Thiết kế bộ lọc số áp dụng cho phân tích tín hiệu tần số thấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN
NĂM 2019

Thiết kế bộ lọc số áp dụng cho phân tích
tín hiệu tần số thấp

Sinh viên thực hiện
Trịnh Xuân Trung

Lớp: KTĐT_THCN_K57

Khoa: Điện-Điện tử

Nguyễn Văn Hùng

Lớp: KTĐT_THCN_K57

Khoa: Điện-Điện tử

Vũ Văn Cường

Lớp: KTĐT_THCN_K57

Khoa: Điện-Điện tử

Tạ Đức Chung

Lớp: KTĐT_THCN_K57

Khoa: Điện-Điện tử

Lê Anh Tuấn

Lớp: KTĐT_THCN_K57

Khoa: Điện-Điện tử

Người hướng dẫn: Th.s Nguyễn Thúy Bình.


TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN
NĂM 2019

Thiết kế bộ lọc số áp dụng cho phân tích
tín hiệu tần số thấp


Sinh viên thực hiện
Trịnh Xuân Trung

Nam, Nữ: Nam

Dân tộc : Kinh

Lớp: KTĐT_THCN_K57

Khoa: Điện-Điện tử

Năm thứ: 3/4.5

Nguyễn Văn Hùng

Nam, Nữ: Nam

Dân tộc : Kinh

Lớp: KTĐT_THCN_K57

Khoa: Điện-Điện tử

Năm thứ: 3/4.5

Ngành học: Kĩ thuật điện tử

Ngành học: Kĩ thuật điện tử
Vũ Văn Cường

Nam, Nữ: Nam

Lớp: KTĐT_THCN_K57

Khoa: Điện-Điện tử

Dân tộc : Kinh
Năm thứ: 3/4.5

Ngành học: Kĩ thuật điện tử
Tạ Đức Chung

Nam, Nữ: Nam

Lớp: KTĐT_THCN_K57

Khoa: Điện-Điện tử

Dân tộc : Kinh
Năm thứ: 3/4.5

Ngành học: Kĩ thuật điện tử
Lê Anh Tuấn

Nam, Nữ: Nam

Lớp: KTĐT_THCN_K57

Khoa: Điện-Điện tử

Ngành học: Kĩ thuật điện tử

Người hướng dẫn: Th.s Nguyễn Thúy Bình.

Dân tộc : Kinh
Năm thứ: 3/4.5

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Thiết kế bộ lọc số áp dụng cho phân tích tín hiệu tần số thấp
Sinh viên thực hiện:
Trịnh Xuân Trung

Nam, Nữ: Nam

Lớp: KTĐT_THCN_K57 Khoa: Điện-Điện tử

Dân tộc: Kinh
Năm thứ: 3 / 4.5

Ngành học: Kĩ thuật điện tử
Nguyễn Văn Hùng

Nam, Nữ: Nam

Lớp: KTĐT_THCN_K57 Khoa: Điện-Điện tử

Dân tộc: Kinh
Năm thứ: 3 / 4.5

Ngành học: Kĩ thuật điện tử
Vũ Văn Cường

Nam, Nữ: Nam

Lớp: KTĐT_THCN_K57 Khoa: Điện-Điện tử

Dân tộc: Kinh
Năm thứ: 3 / 4.5

Ngành học: Kĩ thuật điện tử
Tạ Đức Chung

Nam, Nữ: Nam

Lớp: KTĐT_THCN_K57 Khoa: Điện-Điện tử

Dân tộc: Kinh
Năm thứ: 3 / 4.5

Ngành học: Kĩ thuật điện tử
Lê Anh Tuấn

Nam, Nữ: Nam

Lớp: KTĐT_THCN_K57 Khoa: Điện-Điện tử
Ngành học: Kĩ thuật điện tử

Người hướng dẫn: Th.s Nguyễn Thúy Bình.

