LƯỢNG GIÁC một số CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word image marked

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
§3. MỘT SỐ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Công thức cộng:

sin( a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a
sin( a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a

cos( a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b
cos( a - b) = cos a.cos b + sin a.sin b
tan a + tan b
tan( a + b) =
1 - tan a.tan b
tan a - tan b
tan( a - b) =
1 + tan a.tan b
2. Công thức nhân đôi, hạ bậc:
a) Công thức nhân đôi.
sin 2a = 2 sin a.cos a

cos 2a = cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a
tan 2a =

b) Công thức hạ bậc.

2 tan a
1 - tan 2 a

1 - cos 2a
2

1
+
cos
2a
cos 2 a =
2
1
cos
2a
tan 2 a =
1 + cos 2a
3. Cơng thức biến đổi tích thành tổng.
1
cos a cos b = éë cos( a + b) + cos( a - b)ùû
2
1
sin a sin b = - éë cos( a + b) - cos( a - b)ùû
2
1é
sin a cos b = ë sin( a + b) + sin( a - b)ùû
2
sin 2 a =

1


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
4. Cơng thức biển đổi tổng thành tích.
cos a + cos b = 2 cos

a+b
a-b
.cos
2
2

tan a + tan b =

a+b
a-b
.sin
2
2
a+b
a-b
sin a + sin b = 2 sin
.cos
2
2
a+b
a-b
sin a - sin b = 2 cos
.sin
2
2
cos a - cos b = - 2 sin

sin( a + b)
cos a.cos b

tan a - tan b =

sin( a - b)
cos a.cos b

cot a + cot b =

sin( a + b)
sin a.sin b

cot a - cot b =

sin(b - a)
sin a.sin b

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TỐN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.
1. Phương pháp giải.
Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác
nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc khơng đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác
đặc biệt.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: a)Tính giá trị lượng giác sau: cos 7950 .
A.

6- 2
4

B.

6+ 2
4

C.

6
4

D.

2
4

D.

5 -1
4

b)Tính giá trị lượng giác sau: sin 180
A.

5 -1
2

B.

5 -2
2

c)Tính các giá trị lượng giác sau: tan

C.

5 -1
3

7p
12

2


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A. -2 - 3

B. -2 + 3

d)Tính các giá trị lượng giác sau: cot
A. 1 - 2

C. 2 - 3

D. -2 - 2 3

C. 2 - 2

D. 1 - 2 2

5p
8

B. 3 - 2

Lời giải:
a)Vì 7950 = 750 + 2.3600 = 300 + 450 + 2.3600 nên
cos 7950 = cos 750 = cos 300 cos 450 - sin 300 sin 450 =

3 2 1 2
6- 2
.
- .
=
2 2
2 2
4

b)Vì 540 + 360 = 900 nên sin 540 = cos 360

Mà cos 360 = cos (2.180 ) = 1 - 2 sin 2 180

sin 540 = sin (180 + 360 ) = sin 180 cos 360 + sin 360 cos180
= sin 180.(1 - 2 sin 2 180 ) + 2 sin 180 cos 2 180 = sin 180.(1 - 2 sin 2 180 ) + 2 sin 180 (1 - sin 2 180 )
= 3 sin 180 - 4 sin 3 180

Do đó 3 sin 180 - 4 sin 3 180 = 1 - 2 sin 2 180 Û (sin 180 - 1)(4 sin 2 180 + 2 sin 180 - 1) = 0
Û sin 180 = 1 hoặc sin 180 =

5 -1
5 +1
hoặc sin 180 =

2
2

Vì 0 < sin 180 < 1 nên sin 180 =

5 -1
.
2

p
p
ỉ p p ư÷ tan 3 + tan 4
7p
3 +1
= tan ỗỗ + ữữ =
=
= -2 - 3
c) tan
ỗố 3 4 ứ
p
p 1- 3
12
1 - tan tan
3
4

3


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nht

d) cot

ổp pử
5p
p
= cot ỗỗ + ữữữ = - tan
8
8
ốỗ 2 8 ø

p
2 tan
ỉ p ÷ư
p
8 suy ra
Ta lại có 1 = tan = tan ỗỗ2. ữữ =
ỗố 8 ứ
p
4
1 - tan 2
8
1 - tan 2
Û tan

p
p
p
p
= 2 tan Û tan 2 + 2 tan - 1 = 0
8

8
8
8

p
p
= -1 - 2 hoặc tan = -1 + 2
8
8

Do tan

p
p
> 0 nên tan = -1 + 2
8
8

Vậy cot

5p
= 1- 2
8

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:
a) A = sin 220 30' cos 2020 30'
A. -

2
4

b) B = 4 sin 4

A.

