PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word image marked

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa.
Cho hai hàm số y = f ( x) và y = g ( x) có tập xác định lần lượt là D f và D g . Đặt

D = D f Ç Dg . Mệnh đề chứa biến " f ( x) = g ( x) " được gọi là phương trình một ẩn ; x

được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình.

x0 Ỵ D gọi là một nghiệm của phương trình f ( x) = g ( x) nếu " f ( x0 ) = g ( x0 ) " là mệnh
đề đúng.
Chú ý: Các nghiệm của phương trình f ( x) = g ( x) là các hoành độ giao điểm đồ thị hai
hàm số y = f ( x) và y = g ( x) .

2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả.
a) Phương trình tương đương: Hai phương trình f1 ( x) = g1 ( x) và f2 ( x) = g2 ( x) được
gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu là
f1 ( x) = g1 ( x) Û f2 ( x) = g2 ( x) .

 Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến
đổi tương đương.
b) Phương trình hệ quả: f2 ( x) = g2 ( x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình

f1 ( x) = g1 ( x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f1 ( x) = g1 ( x) .

Kí hiệu là f1 ( x) = g1 ( x) Þ f2 ( x) = g2 ( x)
c) Các định lý:
Định lý 1: Cho phương trình f ( x) = g ( x) có tập xác định D ; y = h ( x) là hàm số xác
định trên D . Khi đó trên D , phương trình đã cho tương đương với phương trình sau

1) f ( x) + h ( x) = g ( x) + h ( x)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
2) f ( x) .h ( x) = g ( x) .h ( x) nếu h ( x) ạ 0 vi mi x ẻ D

nh lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả
của phương trình đã cho.
f ( x) = g ( x) Þ f 2 ( x) = g 2 ( x) .

Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý
 Đặt điều kiện xác định(đkxđ) của phương trình và khi tìm được nghiệm của
phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định.
 Nếu hai vế của phương trình ln cùng dấu thì bình phương hai vế của nó ta thu
được phương trình tương đương.
 Khi biến đổi phương trình thu được phương trình hệ quả thì khi tìm được nghiệm
của phương trình hệ quả phải thử lại phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm
ngoại lai.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TỐN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH.
1. Phương pháp giải.
- Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f ( x) , g ( x)
cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)
- Điều kiện để biểu thức



f ( x) xác định là f ( x) ³ 0

1

xác định là f ( x) ¹ 0
f ( x)



1

f ( x)

xác định là f ( x) > 0

2. Các ví dụ điển hình.
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:
a) x +

5
=1
x -4
2

A. x ¹ 0

B. x ¹ ±2

C. x ¹ -2

D. x ¹ 2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

b) 1 + 3 - x = x - 2
A. 2 < x < 3

B. 2 £ x £ 3

C. x £ 3

D. 2 £

3
2

D. x ³

c) 1 + 2 x - 3 = 3 x - 2
A. x <
d)

3
2

4 - 2x =

B. x ³

3
4

C. x ³

5
2

x +1
x - 3x + 2
3

ìï x < 2
A. ïí
ïïỵx ¹ -1

ìïx < 4
B. ïí
ïïỵ x ¹ 1

ìïx < 2
C. ùớ
ùùợ x ạ 1

ỡùx < 3
D. ùớ
ùùợ x ạ 1

Li giải:
a) Điều kiện xác định của phương trình là x 2 - 4 ¹ 0 Û x 2 ¹ 4 Û x ¹ ±2

ìï3 - x ³ 0 ìïx £ 3
b) Điều kiện xác định của phương trình là ïí
Û ïí

Û 2£x£3
ïỵïx - 2 ³ 0 ïỵïx ³ 2
ì
3
ï
ï
x
³
ï
ì
ï2 x - 3 ³ 0 ï
2 Û x³ 3
Ûí
c) Điều kiện xác định của phương trình là ï
í
ï
2
2
ï3 x - 2 ³ 0 ï
ï
ỵ
x³
ï
ï
3
ï
ỵ

d) Điều kiện xác định của phương trình là
x£2

ïìï
ìï 4 - 2 x ³ 0
ïí
Û
í
ïỵïx 3 - 3x + 2 ¹ 0 ïï( x - 1)( x 2 + x - 2) ạ 0
ùợ


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

ì
x£2
ï
ì
ï
x
£
2
ï
ìx < 2
ï
ï
ï
ï
Ûí
Û íx ¹ 1 Û ï
í
2
ï

ï
ï( x - 1) ( x - 2) ¹ 0 ù
ù
ù
ợx ạ 1
ù
ợ
ù
x
ạ
2
ù
ợ
Vớ d 2: Tỡm iu kin xỏc định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:
a) 4 x + 4 x - 3 = 2 3 - 4 x + 3

