TỰ LUẬN đại số 10 đs10 CĐIII PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH image marked
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.08 MB, 116 trang )
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
MỤC LỤC
MỤC LỤC
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH............................................................................2
CHỦ ĐỀ 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH......................................................................................................2
DẠNG TỐN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH.........................................................2
DẠNG TỐN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ .........4
CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN......................................................................8
DẠNG TỐN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b = 0 ...............................................9
DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax2 + bx + c = 0 ..................................11
DẠNG TOÁN 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT .......................................................................14
Loại 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai, phân tích thành nhân tử ......................................14
Loại 2: Bài tốn liên quan đến biểu thức đối xứng hai nghiệm x1, x2 của phương trình bậc
hai ......................................................................................................................................................................16
DẠNG TỐN 4: MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ..19
Loại 1: Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 và a’x2 + b’x + c’ = 0 có
nghiệm chung.................................................................................................................................................19
Loại 2: Chứng minh trong các phương trình bậc hai có ít nhất một phương trình có
nghiệm..............................................................................................................................................................20
Loại 3: Chứng minh bất đẳng thức có chứa các hệ số của phương trình bậc hai với nghiệm
của nó có điều kiện.......................................................................................................................................20
CHỦ ĐỀ 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI.............22
DẠNG TỐN 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI................................22
DẠNG TỐN 2: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU .................................................................................26
DẠNG TỐN 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN BẬC HAI ......................................................31
Loại 1: Bình phương hai vế của phương trình....................................................................................31
Loại 2: Phân tích thành tích bằng cách nhân liên hợp......................................................................33
Loại 3: Đặt ẩn phụ .........................................................................................................................................35
Loại 4: Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn.......................................................................................................40
DẠNG TỐN 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO .................................................................................................42
Loại 1: Đưa về phương trình tích ............................................................................................................42
Loại 2: Đặt ẩn phụ .........................................................................................................................................44
CHỦ ĐỀ 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN .................................................................................49
DẠNG TỐN 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN, BA ẨN ................................................49
DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN .........................53
CHỦ ĐỀ 5. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN........................................................56
DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI ................................56
DẠNG TỐN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG........................................................................................58
DẠNG TỐN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI ......................................................................62
DẠNG TỐN 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN.....................64
Loại 1: Hệ phương trình có thể đưa về phương trình tích .............................................................64
Loại 2: Hệ phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ ..........................................................................71
DẠNG TỐN 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH76
CHỦ ĐỀ 6: ƠN TẬP...................................................................................................................................................82
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ PHẦN BÀI TẬP LUYỆN TẬP ........................................................................83
-- 1 --
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
CHỦ ĐỀ 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa.
Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) có tập xác định lần lượt là Df và Dg . Đặt D = Df Ç Dg . Mệnh
đề chứa biến " f ( x ) = g ( x ) " được gọi là phương trình một ẩn ; x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là
tập xác định của phương trình.
x 0 Ỵ D gọi là một nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) nếu " f ( x 0 ) = g ( x 0 ) " là mệnh đề đúng.
Chú ý: Các nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) là các hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số
y = f ( x ) và y = g ( x ) .
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả.
a) Phương trình tương đương: Hai phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) và f2 ( x ) = g2 ( x ) được gọi là tương
đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu là f1 ( x ) = g1 ( x ) Û f2 ( x ) = g2 ( x ) .
Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương.
b) Phương trình hệ quả: f2 ( x ) = g2 ( x ) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) nếu
tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) .
Kí hiệu là f1 ( x ) = g1 ( x ) Þ f2 ( x ) = g2 ( x )
c) Các định lý:
Định lý 1: Cho phương trình f ( x ) = g ( x ) có tập xác định D ; y = h ( x ) là hàm số xác định trên D . Khi
đó trên D , phương trình đã cho tương đương với phương trình sau
1) f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + h ( x )
2) f ( x ) .h ( x ) = g ( x ) .h ( x ) nếu h ( x ) ạ 0 vi mi x ẻ D
nh lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã
cho.
f (x ) = g (x ) Þ f 2 (x ) = g2 (x ) .
Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý
Đặt điều kiện xác định(đkxđ) của phương trình và khi tìm được nghiệm của phương trình phải đối chiếu với
điều kiện xác định.
Nếu hai vế của phương trình ln cùng dấu thì bình phương hai vế của nó ta thu được phương trình tương
đương.
Khi biến đổi phương trình thu được phương trình hệ quả thì khi tìm được nghiệm của phương trình hệ quả
phải thử lại phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG TỐN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương pháp giải
- Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f ( x ), g ( x ) cùng được xác định
và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)
- Điều kiện để biểu thức
f ( x ) xác định là f ( x ) ³ 0
1
xác định là f ( x ) ¹ 0
f (x )
-- 2 --
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
1
f (x )
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
xác định là f ( x ) > 0
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:
a) x +
5
=1
x -4
b) 1 +
2
c) 1 + 2x - 3 =
3x - 2
d)
3-x =
4 - 2x =
Lời giải:
x -2
x +1
x - 3x + 2
3
a) Điều kiện xác định của phương trình là x 2 - 4 ¹ 0 Û x 2 ¹ 4 Û x ¹ ±2
ì3 - x ³ 0
ìx £ 3
ï
ï
b) Điều kiện xác định của phương trình là ïí
Ûï
Û2£x £3
í
ï
ï
x
2
³
0
x
³
2
ï
ï
ỵ
ỵ
ìï
ïï x ³ 3
ïìï 2x - 3 ³ 0
2 Ûx ³3
Û ïí
c) Điều kiện xác định của phương trình là í
ïï 3x - 2 ³ 0
ïï
2
2
ỵ
ïï x ³
ỵ
3
d) Điều kiện xác định của phương trình là
ì
ì
x £2
4 - 2x ³ 0
ï
ï
ï
Ûï
í 3
í
ï
ï
x - 3x + 2 ¹ 0
x - 1)( x 2 + x - 2 ) ạ 0
ù
ù
ợ
ợ(
ỡx Ê 2
ù
ù
ỡ
ỡx < 2
x Ê2
ù
ù
ù
ù
ù
ớ
ớx ạ 1 ù
ớ
2
ù
ù
ù
x ạ1
x
1
x
2
ạ
0
(
)
(
)
ù
ù
ù
ợ
ù
ợ
x
ạ
2
ù
ù
ợ
Vớ d 2: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:
a) 4x +
c)
4x - 3 = 2 3 - 4x + 3
x + x -2 =
-3 - x
b)
d)
-x 2 + 6x - 9 + x 3 = 27
( x - 3 ) ( 5 - 3x ) + 2x
2
=
3x - 5 + 4
Lời giải:
ìï
ïï x ³ 3
ìï 4x - 3 ³ 0
4 Ûx = 3
Û ïí
a) Điều kiện xác định của phương trình là ïí
ïï 3 - 4x ³ 0
ï
3
4
ỵ
ïïï x £
ỵ
4
3
Thử vào phương trình thấy x = thỏa mãn
4
ì
ï3ü
ï
Vậy tập nghiệp của phương trỡnh l S = ù
ớ ù
ý
ù
ù4ù
ù
ợ
ỵ
b) iu kin xỏc nh của phương trình là -x 2 + 6x - 9 ³ 0 Û - ( x - 3 ) ³ 0 Û x = 3
2
Thay x = 3 vào thấy thỏa mãn phương trình
Vậy tập nghiệp của phương trình là S = { 3 }
ì
ì
x ³0
x ³0
ï
ï
ï
ï
ï
ï
c) Điều kiện xác định của phương trình là ï
íx - 2 ³ 0 Û ï
íx ³ 2
ï
ï
ï
ï
3
x
³
0
ï
ï
ï
ï x £ -3
ỵ
ỵ
Khơng có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = Ỉ
-- 3 --
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
ìï x - 3 2 5 - 3x ³ 0
)(
)
ï(
d) Điều kiện xác định của phương trình là í
(*)
ïï
3
x
5
³
0
ïỵ
Dễ thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (*).
ìï
ïï x £ 5
ìï 5 - 3x ³ 0
3 Ûx =5
Û ïí
Nếu x ¹ 3 thì (*) Û ïí
ïï 3x - 5 ³ 0
ïï
5
3
ỵ
ïï x ³
ỵ
3
5
Vậy điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x =
3
5
Thay x = 3 và x = vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn.