B. -

2
5

C. -

2
3

D-

3 2
4

D.

6- 2
4

p
p
+ 2 cos
16
8

6+ 2
4

B.

5+ 2
4

C.

3+ 2
4

p
2p
sin - sin
5
15
c) C =
p
2p
cos - cos
5
15

A. - 3

B.

3

C. -3 3

D. -2 3

4


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
p
5p
7p
d) D = sin - sin
+ sin
9
9
9

A.0

B.

C. -3 3

3

D. -2 3

Lời giải:

a) Cách 1: Ta có cos 2020 30' = cos (1800 + 220 30') = - cos 220 30'
1
2
Do đó A = - sin 220 30' cos 220 30' = - sin 450 = 2
4

Cách 2: A =

=

1é
1
sin (220 30'+ 2020 30') + sin (220 30'- 2020 30')ùú = éê sin 2250 + sin (-1800 )ùú
ê
û 2ë
û
2ë

1é
1
2
sin (1800 + 450 ) - sin 1800 ùú = - sin 450 = ờ
ở
ỷ
2
2
4

2
ổ

ử
ổ p ửự
p ộ
p
2 p ữ
ỗ
b) B = ỗ2 sin
ữữ + 2 cos = ờ1 - cos ỗỗ2. ữữữỳ + 2 cos
ỗố
ỗố 16 ứỳ
16 ứ
8 ờở
8
ỷ
2

p
p
p
= 1 - 2 cos + cos 2 + 2 cos = 1 +
8
8
8

p
2
1+
4 = 1+
2 = 6+ 2
2

2
4

1 + cos

1 æ p 2p ử
1 ổ p 2p ử
p
2p
p
2 cos ỗỗ + ữữ sin çç - ÷÷
sin - sin
cos
÷
÷
ç
ç
2
5
15
2
5
15
è
ø
è
ø
5
15 =
6 = - cot p = - 3

=c) C =
p
2p
p
6
1 ỉ p 2p ư
1 ỉ p 2p ử
cos - cos
sin
-2 sin ỗỗ + ữữữ sin çç - ÷÷÷
5
15
6
2 èç 5 15 ø
2 èç 5 15 ứ

ổ
p
7p ử
5p
4p
p
5p
4p
5p
d) D = ỗỗsin + sin ữữ - sin
= 2 sin
.cos - sin
= sin
- sin

=0
ỗố
ữ
9
9ứ
9
9
3
9
9
9
Vớ d 3: Tớnh giỏ trị biểu thức lượng giác sau:

5


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a) A =

1
1
+
0
cos 290
3 sin 2500

A.

4 3
3

3
2

B.

C.

2 3
3

D.

3
3

b) B = (1 + tan 200 )(1 + tan 250 )
A.2

B.1

C.3

D.5

C.3

D.5

1

2

D.5

c) C = tan 90 - tan 27 0 - tan 630 + tan 810
A.2
d) D = sin 2

B.4
p
2p
p
2p
+ sin 2
+ sin sin
9
9
9
9

A.2

B.

3
4

C.
Lời giải:

a) Ta có cos 2900 = cos (1800 + 900 + 200 ) = - cos (900 + 200 ) = sin 200

sin 2500 = sin (1800 + 900 - 200 ) = - sin (900 - 200 ) = - cos 200
3
1
cos 200 - sin 200
1
1
3 sin 200 - sin 200
2
C=
=
=4 2
0
0
0
0
0
sin 20
3 cos 20
3 sin 20 .cos 20
3.2.sin 20 .cos 200

=4

sin 600 cos 200 - cos 600 sin 200
3 sin 40

0

=

4 sin 400
3 sin 40

0

=

4 3
3

0
0
0
0
0
æ
sin 200 ửổ
ữữỗỗ1 + sin 25 ửữữ = sin 20 + cos 20 . sin 25 + cos 25
b) Cách 1: Ta cú B = ỗỗỗ1 +
ữ
ữ
ỗố
cos 200 ữứốỗỗ
cos 250 ữứ
cos 200
cos 250

6

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
= 2.

sin 200 cos 450 + cos 200 sin 450
sin 250 cos 450 + cos 250 sin 450
.
2.
cos 200
cos 250

sin 650 sin 700
=2
=2
cos 200 cos 250

Cách 2: Ta có tan 450 = tan (200 + 500 ) =
Suy ra 1 =

tan 200 + tan 250
1 - tan 200 tan 250

tan 200 + tan 250
Û tan 200 + tan 250 + tan 200 tan 250 = 1
0
0
1 - tan 20 tan 25

Û (1 + tan 200 )(1 + tan 250 ) = 2 .

