 2 a 2 4 tan 2 a VP
1 sin a 1 sin a
2
1 sin a 1 sin a
1 sin 2 a
cos 2 a
sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 1 cot 2
VP .
C đúng vì VT
cos 2 sin 2
sin 2 cos 2 1 cot 2
98
Câu 41. Nếu biết 3sin 4 x 2 cos 4 x
thì giá trị biểu thức A 2sin 4 x 3cos 4 x bằng
81
101
601
103
603
105
605
107
607
A.
hay
.
B.
hay
.
C.
hay
.
D.
hay
.
81
504
81
405
81
504
81
405
Lời giải
Chọn D
98
98
Ta có sin 4 x cos 4 x A cos 2 x A
81
81
1
1
1 1
1 98
98
98
5 sin 4 x cos 4 x A 1 sin 2 2 x A cos 2 2 x A
2
5 81
2 2
5 81
81
2
2
VT
2
98
2
98 2
98 392
A A A
81
5
81 5
81 405
13
t 45
98
2
13
2
0
Đặt A t t t
81
5 405
t 1
9
13
607
A
+) t
45
405
1
107
.
+) t A
9
81
1
Câu 42. Nếu sin x cos x thì 3sin x 2 cos x bằng
2
5 7
5 7
hay
.
4
4
2 3
2 3
C.
hay
.
5
5
A.
5 5
5 5
hay
.
7
4
3 2
3 2
D.
hay
.
5
5
Lời giải
B.
Chọn A
1
1
3
3
2
sin x cos x sin x.cos x sin x.cos x
2
4
4
8
1 7
sin x
1
3
4
Khi đó sin x, cos x là nghiệm của phương trình X 2 X 0
2
8
1 7
sin x
4
1
Ta có sin x cos x 2 sin x cos x 1
2
1 7
5 7
3sin x 2 cos x
+) Với sin x
4
4
sin x cos x
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Trang 9/12
1 7
5 7
3sin x 2 cos x
.
4
4
2b
Câu 43. Biết tan x
. Giá trị của biểu thức A a cos 2 x 2b sin x.cos x c sin 2 x bằng
ac
A. –a .
B. a .
C. –b .
D. b .
Lời giải
Chọn B
A
a 2b tan x c tan 2 x
A a cos 2 x 2b sin x.cos x c sin 2 x
cos 2 x
2
2b 2
2b
2b
2
2
A 1 tan x a 2b tan x c tan x A 1
a 2b
c
a c
ac
ac
+) Với sin x
a c 2b
A
2
a c
2
a c 2b
A
2
a c
2
2
2
Câu 44.
a a c 4b 2 a c c 4b 2
2
a c
a a c 4b 2 a
2
2
a c
2
a. a c 4b 2
2
a c
2
Aa.
sin 4 cos 4
1
sin 8 cos8
thì biểu thức A
bằng
a
b
ab
a3
b3
1
1
1
1
A.
.
B. 2
.
C.
.
D. 3 3
2
3
2
a b
a b
a b
a b
Nếu biết
Lời giải
Chọn C
Đặt cos
2
1 t
t
2
t2
1
b ab
a
ab
ab
ab
2
b 1 t at 2
at 2 bt 2 2bt b
a b t 2 2bt b
ab
ab
ab
b
2
a b t 2 2b a b t b 2 0 t
ab
b
a
;sin 2
Suy ra cos 2
ab
ab
8
8
sin cos
a
b
1
.
Vậy:
4
4
3
3
3
a
b
a b a b a b
9
Câu 45. Với mọi , biểu thức : A cos + cos ... cos nhận giá trị bằng :
5
5
A. –10 .
B. 10 .
C. 0 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn C
9
A cos + cos ... cos
5
5
9
4
5
A cos cos ... cos cos
5
5
5
9
9
9
7
9
A 2 cos
2 cos
... 2 cos
cos
cos
cos
10
10
10
10
10
10
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Trang 10/12
9
9
7
5
3
A 2 cos
cos
cos
cos
cos
cos
10
10
10
10
10
10
9
2
9
A 2 cos
2 cos cos cos A 2 cos
2 cos cos
.0 0.
10
2
5
2
5
2
10
3
5
7
sin 2
sin 2
Câu 46. Giá trị của biểu thức A sin 2 sin 2
bằng
8
8
8
8
A. 2 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn A
3
5
7
1 cos
1 cos
1 cos
1 cos
4
4
4
4 2 1 cos cos 3 cos 5 cos 7
A
2
4
4
4
4
2
2
2
2
1
3
3
2 cos cos
cos
cos 2.
2
4
4
4
4
2sin 25500.cos 1880
1
Câu 47. Giá trị của biểu thức A =
bằng :
tan 3680
2 cos 6380 cos 980
A. 1 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn D
2sin 25500.cos 1880
1
A
tan 3680
2 cos 6380 cos 980
2sin 300 7.3600 .cos 80 1800
1
2sin 300.cos80
1
A
A
tan 80 2 cos820 sin 80
tan 80 3600 2 cos 820 2.3600 cos 900 80
1
2sin 300.cos80
1
2sin 300.cos80
A
A
tan 80 2sin 80 sin 80
tan 80 2 cos 900 80 sin 80
1.cos80
cot 80 cot 80 0 .
0
sin 8
Câu 48. Cho tam giác ABC và các mệnh đề :
BC
A
A B
C
sin
.tan 1 III cos A B – C – cos 2C 0
I cos
II tan
2
2
2
2
Mệnh đề đúng là :
A. Chỉ I .
B. II và III .
C. I và II .
D. Chỉ III .
A cot 80
Lời giải
Chọn C
+) Ta có: A B C B C A
BC A
2
2 2
A
BC
A
cos
nên I đúng
cos sin
2
2
2 2
A B C
+) Tương tự ta có:
2
2 2
A B
C
A B
C
C
C
C
tan
tan cot tan
.tan cot .tan 1
2
2
2
2
2
2
2 2
nên II đúng.
I
+) Ta có
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Trang 11/12
A B C 2C cos A B C cos 2C cos 2C
cos A B C cos 2C 0
nên III sai.
Câu 49. Cho cot 3 2 với
2
. Khi đó giá trị tan
B. 2 19 .
A. 2 19 .
2
cot
C. 19 .
Lời giải
2
bằng :
D. 19 .
Chọn A
1
1
1
sin
1 cot 2 1 18 19 sin 2
2
sin
19
19
Vì
1
sin 0 sin
2
19
Suy ra tan
2
cot
2
sin 2
2
sin
cos 2
cos
2
2
2 19 .
sin
2
2
2
tan a sin 2 a
Câu 50. Biểu thức rút gọn của A =
bằng :
cot 2 a cos 2 a
A. tan 6 a .
B. cos 6 a .
C. tan 4 a .
D. sin 6 a .
Lời giải
Chọn A
1
sin 2 a
1
2
2
2
2
2
tan a sin a
cos a tan a.tan a
A
tan 6 a .
A
2
2
2
cot a
cot a cos a
1
cos 2 2 1
sin a
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Trang 12/12