3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 3 } .
3. Bài tập luyện tập
Bài 3.0: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:
a)
5
=
x -x -1
2
3
b) 1 + x - 2 =
x
x -1
x +1
x - 3x + 2
Bài 3.1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:
c) 1 + 2x - 4 =
2 - 4x
d)
a) 4x + 2 4x - 3 = 2 4x - 3 + 3
2x - 6 =
2
-x 2 + x - 1 + x = 1
b)
c) 2x + x - 2 = 2 - x + 2
d) x 3 - 4x 2 + 5x - 2 + x = 2 - x
DẠNG TỐN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ
1. Phương pháp giải
Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình
đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng
Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu
được phương trình tương đương phương trình đã cho.
Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương
trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
Bình phương hai vế của phương trình(hai vế ln cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với
phương trình đã cho.
2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
1
5
= 2
x -3
x -x -6
b)
x + 3(x 4 - 3x 2 + 2) = 0
d)
a) 1 +
c)
x2
x -2
=
1
x -2
x - 1(x 2 - x - 2) = 0
Lời giải:
ì
ì x ¹3
x ¹3
ï
ï
a) ĐKXĐ : ï
Ûï
í 2
í
ï
ï
x ¹ -2
ïx - x - 6 ¹ 0
ï
ỵ
ỵ
Với điều kiện đó phương trình tương đương với
1+
- x -2
1
5
=
Û ( x - 3 )( x + 2 ) + x + 2 = 5
x - 3 ( x - 3 )( x + 2 )
-- 4 --
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
Û x 2 = 9 Û x = ±3
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = -3 .
b) ĐKXĐ: x > 2
Với điều kiện đó phương trình tương đương với
-1 ± 13
2
Đối chiếu với điều kiện ta thấy khơng có giá trị nào thỏa mãn
Vậy phương trình vơ nghiệm.
c) ĐKXĐ: x ³ -3
é
x +3 = 0
Phương trình tương đương với êê 4
2
êë x - 3x + 2 = 0
é x = -3
é x = -3
ê
ê
é
x = -3
2
ê
ê
x
1
=
0
Û ê 2
Û ê
Û êê x = ±1
2
x - 1 )( x - 2 ) = 0
êx = ± 2
êx2 - 2 = 0
ëê (
êë
êë
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là
x 2 = 1 - (x - 2) Û x 2 + x - 3 = 0 Û x =
x = -3, x = ±1 và x = ± 2 .
ìï x ³ 0
ìï x ³ 0
d) ĐKXĐ: ïí
Û ïí
Û x ³1
ïï x - 1 ³ 0
ïï x ³ 1
ỵ
ỵ
Với điều kiện đó phương trình tương đương với
é x =1
é
ê
x
1
=
0
ê
ê x = -1
Û
ê 2
ê
êë x - x - 2 = 0
êx = 2
êë
Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm của phương trình là x = 1 và x = 2 .
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
2x - 3 = 4x 2 - 15
c) 2x + 1 = x - 2
b) . x 2 - 3x + 4 = 8 - 3x .
a)
d) 2x + 1 = x - 1
Lời giải:
ì 2x - 3 ³ 0
ï
a) ĐKXĐ: ï
(*)
í 2
ï
4x - 15 ³ 0
ï
ỵ
Với điều kiện (*) phương trình tương đương với
(
2x - 3
)
2
=
(
)
2
4x 2 - 15 Û 2x - 3 = 4x 2 - 15
é x =2
ê
2
Û 4x - 2x - 12 = 0 Û ê
êx = - 3
êë
2
Thay vào điều kiện (*) ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
ỉ
3ư
7
b) ĐKXĐ: x - 3x + 4 ³ 0 ỗỗ x - ữữ + 0 (luụn ỳng vi mi x )
ữ
ỗố
2ứ
4
2
2
Bỡnh phng hai v ca phng trỡnh ta được
x 2 - 3x + 4 = ( 8 - 3x ) Û x 2 - 3x + 4 = 9x 2 - 48x + 64
2
-- 5 --
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
8x 2 - 45x + 60 = 0 Û x =
45 ± 105
16
Thay vào phương trình ta thấy chỉ có x =
c) Phương trình tương đương với
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
45 - 105
và đó là nghiệm duy nhất của phương trình.
16
( 2x + 1 )
2
Û 4x 2 + 4x + 1 = x 2 - 4x + 4
é x = -3
ê
2
Û 3x + 8x - 3 = 0 Û ê
ê x =1
êë
3
= ( x -2
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = -3 và x =
d) Ta có 2x + 1 = x - 1 Þ ( 2x + 1 ) = ( x - 1 )
2
2
)
2
1
.
3
Þ 4x 2 + 4x + 1 = x 2 - 2x + 1 Û 3x 2 + 6x = 0
é x =0
Þ êê
êë x = -2
Thử vào phương trình ta thấy khơng có giá trị nào thỏa mãn
Vậy phương trình vơ nghiệm.
Ví dụ 3: Tìm nghiệm ( x ; y ) với x là số nguyên dương của phương trình sau
20 - 8x + 6x 2 - y 2 = y 7 - 4x
Lời giải:
ìï
ïï x £ 20
ìï 20 - 8x ³ 0
8 Ûx £7
Û ïí
Nếu phương trình có nghiệm ( x ; y ) thì x phải thỏa mãn ïí
ïï 7 - 4x ³ 0
ïï
7
4
ỵ
ïï x £
ỵ
4
Vì x là số ngun dương nên x = 1
Thay x = 1 vào phương trình ta được
12 + 6 - y 2 = y 3 (*)
Điều kiện xác định của phương trình (*) là 6 - y 2 ³ 0
(*) Þ
6 - y2 =
3 (y - 2 ) Þ 6 - y2 = 3 (y - 2 )
Þ 4y 2 - 12y + 6 = 0 Þ y =
2
3± 3
2
3+ 3
là thỏa mãn
2
æ 3 + 3 ư÷
÷÷ .
Vậy phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài l ỗỗỗ 1;
2 ứữ
ốỗ
Th vo phng trỡnh (*) thy ch có y =
Ví dụ 4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương
a) mx 2 - 2 ( m - 1 ) x + m - 2 = 0 (1) và ( m - 2 ) x 2 - 3x + m 2 - 15 = 0 (2)
b) 2x 2 + mx - 2 = 0 (3) và 2x 3 + ( m + 4 ) x 2 + 2 ( m - 1 ) x - 4 = 0 (4)
Lời giải:
a) Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương
-- 6 --
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
é
x =1
Ta có ( 1 ) Û ( x - 1 )( mx - m + 2 ) = 0 Û êê
êë mx - m + 2 = 0
Do hai phương trình tương đương nên x = 1 là nghiệm của phương trình (2)
Thay x = 1 vào phương trình (2) ta được
é m =4
( m - 2 ) - 3 + m 2 - 15 = 0 Û m 2 + m - 20 = 0 Û êê m = -5
êë
éx = 1
ê
2
Với m = -5 : Phương trình (1) trở thành -5x + 12x - 7 = 0 Û ê
êx = 7
êë
5
é x =1
ê
Phương trình (2) trở thành -7x - 3x + 10 = 0 Û ê
ê x = - 10
7
ëê
2
Suy ra hai phương trình khơng tương đương
é
1
êx =
Với m = 4 : Phương trình (1) trở thành 4x - 6x + 2 = 0 Û ê
2
êx = 1
êë
2
éx = 1
ê
Phương trình (2) trở thành 2x - 3x + 1 = 0 Û ê
êx = 1
êë
2
Suy ra hai phương trình tương đương
Vậy m = 4 thì hai phương trình tương đương.
b) Giả sử hai phương trình (3) và (4) tương đương
2
Ta có 2x 3 + ( m + 4 ) x 2 + 2 ( m - 1 ) x - 4 = 0 Û ( x + 2 ) ( 2x 2 + mx - 2 ) = 0
é
x = -2
Û êê 2
êë 2x + mx - 2 = 0
Do hai phương trình tương đương nên x = -2 cũng là nghiệm của phương trình (3)
Thay x = -2 vào phương trình (3) ta được 2 ( -2 ) + m ( -2 ) - 2 = 0 Û m = 3
2
é x = -2
ê
Với m = 3 phương trình (3) trở thành 2x + 3x - 2 = 0 Û ê
ê x =1
ëê
2
2
Phương trình (4) trở thành 2x 3 + 7x 2 + 4x - 4 = 0 Û ( x + 2 ) ( 2x + 1 ) = 0
2
é x = -2
ê
Û ê
ê x =1
ëê
2
Suy ra phương trình (3) tương đương với phương trình (4)
Vậy m = 3 .