Vậy B = 2
c) C = tan 90 + tan 810 - (tan 27 0 + tan 630 )
sin 90 cos 810 + sin 810 cos 90 sin 27 0 cos 630 + sin 630 cos 27 0
=
cos 90 cos 810
cos 27 0 cos 630

2 (sin 540 - sin 180 )
1
1
2
2
=
=
=
cos 90 sin 90 cos 27 0 sin 27 0 sin 180 sin 540
sin 180 sin 540
=

4 cos 360.sin 180
=4
sin 180.sin 540

p
2p
p
2p ổỗ
p
2p ử
p

2p
+ sin sin
= ỗsin + sin ÷÷÷ - sin sin
d) D = sin + sin 2
9
9
9
9 ốỗ
9
9ứ
9
9
2

2

ổ
p
pử
1ổ
p
pử
p 1ổ1
pử
= ỗỗ2 sin cos ữữữ + ỗỗcos - cos ữữữ = cos 2 + ỗỗ - cos ữữữ
ỗố
6
18 ứ
2 ỗố
3

9ứ
18 2 ỗố 2
9ứ
p
1 + cos
9 + 1 ổỗ 1 - cos p ửữữ = 3
=
ỗ
2
2 ỗố 2
9 ữứ 4
2

7


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên được sử dụng

é1
ù
3
p
 sin x ± 3 cos x = 2 êê sin x ±
cos xúú = 2 sin( x ± )
2
3
êë 2
úû
é 3

ù
1
p
 3 sin x ± cos x = 2 êê
sin x ± cos xúú = 2 sin( x ± )
2
6
ëê 2
ûú
é 1
ù
1
p
 sin x ± cos x = 2 ê
sin x ±
cos xú = 2 sin( x ± ) .
ê 2
ú
4
2
ë
û
Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:
a) A = sin

A.

p
p
p

p
cos .cos .cos
32
32
16
8

3 2
16

B.

3
16

12
16

C.

D.

2
16

b) B = sin 10 o.sin 30 o.sin 50 o.sin 70 o
A.

1
16

c) C = cos

3
4

C.

1
2

D.5

B.

3
4

C.

1
2

D.5

C.

5
4

D.5

p
3p
+ cos
5
5

A.2

d) D = cos 2
A.2

B.

p
2p
3p
+ cos 2
+ cos 2
7
7
7

B.

3
4

Lời giải:

8


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nht
a)

1ổ
p
pử
p
p 1
p
p
p 1
p
p 1
p
2
A = ỗỗ2 sin cos ữữ .cos .cos = sin .cos .cos = sin .cos = sin =
ỗ
ữ
2ố
32
32 ứ
16
8 2
16
16
8 4

8
8 8
4 16

1
b) Ta cú B = cos 200 cos 400 cos 80 o do đó
2

16 sin 200.B = 8 sin 200 cos 200 cos 400 cos 80 o

= 4 sin 400 cos 400 cos 80 o

= 2 sin 800 cos 800 = sin 1600
Suy ra B =

sin 1600
1
= .
0
16
16 sin 20

p
2p
p
c) Ta có C = 2 cos cos
. Vì sin ¹ 0 nên
5
5
5

p
p
p
2p
2p
2p
4p
2 sin .C = 4 sin cos cos
= 2 sin
cos
= sin
5
5
5
5
5
5
5

Suy ra C =

c) D =

1
2

2p
4p
6p
1 + cos

1 + cos
7 +
7 +
7 = 3 + 1 ổỗcos 2p + cos 4p + cos 6p ửữữ
ỗ
2
2
2
2 2 ỗố
7
7
7 ữứ

1 + cos

Xột T = cos

2p
4p
6p
p
, vỡ sin ¹ 0 nên
+ cos
+ cos
7
7
7
7

9

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
p
p
2p
p
4p
p
6p
2 sin T = 2 sin cos
+ 2 sin cos
+ 2 sin cos
7
7
7
7
7
7
7
ổ
ử
ổ
ử
ổ
3p
p
5p
3p
5p ử

= ỗỗsin
- sin ữữ + ỗỗsin
- sin ữữ + ỗỗsin p - sin ữữ
ỗố
7
7 ữứ ỗố
7
7 ữứ çè
7 ÷ø
p
= - sin
7
1
Suy ra T = - .
2

Vậy D =

3 1 ổỗ 1 ữử 5
+ .ỗ- ữ = .
2 2 ỗố 2 ữứ 4

Vớ d 5: Cho a , b thoả mãn sin a + sin b =

2
6
và cos a + cos b =
.
2
2

a) Tính cos (a - b ) .
A.0

B.