Dân tộc: Kinh
Năm thứ: 3 / 4.5


2. Mục tiêu đề tài:

Thiết kế được bộ lọc số cho xử lý tín hiệu tần số thấp ứng dụng trong giám sát
sức khỏe con người, và quan trắc công trình giao thơng vận tải
3. Tính mới và sáng tạo:
Sử dụng công cụ Matlab để thiết kế bộ lọc số cho tín hiệu tần số thấp
4. Kết quả nghiên cứu:
Chương trình máy tính thực hiện bộ lọc số đối với tín hiệu tần số thấp.
5. Đóng góp về mặt kinh tế - xã hội, giáo dục và đào tạo, an ninh, quốc
phòng và khả năng áp dụng của đề tài:
Áp dụng cho việc giám sát, kiểm tra sức khỏe con người, hoặc dùng để quan trắc,
kiểm tra, rà soát chất lượng của các cơng trình giao thơng vận tải…

,Ngày

tháng

năm

Sinh viên chịu trách nhiệm chính
thực hiện đề tài

Nhận xét của người hướng dẫn về những đóng góp khoa học của sinh viên
thực hiện đề tài:

Ngày

tháng

năm

Người hướng dẫn

MỤC LỤC
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ ..................................................................................................3
1.1. Tổng quan về bộ lọc số ......................................................................................................................3
1.2. Bộ lọc số IIR và FIR .............................................................................................................................3
Chương II: THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR................................................................................................................6
2.1. Các tham số của một bộ lọc thông thấp thực tế ...............................................................................6
2.2. Bộ lọc thông thấp ButterWorth ........................................................................................................8
2.3. Bộ lọc thông thấp Chebyshev-I .........................................................................................................9
2.3. Bộ lọc thông thấp Chebyshev- II..................................................................................................... 11
2.4. Bộ lọc thông thấp Elliptic: .............................................................................................................. 11
Chương III. Thiết kế và mô phỏng bộ lọc số IIR ..................................................................................... 17
3.1 Tín hiệu điện tim ECG ...................................................................................................................... 17
3.2 Bài tốn đặt ra và thiết kế bộ lọc .................................................................................................... 18
3.3. Kết quả mô phỏng .......................................................................................................................... 21
ĐÁNH GIÁ VÀ KẾT LUẬN ................................................................................................................ 23
PHỤ LỤC ........................................................................................................................................ 24

1


LỜI MỞ ĐẦU
Tín hiệu được hiểu là một đại lượng biến thiên theo khơng gian hoặc thời
gian, ví dụ: tín hiệu âm thanh, hình ảnh, tiếng nói, video,…Tín hiệu được phân
loại thành hai dạng chính: tín hiệu tương tự và tín hiệu rời rạc. Tín hiệu tương tự
là tín hiệu biến thiên liên tục theo thời gian, và ngược lại, tín hiệu rời rạc là một
hàm rời rạc của biến thời gian. Trong phạm vi Đề tài, nhóm nghiên cứu chỉ tập
trung vào tín hiệu rời rạc và thực hiện bộ lọc tần số thấp với tín hiệu điện tim
ECG.