3. Bài tập luyện tập
Bài 3.2: Giải các phương trình sau
a) 1 +
1
6
=
2-x
4 - x2
b)
2x
3-x
=
-- 7 --
1
3-x
- 3-x
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
c)
x + 1(x 2 - 16) = 0
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
d)
Bài 3.3: Giải các phương trình sau
a) x - 2 = x 2 - 8
c) 2x + 3 = 2x - 3
3-x
=0
x - 2x - 3
2
b) 3x 2 - x - 9 = x - 1 .
d) 2x - 1 = 3x - 4
Bài 3.4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương
a) x 2 + mx - 1 = 0 (1) và ( m - 1 ) x 2 + 2 ( m - 2 ) x + m - 3 = 0 (2)
b) ( 2m - 2 ) x 2 - ( 2m + 1 ) x + m 2 + m - 17 = 0 (3) và ( 2 - m ) x 2 + 3x + 15 - m 2 = 0 (4)
CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 với a, b là số thực và a ¹ 0
Phương trình bậc hai một ẩn phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0 với a, b, c là số thực và a ¹ 0
2. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 (1).
b
b
do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = a
a
Nếu a = 0 : phương trình (1) trở thành 0x + b = 0
Th1: Với b = 0 phương trình nghiệm ỳng vi mi x ẻ R
Th2: Vi b ạ 0 phương trình vơ nghiệm
Nếu a ¹ 0 : ( 1 ) Û x = -
3. Giải và biện luận phương trình ax 2 + bx + c = 0
Nếu a = 0 : trở về giải và biện luận phương trình dạng (1)
Nếu a ¹ 0 : D = b 2 - 4ac
Th1: D > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x =
TH2: D = 0 phương trình có nghiệm kép x = Th3: D < 0 phương trình vơ nghiệm.
4. Định lí Vi-ét và ứng dụng
a) Định lí Vi-ét.
b
2a
-b ± D
2a
Hai số x 1 và x 2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thỏa mãn
hệ thức x 1 + x 2 = -
b
c
và x 1x 2 = .
a
a
b) Ứng dụng.
Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f ( x ) = ax 2 + bx + c có hai nghiệm x 1 và x 2 thì nó có thể phân tích
thành nhân tử f ( x ) = a ( x - x 1 )( x - x 2 ) .
Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của
phương trình x 2 - Sx + P = 0 .
Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai:
b
c
Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (*), kí hiệu S = - , P =
khi đó
a
a
+ Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0
-- 8 --
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
ïìï D ³ 0
ï
+ Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi ïí P > 0
ïï
ïïỵ S > 0
ïìï D ³ 0
ï
+ Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi ïí P > 0
ïï
ïïỵ S < 0
B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG TỐN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b = 0
1. Phương pháp giải
Để giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 ta dựa vào kết quả đã nêu ở trên.
Lưu ý:
é a ¹0
Phương trình ax + b = 0 có nghiệm Û êê
êë a = b = 0
ìa = 0
ï
Phương trỡnh ax + b = 0 vụ nghim ù
ớ
ù
bạ0
ù
ợ
Phng trình ax + b = 0 có nghiệm duy nhất Û a ¹ 0
2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số.
a) ( m - 1 ) x + 2 - m = 0
b) m ( mx - 1 ) = 9x + 3
c) (m + 1)2 x = (3m + 7)x + 2 + m
Lời giải:
a) Phương trình tương đương với ( m - 1 ) x = m - 2
+ Với m - 1 = 0 Û m = 1 : Phương trình trở thành 0x = -1
Suy ra phương trình vơ nghiệm.
+ Với m - 1 ¹ 0 Û m ¹ 1 : Phương trình tương đương với x =
Kết luận
m = 1 : Phương trình vơ nghiệm
m ¹ 1 : Phương trình có nghiệm duy nhất x =
m -2
m -1
m -2
m -1
b) Ta có m ( mx - 1 ) = 9x + 3 Û ( m 2 - 9 ) x = m + 3
+ Với m 2 - 9 = 0 Û m = ±3 :
Khi m = 3 : Phương trình trở thành 0x = 6 suy ra phương trình vơ nghiệm
Khi m = -3 : Phương trình trở thành 0x = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R
+ Với m 2 - 9 ¹ 0 Û m ¹ ±3 : Phương trình tương đương với x =
Kết luận:
m = 3 : Phương trình vơ nghiệm
m = -3 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Ỵ R
m ¹ ±3 : Phương trình có nghiệm x =
1
m -3
c) Phương trình tương đương với éë (m + 1)2 - 3m - 7 ùû x = 2 + m
-- 9 --
m+3
1
=
.
2
m -3
m -9
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
Û (m2 - m - 6 )x = 2 + m
é m =3
+ Với m 2 - m - 6 = 0 Û êê
:
êë m = -2
Khi m = 3 : Phương trình trở thành 0x = 5 suy ra phương trình vơ nghiệm
Khi m = -2 : Phương trình trở thành 0x = 0 suy ra phương trỡnh nghim ỳng vi mi x ẻ R
ộ m ạ3
m +2
1
=
+ Với m 2 - m - 6 ¹ 0 Û êê
: Phương trình tương đương với x = 2
.
m -3
m -m -6
êë m ¹ -2
Kết luận:
m = 3 : Phương trình vơ nghiệm
m = -2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Ỵ R
1
m -3
Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau với a, b là tham số.
m ¹ 3 và m ¹ -2 : Phương trình có nghiệm x =
a) a 2 ( x - a ) = b 2 ( x - b )
b) b (ax - b + 2 ) = 2 (ax + 1 )
Lời giải:
a) Ta có a 2 ( x - a ) = b 2 ( x - b ) Û ( a 2 - b 2 ) x = a 3 - b 3
+ Với a 2 - b 2 = 0 Û a = ±b
Khi a = b : Phương trình trở thành 0x = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x Ỵ R
Khi a = -b và b ¹ 0 : Phương trình trở thành 0x = -2b 3 suy ra phương trình vơ nghiệm
(Trường hợp a = -b, b = 0 Þ a = b = 0 thì rơi vào trường hợp a = b )
+ Với a 2 - b 2 ¹ 0 Û a ¹ ±b : Phương trình tương đương với x =
Kết luận
a = b : phương trình nghiệm đúng với mọi x Ỵ R
a = -b và b ¹ 0 : phương trình vơ nghiệm
a ¹ ±b : Phương trình có nghiệm là x =
a 3 - b3
a 2 + ab + b 2
=
a +b
a 2 - b2
a 2 + ab + b 2
a +b
b) Ta có b (ax - b + 2 ) = 2 (ax + 1 ) Û a (b - 2 ) x = b 2 - 2b + 2
éa = 0
+ Với a (b - 2 ) = 0 Û êê
êë b = 2
Khi a = 0 : Phương trình trở thành 0x = b 2 - 2b + 2 , do b 2 - 2b + 2 = (b - 1 ) + 1 > 0 nên phương
2
trình vơ nghiệm.
Khi b = 2 : Phương trình trở thành 0x = 2 suy ra phương trình vơ nghiệm
ì
ïa ¹ 0
b 2 - 2b + 2
+ Với a (b - 2 ) ¹ 0 ùớ
: Phng trỡnh tng ng vi x =
.
ù
b
ạ
2
a
b
2
(
)
ù
ợ
Kt luận
a = 0 hoặc b = 2 thì phương trình vơ nghiệm
a ¹ 0 và b ¹ 2 thì phương trình có nghiệm là x =
b 2 - 2b + 2
a (b - 2 )
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.