3
4

C.

5
4

D.5

B.

3
4

C.

5
4

D.

b) Tính sin (a + b ) .
A.2

3
2

Lời giải:
 Ta có sin a + sin b =
cos a + cos b =

2
1
Û sin 2 a + sin 2 b + 2 sin a sin b = (1)
2
2

6
3
Û cos 2 a + cos 2 b + 2 cos a cos b = (2)
2
2

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được

10


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
sin 2 a + sin 2 b + cos 2 a + cos 2 b + 2 sin a sin b + 2 cos a cos b = 2
Û 2 + 2 (sin a sin b + cos a cos b ) = 2 Û 2 cos (a - b ) = 0
Vậy cos (a - b ) = 0
 Từ giả thiết ta có (sin a + sin b )(cos a + cos b ) =

Û sin a cos a + sin a cos b + sin b cos a + sin b cos b =
Û

2 6
.
2 2
3
2

1
3
(sin 2a + sin 2b ) + sin (a + b ) =
2
2

Mặt khác sin 2a + sin 2b = 2 sin (a + b ) cos (a - b ) = 0 (Do cos (a - b ) = 0 )
Suy ra sin (a + b ) =

3
2

3. Bài tập rèn luyện.
Bài 6.26: a)Tính giá trị lượng giác sau sin

A.

1- 2
2

B.

2- 2
2

b) Tính giá trị lượng giác sau sin

A.

2-2 2+ 2
2

B.

C.

3- 2
2

D.

2-2 2
2

C.

2+ 2+ 2
7

D.

2- 2+ 2
2

p
16

2- 2+ 2
3

c) Tính giá trị lượng giác sau cot
A. -2 - 3

p
8

11p
12

B. -2 + 3

C. 2 - 3

D. -2 - 2 3

11


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Lời giải:
Bài 6.26: Sử dụng công thức hạ bậc ta tính được

2 sin 2

p
p 2- 2
p
2- 2
= 1 - cos =
Þ sin =
8
4
2
8
2

2 sin 2

p
p
2+ 2
p
2- 2+ 2
= 1 - cos = 1 Þ sin =
16
8
2
16
2

p

p
1 + tan tan
ỉ
ư
11p
p
p p
3
4 = - 1 + 3 = -2 - 3
cot
= - cot = - cot ỗỗ - ữữữ = ỗ
p
p
12
12
ố3 4ứ
3 -1
tan - tan
3
4

Bài 6.27: Tính giá trị của biểu thức sau:
a) A = 4 sin 450 cos120 cos 30 - sin 540 - sin 360
A.

1+ 3
2

B.

1+ 2 3
2

C.

1- 3
2

D.

1+ 3
3

b) B = (1 - cot 230 )(1 - cot 220 )
A.2
c) C = cos

B.3

C.4

D.5

C.4

D.5

p
5p
7p

+ cos
+ cos
9
9
9

A.0

B.3

p
p
+ 2 sin
5
20
d) D =
p
p
2 cos - 2 sin
5
20
2 sin

12


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A.1

B.3

C.4

D.5

Lời giải:
Bài 6.27:a)

4 sin 450 cos120 cos 30 - sin 540 - sin 360 = 2 sin 450 (cos150 + cos 90 ) - 2 sin 450 cos 90
2 sin 450 cos150 = sin 300 + sin 600 =

1+ 3
2

æ cos 230 ÷ưỉ cos 220 ư÷
2 sin (230 - 450 ) . 2 sin (220 - 450 )
ỗ
ỗ
ữữỗ1 ữữ =
b) C1: B = ỗỗ1 =2
ỗố
sin 230 ữứốỗỗ
sin 220 ữứ
sin 230 sin 220
C2: 1 = cot 450 = cot (220 + 230 ) =
c) C = 2 cos

cot 220 cot 230 - 1
ÞB=2
cot 220 + cot 230

3p
2p
7p
2p
7p
cos
+ cos
= cos
+ cos
=0
9
9
9
9
9

p
p
p
p
3p
p
p
p
+ 2 sin cos
2 sin + sin
- sin
2 sin cos
5

20
4=
5
10
5 =
4
10 = 1
d) D =
p
p
p
p
3p
p
p
p
2 cos - 2 sin sin
2 cos + cos - cos
2 cos cos
5
20
4
5
10
5
4
10
2 sin

Bài 6.28: Tính:

a) Tính giá trị lượng giác của góc cos

A.

b) cos 4

2+ 6
4

B.