Lọc số là một q trình mà ở đó phổ tần của tín hiệu có thể bị thay đổi, biến
dạng tùy thuộc vào một số đặc tính mong muốn. Q trình lọc có thể dẫn đến sự
khuếch đại hoặc suy giảm trong một dải tần số, loại bỏ hoặc chọn lọc một dải tần
số nào đó. Ứng dụng cụ thể của bộ lọc số đó là loại bỏ nhiễu (nhiễu giữa các
kênh truyền, hoặc do sự sai lệch trong đo lường); phân tách hai hoặc nhiều tín
hiệu, phân tích tín hiệu trong miền tần số,…
Nội dung chính của báo cáo này là thiết kế bộ lọc thông thấp nhằm loại bỏ
nhiễu trong tín hiệu điện tim ECG.
- Nghiên cứu lý thuyết về bộ lọc số đối với tín hiệu tần số thấp
- Sử dụng các công cụ mô phỏng, thiết kế mạch điện tử cần thiết để thiết kế
và mô phỏng bộ lọc số cho tần số thấp
Kết quả nghiên cứu dự kiến: tạo ra được bộ lọc số trên máy tính áp dụng
cho tín hiệu tần số thấp.
Báo cáo nghiên cứu khoa học này trình bày được trình bày trong 3
chương:
Chương 1: Tổng quan về bộ lọc số. Chương này giới thiệu khái quát về lý
thuyết bộ lọc số và cơ sở toán học bộ lọc số. Tổng quan về bộ lọc số thơng thấp,
phân tích, so sánh ưu-nhược điểm của hai bộ lọc IIR và FIR và chọn loại bộ lọc
tối ưu.
Chương 2 : Thiết kế bộ lọc số IIR. Chương này trình bày phương pháp tổng
hợp bộ lọc số IIR từ bộ lọc tương tự và các phương pháp tổng hợp các bộ lọc
tương tự thông thấp.
Chương 3. Thiết kế và mô phỏng bộ lọc số IIR bằng cơng cụ Matlab. Trong
chương trình này trình bày trình tự mô phỏng các bộ lọc số IIR thông thấp và
đánh giá, so sánh các thông số đáp ứng biên độ của các bộ lọc cùng với đó là các
biểu đồ thể hiện các đáp ứng, sự khác nhau giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra khi đi
qua bộ lọc đã thiết kế.

2

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
1.1. Tổng quan về bộ lọc số
Trong Kỹ thuật tương tự (Analog) bộ lọc tín hiệu đóng một vai trị quan
trọng. Người ta chia chúng làm hai loại cơ bản: Bộ lọc tích cực và bộ lọc thụ
động. Thành phần cơ bản tác động đến biên độ-tần số tín hiệu là các thành phần
điện kháng như: điện cảm L và điện dung C. Chúng được mắc với nhau theo
những cấu trúc riêng nhằm đáp ứng yêu cầu của bộ lọc. Bộ lọc tín hiệu được
phân loại thành các dạng chính: Bộ lọc thơng thấp, bộ lọc thông cao, bộ lọc thông
dải, bộ lọc chặn dải, bộ lọc chọn lọc tần số. Để thiết kế chúng, người ta phải giải
các phương trình vi-tích phân. Một phương pháp phổ biến nữa là người ta xây
dựng hàm truyền đạt biên độ tần số H(jω), qua đó ta có thể xác định chính xác
đáp ứng của tín hiệu đầu ra Y(t) khi đầu vào là hàm X(t) xác định.
Khi Kỹ thuật số (Digital) bùng nổ, việc xây dựng các bộ lọc số được xây
dựng trên nền tảng là các chương trình, các thuật tốn nhằm đáp ứng các đặc tính
của các bộ lọc số. Các chương trình, thuật tốn này có thể được thực hiện bằng
phần mềm hoặc bằng các kết cấu phần cứng. Xét một cách tổng quát thì bộ lọc số
và bộ lọc tương tự có nhiều nét tương đồng cả về chức năng cũng như phương
pháp luận trong việc xây dựng chúng. Trong chương này chúng ta sẽ có cái nhìn
tổng qt về các bộ lọc số và cơng cụ tốn học khi nghiên cứu bộ lọc số để làm
cơ sở cho việc nghiên cứu các chương tiếp theo.
Bộ lọc số là một hệ thống dùng để làm biến dạng sự phân bố của các thành
phần của tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho. Bộ lọc số là hệ thống tuyến tính bất
biến theo thời gian. Tín hiệu vào và ra của một hệ thống tuyến tính bất biến được
biểu diễn bởi phương trình sau:
𝑦(𝑛) = ∑+∞
𝑘=−∞ 𝑥 (𝑛) ∗ ℎ(𝑛)

(1.1)

Bộ lọc số được phân loại thành hai dạng chính: Bộ lọc có đáp ứng xung vô
hạn (Infinite Impulse Response - IIR) và bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn (Finite
Impulse Response - FIR). Bộ lọc IIR là bộ lọc đệ quy, bộ lọc FIR là bộ lọc không
đệ quy. Chi tiết về hai bộ lọc này được trình bày cụ thể ở phần dưới.

