De thi chon HSG

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ NG BÍ
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2012-2013

MƠN: TỐN
Ngày thi: 24/4/2013
Thời gian làm bài: 150 phút
(Khơng kể thời gian giao đề)

Chữ kí giám thị 1
……………...
Chữ kớ giỏm th 2
..

Bài 1: (3,0 điểm)
Cho ba số a, b, c thoả mÃn điều kiện abc =2013. Tính giá trÞ biĨu thøc:
2013a 2 bc
ab 2 c
abc 2


P = ab  2013a  2013 bc  b  2013 ac c 1
Bài 2: (3,0 điểm):
Cho hai đa thức:
x  1  x  3  x  5  x  7   a vµ Q(x) = x 2 8x 9
P(x) =
Tìm giá trị cđa a ®Ĩ ®a thøc P(x) chia hÕt cho ®a thức Q(x).

Bài 3: (6,0 điểm):
Giải các phơng trình:
a. 2x2 + 2xy + y2 + 9 = 6x b.

y 3

(2 x 2  x  2013) 2  4( x 2  5 x  2012)2 4(2 x 2  x  2013)( x 2  5 x  2012)

Bµi 4: (6,0 điểm):
Cho hình vuông ABCD, cạnh a, điểm N thuộc cạnh AB. Tia CN cắt tia DA tại
E. Tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn
thẳng EF.
a. Chứng minh CE = CF
b. Chøng minh ba ®iĨm M, B, D thẳng hàng
c. Đặt BN = b. Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và b.
Bài 5: (2,0 điểm):
Cho x, y thoả mÃn x2 + y2 = 1.
Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc

A = x 6 + y6

------------------ HÕt ---------------Họ và tên thí sinh:…………………………………

Số báo danh: …………………


hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi toán 8
Bài

Lời giải sơ lợc

2

điểm

2

2

2013a bc
ab c
abc


P = ab 2013a 2013 bc  b  2013 ac  c  1
2013a
b
c


abc. 



 ab  2013a  2013 bc  b  2013 ac  c  1 
=

0,5 ®iĨm

Thay abc = 2013 vµo P ta cã:
b

c
+
+
(abca
ab+ abca+ abc bc+ b+abc ac+ c+1 )

P = abc.
Bài 1
(3 điểm)

abca
b
c
+
+
ab. (1+ ac+ c) b .(c +1+ac) ac+ c+1

1,0 ®iĨm

= abc.

[

= abc.

(acac +c +1 +ac+1c+ 1 + ac+cc+1 )

0,5 ®iĨm

= abc.

ac+ c+1
ac+ c+1

0,5 ®iĨm

]

= abc = 2013

Ta cã:
P( x)  x  1  x  3   x  5   x  7   a

0,5 ®iĨm

0,5 ®iĨm

 x  8 x  7   x  8 x 15 a
2

2

2
Đặt x 8 x 9 t
Bài 2
2
(3 điểm) Khi đó P(x) = (t 2)(t + 6) + a = t  4t  a  12 = P(t)
2
2
t t  4   a  12

Chia t  4t  a  12 cho t ta đợc t 4t a 12 = 

1,0 ®iĨm
0,5 ®iĨm

2

P(x) chia hÕt cho Q(x)  t  4t  a  12 chia hÕt cho t
 a – 12 = 0  a = 12
VËy với a = 12 thì đa thức P(x) chia hết cho ®a thøc Q(x).
⇔ 2x2+2xy+y2+9- 6x+ y  3 =0

a. 2x2+2xy+y2+9 = 6x- y  3
⇔
⇔

(x2+2xy+y2) + (x2- 6x+9) +
(x+y)2 + (x-3)2 +

y 3

V× (x+y)2 ≥ 0, (x-3)2 ≥ 0,
(x+y)2 + (x-3)2 +
Bài 3
(6 điểm)

Vậy (1)
Kết luận nghiệm

=0

0 víi mäi x, y nªn

≥ 0 víi mäi x, y

¿
x + y =0
x − 3=0
y+ 3=0
¿ {{
¿

⇔

¿
x=3
y=− 3
¿{
¿

a 2 x 2 x 2013

2
Đặt b x 5 x 2012
2

0,5 điểm

0,5 điểm
0,75 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

b.
Phơng trình đà cho trở thành:
2

0,25 điểm
0,5 điểm

0,5 điểm

= 0 (1)

y 3

y 3

y 3

0,75 ®iÓm

1,25 ®iÓm
2

a  4b 4ab  (a  2b) 0  a  2b 0  a 2b
Khi ®ã ta cã:
2 x 2  x  2013 2( x 2  5 x  2012)  2 x 2  x  2013 2 x 2  10 x  4024

1,25 ®iĨm


 2011
11

 11x  2011  x 

KÕt luËn nghiÖm

0,25 ®iĨm

E

M

A

N

F
B

D
C

a. Chøng minh CDE CBF  CE = CF
b. V× M là trung điểm của EF nên
1

EF
ME = MF = MC = MA= 2

2 điểm
1,0 điểm

MA = MC.

Bài 4
(6 điểm) M thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AC

Mà ABCD là hình vuông nên BD là đờng trung trực của đoạn thẳng
AC
M thuộc đờng thẳng BD hay 3 điểm M, B, D thẳng hàng

1,0 điểm

c. Ta có BN = b  AN = a - b
1
1
CD. AE  CE 2
2
SACFE = SACE + SECF = 2
AE AN
AE
a b
a (a  b )




 AE 
AE  AD
a
b
TÝnh AE: Ta cã ED DC
a4
2
Ta cã CE2 = CD2 + DE2 = a2 + (a+AE)2 = a2 + b
a 2 ( a b)
2
Tính đợc SACFE = 2b
2 3

Bài 5
(2 điểm)

6

0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm

2 3

 x   y 
=

Ta cã A = x + y
= (x2+y2)(x4+y4- x2y2)
4

4
2
2
2
= x +y - x y (V× x + y2 = 1)
= (x2+y2)2 - 3 x2y2 = 1 - 3x2y2
V× x2y2 ≥ 0 víi mäi x, y nªn 3x2y2 ≥ 0  1-3x2y2 ≤ 1 víi mäi x, y
Hay A ≤ 1
6

0,5 ®iĨm

 x 2 0
 2
 max A = 1  x2y2 = 0   y 0 (1)
 x 0; y 1

Mµ x2 + y2 = 1 nªn (1)   y 0; x 1

VËy max Q = 1  x = 0 ; y = 1 hc x = 1 ; y = 0

0,75 ®iĨm
0,25 ®iĨm
0,25 ®iĨm
0,5 ®iĨm
0,25 ®iĨm

Các chú ý khi chấm.
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh
phải lập luận chặt chẽ, tính tốn chính xác mới được cho điểm tối đa.

2. Với các cách giải đúng nhưng khác hướng dẫn chấm, tổ chấm trao đổi và thống
nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó. Mọi
vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm
theo sự thống nhất của cả tổ.


3. Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, khơng làm trịn điểm.