1+ 2 3
2

p
12

C.

1- 3
2

D.

1+ 3
3

p
p
- sin 4

24
24

13


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2+ 6
4

A.

B.

1+ 2 3
2

C.

1- 3
2

D.

1+ 3
3

B.

1+ 2 3

2

C.

1
2

D.

1+ 3
3

B.

1
8

C.

1
2

D.

1+ 3
3

c) cos 360 - cos 720
2+ 6
4

A.

d) sin 100 sin 500 sin 700
2+ 6
4

A.

Lời giải:
Bài 6.28: a) cos

Tương tự sin

b) cos 4

ổp pử
p
p
p
p
p
2+ 6
= cos ỗỗ - ữữ = cos cos + sin sin =
ỗ
ữ
12
3
4
3

4
4
ố3 4ứ

p
6- 2
p
p
=
, tan = 2 - 3 ,cot = 2 + 3
12
4
12
12

p
p ổỗ 2 p
p ửổ
p
pử
p
2+ 6
- sin 4
= ỗcos
+ sin 2 ữữữỗỗcos 2
- sin 2 ữữữ = cos =
24
24 ỗố
24
24 ứốỗ

24
24 ứ
12
4

c) cos 36 - cos 72 =
0

0

2 cos 2 360 - 2 cos 2 720
2 (cos 36 + cos 72
0

0

)

2 (cos 360 - cos 720 )(cos 360 + cos 720 )
2 (cos 360 + cos 720 )

=

cos 720 - cos1440

2 (cos 36 + cos 72
0

0

)

=

=

1
2

d) 8 sin 200 sin 100 sin 500 sin 700 = 8 sin 200 cos 200 cos 400 cos 800
= 4 sin 400 cos 400 cos 800 = 2 sin 800 cos 800 = sin 1600 = sin 200

14


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Þ sin 100 sin 500 sin 700 =

1
8

Bài 6.29: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = cos 2 730 + cos 2 47 0 + cos 730 cos 47 0
A.

3
4

B.

1
8

C.

1
2

D.

1+ 3
3

b) B = sin 60 sin 420 sin 660 sin 780
A.

1
16

B.

1
8

C.

1
2

D.

1+ 3
3

B.

1
8

C.

1
2

D.

1+ 3
3

B.

1
8

C.

1
2

D. 2

p
4p
5p
c) C = cos cos
cos
7
7
7

A.

d) D =

A.

1
16
1
- 4 sin 700
0
sin 10
1
16

Lời giải:
Bài 6.29: a)
A = (cos 730 + cos 47 0 ) - cos 730 cos 47 0 = (2 cos 600 cos180 ) 2

=

2

1
(cos1200 + cos 360 )
2

1 + cos 360 1 cos 360 3
+ =
2
4
2
4

15


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
b) B = sin 60 cos 480 cos 240 cos120 =

p
4p
2p
cos
=c) C = - cos cos
7
7
7

sin 120 sin 240 sin 480 sin 960

1
.
.
.
=
0
0
0
0
16
2 cos 6 2 sin 12 2 sin 24 2 cos 48

2p
4p
8p
sin
sin
7 .
7 .
7 =1
p
2p
4p 8
2 sin 2 sin
2 sin
7
7
7
sin

0
0
1 - 4 sin 700 sin 100 1 + 2 (cos 80 - cos 60 )
d) D =
=
=2
sin 100
sin 100

Bài 6.30: Cho a , b thoả mãn sin a + sin b = m và cos a + cos b = n , mn ¹ 0 .
Tính cos (a - b )
A.

m 2 + n2
-1
2

B.

3m 2 + n2
- 2m
2

C.

m 2 - n2
-1
2

D.

m 2 + n2
- 2n
2

B.

3m 2 + n2
- 2m
2

C.

m 2 - n2
-1
2

D.

m 2 + n2
- 2n
2

B.