-- 10 --
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
a) (m 2 - m )x = 2x + m 2 - 1
b) m ( 4mx - 3m + 2 ) = x (m + 1)
Lời giải:
a) Ta có (m 2 - m )x = 2x + m 2 - 1 Û (m 2 - m - 2)x = m 2 - 1
ì m ¹ -1
ï
Phương trình có nghiệm duy nhất Û a ¹ 0 hay m 2 - m - 2 ạ 0 ùớ
ù
m ạ2
ù
ợ
Vy vi m ¹ -1 và m ¹ 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
b) Ta có m ( 4mx - 3m + 2 ) = x (m + 1) Û ( 4m 2 - m - 1 ) x = 3m 2 - 2m
Phương trình có nghiệm duy nhất Û a ¹ 0 hay 4m 2 - m - 1 ¹ 0 Û m ¹
Vậy với m ¹
1 ± 17
thì phương trình có nghiệm duy nhất
8
1 ± 17
8
Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hai hàm số sau khơng cắt nhau y = ( m + 1 ) x 2 + 3m 2x + m và
y = ( m + 1 ) x 2 + 12x + 2 .
Lời giải:
Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình
( m + 1 ) x 2 + 3m 2x + m = ( m + 1 ) x 2 + 12x + 2
Û 3 ( m 2 - 4 ) x = 2 - m vô nghiệm
vơ nghiệm
ìm 2 - 4 = 0 ï
ì m = 2
ù
ù
ù
m = -2
ớ
ớ
ù
ù
m ạ2
2-m ạ 0
ù
ù
ợ
ợ
Vy vi m = -2 là giá trị cần tìm.
3. Bài tập luyện tập
Bài 3.5: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số.
a) ( 2m - 4 ) x + 2 - m = 0
b) (m + 1)x = (3m 2 - 1)x + m - 1
Bài 3.6: Giải và biện luận các phương trình sau:
x + a -b x +b -a
b2 - a 2
=
(1)
a
b
ab
a ( x 2 + 1)
ax - 1
2
b)
(2)
+
=
x -1
x +1
x2 - 1
Bài 3.7: Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm.
a)
a) (m 2 - m )x = 2x + m 2 - 1
b) m 2 ( x - m ) = x - 3m + 2
Bài 3.8: Tìm điều kiện của a, b để phương trình sau có nghiệm .
a) a (bx - a + 2 ) = (a + b - 1 ) x + 1
b)
2x - a
2x - b
-b =
- a (a, b ¹ 0)
a
b
DẠNG TỐN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax 2 + bx + c = 0
1. Phương pháp giải
Để giải và biện luận phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0 ta làm theo như các bước đã nêu ở trên.
2. Các ví dụ minh họa
-- 11 --
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số.
a) x 2 - x + m = 0
b) ( m + 1 ) x 2 - 2mx + m - 2 = 0
c) ( 2m 2 + 5m + 2 ) x 2 - 4mx + 2 = 0
Lời giải:
a) Ta có D = 1 - 4m
Với D > 0 Û 1 - 4m > 0 Û m <
Với D = 0 Û 1 - 4m = 0 Û m =
Với D < 0 Û 1 - 4m < 0 Û m >
Kết luận
m<
m =
m>
1 ± 1 - 4m
1
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x =
2
4
1
1
: Phương trình có nghiệm kép x =
4
2
1
: Phương trình vơ nghiệm
4
1 ± 1 - 4m
1
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x =
2
4
1
1
: Phương trình có nghiệm kép x =
4
2
1
: Phương trình vơ nghiệm
4
b) + TH1: Với m + 1 = 0 Û m = -1 khi đó phương trình trở thành 2x - 3 = 0 Û x =
+ TH2: Với m + 1 ¹ 0 Û m ¹ -1 khi đó phương trình trên là phương trình bậc hai
3
2
Ta có D ' = m 2 - ( m - 2 )( m + 1 ) = m + 2
Khi D > 0 Û m + 2 > 0 Û m > -2 khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x =
Khi D = 0 Û m + 2 = 0 Û m = -2 khi đó phương trình có nghiệm là x = 2
Khi D < 0 Û m + 2 < 0 Û m < -2 khi đó phương trình vơ nghiệm
Kết luận
3
2
m = -2 : phương trình có nghiệm là x = 2
m = -1 : phương trình có nghiệm là x =
m > -2 và m ¹ -1 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x =
m < -2 : phương trình vơ nghiệm
c) ( 2m 2 + 5m + 2 ) x 2 - 4mx + 2 = 0
é m = -2
ê
+ TH1: Với 2m + 5m + 2 = 0 Û ê
êm = - 1
êë
2
2
Khi m = -2 phương trình trở thành 8x + 2 = 0 Û x = Khi m = -
1
4
1
phương trình trở thành 2x + 2 = 0 Û x = -1
2
-- 12 --
m ± m +2
m +1
m ± m +2
m +1
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
ì m ¹ -2
ï
ï
+ TH2: Với 2m + 5m + 2 ¹ 0 Û ï
í
1 khi đó phương trỡnh ó cho l phng trỡnh bc hai
ù
m ạù
ù
ợ
2
2
Ta cú D = 4m 2 - 2 ( 2m 2 + 5m + 2 ) = -2 ( 5m + 2 )
Khi
x =
D > 0 Û -2 ( 5m + 2 ) > 0 Û m < -
2m ± -2 ( 5m + 2 )
2
5
khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt
2m 2 + 5m + 2
Khi D = 0 Û m = Khi D < 0 Û m > Kết luận
2
phương trình có nghiệm kép x = -5
5
2
phương trình vơ nghiệm.
5
m = -2 phương trình có nghiệm x = -
m =m =-
1
4
1
phương trình có nghiệm x = -1
2
2
phương trình có nghiệm (kép) x = -5
5
2m ± -2 ( 5m + 2 )
2
1
m < - , m ¹ -2 và m ¹ khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x =
5
2
2m 2 + 5m + 2
2
phương trình vơ nghiệm.
5
Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau với a, b là tham số.
m>-
ax 2 - 2 (a + b ) x + a + 2b = 0
Lời giải:
+ TH1: Với a = 0 phương trình trở thành -2bx + 2b = 0 Û bx = b
Khi b = 0 phương trình là 0x = 0 do đó phương trình nghiệm đúng với mọi x
Khi b ¹ 0 phương trình có nghiệm là x = 1
+ TH2: Với a ¹ 0 phương trình là phương trình bậc hai
Ta có D ' = (a + b ) - a (a + 2b ) = b 2
2
Khi b = 0 phương trình có nghiệm kép x =
a +b
a
é
a +b +b
a + 2b
êx =
=
a
a
Khi b ¹ 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là êê
a
+
b
b
ê x =
=1
êë
a
Kết luận
a = b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x
a = 0 và b ¹ 0 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
a +b
a ¹ 0 và b = 0 phương trình có nghiệm kép x =
a
-- 13 --
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
a ¹ 0 và b ¹ 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt là x =
a + 2b
và x = 1
a
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình mx 2 + x + m + 1 = 0
a) Có nghiệm kép.
b) Có hai nghiệm phân biệt
Lời giải:
a) Với m = 0 phương trình trở thành phương trình bậc nhất x + 1 = 0 suy ra m = 0 khơng thỏa mãn u
cầu bài tốn.
Với m ¹ 0 m ¹ 0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có nghiệm kép khi và chỉ khi
ì
m ¹0
ï
ì
ìa ¹ 0
ì
ï
m ¹0
m ¹0
ï
ï
ï
1
ï
ï
ï
ï
Ûí
Ûí 2
Ûí
Ûm =
í
1
ï
ï
ï
ï
2
m =
ïD = 0
ï1 - 4m ( m + 1 ) = 0
ï 4m - 4m + 1 = 0
ï
ỵ
ỵ
ỵ
ï
ỵ
2
1
thì phương trình có nghiệm kép
2
b) Với m = 0 phương trình trở thành phương trình bậc nhất x + 1 = 0 suy ra m = 0 khơng thỏa mãn u
cầu bài tốn.