ìï 3 üï
A. S = ùớ ùý
ùợù 4 ùỵù
b)

ỡ
ù 5ỹ
ù
D. S = ù
ớ ù
ý
ù
ù 3ù
ù

ợ
ỵ

B. S = {3}

C. S = ặ

ỡ 5ù
ỹ
ù
D. S = ù
ớ ù
ý
ù
ù 3ù
ù
ợ
ỵ

B. S = {3}

C. S = ặ

ỡ 5ù
ỹ
ù
D. S = ù
ớ ù
ý
ù

ù 3ù
ù
ợ
ỵ

C. S = ặ

ỡ 5ù
ỹ
ù
D. S = ù
ớ ù
ý
ù
ù 3ù
ù
ợ
ỵ

x + x - 2 = -3 - x
ùỡ 3 ùỹ
A. S = ùớ ùý
ùợù 4 ùỵù

d)

C. S = Ỉ

-x 2 + 6 x - 9 + x 3 = 27

ïì 3 ïü
A. S = ïí ïý
ïỵï 4 ùỵù
c)

B. S = {3}

( x - 3) (5 - 3x) + 2 x =
2

ïì 3 ïü
A. S = ïí ùý
ùợù 4 ùỵù

3x - 5 + 4
B. S = {3}

Li giải:
ì
3
ï
ï
x
³
ï
ì
ï4x - 3 ³ 0 ï
4 Û x= 3
Ûí
a) Điều kiện xác định của phương trình là ïí

ï
ï
4
ï3 - 4x ³ 0 ï
ïx £ 3
ỵ
ï
4
ï
ỵ

Thử vào phương trình thấy x =

3
thỏa mãn
4

ìï 3 üï
Vậy tập nghiệp của phương trình là S = ùớ ùý
ùợù 4 ùỵù


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
b) Điều kiện xác định của phương trình là -x 2 + 6 x - 9 ³ 0 Û -( x - 3) ³ 0 Û x = 3
2

Thay x = 3 vào thấy thỏa mãn phương trình
Vậy tập nghiệp của phương trình là S = {3}

ïìï x ³ 0

ïìï x ³ 0
ïï
ï
c) Điều kiện xác định của phương trình là íx - 2 ³ 0 Û ïíx ³ 2
ïï
ïï
ïïỵ 3 - x ³ 0 ïïỵx £ -3
Khơng có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = Æ
2
ìï
ï( x - 3) (5 - 3 x) ³ 0
d) Điều kiện xác định của phương trình là í
(*)
ïï
3
x
5
³
0
ïỵ

Dễ thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (*).
ì
5
ï
ï
x
£
ï

ì
ï5 - 3 x ³ 0 ï
3 Û x= 5
Ûí
Nếu x ¹ 3 thì (*) Û ï
í
ï
5
3
ï3 x - 5 ³ 0 ï
ï
ỵ
x³
ï
ï
3
ï
ỵ

Vậy điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x =
Thay x = 3 và x =

5
vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn.
3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {3} .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 3.0: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:
a)

5
=3x
x - x -1
2

5
3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

A. x ³ 2

B. x Ỵ ặ

ỡù x 3
ùù
C. ùớx ạ 1
ùù
ùùợx ạ 2

D. x ạ

B. x ẻ ặ

ùỡù x 3
ù
C. ùớx ạ 1
ùù

ùùợx ạ 2

D. x ạ

1 5
2

B. x ẻ ặ

ùỡù x 3
ù
C. ùớx ạ 1
ùù
ùùợx ạ 2

D. x ạ

1 5
2

B. x ẻ ặ

ỡù x 3
ùù
C. ùớx ạ 1
ùù
ùùợx ạ 2

D. x ¹

1± 5
2

1± 5
2

b) 1 + x - 2 = x - 1
A. x ³ 2

c) 1 + 2 x - 4 = 2 - 4 x
A. x ³ 2

d)