2mn
m 2 + n2

C.

m 2 - n2
-1
2

D.

m 2 + n2
- 2n
2

Tính cos (a + b )
A.

n2 - m 2
m 2 + n2

Tính sin (a + b ) .
A.

n2 - m 2
m 2 + n2

Lời giải:
Bài 6.30: + Ta có (sin a + sin b ) + (cos a + cos b ) = m2 + n2
2

2

16

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Û sin 2 a + sin 2 b + cos 2 a + cos 2 b + 2 sin a sin b + 2 cos a cos b = m2 + n2
m 2 + n2
Û cos (a - b ) =
-1
2

+ (cos a + cos b ) - (sin a + sin b ) = n2 - m2 Û cos 2a + cos 2b + 2 cos (a + b ) = n2 - m2
2

2

Û 2 cos (a + b ) cos (a - b ) + 2 cos (a + b ) = n2 - m2 Û 2 cos (a + b ) éê cos (a - b ) + 1ùú = n2 - m2
ë
û

m 2 + n2
n2 - m 2
2
2
= n - m Þ cos (a + b ) = 2
Suy ra 2 cos (a + b ) .
2
m + n2

+ (sin a + sin b )(cos a + cos b ) = mn

Û sin a cos a + sin a cos b + sin b cos a + sin b cos b = mn
1

Û (sin 2a + sin 2b ) + sin (a + b ) = mn Û sin (a + b ) cos (a - b ) + sin (a + b ) = mn
2
m 2 + n2
2 mn
sin (a + b ) = mn Þ sin (a + b ) = 2
2
m + n2

Bài 6.31: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = sin
A.

p
7p
13p
19p
25p
sin
sin
sin
sin
30
30
30
30
30

1
32

B.

1
2

C.

1
4

D.

1
8

C.

1
4

D.

1
8

b) cos 24 o + cos 48 o - cos 84 o - cos12 o
A.

1
32

B.

1
2

17


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
p
2p
3p
c) cos - cos
+ cos
7
7
7

A.

1
32

B.

1
2

C.

1
4

D.

1
8

Lời giải:
Bài 6.31: a)

1
32

b)

1
2

c)

1
2

Bài 6.32: Tính giá trị của biểu thức sau:
p
4p
5p
a) A = cos .cos .cos

7
7
7

A.

1
8

B.

3
8

C.

1
16

D.

1
32

3
8

C.

1

16

D.

1
32

C.

1
16

D.

1
32

C.

1
16

D.

1
32

b) B = cos100.cos 500.cos 700
A.

1
8

B.

c) C = sin 6 o.sin 42 o.sin 66 o.sin 78 o
A.

1
8

d) E = cos
A.

1
8

B.

3
8

2p
4p
8p
16p
32p
.cos
.cos .cos
.cos

31
31
31
31
31

B.

3
8

e) F = sin 5o.sin 15o.sin 25o.... sin 75o.sin 85o

18


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A.

1
8

B.

3
8

C.

1

16

D.

2
512

Lời giải:
Bài 6.32: a)

1
8

3
8

b)

c)

1
16

d)

1
32

e)

Bài 6.33: Tính A = (1 + tan 10 )(1 + tan 20 ) ...(1 + tan 450 )
A. 2 23

B.

3
8

C. 2 24

D.

2
512

Lời giải:
Bài 6.33: 1 + tan k =
0

2 cos (450 - k 0 )
cos k

0

(

)

Þ (1 + tan k 0 ) 1 + tan (450 - k 0 ) = 2

Do đó A = 2 23
Bài 6.34: Tính A = cos a cos 2a cos 3a...cos 999a với a =
A. 2 23

B.

1
2

999

C. 2 24

2p
1999

D.

2
512

Lời giải:
Bài 6.34: Đặt B = sin a sin 2a sin 3a...sin 999a khi đó

2999 A.B = sin 2a sin 4a...sin 1998a
= (sin 2a sin 4a...sin 998a ). éê- sin (2p - 1002a)ùú ... éê- sin (2p - 1998a)ùú = B
ë
û ë
û
Suy ra A =

1
2999

.

19


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
CĨ ĐIỀU KIỆN.
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho cos 2 x = -

4
p
p
, với < x < .
5
4
2

a) Tính sin x , .
A.

2
3 10

B.

3
10

C.

1
10

D.

2
10

b) Tớnh cos x .
A.

2
3 10

B.

3
10

C.

1
10

D.

2
10

ổ
pử
c) Tớnh sin ỗỗ x + ữữữ .
3ứ
ốỗ
A.

3+ 3
2 10

B.

2+ 3
2 10

C.

1+ 2 3
2 10

D.