1.2. Bộ lọc số IIR và FIR
Để thấy rõ hơn, ta xét hệ xử lý số tuyến tính bất biến nhân quả (TTBBNQ)
được mơ tả bằng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc N>=1:
𝑁
𝑦 (𝑛 ) = ∑ 𝑀
𝑘=0 𝑏𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘) − ∑𝑟=1 𝑎𝑟 𝑦(𝑛 − 𝑟)

(1.2)

Bộ lọc IIR có thể được biểu diễn dưới dạng chính tắc (hình 1.1a) hoặc dạng
chuyển vị (hình 1.2b).

3


a)

b)

Hình 1.1. Cấu trúc bộ lọc IIR a) dạng chuẩn tắc 1 b) dạng chuyển vị

Thay hai dãy trễ của sơ đồ cấu trúc ở hình 1.1b) bằng một dãy trễ, nhận được
sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 2 trên hình 1.2 với N phần tử trễ ít hơn (khi giả
thiết M>N). Xét phương trình (1.1) khi các hệ số ar = 0 thì phương trình trở
thành:

𝑦 (𝑛 ) = ∑ 𝑀
(1.3)
𝑘=0 𝑏𝑘 𝑥 (𝑛 − 𝑘 )

Hình 1.2: Sơ đồ cấu trúc dạng chuẩn tắc 2 của hệ IIR đệ quy
Lúc này hệ là tuyến tính bất biến nhân quả khơng đệ quy FIR (khơng cịn
thành phần hồi tiếp). Hệ xử lý số TTBBNQ có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín
hiệu ra trên là hệ có số phần tử hữu hạn và không đệ quy, sơ đồ cấu trúc của hệ
được biểu diễn như trên hình 1.3. Như vậy bộ lọc FIR chỉ là một dạng đặc biệt
của bộ lọc IIR nhưng nó có ưu điểm là đơn giản về mặt tốn học và tính ổn định
của nó cao hơn bộ lọc IIR. Bộ lọc IIR có cấu trúc thường gọn nhẹ hơn và về hệ
số phẩm chất của nó thường cao hơn so với bộ lọc FIR.

4


a)

b)

Hình 1.3: Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số FIR a) dạng chuẩn tắc b) dạng chuyển vị
Trong nhiều trường hợp, việc giải các bài tốn phân tích hệ xử lý số trong
miền thời gian là phức tạp và khó khăn. Để giải các bài tốn được dễ dàng hơn,
người ta thường sử dụng các phép biến đổi để chuyển bài toán sang miền tần số
khác. Biến đổi Laplace được dùng để phân tích hệ tương tự, đối với hệ xử lý số
sử dụng biến đổi Z.
Chúng ta chọn bộ lọc số IIR để giải quyết các bài toán lọc số được đặt ra.
Hàm truyền đạt của bộ lọc số IIR có dạng:
b0  b1 z 1    bN z  N
H z  

1  a1 z 1    aM z  M
N



b z
k 0
M

k

k

1   ar z  r
r 1

Trong đó ar và bk là các hệ số của bộ lọc:
H (Z )  A 

( Z  Z 01 )( Z  Z 02 )( Z  Z p 3 )...(Z  Z 0 N )
( Z  Z p1 )( Z  Z p 2 )( Z  Z p 3 )...(Z  Z pM )

5



Y (Z )
X (Z )

Chương II: THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR
2.1. Các tham số của một bộ lọc thơng thấp thực tế
Hình 2.1 mơ tả đặc tuyến đáp ứng bình phương biên độ-tần số của một
bộ lọc thông thấp trong thực tế, được biểu diễn bởi hệ phương trình sau:
1
≤ |𝐻𝑎 (𝑗Ω)|2 ≤ 1, |Ω| ≤ Ω𝑝
1 + 𝜀2
1
0 ≤ |𝐻𝑎 (𝑗Ω)|2 ≤ 2 ,
|Ω| ≤ Ω𝑠
𝐴
Trong đó:
-

𝜀 là thơng số gợn sóng dải thông.
Ω𝑝 là tần số cắt dải thông (rad/s).
𝐴 là tham số suy hao dải chắn.
Ω𝑠 là tần số cắt dải chắn (rad/s).