2x - 6 =

A. x ³ 2

x +1
x - 3x + 2
2

Lời giải:
Bài 3.0: a) ĐKXĐ: x 2 - x - 1 ¹ 0 Û x ¹

ìï x - 1 ³ 0
b) ĐKXĐ: ï
Û x³2
í
ïïỵx - 2 ³ 0

ì2 x - 4 0
ù
c) KX: ù
x ẻặ
ớ
ù
2
4
x

0
ù
ợ

1 5
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

ìï x ³ 3
ïï
ïìï 2 x - 6 0
d) KX: ớ 2
ùớx ạ 1
ùợùx - 3 x + 2 ạ 0 ùù
ùùợx ạ 2
Bi 3.1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
a) 4 x + 2 4 x - 3 = 2 4 x - 3 + 3
A. x ³

b)

3
4

éx = 1
D. ê
êx = 2
ở

3
4

B. x ẻ ặ

C. x = 2

ộx = 1
D. ê
êx = 2
ë

C. x = 2

éx = 1
D. ê
êx = 2
ë

C. x = 2

éx = 1
D. ê
êx = 2
ë

2x + x - 2 = 2 - x + 2
A. x ³

d)

C. x = 2

-x 2 + x - 1 + x = 1
A. x

c)

B. x ẻ ặ

3
4

B. x ẻ Æ

x3 - 4 x2 + 5x - 2 + x = 2 - x
A. x

3

4

B. x ẻ ặ

Li gii:
3
3
Bi 3.1: a) ĐKXĐ: x ³ . Dễ thấy x = là nghiệm của phương trình
4
4

ỉ
1ư 3
b) ĐKXĐ: -x + x - 1 0 -ỗỗ x - ữữữ - 0 x ẻ ặ
2ứ 4
ốỗ
2

2

Vy tp nghip ca phương trình là S = Ỉ


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

ìï x ³ 0
ïï
c) ĐKXĐ: ï
íx - 2 ³ 0 Û x = 2
ïï

ïïỵ2 - x ³ 0
Thử lại phương trình thấy x = 2 thỏa mãn
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}
ï( x - 1)2 ( x - 2) ³ 0 é x = 1
ì
ï
x3 - 4 x2 + 5x - 2 ³ 0 ì
ï
Ûï
Ûê
d) ĐKXĐ: í
í
êx = 2
ï
ï
2
x
³
0
x
£
2
ï
ï
ë
ỵ
ï
ỵ

Thay vào phương trình ta có tập nghiệm của phương trình là S = {1} .

 DẠNG TỐN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG
ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ
1. Phương pháp giải.
Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương
đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi
thường sử dụng
 Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định
của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.
 Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều
kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với
phương trình đã cho.
 Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của
phương trình đã cho.
 Bình phương hai vế của phương trình(hai vế ln cùng dấu) ta thu được phương
trình tương đương với phương trình đã cho.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) 1 +

1
5
= 2
x-3 x - x-6

A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 5 nghiệm


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

b)

c)

d)

x2
x-2

=

1
x-2

- x-2

A.1 nghiệm duy nhất

B. vơ nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 5 nghiệm

x + 3( x 4 - 3 x 2 + 2) = 0

A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 5 nghiệm

x - 1( x 2 - x - 2) = 0

A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 2 nghiệm

D. 5 nghiệm
Lời giải:

ìï
ìï x ¹ 3
x¹3
a) ĐKXĐ : ùớ 2
ùớ
ùùợx - x - 6 ạ 0 ùùợx ạ -2
Vi iu kin ú phng trỡnh tng ng với

1+

1

5
=
Û ( x - 3)( x + 2) + x + 2 = 5
x - 3 ( x - 3)( x + 2)

Û x 2 = 9 Û x = ±3

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = -3 .
b) ĐKXĐ: x > 2
Với điều kiện đó phương trình tương đương với
x 2 = 1 - ( x - 2) Û x 2 + x - 3 = 0 Û x =

-1 ± 13
2

Đối chiếu với điều kiện ta thấy khơng có giá trị nào thỏa mãn


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
Vậy phương trình vơ nghiệm.
c) ĐKXĐ: x ³ -3

é
x+3 = 0
Phương trình tương đương với êê 4
2
êë x - 3 x + 2 = 0
é x = -3
é x = -3
é

ê
ê
x = -3
ê x 2 - 1 = 0 Û ê x = ±1
Û êê 2
Û
2
ê
ê
êë( x - 1)( x - 2) = 0 ê 2
ê
êë x - 2 = 0 êë x = ± 2

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là
x = -3, x = ±1 và x = ± 2 .