1+ 3
2 10

ổ
pử
d) Tớnh cos ỗỗ2 x - ữữ .
ỗố
4 ữứ
A. -

2
10

B.

3
10

C. -

3
10

D.

2
10

Lời giải:
Vì

p

p
< x < nên sin x > 0, cos x > 0 .
4
2

Áp dụng công thức hạ bậc, ta có :

20


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
sin 2 x =

1 - cos 2 x
9
3
=
Þ sin x =
2
10
10

cos 2 x =

1 + cos 2 x
1
1
=
Þ cos x =
2

10
10

Theo cụng thc cng, ta cú

ổ
pử
p
p
3 1
1
3 3+ 3
sin ỗỗ x + ÷÷÷ = sin x cos + cos x sin =
. +
.
=
ỗố
3ứ
3
3
10 2
10 2
2 10
ổ
pử
p
p
4 2
2
3

1
2
cos ỗỗ2 x - ÷÷÷ = cos 2 x sin + cos sin 2 x = - .
+
.2.
.
=4ứ
4
4
5 2
2
10
ốỗ
10 10
Vớ d 2: Cho cos 4a + 2 = 6 sin 2 a với
A. tan 2a = -3 3

p
< a < p . Tính tan 2a .
2

B. tan 2a = -2 3

C. tan 2a = - 3

D. tan 2a = 3

Lời giải:
Ta có cos 4a + 2 = 6 sin 2 a Û 2 cos 2 2a - 1 + 2 = 3 (1 - cos 2a)
Û 2 cos 2 2a + 3 cos 2a - 2 = 0 Û (2 cos 2a - 1)(cos 2a + 2) = 0 Û cos 2a =

1
(Vì
2

cos 2a + 2 > 0 )

Ta có 1 + tan 2 2a =

Vì

1
1
Þ tan 2 2a =
-1 = 3
2
cos 2a
cos 2 2a

p
< a < p Þ p < a < 2p nên sin 2a < 0 . Mặt khác cos 2a > 0 do đó tan 2a < 0
2

Vậy tan 2a = - 3
Ví dụ 3: Cho

1
1
1
1

+
+
+
= 7 . Tính cos 4a .
2
2
2
tan a cot a sin a cos 2 a

21


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A. cos 4a = -

7
10

B. cos 4a = -

7
11

C. cos 4a = -

7
12

D. cos 4a = -

7
9

Lời giải:
Ta có
Û
Û

1
1
1
1
+
+
+
=7
2
2
2
tan a cot a sin a cos 2 a

sin 2 a + 1 cos 2 a + 1
+
=7
cos 2 a
sin 2 a
sin 2 a (sin 2 a + 1) + cos 2 a (cos 2 a + 1)

sin 2 a cos 2 a
Û sin 4 a + cos 4 a + 1 = 7 sin 2 a cos 2 a

=7

Û (sin 2 a + cos 2 a) - 2 sin 2 a cos 2 a + 1 = 7 sin 2 a cos 2 a
2

Û 2 = 9 sin 2 a cos 2 a

Û 8 = 9 (2 sin a cos a)

2

Û 8 = 9 sin 2 2a

Û 16 = 9 (1 - cos 4a)
Û cos 4a = -

7
9

Vậy cos 4a = -

7
9

Ví dụ 4: Cho sin a + cos a = cot

A. -1

ỉ a + 2013p ư÷

a
với 0 < a < p . Tớnh tan ỗỗ
ữữ .
ỗố
2
2
ứ

B. 1

C. 0

D.

1
2

Li gii:

a
a
a
Ta cú sin a = 2 sin cos = 2 cos 2 .
2
2
2

a
a
2 tan

2 =
2
a
a
cos
tan 2 + 1
2
2
sin

22


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nht
ổ
aử
a
ỗỗ
sin 2 ữữữ 1 - tan 2
a
a
a
ỗ
2 ữữ =
2
cos a = cos 2 - sin 2 = cos 2 ỗỗ1 ữ
ỗ
2
2
2ỗ

2 aữ
2 a
+1
ỗỗố cos ữữữứ tan
2
2
a
a
1 - tan 2
a
2 +
2 = 1
Do đó sin a + cos a = cot Û
a
a
a
2
tan 2 + 1 tan 2 + 1 tan
2
2
2
2 tan


a

a
a
a
a

Û tan ỗỗ1 + 2 tan - tan 2 ữữ = 1 + tan 2 Û tan 3 - tan 2 - tan + 1 = 0
2 ỗố
2
2 ữứ
2
2
2
2
ổ
a ử
ỗỗtan - 1ữữữ
2
ốỗ
ứ