Với m ¹ 0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
Vậy m =
D > 0 Û 1 - 4m ( m + 1 ) > 0 Û 4m 2 - 4m + 1 > 0 Û ( 2m - 1 ) > 0 Û m ¹
2
Vậy m ¹ 0 và m ¹
3. Bài tập luyện tập
1
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2
1
2
Bài 3.9: Tìm m để phương trình x 2 - 3mx + (2m 2 - m - 1) = 0 có nghiệm kép tìm nghiệm kép đó
Bài 3.10: Cho phương trình: mx 2 - 2mx + m + 1 = 0
a) Giải phương trình đã cho khi m = -2 .
b) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm
Bài 3.11: Giải và biện luận phương trình
a) (m - 2)x 2 - 2(m + 1)x + m - 5 = 0
Bài 3.12:
b) (m - 2)x 2 - (2m - 1)x + m + 2 = 0
Tùy thuộc vào giá trị của tham số m , hãy tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng
d : y = 2x + m và Parabol (P): y = ( m – 1 ) x 2 + 2mx + 3m – 1.
DẠNG TOÁN 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT
Loại 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai, phân tích thành nhân tử
Ví dụ 1: Cho phương trình 2x 2 - mx + 5 = 0 . Biết phương trình có một nghiệm là 2. Tìm m và tìm
nghiệm cịn lại
Lời giải:
Cách 1: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có x 1x 2 =
Giả sử x 1 = 2 suy ra x 2 =
Mặt khác x 1 + x 2 =
Vậy m =
5
.
4
5
2
m
5
m
13
Þ2+ =
Þm =
.
2
4
2
2
13
5
và nghiệm còn lại là
2
2
Cách 2: Thay x = 2 vào phương trình ta được 8 - 2m + 5 = 0 Û m =
-- 14 --
13
.
2
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
Theo hệ thức Viét ta có x 1x 2 =
CHUN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
5
5
mà x 1 = 2 nên x 2 = .
2
4
13
5
và nghiệm cịn lại là .
2
2
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Vậy m =
a) f (x ) = 3x 2 - 14x + 8
b) g(x ) = -x 4 + 5x 2 - 4
c) P (x ; y ) = 6x 2 - 11xy + 3y 2 .
d) Q(x ; y ) = 2x 2 - 2y 2 - 3xy + x - 2y .
Lời giải:
é
2
êx =
a) Phương trình 3x - 14x + 8 = 0 Û ê
3
êx = 4
êë
2
ỉ
2ư
Suy ra f (x ) = 3 çç x - ÷÷÷ ( x - 4 ) = ( 3x - 2 )( x - 4 )
ỗố
3ứ
ộ x2 = 1
2
b) Phương trình -x 4 + 5x 2 - 4 = 0 Û - ( x 2 ) + 5x 2 - 4 = 0 Û êê 2
êë x = 4
Suy ra g(x ) = - ( x 2 - 1 )( x 2 - 4 ) = - ( x - 1 )( x + 1 )( x - 2 )( x + 2 )
c) Xét phương trình 6x 2 - 11xy + 3y 2 = 0 ẩn x .
Dx = ( 11y ) - 4.18y 2 = 49y 2
2
é
y
êx =
11y ± 7y
3
Û êê
Suy ra phương trình có nghiệm là x =
12
ê x = 3y
êë
2
ỉ
y ưỉ
3y ư
Do đó P (x ; y ) = 6 ỗỗ x - ữữữ ỗỗ x - ữữữ = ( 3x - y )( 2x - 3y )
ỗố
3 ứốỗ
2 ứ
d) Xột phng trỡnh 2x 2 - 2y 2 - 3xy + x - 2y = 0 ( ẩn x )
Û 2x 2 + ( 1 - 3y ) x - 2y 2 - 2y = 0
Dx = ( 1 - 3y ) - 8 ( -2y 2 - 2y ) = 25y 2 + 10y + 1 = ( 5y + 1 )
2
2
Suy ra phương trình có nghiệm là x =
3y - 1 ± ( 5y + 1 )
4
é x = 2y
ê
Û ê
ê x = -y - 1
ëê
2
ỉ
-y - 1 ư÷
Do đó Q(x ; y ) = 2 ( x - 2y ) çç x ÷ = ( x - 2y )( 2x + y + 1 )
ỗố
2 ữứ
Vớ d 3: Phõn tớch đa thức f ( x ) = x 4 - 2mx 2 - x + m 2 - m thành tích của hai tam thức bậc hai ẩn x .
Lời giải:
Ta có f ( x ) = 0 Û x 4 - 2mx 2 - x + m 2 - m = 0
Û m 2 - ( 2x 2 + 1 ) m + x 4 - x = 0
Dm = ( 2x 2 + 1 ) - 4 ( x 4 - x ) = 4x 2 + 4x + 1 = ( 2x + 1 )
2
2
-- 15 --
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
é
2x 2 + 1 + 2x + 1
êm =
= x2 + x + 1
ê
2
Suy ra f ( x ) = 0 Û ê
2
ê m = 2x + 1 - 2x - 1 = x 2 - x
êë
2
Vậy f ( x ) = ( m - x 2 - x - 1 )( m - x 2 + x ) .
Loại 2: Bài toán liên quan đến biểu thức đối xứng hai nghiệm x 1, x 2 của phương trình bậc hai
Ví dụ 4: Cho phương trình x 2 - 2 ( m + 1 ) x + m 2 + 2 = 0 với m là tham số. Tìm m để phương trình có
hai nghiệm x 1; x 2 sao cho
a) x 13 + x 23 = 2x 1x 2 ( x 1 + x 2 )
b) x 14 - x 24 = 16m 2 + 64m
c) A = x 1x 2 - 2 ( x 1 + x 2 ) - 6 đạt giá trị nhỏ nhất
d) B =
2 ( x 12 + x 22 ) + 16 - 3x 1x 2 đạt giá trị lớn nhất
Lời giải:
Ta có phương trình có hai nghiệm x 1; x 2 Û D ' ³ 0
1
(*)
2
Û ( m + 1) - ( m 2 + 2 ) ³ 0 Û m ³
2
ì x + x 2 = 2m + 2
ï
Theo Viet ta có: ïí 1
ï
x .x = m 2 + 2
ï
ỵ 1 2
a) Ta có x 13 + x 23 = ( x 1 + x 2 ) - 3x 1x 2 ( x 1 + x 2 )
3
Suy ra x 13 + x 23 = 2x 1x 2 ( x 1 + x 2 ) Û ( x 1 + x 2 ) - 3x 1x 2 ( x 1 + x 2 ) = 2x 1x 2 ( x 1 + x 2 )
3
2
Û ( x 1 + x 2 ) éê ( x 1 + x 2 ) - 5x 1x 2 ùú = 0
ë
û
2
Suy ra ( 2m + 2 ) éê ( 2m + 2 ) - 5 ( m 2 + 2 ) ùú = 0 Û 2 ( m + 1 ) ( -m 2 + 8m - 6 ) = 0
ë
û
é m = -1
é
m +1 = 0
ê
Û êê
Û
2
ê m = 4 ± 10
m
+
8
m
6
=
0
êë
ëê
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có m = 4 ± 10 thỏa mãn
Vậy m = 4 ± 10 thỏa mãn u cầu bài tốn.
b) Ta có x 14 - x 24 =
( x12 + x 22 )( x12 - x 22 )
Mà
x1 - x 2 =
( x1 - x 2 )
2
=
( x1 + x 2 )
2
2
= éê ( x 1 + x 2 ) - 2x 1x 2 ùú x 1 - x 2 x 1 + x 2
ë
û
- 4x 1x 2 =
( 2m + 2 )
2
- 4 (m2 + 2 ) =
8m - 4
Suy ra
2
x 14 - x 24 = éê ( 2m + 2 ) - 2 ( m 2 + 2 ) ùú 8m - 4 2m + 2
ë
û
= ( 2m 2 + 8m ) 8m - 4 2m + 2
Suy ra x 14 - x 24 = 16m 2 + 64m Û ( 2m 2 + 8m ) 8m - 4 2m + 2 = 16m 2 + 64m
-- 16 --
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
(
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
)
Û ( m 2 + 4m ) 8m - 4 2m + 2 - 8 = 0
é
m 2 + 4m = 0 (1)
ê
Û ê
êë 8m - 4 2m + 2 = 8 (2)
é m =0
Ta có ( 1 ) Û êê
(loại)
êë m = -4
( 2 ) Û ( 8m - 4 )( 2m + 2 )
2
= 64 Û 32m 3 + 48m 2 - 80 = 0
Û m = 1 (thỏa mãn (*))
Vậy m = 1 thỏa mãn u cầu bài tốn.