Hình 2.1. Đáp ứng bình phương biên độ của bộ lọc thơng thấp trong thực tế

|H(ej)|

1+ p
1
1- p

s
0

P s





Hình 2.2. Hàm truyền đạt của một bộ lọc thông thấp trong thực tế

Hình 2.2 mơ tả hàm truyền đạt của một bộ lọc thông thấp thực tế.
6


Trong đó,
RP là độ gợn dải thơng, được tính theo đơn vị dB:
𝑅𝑃 = −20lg(1 − 𝛿𝑝 )
As là độ gợn trong dải chặn, được tính theo đơn vị dB:
𝐴𝑠 = −20𝑙𝑔𝛿𝑠
Mối quan hệ giữa các thông số:
-

Rp = −10𝑙𝑔

-

A𝑠 = −10𝑙𝑔

-

1−𝛿𝑝

-

1+𝛿𝑝
𝛿𝑠
1+𝛿𝑝

=√
=

1
1+𝜀2
1
𝐴2

1

=> 𝜀 = √10𝑅𝑝/10 − 1
=> 𝐴 = 10𝐴𝑠/20
=> 𝜀 =

1+𝜀2

1

2 √𝛿𝑝
1−𝛿𝑝
1+𝛿𝑝

=> 𝐴 =

𝐴

𝛿𝑠

Các tính chất của |𝐻𝑎 (𝑗𝛺)|2 :
Các đặc trưng của bộ lọc tương tự được cho theo các hệ số của đáp ứng
bình phương độ lớn, khơng có bao hàm thơng tin về pha. Do đó để đánh giá hàm
truyền của hệ thống Ha(s) trong miền s, ta xét:
𝐻𝑎 (𝑗Ω) = 𝐻𝑎 (𝑠)|Ω=s/j
|𝐻𝑎 (𝑗Ω)|2 = 𝐻𝑎 (𝑗Ω)𝐻𝑎 ∗ (𝑗Ω) = 𝐻𝑎 (𝑗Ω)𝐻𝑎 (−𝑗Ω) = 𝐻𝑎 (𝑠)𝐻𝑎 (𝑠)|Ω=s/j
Hay:
𝐻𝑎 (𝑠)𝐻𝑎 (𝑠) = |𝐻𝑎 (𝑗Ω)|2 |Ω=s/j
Vì vậy các điểm cực và điểm khơngcủa hàm bình phương biên độ được
phân bố theo đối xứng ảnh-gương xét theo trục 𝑗Ω. Đối với các bộ lọc thực tế,
các điểm cực và điểm không xuất hiện theo cặp liên hợp phức (hoặc đối xứng
ảnh-gương trục thực). Từ các mẫu này chúng ta xây dựng Ha(s), là hàm hệ thống
của bộ lọc tương tự.
Với mục đích xây dựng một bộ lọc tương tự nhân quả và ổn định, khi dó,
tất cả các điểm cực của 𝐻𝑎 (𝑠) được xác định trong nửa trái của mặt phẳng. Bộ
lọc kết quả được gọi là một bộ lọc pha-tối thiểu.

Hình 2.3. Sự phân bố các điểm cực và điểm không của bộ lọc pha tối thiểu
7


2.2. Bộ lọc thông thấp ButterWorth
a. Các đặc trưng
Bộ lọc này được đặc trưng bởi tính chất đáp ứng biên độ là bằng bằng phẳng
trong cả dải thông và dải chắn.
Đáp ứng bình phương-biên độ của bộ lọc thơng thấp bậc N, được biểu diễn bởi

phương trình:
1
𝑟𝑎𝑑
|𝐻𝑎 (𝑗Ω)|2 =
(
).
,
𝛺
𝑙à
𝑡ầ𝑛
𝑠ố
𝑐ắ𝑡
𝑐
𝛺 2𝑁
𝑠
(
)
1+
𝛺𝑐

Hình 2.4. Đáp ứng bình phương-biên độ của bộ lọc Butterworth

-

|𝐻𝑎 (𝑗0)|2 = 1 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑁.
|𝐻𝑎 (𝑗𝛺𝑐 )|2 = 0.5 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑁(ℎệ 𝑠ố 𝑠𝑢𝑦 𝑔𝑖ả𝑚 3𝑑𝑏 ở 𝛺𝑐 ).

