tai lieu toan 8BDT

Chuyên đề :

HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG

A. Áp dụng nhựng hằng đẳng thức
1. Bình phương của một tổng: ( A + B )2= A2 +2 AB+B 2 = ( A − B )2 +4 AB
2. Bình phương của một hiệu: ( A − B )2=( B − A )2= A 2 − 2 AB+ B2 = ( A + B )2 − 4 AB
3. Hiệu của hai bình phương:

A 2 − B 2=( A − B ) ( A + B )

4. Lập phương của tổng: ( A + B )3= A3 +3 A 2 B+3 AB2 + B3= A 3+ B3 +3 AB ( A + B )
5. Lập phương của hiệu: ( A − B )3= A3 −3 A2 B+3 AB2 − B3= A 3 − B3 −3 AB ( A − B )
3

6. Tổng hai lập phương:

A 3 + B3=( A+ B ) ( A2 − AB+ B2 )=( A+ B ) −3 AB. (A − B)

7. Hiệu hai lập phương:

A − B¿ 3+ 3 AB .( A − B)
A 3 − B3=( A − B ) ( A2 + AB+ B2 )=¿

* Một số hằng đẳng thức tổng quát

1. an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1)
2. a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1)
3. a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k)
n(n  1)
n(n  1)

n-2
2
4. (a + b) = a + na b + 1.2 a b +…+ 1.2 a2bn-2 +nabn-1 + bn
n

n

n-1

n(n  1)
n(n  1)
n-2
2
5. (a -b) = a - na b + 1.2 a b - …- 1.2 a2bn-2 +nabn-1 - bn
n

n

n-1

Bài tập1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau :
1 ( A + B+C )2=A 2 +B 2+C 2 +2 ( AB+ BC+ AC )
2. ( A + B+C )3 =A 3 + B3 +C3 +3 ( A+ B ) . ( B+C ) . ( A+C )
3. 2 ( A 2+ B 2) =( A+ B )2 + ( A − B )2
4. ( A2 + B2 ) . ( X 2+Y 2) =( AX − BY )2 + ( AX+BY )2
Bài tập 2. Tính :
a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
Giải
a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052

A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042)
A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004)
A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2004 + 2005
A = ( 1 + 2002 ). 2005 : 2 = 2011015
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
B=…
B =(232 - 1)(232 + 1) – 264


B = 264 – 1 – 264
B=-1
* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A2 – B2
Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a/ A = x2 – 4x + 7
b/ B = x2 + 8x
c/ C = - 2x2 + 8x – 15
Giải
2

2

2

a/ A = x – 4x + 7 = x – 4x + 4 + 3 = ( x - 2) + 3 > 3
Dấu “ =” xảy ra  x – 2 = 0  x = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.
b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16
Dấu “ =” xảy ra  x – 4 = 0  x = 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4.
c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7
Dấu “ =” xảy ra  x – 2 = 0  x = 2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2.
* Chú ý:


Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:

-

Chứng minh A > m với m là một hằng số.

-

Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.

-

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA )



Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:

-

Chứng minh A < t với t là một hằng số.

-

Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.

-

Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA )

Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c
Giải
2

( a + b + c ) = 3(ab + bc + ac )
2

 a + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac
 a2 + b2 + c2- ab - bc – ac = 0
 2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = 0
 ( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = 0
 ( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 = 0
 ( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = 0 hay ( c – a)2 = 0
 a = b hay b = c hay c = a
a = b = c
* Chú ý:
Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức


(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Bài tập 5. Chứng minh rằng:
⋮ 19 ( n

N)

b/ 11n+2 + 122n+1 ⋮ 133 ( n

N)

a/ 7.52n + 12.6n

Giải
a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n ⋮ 19
Vì ( 25n – 6n ) ⋮ ( 25 – 6) nên ( 25n – 6n ) ⋮ 19 và 19.6n ⋮ 19
Vậy 7.52n + 12.6n ⋮ 19 ( n
n+2

b/ 11

+ 12

2n+1

N)

⋮ 133 = 11 . 11n + 12.122n
2

= 12.( 144n – 11n) + 133.11n

⋮ 133

Vì (144n – 11n) ⋮ (144 – 11) nên (144n – 11n) ⋮ 133
* Chú ý:
Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức
an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1)

do đó (an – bn) ⋮ (a- b)

Bài tập 6. Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
Giải
2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
 (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0
 ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 = 0
 ( x + y + z)2 = 0 ; ( x + 5)2 = 0 ; (y + 3)2 = 0
 x = - 5 ; y = -3; z = 8
* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức
(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Bài tập 7: Cho x =
Ta có : y =

11 .. . 15
⏟
n chữ số 1

11 .. . 19
⏟
n chữ số 1

=

; y=
11 .. . 15
⏟
n chữ số 1

11 .. . 19
⏟
n chữ số 1

. Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương.

