De thi chon HSG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HĨA
ĐỀ CHÍNH THỨC
Số báo danh
..................................

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2017-2018
Mơn thi: TỐN - Lớp 9 THCS
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)

Câu I (4,0 điểm).
x 2 x
x 1
1  2x  2 x


x x  1 x x x x
x 2  x , với x  0, x 1. Rút gọn P
1. Cho biểu thức
và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.
P

1
3
4( x  1) x 2018  2 x 2017  2 x  1
x

.

P
2
2
3

2
2
3

2
2
x

3
x
2. Tính giá trị của biểu thức
tại
Câu II (4,0 điểm).
2
1. Biết phương trình (m  2) x  2(m  1) x  m 0 có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai
cạnh góc vng của một tam giác vng. Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của
2
.
tam giác vng đó bằng 5
( x  y) 2 (8 x 2  8 y 2  4 xy  13)  5 0

1

2 x  x  y 1
2. Giải hệ phương trình 

Câu III (4,0 điểm).
2
2
2
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình y  5 y  62 ( y  2) x  ( y  6 y  8) x.
2
2
2. Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn p a  b là số nguyên tố và p  5 chia
2
2
hết cho 8. Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn ax  by chia hết cho p . Chứng minh rằng cả
hai số x, y chia hết cho p .

Câu IV (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC có (O),( I ),( I a ) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn
nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác với các tâm tương ứng là O, I , I a .

Gọi D là tiếp điểm của ( I ) với BC , P là điểm chính giữa cung BAC của (O) , PI a cắt (O) tại
điểm K . Gọi M là giao điểm của PO và BC , N là điểm đối xứng với P qua O.
1. Chứng minh IBI a C là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh NI a là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác I a MP.



3. Chứng minh DAI KAI a .
Câu V (2,0 điểm).
Cho x, y , z là các số thực dương thỏa mãn x  z. Chứng minh rằng
xz
y2
x  2z 5



 .
2
y  yz xz  yz x  z 2


------------- HẾT --------------