-

|𝐻𝑎 (𝑗𝛺)|2 đơn điệu giảm theo 𝛺.

-

N càng lớn bộ lọc càng tiến gần tới bộ lọc lý tưởng.

-

Xác định hàm truyền hệ thống Ha(s):
𝐻𝑎 (𝑠)𝐻𝑎 (−𝑠) = |𝐻𝑎 (𝑗Ω)|2 |Ω=s =
j

=

)2𝑁

1
1+(

𝑠
𝑗𝛺𝑐

)

2𝑁

)2𝑁

(𝑗𝛺𝑐
(𝑗𝛺𝑐
=

𝑠 2𝑁 + (𝑗𝛺𝑐 )2𝑁 ∏2𝑁
𝑘=1(𝑠 − 𝑝𝑘 )

b. Các phương trình thiết kế
Bộ lọc tương tự thơng thấp được đặc trưng bởi các thông số sau: 𝑅𝑝 , Ω𝑝 , Ω𝑠 , As.
Vì vậy ưu điểm của thiết kế trong trường hợp bộ lọc là loại ButterWorth là thu được
bậc N và tần số cắt Ωc.
1

𝑅𝑝 = −10𝑙𝑔 (
(1 +
8

)
Ω𝑝 2𝑁
Ω𝑐

)


1
)
𝐴𝑠 = −10𝑙𝑜𝑔10 (
Ω𝑠 2𝑁
(1 + )
Ω𝑐

-

Bậc của bộ lọc:

𝑅𝑝

𝐴𝑠

𝑙𝑜𝑔10 [(10 10 − 1) / (10 10 − 1)]
𝑁=

Ω

𝑝
2𝑙𝑜𝑔10 ( )

Ω𝑠



Để đáp ứng thông số kĩ thuật tại Ωp:
Ω𝑝
Ω𝑐1 =
2𝑁
𝑅
√10 10𝑝 − 1



Để đáp ứng thông số kĩ thuật tại Ωs:
Ω𝑠
Ω𝑐2 =
2𝑁
𝐴

√1010𝑠 − 1

Tần số cắt của mạch lọc thông thấp được chọn: Ω𝑐1 ≤ Ω𝑐 ≤ Ω𝑐2

2.3. Bộ lọc thơng thấp Chebyshev-I
Bộ lọc thơng thấp Chebyshev-I có đáp ứng cân bằng gợn sóng trong dải thơng.
a. Các đặc trưng
Đáp ứng bình-phương biên độ:
|𝐻𝑎 (𝑗𝛺)|2 =

1
𝛺

1 + 𝜀 2 𝑇𝑁2 ( )
𝛺𝑐

Trong đó:
N là bậc của bộ lọc.
𝜀 là hệ số gợn sóng dải thơng.
-

Đa thức Chebyshev bậc N:
𝛺
𝐶𝑜𝑠(𝑁. 𝐶𝑜𝑠 −1 (𝑥)),
0≤𝑥≤1
𝑇𝑁 (𝑥) = {
𝑘ℎ𝑖
𝑥
=
𝐶𝑜𝑠ℎ(𝐶𝑜𝑠ℎ−1 (𝑥)), 1 < 𝑥 < ∞

𝛺𝑐

9


Hình 2.5. Đáp ứng bình phương-biên độ của bộ lọc Chebyshev-I

Nhận xét:
-

-

-

Tại x=0 (hoặc 𝛺 = 0):
|𝐻𝑎 (𝑗0)|2 = 1,
𝑁 𝑙ẻ
1
|𝐻𝑎 (𝑗𝛺)|2 =
, 𝑁 𝑐ℎẵ𝑛
1 + 𝜀2
Tại x=1(hoặc 𝛺 = 𝛺𝑐 ):
1
|𝐻𝑎 (𝑗1)|2 =
, 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑁.
1 + 𝜀2
Tại 0Tại x>1(hoặc 𝛺 > 𝛺𝑐 ), |𝐻𝑎 (𝑗𝑥)|2 giảm đơn điệu về 0.
1
Tại x= 𝛺𝑟 , |𝐻𝑎 (𝑗𝑥)|2 = 2.