ìï x ³ 0
ìïx ³ 0
d) ĐKXĐ: ïí
Û íï
Û x ³1
ïï x - 1 ³ 0 ïïỵ x ³ 1
ỵ
Với điều kiện đó phương trình tương đương với

é x=1
é
ê
x -1 = 0
ê

ê x = -1
Û
ê 2
ê
êë x - x - 2 = 0 ê
ëê x = 2
Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm của phương trình là x = 1 và x = 2 .
Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình sau:
a)

2 x - 3 = 4 x 2 - 15
A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 5 nghiệm

b) . x 2 - 3 x + 4 = 8 - 3 x .
A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 5 nghiệm


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

c) 2 x + 1 = x - 2
A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 2 nghiệm

D. 5 nghiệm

d) 2 x + 1 = x - 1
A.1 nghiệm duy nhất

B. vơ nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 2 nghiệm
Lời giải:

ìï 2x - 3 ³ 0
a) ĐKXĐ: ïí 2
(*)
ïïỵ4x - 15 ³ 0
Với điều kiện (*) phương trình tương đương với

(

2x - 3

) (

2

=

4 x 2 - 15

)

2

Û 2x - 3 = 4x 2 - 15

é x=2
ê
Û 4x - 2x - 12 = 0 Û ê
êx = - 3
êë
2
2

Thay vào điều kiện (*) ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
ỉ
3ư 7
b) ĐKXĐ: x - 3 x + 4 ³ 0 ỗỗ x - ữữữ + 0 (luụn ỳng vi mi x )
ỗố
2ứ
4
2

2

Bỡnh phng hai v ca phng trỡnh ta được
x 2 - 3 x + 4 = (8 - 3 x) Û x 2 - 3 x + 4 = 9 x 2 - 48 x + 64
2

8 x 2 - 45 x + 60 = 0 Û x =

45 ± 105
16

Thay vào phương trình ta thấy chỉ có x =

45 - 105
và đó là nghiệm duy nhất của
16


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
phương trình.
c) Phương trình tương đương với ( 2 x + 1 ) = ( x - 2 )
2

2

Û 4x2 + 4x + 1 = x2 - 4x + 4
é x = -3
ê
2
Û 3x + 8 x - 3 = 0 Û ê

ê x= 1
êë
3
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = -3 và x =

1
.
3

d) Ta có 2 x + 1 = x - 1 Þ (2 x + 1) = ( x - 1)
2

2

Þ 4 x2 + 4 x + 1 = x2 - 2 x + 1 Û 3x2 + 6 x = 0

é x=0
Þê
ê x = -2
ë
Thử vào phương trình ta thấy khơng có giá trị nào thỏa mãn
Vậy phương trình vơ nghiệm.
Ví dụ 3: Tìm nghiệm ( x; y) với x là số nguyên dương của phương trình sau
20 - 8 x + 6 x 2 - y 2 = y 7 - 4 x

ỉ 3 + 2 3 ư÷
÷÷
A. ççç2;
2 ÷ø÷
èç

ỉ 1 + 3 ư÷
÷÷
B. ççç3;
2 ÷ø÷
èç

ỉ 3 + 3 ửữ
ữữ
C. ỗỗỗ1;
2 ữứữ
ốỗ

ổ
-3 + 2 3 ửữữ
D. ỗỗỗ-1;
ữữ
2
ốỗ
ứữ

Li gii:
ỡù
20
ù
ỡù20 - 8x ³ 0 ïïx £ 8
7
Ûí
Û x£
Nếu phương trình có nghiệm ( x; y) thì x phải thỏa mãn ïí

ïỵï 7 - 4x ³ 0
ïï
7
4
ïï x £
4
ïỵ

Vì x là số nguyên dương nên x = 1


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
Thay x = 1 vào phương trình ta được

12 + 6 - y 2 = y 3 (*)

Điều kiện xác định của phương trình (*) là 6 - y 2 ³ 0
(*) Þ 6 - y 2 = 3 ( y - 2) Þ 6 - y 2 = 3 ( y - 2)

