de 13

ÔN THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 – 2019
Thời gian giải: 150 phút
ĐỀ SỐ 13
Câu 1.(4 điểm)
a) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn x x  y y  z z 3 xyz . Tính giá trị biểu

x 
A  1 
 .  1 
y

 
thức

y
z

 
z
 .  1 

x 
 

2
b) Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p  1 chia hết cho 24.
Câu 2. (3 điểm)

1 1 1
  0
Cho a > 0; b > 0 và c  0. Chứng minh rằng a b c

khi và chỉ khi
a b  a c  b c

Câu 3. (5 điểm)
2
a) Giải phương trình x  3  5  x  x  8 x  18
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn 2c + b = abc.
3
4
5


4 3
Chứng minh rằng b  c  a c  a  b a  b  c

Câu 4. (5 điểm)
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. M là điểm di động trên nửa đường
trịn. Kẻ MH vng góc AB tại H. C và D lần lượt là hình chiếu vng góc của H trên
MA và MB. MH và MO cắt CD lần lượt tại I và K.
a) Chứng minh AH. HB = MK. AB
b) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác HCD đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5. (3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. F là điểm đối xứng của H qua AB, G là
điểm đối xứng của H qua AC. FG cắt AB, AC lần lượt tại E và D. Chứng minh BD, CE
là các đường cao của tam giác ABC.
== HẾT ==