+4=x+4

Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2
11 .. . 172 là số chính phương.
hay xy + 4 = ⏟
n chữ số 1

B. Ứng dụng hằng đẳng thức
Xét bài tốn phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc
Ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc

= (a + b)3 – 3ab(a+b) + c3 – 3abc
= [(a+b)3+c3 ] – 3ab(a+b+c)
= (a+b+c) [(a+b)2–c(a+b)+c2 ]– 3ab (a+b+c)
= (a+b+c) (a2 + 2ab + b2 – ac- ab + c2- 3ab)


= (a +b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
1

= 2 (a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2]
Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a3 + b3 + c3 – 3abc = 0
1
=> 2 (a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] = 0
 a  b  c 0

(a  b) 2  (b  c) 2  ( a  c) 2 0
=> 
=>

 a  b  c 0
 a b c


Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng tốn:
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.
Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.
DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ
Bài 1: Phân tích đa thức (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử.
Ta thấy : x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
(x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x-y) (y-z) (z-x)
Bài 2: Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử.
Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3
Ta thấy x 2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
(x2+y2)3+ (z2-x2)3+ -y2-z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 –x2) (-y2 – z2) = 3(x2+y2) (x+z)(x-z)(y2+z2)
Bài 3 : Phân tích đa thức (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử
(x+y+z)3 – x3-y3-z3 =[(x +y) +z]3 – x3 – y3 – z3.
= (x+y)3 + 3 (x+y) (x+y+z) – x3-y3-z3

= x3 + y3+3xy(x+y)+z3+3z(x+y)(x+y+z) –x3-y3-z3.
= 3(x+y) (xy+ yz +xz +z2) = 3(x+y)(y+z)(z+x)
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
(x+y+z)3 –(x+y-z)3-(x-y+z)3 -(-x+y+z)3
Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c.
=>x+y+z = a+b+c


=>(a+b+c)3 - a3- b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz
DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:
1 1 1
  0
x
y z
Bài 1: Cho
tính P =

xy yz zx
 
z 2 x2 y 2

1 1 1
1
1 1
3
  0
 3 3 
3
y
z

xyz
Từ x y z
=> x
 1
xy yz zx xyz xyz xyz
1 1  xyz 3
 2  2  3  3  3  xyz  3  3  3  
3
2
z
x
y
z
x
y
x
y
z  xyz

=> P =
c
 a  b 
 1   1  1  
Bài 2: Cho abc 0, a3+b3+c3 = 3abc tính A =  b   c   a 
 a  b  c 0

Từ a3 + b3 + c3 = 3abc =>  a b c
 a  b  b  c  a  c   c  a  b
.
 1




 .
b c 
Nếu a+b+c = 0 thì A =  b   c   c 
Nếu a = b = c thì A = (1+1) (1+1) (1+1) = 8
=> A có 2 giá trị: -1 và 8

 1 
3
3
3
3
3
3
2
2
2
Bài 3: Cho xyz 0 thoả mãn x y + y z + x z = 3x y z . Tính P = 

x 
y 
z
 1    1  
y 
z 
x

Đặt a= xy, b = yz, c =zx.

 a  b  c 0

Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc =>  a b c
Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì (x+z) y = -xz

P=


 1 



=

x 
y 
z   x  y  y  z   z  x   x  y  z  y  z  x  x  z  y
  1    1   

.
.


y 
x 
x   y  z   x 
yz
zx
xy

xy   yz   zx 
 1
zx.xy. yz

Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8
Bài 4: Cho a + b + c = 0 tính giá trị biểu thức A = (a-b)c3 + (b-c)a3+(c-a)b3
Ta biến đổi b-c = b-a+a-c
Ta được A = (a-b)c3 + (b-a)a3 + (a-c)b3 = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c).


Vì a+b+c=0 -> A=0
x3  y 3  z 3
 xzy
Bài 5: Cho x+y+z=0 tính giá trị biểu thức B =
x3  y 3  z 3 3 xyz

 3

xyz

xyz
3
3
3
vì x+y+z=0 => x +y +z = 3xyz => B =
a 2  b2  c2
2
Bài 6: Cho a3+b3+c3 = 3abc và a+b+c 0 tính giá trị biểu thức. M=  a  b  c 
ta có a3+b3+c3- 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 –ab-bc-ca) = 0
1

 a  b  c   a  b  2   b  c  2   c  a  2 0
=2





Mà a+b+c 0 => (a+b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 = 0 => a=b=c
a 2  a 2  a 2 3a 2 1
 2 
9a
3
 3a  2
=> M =
Bài 7: Cho a+b+c=0 (a  0; b 0; c  0) tính giá trị biểu thức
a2 b2 c2
 