2

Þ 4 y 2 - 12 y + 6 = 0 Þ y =

3± 3
2

Thử vào phương trình (*) thấy chỉ có y =

3+ 3
là thỏa mãn

2

ỉ 3 + 3 ư÷
÷÷ .
Vậy phương trỡnh cú nghim tha món bi l ỗỗỗ1;
ỗố
2 ữữứ
Vớ dụ 4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương
a) mx 2 - 2 (m - 1) x + m - 2 = 0 (1) và (m - 2) x 2 - 3 x + m2 - 15 = 0 (2)
A. m = 1

B. m = 4

C. m = 2

D. m = 3

b) 2 x 2 + mx - 2 = 0 (3) và 2 x 3 + (m + 4) x 2 + 2 (m - 1) x - 4 = 0 (4)
A. m = 1

B. m = 4

C. m = 2

D. m = 3

Lời giải:
a) Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương

é

x=1
Ta có (1) Û ( x - 1)(mx - m + 2) = 0 Û ê
ê mx - m + 2 = 0
ë
Do hai phương trình tương đương nên x = 1 là nghiệm của phương trình (2)
Thay x = 1 vào phương trình (2) ta được

é m=4
ë m = -5

(m - 2) - 3 + m2 - 15 = 0 Û m2 + m - 20 = 0 Û êê


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

éx=1
ê
 Với m = -5 : Phương trình (1) trở thành -5 x + 12 x - 7 = 0 Û ê
êx = 7
êë
5
2

é x=1
ê
Phương trình (2) trở thành -7 x - 3 x + 10 = 0 Û ê
ê x = - 10
êë
7
2

Suy ra hai phương trình khơng tương đương

é
1
êx =
 Với m = 4 : Phương trình (1) trở thành 4 x - 6 x + 2 = 0 Û ê
2
ê
êë x = 1
2

éx=1
ê
Phương trình (2) trở thành 2 x - 3 x + 1 = 0 Û ê
êx = 1
êë
2
2

Suy ra hai phương trình tương đương
Vậy m = 4 thì hai phương trình tương đương.
b) Giả sử hai phương trình (3) và (4) tương đương
Ta có 2 x 3 + (m + 4) x 2 + 2 (m - 1) x - 4 = 0 Û ( x + 2)(2 x 2 + mx - 2) = 0

é
x = -2
Ûê 2
ê 2 x + mx - 2 = 0
ë

Do hai phương trình tương đương nên x = -2 cũng là nghiệm của phương trình (3)
Thay x = -2 vào phương trình (3) ta được 2 (-2) + m (-2) - 2 = 0 Û m = 3
2

é x = -2
ê
 Với m = 3 phương trình (3) trở thành 2 x + 3 x - 2 = 0 Û ê
ê x= 1
êë
2
2

Phương trình (4) trở thành 2 x 3 + 7 x 2 + 4 x - 4 = 0 Û ( x + 2) (2 x + 1) = 0
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

é x = -2
ê
Ûê
ê x= 1
êë
2
Suy ra phương trình (3) tương đương với phương trình (4)
Vậy m = 3 .
3. Bài tập tự luyện.
Bài 3.2: Tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) 1 +

1
6
=
2 - x 4 - x2

A.1 nghiệm duy nhấtB.2 nghiệm

b)

2x
3- x

=

1
3- x

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm

x + 1( x 2 - 16) = 0

A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm

d)

D.Vô nghiệm

- 3- x

A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm
c)

C.3 nghiệm

3- x
=0
x - 2x - 3
2

A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm

Lời giải:

ì
ï x¹2
Bài 3.2: a) KX : ù
x ạ 2
ớ 2
ù
ù
ợx - 4 ¹ 0

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

éx = 0
(thỏa mãn)
4 - x2 + x + 2 = 6 Û x2 - x = 0 Û ê
êx = 1
ë


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
b) ĐKXĐ: x < 3
pt Û 2 x = 1 - (3 - x) Û x = -2 (thỏa mãn)
c) ĐKXĐ: x ³ -1

é x +1 = 0
é x = -1
Phương trình tương đương với êê 2
Ûê
ê
ëê x - 16 = 0 ë x = ±4
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = -1 và x = 4 .