c) Ta có A = x 1x 2 - 2 ( x 1 + x 2 ) - 6 = m 2 + 2 - 2 ( 2m + 2 ) - 6 = m 2 - 4m - 8
Þ A = ( m - 2 ) - 12 ³ -12
2
Suy ra min A = -12 Û m = 2 , m = 2 thỏa mãn (*)
Vậy với m = 2 thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.
d) B =
=
2 ( x 12 + x 22 ) + 16 - 3x 1x 2 =
2 ( x 1 + x 2 ) - 4x 1x 2 + 16 - 3x 1x 2
2
2 ( 2m + 2 ) - 4 ( m 2 + 2 ) + 16 - 3 ( m 2 + 2 ) =
4m 2 + 16m + 16 - 3 ( m 2 + 2 )
2
= 2m + 4 - 3 ( m 2 + 2 ) = -3m 2 + 2m - 2
Xét hàm số y = -3m 2 + 2m - 2 với m ³
Bảng biến thiên
x
y
1
2
-
1
2
+¥
7
4
-¥
Suy ra giá trị max y = m³
1
2
1
7
khi m =
2
4
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là -
7
1
khi m = .
4
2
Ví dụ 5: Cho phương trình x 2 - mx + m - 1 = 0 với m là tham số.
a) Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi m
b) Gọi x 1, x 2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1, x 2 khơng phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A =
2x 1x 2 + 3
x + x 22 + 2(x 1x 2 + 1)
2
1
Lời giải:
a) Ta có
D = m 2 - 4 ( m - 1 ) = ( m - 2 ) ³ 0 nên phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m
2
b) Theo hệ thức Viét ta có: x 1 + x 2 = m và x 1x 2 = m - 1
Suy ra hệ thức liên hệ giữa x 1, x 2 không phụ thuộc vào m là x 1x 2 = x 1 + x 2 - 1
-- 17 --
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
c) Ta có x 12 + x 22 = ( x 1 + x 2 ) - 2x 1x 2 = m 2 - 2m + 2 .
2
Suy ra A =
2x 1x 2 + 3
2m + 1
= 2
2
x + x 2 + 2(x 1x 2 + 1) m + 2
2
1
( m - 1)
2m + 1
2m + 1 - m 2 - 2
-1 =
=- 2
£ 0, "m Þ A £ 1, "m
Vì A - 1 = 2
2
m +2
m +2
m +2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = 1
2
2 ( 2m + 1 ) + m 2 + 2
(m + 2 )
1
2m + 1 1
1
Và A + = 2
+ =
=
³ 0, "m Þ A ³ - , "m
2
2
2
2
m +2 2
2(m + 2 )
2(m + 2 )
2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = -2
1
khi và chỉ khi m = -2
2
2m + 1
Chú ý: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2
ta làm như sau
m +2
Vậy max A = 1 khi và chỉ khi m = 1 , min A = -
Xét A - k =
-km 2 + 2m - 2k 2 + 1
. Khi đó để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thì tử số là biếu thức
m2 + 2
f ( m ) = -km 2 + 2m - 2k 2 + 1
phải
biểu
diễn
được
dưới
dạng
bình
phương
hay
é k =1
ê
. Vì vậy ta mới đi xét như trên.
Dm = 0 Û 1 + k ( 1 - 2k ) = 0 Û -2k + k + 1 = 0 Û ê
êk = - 1
êë
2
2
3. Bài tập luyện tập
Bài 3.13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) f (x ) = 2x 2 - 5x + 3
b) g(x ) = 2x 4 - 14x 2 - 36
c) P (x ; y ) = 3x 2 - 5xy - 2y 2 .
d) Q(x ; y ) = x 2 - 2y 2 - xy - 3y - 1 .
Bài 3.14: Phân tích đa thức f ( x ) = 2x 3 + ( m + 1 ) x 2 + 2mx + m 2 + m (biến x với tham số m ) thành
tích một đã thức bậc hai và một bậc nhất.
Bài 3.15: Gọi x 1, x 2 là hai nghiệm của phương trình: -x 2 + 3x + 1 = 0 . Tính giá trị của các biểu thức:
A = x 12 + x 22 ; B = x 13 ( x 1 - 1 ) + x 23 ( x 2 - 1 ) ; C =
1
1
- 2 .
2
x1 x 2
Bài 3.16: Tìm m để phương trình 3x 2 + 4 ( m - 1 ) x + m 2 - 4m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2
thỏa mãn:
1
1
1
+
= ( x1 + x 2 ) .
x1 x 2
2
Bài 3.17: Cho phương trình x 2 - 2 ( m - 1 ) x + m 2 - 3 = 0 với m là tham số. Tìm m để phương trình có
hai nghiệm x 1; x 2 sao cho
a) x 1 + x 2 = 2x 1x 2
b) A = 2 ( x 12 + x 22 ) - x 1x 2 đạt giá trị lớn nhất
c) B =
x 1x 2
đạt giá trị nhỏ nhất
x 12 + x 22 - x 1x 2
-- 18 --
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
DẠNG TỐN 4: MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC
HAI
1. Phương pháp giải và các ví dụ minh họa
Loại 1: Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 và a /x 2 + b /x + c / = 0 có
nghiệm chung
Chúng ta làm như sau:
ì
ïax 2 + bx 0 + c = 0
Bước 1: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x 0 thì ïí / 0 2
ï
a x + b /x 0 + c / = 0
ï
ỵ 0
Giải hệ tìm được x 0 ,suy ra giá trị của tham số
Bước 2: Thế giá trị của tham số tìm được vào hai phương trình để kiểm tra và kết luận.
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình x 2 + ax + 1 = 0 và x 2 + x + a = 0 có nghiệm
chung
Lời giải:
Điều kiện cần: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x 0 thì
ì
ï
x 02 + ax 0 + 1 = 0
ï
Þ (a - 1 ) x 0 + 1 - a = 0
í 2
ï
x0 + x0 + a = 0
ï
ỵ
Nếu a = 1 thay vào hai phương trình ta thấy chúng vơ nghiệm
Nếu a ¹ 1 thì x 0 = 1 Þ a = -2
Điều kiện đủ: Với a = -2 thì hai phương trình trở thành x 2 - 2x + 1 = 0 và x 2 + x - 2 = 0
Giải hai pt này ta thấy chúng có nghiệm chung là x = 1
Vậy a = -2 là giá trị cần tìm
Ví dụ 2:Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (x 2 - 2mx + m - 1)(x 2 - 3x + 2m ) = 0 có bốn
nghiệm phân biệt
Lời giải:
é x 2 - 2mx + m - 1 = 0 ( 1 )
Phương trình tương đương với êê 2
êë x - 3x + 2m = 0 ( 2 )
Phương trình đầu có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai phương trình ( 1 ) và ( 2 ) mỗi phương trình phải
có hai nghiệm phân biệt và chúng khơng có nghiệm chung.
ỉ
1ư
3
* Ta có D '1 = m - m + 1 = ỗỗ m - ÷÷÷ + > 0, "m nên phương trình (1) có nghim vi mi m .
ỗố
2ứ
4
2
2
Do ú iu kin c hai phương trình ( 1 ) và ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt là D2 = 9 - 8m > 0 Û m <
.
* Giả sử hai phương trình ( 1 ) và ( 2 ) có nghiệm chung là x 0 thì
ìï x 02 - 2mx 0 + m - 1 = 0
3x 0 - x 02
2
2
ïí
Þ
x
3
x
x
.
x
+
-1 = 0
(
)
0
0
0
0
ïï x 02 - 3x 0 + 2m = 0
2
ợ
ị 2x 03 - 5x 02 + 3x 0 - 2 = 0 Þ x 0 = 2 Þ m = 1
9
8
éx = 0
Với m = 1 phương trình (1) trở thành x 2 - 2x = 0 Û êê
, phương trình (2) trở thành
êë x = 2
éx = 1
do đó m = 1 thì hai phương trình có nghiệm chung.
x 2 - 3x + 2 = 0 Û êê
êë x = 2
-- 19 --
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
Suy ra để khi hai phương trình ( 1 ) và ( 2 ) khơng có nghiệm chung là m ¹ 1 .