2

ổ
ử
ỗỗtan a + 1ữữ = 0 tan a = 1
ữứ
2
2
ốỗ

Vỡ 0 < a < p ị 0 <

a p
a
a

a
< do đó tan > 0 nên tan = 1 Þ cot = 1
2 2
2
2
2

ỉ a + 2013p ư÷
ỉa
pư
a
Ta có tan ỗỗ
ữữ = tan ỗỗ + 2006p + ữữữ = - cot = -1
2
2ứ
2
ốỗ
ứ
ốỗ 2
ổ a + 2013p ửữ
Vy tan çç
÷ = -1
çè
2
ø÷
Lưu ý: Ta có thể biểu diễn sin a ,cos a , tan a ,cot a qua t = tan

sin a =

a

như sau:
2

2t
1- t 2
2t
1- t 2
,cos
a
=
,
tan
a
=
,cot
a
=
với a làm các biểu thức có
2t
1+ t2
1+ t2
1- t 2

nghĩa.
Ví dụ 5: Cho sin (a + b ) =

1
, tan a = -2 tan b .
3

ỉ
ỉ
ỉ
3p ư
pư
5p ư ỉ
pư
Tính A = sin ỗỗa + ữữữ cos ỗỗa + ữữữ + sin ççb - ÷÷÷ sin ççb - ÷÷÷ .
çè
çè
çè
8ø
8ø
12 ø çè
12 ø

23


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A.

-1
3

B.

1
3

C.

2
3

D.

4
7

Lời giải:
Ta có sin (a + b ) =

1
1
Û sin a cos b + cos a sin b = (1)
3
3

tan a = -2 tan b Û sin a cos b = -2 sin b cos a (2)
ì
1 ì
1 ì
1
ï
ï
ï
2
2
2

2
ï
ï
ï
ïcos a sin b = ïcos a sin b =
ï(1 - sin a) sin b =
3 Þï
9 Þï
9
Từ (1) và (2) ta được ï
í
í
í
ï
ï
ï
2 ï 2
4 ï 2
4
ï
sin a cos b = sin a cos 2 b =
sin a (1 - sin 2 b ) =
ï
ï
ï
ï
ï
ï
3 ỵ
9 ỵ

9
ï
ï
ï
ỵ
ì
1
ï
ï
1 - sin 2 a) sin 2 b =
(
ù
ù
9 ị ổỗ1 - sin 2 b - 1 ửữữ sin 2 b = 1
ịớ
ỗỗ
ù
1
3 ữứ
9
ố
2
2
ù
sin a - sin b =
ù
ù
3
ù
ợ

ổ
2
1
1ử
1
ị sin b - sin 2 b + = 0 ị ỗỗsin 2 b - ữữữ = 0 ị sin 2 b =
ỗố
3
9
3ứ
3
2

4

1 2
Do ú sin 2 a = sin 2 b + =
3 3

ỉ
ỉ
3p ư
pư 1 ộ ổ
pử
pự 1ổ
2 ửữữ
Ta cú sin ỗỗa + ữữữ cos çça + ÷÷÷ = ê sin çç2a + ÷÷÷ - sin ỳ = ỗỗỗcos 2a ữ
8ứ
8 ứ 2 ờở ốỗ

2ứ
4 ỳỷ 2 ỗố
2 ữữứ
ốỗ
ốỗ
1ổ
2 ửữữ 1 ổỗ
2
2 ửữữ
2+3 2
= ỗỗỗ1 - 2 sin 2 a ữữ = ỗỗ1 - 2. ữữ = 2 ỗố
2 ữứ 2 ỗố
3
2 ữứ
12
ổ
ổ
pử
5p ử 1 ộ ổ
pử
pự 1 ộ
3 ựỳ
sin ỗỗb - ữữữ cos ỗỗb - ữữữ = ờ sin ỗỗ2b - ữữữ + sin ỳ = ờờ- cos 2b +
ỗố
ỗố
12 ứ
12 ứ 2 ờở çè
2ø
3 úû 2 ëê
2 úûú

1 ỉç
3 ư÷÷ 1 ỉç
1
3 ư÷÷ -2 + 3 2
2
ỗ
ỗ
= ỗ-1 + 2 sin b +
ữ = -1 + 2. +
ữ=
2 ỗố
2 ữữứ 2 ỗỗố
3
2 ứữữ
12

24