De HSG toan Ha Long 1718

UBND THÀNH PHƠ HẠ LONG
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIOI CAP THANH PHO
NĂM HỌC 2017-2018

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

`

„

Họ và tên, chữ ký

MON: TOAN

của giám thị số 1:

Thời gian làm bài: 150 phút
( không kê thời gian giaođề)

—

—†........................

Câu I: (5,5 điểm)
a) Cho hai số dương z,b và số c khác 0 thỏa mãn J1
a

Chimg minh rang:

1g

be

Ja+b=Ja+c+WVb+c.

b) Cho ø là số tự nhiên, chứng minh rằng:

B=4a(a +2017)(a + 2018)(a+4035)+ 201772018? là số chính phương.

Câu II: (3,0 điểm) Giải phương trình:
(x7 + 6x+5)V10— x? =x +4x° —7x-10.

Câu IH: (2,5 diém) Cho a, b 1a hai số nguyên thỏa mãn (2a+3b) : 7:
Chứng minh rằng (227 — 48ab — 3b”) t7,

Câu IV: (7,0 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp nửa đường trịn đường kính ĐC. Lấy 7 là trung
điểm của AC , Qua 7 kẻ đường thắng vng góc với ĐC, qua C kẻ đường thăng
vng góc với ÁC, chúng cắt nhau tại E.
a) Chứng minh rằng AE vuông góc với BI.

b) Qua C kẻ tiếp tuyến với đường trịn đường kính 8C, cắt đường thắng BI
2

tại K. Chứng minh rằng IK = CE r:
BK
2.EI
c) Cho BC =a, khi E thuéc duodng tron duong kính BC, hãy tính độ dài

doan thang AB theo a.
Cau V: (2,0 diém)
ser

pe

Cho hai s6 duong x;y thỏa mãn x+ y>4
pe

kg

eR

,

45

Tìm giá trị nhỏ nhất của biêu thức A= x“ + y`+—+—~.


HUONG DAN CHAM DE THI CHON HOC SINH GIOI MON TOAN 9
Nam hoc 2017-2018

Â

LỜI GIẢI SƠ LƯỢC

CAU
a) T+~+~=0©
a

b
ec
.
1
1,41

Lại có - = -+?)

.

BIEU

DIEM

ab + be +ca =0

0,5
0,5

mà a, b dương nên c < 0Ư

Va+b=va+c+vb+c
a+b=a+c+b+c+2/(a+c)(b +c)

vn

@0=2c+2Vab+be+ca+c?

0.5

Caul
©0= 2c + |e|
(5.5điểm) | c› 0 = 2c — 2c luôn đúng nên đăng thức được chứng minh.

b) B= 4a(a+2017)(a +2018)(a + 4035) + 2017.2018”
đặt 2017.2018 =b
c6 B=4(a’ + 4035a)(a° + 4035a +b) +b°

I

đặt r=a” +4035a khi đó có B= 4? + 4th +b* =(2r +b)

1

c6 a,be N=>2t+be
N= Bla so chinh phuong.

(x2 +6x +5)V10 — x2 =x3 + 4x? -—7x-10
ĐKXD:-v10

0,5

(1)


Pt(1) © (x + 1)(x + 5)V10 —x2 =(x+1)(x+5)(x-—
(x+1)(x+5)=0
(2)
c

l10—-x2=x—
10-x*=x-2

0,5

2)

(3)

0,25

0,75
0.5

cant [pray 2228
fe Heo
Giải (2)

(3diém)

aro

Giải (3)

PIG)

=

—

x>2

10 — x2 ne a

ba

0,5
x>2

yt nh

=0

Giải phương trình bậc hai tìm được hai nghiệm là x=-1 va x =3

đối chiếu điều kiện x > 2 va dkxd tìm được x = 3

Vậy phương trình có nghiệm

x = —1;x = 3

Câu II | Có 2a° — 48ab — 3bˆ = (2a + 3b)(a — b) — 49ab
(2,5điêm) |Do (2a + 3b): 7 ; a, b nguyên nén a — b nguyên
—>(2a+3b)(a—b):7

(1)

Lại có 49ab : 7
(2)

Từ (1) và (2) > [Œa + 3b)(a — b) — 49ab]| : 7
Hay (2aˆ — 48ab — 3b^) : 7.

0,5

0,25

0,25

Id
0,75

0,25
0,25
0,25


Câu IV | Vẽ hình
(7điớm) | Gọi G là giao của IE với BC; H là giao của AE và BI.
a)Chimg minh AABC~ACIE (g.g)
=>

AB

AC

=

IC

AB

=>

CE

AI

=

“AC

0.25
,
05

CE

0,5

Ching minh AABI~ACAE(c.g.c)

> B= Aa

Có

4›

+

A,

=..

=

909,

+

A,

— AHB = 90° > AE | BỊ

b)
Chứng

.

=

0,5

05

90°

0,5

0,25

IK
GC
minh ——=——

BK

BC

0,25

Chimg minh AIGC~ABAC > GC.BC = AC.IC = = AC?

GC
BC

=

AC

=

2.BCˆ

2

CE?

do AABC~ACIE

2.1E”

0.75

)

0,75
0,25

C)

Chứng minh tứ giác ABEC

0.5

la hinh chit nhat> ABE = 90°

— AB? = AH. AE = Al. AC= AC?

wee}

°

\

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vng ABC
Có BC? = AB* + AC?

Hay a? = AB* + 2AB* > AB -—
1

45

x

y

B

0,5

A=x*+y*+-+—
C6 x* +1 >

2x (1)

0,25

y° +92 6y (2)

Câu V

0,25

Từ (1) và (2) > xˆ + yˆ + 10 > 2x
+ 6y
1
45
>
—++

24+10>2x+6y+

(2điêm)

> (x4
^

(X

Ty

+(

x

025

—

+=) +(s
x

y

+2)
y

0,5

>4+2+30

Vậy A > 26

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 1;y = 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 26 đạt được tại x = 1;y = 3

0,25

025


Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm hoặc lời giải sơ lược, học sinh trình bày lời

giải phải chỉ tiết, chặt chẽ mới đạt điểm tối đa.

Học sinh làm bài theo cách khác - nêu đúng được số điểm tương đương.

Tổ châm thảo luận, thống nhất chia điểm thành phân.