ìï x < 3
d) ĐKXĐ: ïí
. PT Û x = 3 (khơng th món iu kin)
ùùợx ạ -1
Bi 3.3: Tỡm s nghim của phương trình
a)

x - 2 = x2 - 8

A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm

b)

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm

3x2 - x - 9 = x - 1 .
A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm

c) 2 x + 3 = 2 x - 3
A.1 nghiệm duy nhất B.2 nghiệm

d) 2 x - 1 = 3 x - 4
A.1 nghiệm duy nhất

B.2 nghiệm

Lời giải:
Bài 3.3: a) x = 3

b) x = 2 c ) x = 0 d ) x = 3

Bài 3.4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương

C.3 nghiệm

D.Vô nghiệm


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
a) x 2 + mx - 1 = 0 (1) và (m - 1) x 2 + 2 (m - 2) x + m - 3 = 0 (2)
A. m = 1

B. m = -1

C. m = 2

D. m = Ỉ

b) (2 m - 2) x 2 - (2 m + 1) x + m2 + m - 17 = 0 (3) và (2 - m) x 2 + 3 x + 15 - m2 = 0 (4)
A. m = 4

B. m = -4

C. m = 2

D. m = Ỉ

Lời giải:
Bài 3.4: a) Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương

é
x = -1
Ta có (m - 1) x 2 + 2 (m - 2) x + m - 3 = 0 Û êê
êë(m - 1) x + m - 3 = 0
Do hai phương trình tương đương nên x = -1 cũng là nghiệm của phương trình (1)
Thay x = -1 vào phương trình (1) ta được m = 0
Với m = 0 thay vào hai phương trình ta thấy khơng tương đương.
Vậy khơng có giá trị nào của m thỏa mãn.
b) Cộng vế với vế để khử m2 ta thu được phương trình mới có thể nhẩm nghiệm
Kết quả m = 4 thì hai phương trình tương đương.
§2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa.
 Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 với a , b là số
thực và a ¹ 0
 Phương trình bậc hai một ẩn phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0 với a , b , c là
số thực và a ¹ 0
2. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 (1).


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
b
b
do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = a
a
 Nếu a = 0 : phương trình (1) trở thành 0 x + b = 0
Th1: Với b = 0 phương trình nghiệm đúng với mi x ẻ R

Nu a ạ 0 : (1) Û x = -

Th2: Với b ¹ 0 phương trình vơ nghiệm
3. Giải và biện luận phương trình ax 2 + bx + c = 0
 Nếu a = 0 : trở về giải và biện luận phương trình dạng (1)
 Nếu a ¹ 0 : D = b2 - 4 ac
Th1: D > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x =
TH2: D = 0 phương trình có nghiệm kép x = -

-b ± D
2a

b
2a

Th3: D < 0 phương trình vơ nghiệm.
4. Định lí Vi-ét và ứng dụng.
a) Định lí Vi-ét.
Hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi
chúng thỏa mãn hệ thức x1 + x2 = -

b
c
và x1 x2 = .
a
a

b) Ứng dụng.
 Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
 Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f ( x) = ax 2 + bx + c có hai nghiệm x1 và x2

thì nó có thể phân tích thành nhân tử f ( x) = a ( x - x1 )( x - x2 ) .

 Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P
thì chúng là nghiệm của phương trình x 2 - Sx + P = 0 .
 Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai:
b
c
Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (*), kí hiệu S = - , P = khi đó
a
a
+ Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất

ìïD ³ 0
ïï
+ Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi ï
íP > 0
ïï
ïïỵS > 0
ìïD ³ 0
ïï
+ Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi ï
íP > 0
ïï
ïïỵS < 0
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TOÁN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b = 0 .
1. Phương pháp giải.

Để giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 ta dựa vào kết quả đã nêu ở trên.
Lưu ý:

é a¹0
 Phương trình ax + b = 0 có nghiệm Û ê
êa = b = 0
ë
ïìa = 0
 Phương trình ax + b = 0 vụ nghim ùớ
ùùợb ạ 0

Phương trình ax + b = 0 có nghiệm duy nhất Û a ¹ 0
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số.
a) (m - 1) x + 2 - m = 0
A. m = 1 : Phương trình vơ nghiệm
B. m ¹ 1 : Phương trình có nghiệm duy nhất x =
C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai
b) m (mx - 1) = 9 x + 3

m-2
m -1


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
A. m = 3 : Phương trình vơ nghiệm
B. m = -3 : Phương trình nghiệm ỳng vi mi x ẻ R
C. m ạ 3 : Phương trình có nghiệm x =