9
và m ¹ 1 .
8
Loại 2: Chứng minh trong các phương trình bậc hai có ít nhất một phương trình có nghiệm
Để giải quyết bài tốn này chúng ta sẽ đi chứng minh tổng các biệt thức Delta là một số khơng âm.
Ví dụ 3: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn diệu kiện a + 2b + 3c = 1 .Chứng minh rằng có ít nhất một
Vậy để phương trình đầu có bốn nghiệm phân biệt thì m <
trong hai phương trình sau có nghiệm
4x 2 - 4 ( 2a + 1 ) x + 4a 2 + 192abc + 1 = 0
4x 2 - 4 ( 2b + 1 ) x + 4b 2 + 96abc + 1 = 0
Lời giải:
Hai phương trình trên lần lượt có D1/ = 16a ( 1 - 48bc ), D/2 = 16b ( 1 - 24ac )
Vì a, b là các số dương nên D1/ , D2/ lần lượt cùng dấu với 1 - 48bc và 1 - 24ac
Mặt khác ta lại có 1 - 48bc + 1 - 24ac = 2 - 24c (a + 2b ) = 2 - 24c ( 1 - 3c ) = 2 ( 6c - 1 ) ³ 0
2
Dẫn đến D1/ + D/2 ³ 0
Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm
Ví dụ 4: Cho các số a, b, c thỏa mãn điệu kiện a + b + c = 6 .Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba
phương trình sau có nghiệm
x 2 + ax + 1 = 0
x 2 + bx + 1 = 0
x 2 + cx + 1 = 0
Lời giải:
Ba pt trên lần lượt có D1 = a 2 - 4, D2 = b 2 - 4 , D3 = c 2 - 4
Þ D1 + D2 + D3 = a 2 + b 2 + c 2 - 12
Ta có bất đẳng thức quen thuộc sau b + c ³
2
Suy ra D1 + D2 + D3 ³ a +
2
Mặt khác a +
(6 - a )
2
2
(b + c )
2
2
(b + c )
2
2
- 12 = a +
2
3 (a - 2 )
2
(6 - a )
2
2
- 12
- 12 =
³ 0 Þ D1 + D2 + D3 ³ 0
2
2
Do đó có ít nhất một trong ba biệt thức D1, D2 , D3 không âm
2
Vậy với a, b, c thỏa mãn điệu kiện a + b + c = 6 thì có ít nhất một trong ba phương trình có nghiệm
Loại 3: Chứng minh bất đẳng thức có chứa các hệ số của phương trình bậc hai với nghiệm của nó có
điều kiện
Để làm xuất hiện điều kiện ràng buộc đối với hệ số phương trình bậc hai ta thường dựa trên
+ Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm thực thì D³ 0 Û b 2 ³ 4ac .
+ Sử dụng định lí Viét và điều kiện nghiệm của đề bài đã cho để suy ra ràng buộc của hệ số a, b, c .
Ví dụ 5: Cho phương trình x 2 -bx + c = 0 có hai nghiệm thực dương x 1 , x 2 thoả mãn x 1 + x 2 £ 1. Chứng
minh rằng:
1
a) c £ .
4
b) b(c + 1) ³ 5c.
-- 20 --
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
Chứng minh.
ỉ x 1 + x 2 ư÷ 1
ỗ
ữữ Ê .
a) Ta cú c = x 1x 2 Ê ỗỗ
ỗố 2 ữữứ 4
2
c) Thay b = x 1 + x 2 , c = x 1x 2 ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
(x 1 + x 2 )(x 1x 2 + 1) ³ 5x 1x 2 Û
Ta c ó:
1
1
+ + x1 + x 2 ³ 5
x1 x 2
1 1
1
1
+ + x1 + x 2 = x1 +
+ x2 +
+
x1 x 2
4x 1
4x 2
3 ổỗ 1 1 ửữ
3 4
5.
ỗ + ữữữ 1 + 1 +
4 ỗố x 1 x 2 ứ
4 x1 + x 2
Ví dụ 6: Cho phương trình x 2 -bx + c = 0 có hai nghiệm thực dương x 1 , x 2 thoả mãn x 1 + x 2 ³ 1.
1
a) Chứng minh rằng: b 2 - 2c ³ .
2
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 2bc -b 3 - 3b + 1 .
Lời giải:.
a) Thay b = x 1 + x 2 , c = x 1x 2 ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
(x
2
1
1
+
x
- 2x 1x 2 ³ Û x 12 + x 22 ³
)
1
2
2
2
Ta có: x 12 + x 22 ³
2
1
1
x1 + x 2 ) ³ .
(
2
2
b) Theo giả thiết ta có: b ³ 1, c £
b2
b3
1
5
nên P £- - 3b + 1 £- - 3 + 1 =- .
4
2
2
2
5
1
khi b = 1, c = .
2
4
2. Bài tập luyện tập
Vậy PMAX =-
Bài 3.18: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung x 2 - 2mx - 4m + 1 = 0 (1) và
x 2 + ( 3m + 1 ) x + 2m + 1 = 0 (2).
Bài 3.19: Chứng minh rằng nếu hai phương trình x 2 + ax + b = 0 và x 2 + mx + n = 0 có nghiệm chung
thì ( n - b ) = ( m - a )(an - bm ) .
2
Bài 3.20: Cho a, b, c là các số thực không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất
một phương trình có nghiệm ax 2 + 2bx + c = 0 (1); bx 2 + 2cx + a = 0 (2); cx 2 + 2bx + b = 0 (3).
Bài 3.21: Cho phương trình x 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thực dương x 1 , x 2 thoả mãn x 1 x 2 ³ 1.
a) Chứng minh rằng: b 2 ³ 4.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
3b 2 - 4c + b + 2
b2 +1
.
Bài 3.22: Giả sử phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thuộc [0; 3] . Tìm giá trị lớn nhất và
18a 2 - 9ab + b 2
9a 2 - 3ab + ac
Bài 3.23: Cho phương trình bậc hai ax 2 - x + c = 0 có hai nghiệm thực dương x 1, x 2 thoả
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q =
mãn x 1 + x 2 £ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
a 2 -c
a 2c -a 3
-- 21 --
.
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
CHỦ ĐỀ 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI
DẠNG TỐN 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Phương pháp giải
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
Phương trình dạng f (x ) = g(x ) ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau
é f (x ) = g(x )
hoặc f (x ) = g(x ) Û f 2 (x ) = g 2 (x )
f (x ) = g(x ) Û êê
f
(
x
)
=
g
(
x
)
êë
2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a) 2x + 1 = x 2 - 3x - 4 .
b) 3x - 2 = 3 - 2x
c) x 2 - 4x - 5 = 4x - 17
Lời giải:
d) 2x - 5 + 2x 2 - 7x + 5 = 0
é
ê x = 5 ± 45
é 2x + 1 = x 2 - 3x - 4
é x 2 - 5x - 5 = 0
ê
2
Û ê
a) Phương trình Û êê
Û êê 2
2
x
x
3
=
0
2
x
+
1
=
x
3
x
4
(
) êë
ê
1 ± 13
êë
êx =
êë
2
5 ± 45
1 ± 13
và
.
2
2
3
b) Cách 1: Với 3 - 2x < 0 Û x >
ta có VT ³ 0, VP < 0 suy ra phương trình vô nghiệm
2
3
Với 3 - 2x ³ 0 Û x £ khi đó hai vế của phương trình khơng âm suy ra
2
Vậy phương trình có nghiệm là x =
Phương trình Û 3x - 2 = ( 3 - 2x ) Û 9x 2 - 12x + 4 = 4x 2 - 12x + 9
2
2
Û 5x 2 = 5 Û x = ±1 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm là x = ±1 .