A = cb ca ab ;

a2
b2
c2


2
2
2
b2  c 2  a 2 c2  a 2  b2
B= a  b  c

a 3  b3  c3
abc
Ta có A =
vi a+b+c=0 => a3 + b3 + c3 = 3abc
3abc
3
A = abc
a2
b2
c2


2
2
2
b2  c 2  a 2 c2  a 2  b2
B= a  b  c
Từ a+b+c= 0 => a+b = -c => a2+b2+2ab=c2 -> c2-a2-b2= 2ab
TT: a2-b2-c2 =2bc; b2-c2-a2=2ac
a2
b2
c2
a 3  b3  c3



2abc
Nên B= a 2bc 2ac 2ab
ta có a+b+c=0 => a3+b3+c3 = 3abc
3abc 3


-> B = 2abc 2
Bài 8: Cho a+b+c= 0 tính giá trị biểu thức:
a
b 
 a b b c c a  c
 c  a  b   a  b  b  c  c  a 
A=


a b b c c a


a
b
Đặt B = c
c
c b c c a
c  b  bc  ac  a 2 
1 


1

.



a b
a  b a

b 
a b 
ab

Ta có B .
c  a  b  c  a  b 
2c 2
2c 3
.
1 
. 1 
ab
ab
abc
=1+ a b
a
2a 3
b
2b3
1 
;
1 
;
abc B. c  a
abc
Tương Tự . B . b  c



2c 3

2a 3
2b3
a 3  b3  c 3
1
1
1
3
abc
abc
abc
abc
Bậy A =



2.3abc
9
Vì a+b+c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = 3 + abc
DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải phương trình (3x – 2)2 – (x-3)3 = (2x+ 1)3.
(3x-2)3 – (x-2)3 = (2x+1)3 => (3x-2)3 – (x-3)3 – (2x+1)3 = 0
=> (3x-2)3 + (-x+3)3 + (-2x-1)3 = 0 =>
=> Nhận xét: Ta có 3x -2 -x +x-2x-1 = 0 =>
Áp dụng nhận xét ta có (3x-2)3 + (-x+3)3+(-2x-1)3 = 3(3x-2)(-x+3)(-2x-1)=0
=>(x+y)(-x+2)(-y-2) =2
Vì x;y Z ta có: 2=1.1.2=(-2)(-1).1=(-1)(-1).2=(-1)..2(-1)

chỉ xảy ra trường hợp

 x  y  1


 x  2  2
 y.2   1




 x 0

 y  1

Chú ý:x=2;y=-2 =>phương trình vơ nghiệm
KL: Phương trình có nghiệm x=0; y=-1
Bài 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
x3 +y3+z3- 3xyz=1
Ta có x3+y3+z3-3xyz=1 <=>
 (x+y+z) (x2 +y2+z2-xy-xz-yz)=1
1
Ta xét x2+y2+z2-xy-xz= 2 [(x-y2 +(y-z)2+(z-x)2 ]  0 nên chỉ có thể xảy ra


 x  y  z 1(1)
 2
2
2
 x  y  z  xy  yz  zx 1(2)
Từ 1 ta có: x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) = 1
Từ 2,3 => xy + yz + zx = 0

3

<2-3>

Nên x2 +y2 + z2 = 1
giả sử x2  y2 z2
=>z = 0; y = 0; x = 1

Nếu

 x 1

 y 0 
 z 0


không t/m

 x 1

 y 0 
 z 0
Nếu 
T/m phương trình

và TH:

 x 0

 y 1 
 z 0


và

x  0

y 0
 z 1


DẠNG 4: CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC
Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 cạnh tương ứng là a,b,c thoả mãn a3+b3+c3 = 3abc.
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
 a  b  c 0

 a b c
Ta có a3 +b3+c3 = 3abc
Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác ABC nên a+b+c 0 nên ta có a=b=c (a,b,c >0)
=> ABC Là tam giác đều.
Bài 2: Cho a+bc+c+d = 0 cmr a3+b3+c3+d3 = 3 (d+c) (ab-cd)
Đặt c+d= x ta có a+b+x=0 => a3+b3+x3= 3abx hay a3+b3 +(c+d)3
=3ab(c+d) => a3+b3+c3+d3 = 3ab (c+d)- 3cd(c+b)
= 3(c+d)(ab-cd)
Bài 3: CMR nếu x+y+z = 0 thì 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2)
từ x+y+z = 0 => -x= y+z => (y+z)5= -x5.
=>y5+5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5


=>x5 +y5+z5+5yz (y3 + 2yzz+2yz2+z3) = 0
=>x5+y5+z5+5yz(y+z)(y2+yz+z2)= 0
=> 2(x3+y5+z5)- 5yzx((y2+z2)+ (y+z)2)= 0

=> 2(x3+y5+z5)- 5yzx((x2 +y2+z2)= 0
2(x5+y5+z5)= 5yzx (x2+y2+z2) => đpcm.

C. Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi đồng chất
Bài tập 1 : Cho a> b>0 , biết
P=

a/ 3 a2 +3 b2=10 ab . Tính

b/ 2 a2 +2 b2=5 ab . Tính Q=

a+b
a −b

a− b 2 a2 − 2ab +b2 3 a2 +3 b2 −6 ab 10 ab − 6 ab 1
= 2
=
=
= . Mà
a+b
a +2 ab+b 2 3 a 2+3 b 2+ 6 ab 10 ab+ 6 ab 4

( )

2

P=

a. Xét

a −b
a+b

P>0 ⇒ P=

1
2

2

b. ( Tương tự ) Xét

E =9⇒ E=3

Bài tập 2:
a/ Cho a+b +c=0 và a2 +b 2+ c 2=14 . Tính
x+ y+ z=0 và

b/ Cho

2

2

2

x + y + z =a

2

A=a4 + b4 + c 4

. Tính B=x 4 + y 4 + z 4 theo a

2

a/ Ta có: 142 =( a2 +b 2+ c2 ) ⇒ a 4 +b 4 +c 4 =196 −2 ( a2 b2 +b 2 c 2 +c 2 a2 )
a2 +b2 +c 2
=−7
2

2

a+b +c=0 ⇒ ( a+b+ c ) =0 ⇒ ab+ bc+ ac=−

Ta có:

2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

2

2

⇒ ( ab+ bc+ ac ) =49 ⇒a b +b c +a c +2 abc(a+b+ c)=49⇒ a b +b c +a c =49
Vậy
b/

4

4

4

A=a + b + c =196 −2 . 49=98
2

x=− ( y + z ) ⇒ x 2=( y + z )2 ⇒ x 2 − y 2 − z 2=2 yz ⇒ ( x 2 − y 2 − z 2 ) =4 y 2 z 2
2

⇒ x 4 + y 4 + z 4=2 x 2 y 2 +2 y 2 z 2+ 2 x 2 z 2 ⇒2 ( x 4 + y 4 + z 4 ) =( x 2 + y 2+ z2 ) =a4 ⇒ B=
Bài tập 3: Cho
2

A=x +

1

x2

x ≠ 0 và

a4
2

1
x+ =a . Tính các biểu thức sau theo a
x
3

B=x +

1
x3

Dể dàng chứng minh được, khi n>1, ta có:

6

C=x +
x n+1 +

1
x6

1
x

n +1

7

D=x +

(

= xn +

1
xn

)( x+ 1x ) −( x

1
x7

n−1

+

1
x n −1

)


Ta tính được

A=a2 − 2

B=a 3 −3 a

C=a6 −6 a4 +9 a2 − 2

D=a7 − 7 a15 +14 a 3 −7 a

Bài tập 4: Phân tích các số sau ra thừa số
a/ a2 ( b − c ) +b 2 ( c −a )+c 2 ( a − b )
b/ a3 + 4 a2 −29 a+ 24 à
4

3

2

c/

x +6 x + 7 x −6 x +1

d/

x 3+ 6 x 2 +11 x+ 6

e/ ( x+ 1 ) . ( x+3 ) . ( x+ 5 ) . ( x +7 ) +15
f/ ( x − y )3+ ( y − z )3 + ( z − x )3
Gợi ý:
a/ Thay b − c=−( c − a)−( a− b)
Sau khi thay, ta được ( a −b ) ( c 2 − a2 ) + ( c −a ) ( b 2 − a2 )= ( a −b )( c −a ) [ ( c +a ) − ( b+a ) ] =( a − b ) ( c − a ) ( c − b )

b/ Đáp số: ( a −1 ) ( a −3 )( a+8 )
2

c/ Đáp số: ( x 2+ 3 x −1 )

d/ Đáp số: ( x+ 1 )( x +2 ) ( x +3 )
e/ Đáp số: ( x 2+ 8 x +10 ) . ( x+ 6 ) . ( x +2 )
f/ Đặt

x − y=a

y − z=b

z − x=c
3

⇒ a+ b+c=0⇒ a+b=− c ⇒ ( a+ b ) =− c

3

⇒a 3+ b3 +3 ab ( a+b )=− c3 ⇒ a3+ b3 +c 3=− 3 ab(a+ b)=3 abc
VT =3 ( x − y ) ( y − z )( z − x )