1
m-3

D. Cả A, B, C đều đúng

c) ( m + 1)2 x = (3m + 7)x + 2 + m
A. m = 3 : Phương trình vơ nghiệm
B. m = -2 : Phương trình nghiệm ỳng vi mi x ẻ R
C. m ạ 3 v m ¹ -2 : Phương trình có nghiệm x =

1
m-3

D.Cả A, B, C đều đúng
Lời giải:
a) Phương trình tương đương với (m - 1) x = m - 2
+ Với m - 1 = 0 Û m = 1 : Phương trình trở thành 0 x = -1
Suy ra phương trình vơ nghiệm.
+ Với m - 1 ¹ 0 Û m ¹ 1 : Phương trình tương đương với x =
Kết luận
m = 1 : Phương trình vơ nghiệm
m ¹ 1 : Phương trình có nghiệm duy nhất x =

m-2
m -1

b) Ta có m (mx - 1) = 9 x + 3 Û (m2 - 9) x = m + 3
+ Với m2 - 9 = 0 Û m = ±3 :

m-2

m -1


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
Khi m = 3 : Phương trình trở thành 0 x = 6 suy ra phương trình vơ nghiệm
Khi m = -3 : Phương trình trở thành 0 x = 0 suy ra phương trình nghiệm
đúng vi mi x ẻ R
m+3
1
+ Vi m2 - 9 ạ 0 Û m ¹ ±3 : Phương trình tương đương với x = 2
.
=
m -9 m-3



Kết luận:
m = 3 : Phương trình vơ nghiệm
m = -3 : Phương trình nghiệm ỳng vi mi x ẻ R
m ạ 3 : Phng trình có nghiệm x =

1
m-3

c) Phương trình tương đương với éê( m + 1)2 - 3m - 7 ùú x = 2 + m
ë
û

Û ( m 2 - m - 6) x = 2 + m
é m=3

+ Với m2 - m - 6 = 0 Û ê
:
ê m = -2
ë
Khi m = 3 : Phương trình trở thành 0 x = 5 suy ra phương trình vơ nghiệm
Khi m = -2 : Phương trình trở thành 0 x = 0 suy ra phương trình nghiệm
đúng với mọi x Ỵ R
é m¹3
m+2
1
+ Với m2 - m - 6 ¹ 0 Û ê
: Phương trình tương đương với x = 2
.
=
ê m ¹ -2
m -m-6 m-3
ë



Kết luận:
m = 3 : Phương trình vơ nghiệm
m = -2 : Phương trình nghiệm đúng với mi x ẻ R
m ạ 3 v m ạ -2 : Phương trình có nghiệm x =

1
m-3

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau với a , b là tham số.
a) a 2 ( x - a) = b2 ( x - b)

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
A. a = b : phương trình nghiệm đúng với mọi x Ỵ R
B. a = -b và b ¹ 0 : phương trình vơ nghiệm
C. a ¹ ±b : Phương trình có nghiệm là x =

a 2 + ab + b2
a+b

D.Cả A, B, C đều đúng
b) b (ax - b + 2) = 2 (ax + 1)
A. a = 0 hoặc b = 2 thì phương trình vơ nghiệm

b 2 - 2b + 2
B. a ¹ 0 và b ¹ 2 thì phương trình có nghiệm là x =
a ( b - 2)
C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai
Lời giải:
a) Ta có a 2 ( x - a) = b2 ( x - b) Û (a 2 - b2 ) x = a 3 - b3
+ Với a 2 - b2 = 0 Û a = ±b
Khi a = b : Phương trình trở thành 0 x = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng
với mọi x Ỵ R
 Khi a = -b và b ¹ 0 : Phương trình trở thành 0 x = -2b3 suy ra phương trình
vơ nghiệm
(Trường hợp a = -b , b = 0 Þ a = b = 0 thì rơi vào trường hợp a = b )


a 3 - b3 a 2 + ab + b2

=
+ Với a - b ¹ 0 Û a ¹ ±b : Phương trình tương đương với x = 2
a+b
a - b2
2

2

Kết luận
a = b : phương trình nghiệm đúng với mi x ẻ R
a = -b v b ạ 0 : phương trình vơ nghiệm