2
Cách 2: Với 3x - 2 ³ 0 Û x ³ : Phương trình tương đương với
3
3x - 2 = 3 - 2x Û 5x = 5 Û x = 1 (thỏa mãn)
2
: Phương trình tương đương với
3
- ( 3x - 2 ) = 3 - 2x Û x = -1 (thỏa mãn)
Với 3x - 2 < 0 Û x <
Vậy phương trình có nghiệm là x = ±1 .
c) Với 4x - 17 < 0 Û x <
Với 4x - 17 ³ 0 Û x ³
17
ta có VT ³ 0, VP < 0 suy ra phương trình vơ nghiệm
4
17
khi đó hai vế của phương trình khơng âm suy ra
4
Phương trình Û x 2 - 4x - 5 = ( 4x - 17 ) Û ( x 2 - 4x - 5 ) = ( 4x - 17 )
2
2
2
-- 22 --
2
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
é
ê
é x 2 - 8x + 12 = 0
ê
Û ( x 2 - 8x + 12 )( x 2 - 22 ) = 0 Û êê
Û
2
ê
x
22
=
0
êx
êë
êë
Đối chiếu với điều kiện x ³
17
thấy chỉ có x = 6 và x =
4
Vậy phương trình có nghiệm là x = 6 và x =
éx = 2
ê
êx = 6
ëê
= ± 22
22 thỏa mãn
22 .
d) Ta có 2x - 5 ³ 0, 2x - 7x + 5 ³ 0 suy ra
2
2x - 5 + 2x 2 - 7x + 5 ³ 0 .
ìï
ïï x = 5
ïï
2
ìï 2x - 5 = 0
5
Û ïí éê x = 1 Û x = .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ïí 2
ïï 2x - 7x + 5 = 0
ïï
2
ỵ
5
ïï êê
ïïỵ êë x = 2
5
Vậy phương trình có nghiệm là x = .
2
Nhận xét: Đối với phương trình dạng f (x ) = g(x ) (*) ta có thể biến đổi tương đương như sau
ì g(x ) ³ 0
ï
ï
ì g(x ) ³ 0
ï
ïé
ï
f (x ) = g(x ) Û í 2
Ûï
í ê f (x ) = g(x )
2
ï
ï
f (x ) = g (x )
ï
ï
ê f (x ) = -g(x )
ỵ
ï
ï
ỵ êë
é ï
ì f (x ) = g(x )
ê ï
ê í
ï f (x ) ³ 0
Hoặc f (x ) = g(x ) Û êê ïỵ
ì -f (x ) = g(x )
êï
ï
êí
ï
êëỵ
ï f (x ) < 0
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a) ( x + 1 ) - 3 x + 1 + 2 = 0
2
c) x 2 +
9
( x - 1)
2
+ 1 = 2x + 7
b) 4x ( x - 1 ) = 2x - 1 + 1
x 2 - 2x - 2
x -1
Lời giải:
a) Đặt t = x + 1 , t ³ 0 .
ét = 1
Phương trình trở thành t 2 - 3t + 2 = 0 Û êê
êë t = 2
é x =0
Với t = 1 ta có x + 1 = 1 Û x + 1 = ±1 Û êê
êë x = -2
é x =1
Với t = 2 ta có x + 1 = 2 Û x + 1 = ±2 Û êê
êë x = -3
Vậy phương trình có nghiệm là x = -3, x = -2, x = 0 và x = 1
b) Phương trình tương đương với 4x 2 - 4x - 2x - 1 - 1 = 0
Đặt t = 2x - 1 , t ³ 0 Þ t 2 = 4x 2 - 4x + 1 Þ 4x 2 - 4x = t 2 - 1 .
-- 23 --
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
é t = -1
Phương trình trở thành t 2 - 1 - t - 1 = 0 Û t 2 - t - 2 = 0 Û êê
êë t = 2
é
3
ê x =
é 2x - 1 = 2
ê
2
Û ê
Vì t ³ 0 Þ t = 2 nên 2x - 1 = 2 Û êê
2
x
1
=
2
êx = -1
êë
êë
2
Vậy phương trình có nghiệm là x =
c) ĐKXĐ: x ¹ 1
3
1
và x = - .
2
2
Phương trình tương đương ( x - 1 ) +
2
Đặt t = x - 1 -
3
x -1
Suy ra t 2 = ( x - 1 ) +
2
9
( x - 1)
2
9
( x - 1)
2
= 7 x -1-
- 6 Þ ( x - 1) +
2
9
( x - 1)
2
3
x -1
= t2 + 6
ét = 1
Phương trình trở thành t 2 + 6 = 7t Û t 2 - 7t + 6 = 0 Û êê
êë t = 6
3
x 2 - 2x - 2
x 2 - 2x - 2
Với t = 1 ta có x - 1 =1Û
=1Û
= ±1
x -1
x -1
x -1
é
é
ê 2
ê x = 3 ± 13
ê x - 3x - 1 = 0
ê
2
Û ê 2
Û ê
(thỏa mãn)
x
x
3
=
0
ê
ê
1 ± 13
ê
êx =
êë
ëê
2
3
x 2 - 2x - 2
x 2 - 2x - 2
Với t = 6 ta có x - 1 =6Û
=6Û
= ±6
x -1
x -1
x -1
é x 2 - 8x + 4 = 0
é x = 4±2 3
Û êê 2
Û êê
(thỏa mãn)
êë x + 4x - 8 = 0
êë x = -2 ± 2 3
3 ± 13
1 ± 13
,x =
, x = 4 ± 2 3 và x = -2 ± 2 3 .
2
2
Ví dụ 3: Giải và biện luận các phương trình sau
a) mx + 2m = mx + x + 1 (*)
b) mx + 2x - 1 = x - 1 (**)
Vậy phương trình có nghiệm là x =
Lời giải:
é mx + 2m = mx + x + 1
a) Ta có mx + 2m = mx + x + 1 Û êê
êë mx + 2m = - ( mx + x + 1 )
é
x = 2m - 1
Û êê
êë ( 2m + 1 ) x = -2m - 1 (1)
Giải (1)
Với 2m + 1 = 0 Û m = .
1
phương trình trở thành 0x = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x
2
-- 24 --
CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
Với 2m + 1 ¹ 0 Û m ¹ Kết luận
m =-
CHUYÊN ĐỀ III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
1
phương trình tương đương với x = -1
2
1
phương trình (*) nghiệm đúng với mọi x .
2
1
phương trình (*) có hai nghiệm là x = -1 và x = 2m - 1
2
é mx + 2x - 1 = x - 1
b) Ta có mx + 2x - 1 = x - 1 Û êê
êë mx + 2x - 1 = - ( x - 1 )
é (m + 1)x = 0 (2)
Û êê
êë (m + 3)x = 2 (3)
Với phương trình (2) ta có
m = -1 thì phương trình (2) nghiệm đúng với mọi x
m ¹ -1 thì phương trình (2) có nghiệm x = 0
Với phương trình (3) ta có
m = -3 thì phương trình (3) vơ nghiệm
m ¹-
m ¹ -3 thì phương trình (3) có nghiệm x =
2
m+3
Kết luận
m = -1 phương trình (*) nghiệm đúng với mọi x
m = -3 phương trình (*) có nghiệm x = 0
m ¹ -1 và m ¹ -3 phương trình (*) có nghiệm x = 0 và x =
2
.
m+3
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình x 2 + x = mx 2 - (m + 1)x - 2m - 1 có ba nghiệm phân biệt.
Lời giải:
Phương trình tương đương với
x ( x + 1 ) = ( x + 1 )( mx - 2m - 1 ) Û x + 1 éë x - mx - 2m - 1 ùû = 0
é
x = -1
Û êê
êë x = mx - 2m - 1 (*)
é mx - 2m - 1 = x
é (m - 1)x = 1 + 2m (1)
Ta có (*) Û êê
Û êê
êë mx - 2m - 1 = -x
êë (m + 1)x = 1 + 2m (2)
Nếu m = 1 thì phương trình (1) vơ nghiệm khi đó phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm phân biệt.
Nếu m = -1 thì phương trình (2) vơ nghiệm khi đó phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm phân
biệt.
é
1 + 2m
êx =
ê
m -1
Nếu m ¹ ±1 thì (*) Û ê
ê x = 1 + 2m
ê
m +1
ë
Suy ra để phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
-- 25 --