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
a ¹ ±b : Phương trình có nghiệm là x =

a 2 + ab + b2
a+b

b) Ta có b (ax - b + 2) = 2 (ax + 1) Û a (b - 2) x = b2 - 2b + 2

éa = 0
+ Với a (b - 2) = 0 Û ê
êb = 2
ë
 Khi a = 0 : Phương trình trở thành 0 x = b2 - 2b + 2 , do

b2 - 2b + 2 = (b - 1) + 1 > 0 nên phương trình vơ nghiệm.
2

 Khi b = 2 : Phương trình trở thành 0 x = 2 suy ra phương trình vơ nghiệm
ïìïa ¹ 0
b 2 - 2b + 2
+ Với a (b - 2) ¹ 0 Û í
: Phương trỡnh tng ng vi x =
.
ùùợb ạ 2
a ( b - 2)
Kết luận
a = 0 hoặc b = 2 thì phương trình vơ nghiệm
a ¹ 0 và b ¹ 2 thì phương trình có nghiệm là x =

b 2 - 2b + 2
a ( b - 2)

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.
a) ( m2 - m)x = 2 x + m2 - 1
A. m ¹ -2 và m ¹ 2

B. m ¹ -1 và m ¹ -2

C. m ¹ -1 và m ¹ 2

D. m ¹ -1 và m ¹ -3

b) m (4 mx - 3m + 2) = x( m + 1)
A. m ¹

1± 7
8

B. m ¹

1 ± 17
2

C. m ¹

1 ± 17
8

D. m ¹

Lời giải:
a) Ta có ( m2 - m)x = 2 x + m2 - 1 Û ( m2 - m - 2)x = m2 - 1

ìïm ¹ -1
Phương trình có nghiệm duy nhất Û a ¹ 0 hay m2 - m - 2 ạ 0 ùớ
ùùợ m ¹ 2

2 ± 17
8


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
Vậy với m ¹ -1 và m ¹ 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
b) Ta có m (4 mx - 3m + 2) = x( m + 1) Û (4 m2 - m - 1) x = 3m2 - 2 m
Phương trình có nghiệm duy nhất Û a ¹ 0 hay 4 m2 - m - 1 ¹ 0 Û m ¹
Vậy với m ¹

1 ± 17
8

1 ± 17
thì phương trình có nghiệm duy nhất
8

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hai hàm số sau không cắt nhau y = (m + 1) x 2 + 3m2 x + m và
y = (m + 1) x 2 + 12 x + 2 .

A. m = -3

B. m = -1

C. m = -2
Lời giải:

Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình

(m + 1) x2 + 3m2 x + m = (m + 1) x2 + 12 x + 2

vô nghiệm

Û 3 (m2 - 4) x = 2 - m vơ nghiệm
ïìïm2 - 4 = 0 ïìïm = ±2
Ûí
Ûí
Û m = -2
ùù 2 - m ạ 0
ùùợ m ạ 2

ỵ
Vậy với m = -2 là giá trị cần tìm.
3. Bài tập luyên tập.
Bài 3.5: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số.
a) (2 m - 4) x + 2 - m = 0
A. m = 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x
B. m ¹ 2 : Phương trình có nghiệm duy nhất x = -1
C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai

D. m = 2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải mới nhất
b) ( m + 1)x = (3m2 - 1)x + m - 1
A. m = -

2
: Phương trình vơ nghiệm
3

B. m = 1 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x
C. m = -

-1
2
và m = 1 : Phương trình có nghiệm x =
3m + 2
3

D.Cả A, B, C đều đúng
Lời giải:
Bài 3.5: a) Phương trình tương đương với (2 m - 4) x = m - 2
+ Với 2 m - 4 = 0 Û m = 2 : Phương trình trở thành 0 x = 0
Suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x .
+ Với 2 m - 4 ¹ 0 Û m ¹ 2 : Phương trình tương đương với x = -1
Kết luận
m = 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x
m ¹ 2 : Phương trình có nghiệm duy nhất x = -1

b) Phương trình tương đương với (3m2 - m - 2) x = 1 - m

é m=1
ê
+ Với 3m - m - 2 = 0 Û ê
:
êm = - 2
êë
3
2



Khi m = 1: Phương trình trở thành 0 x = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi
x.

2
5
Khi m = - : Phương trình trở thành 0 x = suy ra phương trình vơ nghiệm
3

3
ïìï m ¹ 1
1- m
-1
2
=
+ Với 3m - m - 2 ¹ 0 Û ïí
: PT Û x =
.
2
2
ïïm ¹ 3m - m - 2 3m + 2
ïỵ
3