1
1+𝜀2

.

𝐴

Để xác định một hàm Ha(s) nhân quả và ổn định , ta phải tìm hiểu các điểm
cực của Ha(s)Ha(-s) và chọn các điểm cực nửa mặt phẳng trái đối với Ha(s). Các
điểm cực của Ha(s)Ha(-s) thu được nhờ tìm nghiệm của:
𝛺
1 + 𝜀 2 𝑇𝑁2 ( )
𝛺𝑐
Có thể chỉ ra rằng nếu pk = 𝜎𝑘 + 𝑗𝛺𝑘 , 𝑘 = 0,1, 𝑁 − 1. Là nghiệm (nửa
mặt phẳng trái) của đa thức trên thì:
𝜋 (2𝑘 + 1)𝜋
]
𝜎𝑘 = (𝑎𝛺𝑐 )𝑐𝑜𝑠 [ +
2
2𝑁
𝜋 (2𝑘 + 1)𝜋
]
𝛺𝑘 = (𝑏𝛺𝑐 )𝑐𝑜𝑠 [ +
2
2𝑁
Với k=0,..,N-1.
1
1
Trong đó: 𝑎 = ( 𝑁√𝛼 − 𝑁√1/𝛼), 𝑏 = ( 𝑁√𝛼 + 𝑁√1/𝛼)

2

2

1

1

𝜀

𝜀2

Và 𝛼 = + √1 +
Hàm hệ thống là:

𝐻𝑎 (𝑠) =

𝐾
∑𝐾(𝑠 + 𝑝𝑘 )
10


Với K được chọn là:
1,
𝐻𝑎 (𝑗0) = {

√

𝑁 𝑙ẻ

1
, 𝑁 𝑐ℎẵ𝑛
1 + 𝜀2

b. Các phương trình thiết kế:
Cho Ωp, Ωs, Rp và As, ba tham số được yêu cầu để xác định một bộ lọc Chebyshev-I.
Ta có:
𝜀 = √100.1𝑅𝑝 − 1
𝐴 = 10𝐴𝑠/20
Ωc= Ωp và Ωr = Ωs/ Ωc.
𝑔=√

𝐴2 −1
𝜀2

Bậc của bộ lọc được xác định theo biểu thức:
𝑙𝑜𝑔10 (𝑔 + √𝑔2 − 1)

]
𝑁=[
𝑙𝑜𝑔10 (𝛺𝑟 + √𝛺𝑟 2 − 1)

2.3. Bộ lọc thông thấp Chebyshev- II
Bộ lọc thông thấp Chebyshev-II có đáp ứng cân bằng gợn sóng trong dải
chắn và có liên quan tới bộ lọc Chebyshev-I thơng qua một phép biến đổi thời
gian. Dải thông của bộ lọc này bằng phẳng và dải chắn gợn sóng cân bằng. Điều
này có nghĩa là bộ lọc này có điểm cực và điểm khơng nằm trong mặt phẳng-s.
Đáp ứng bình phương biên độ:
1
|𝐻𝑎 (𝑗𝛺)|2 =

−1 −1
2 𝛺
2
1 + (𝜀 𝑇𝑁 ( ) )
𝛺𝑐

Lưu ý rằng chọn một bộ lọc cân bằng gợn sóng thay vì bộ lọc đơn điệu, ta
thu được một bộ lọc có bậc-thấp. Vì vậy các bộ lọc Chebyshev cho bậc thấp hơn
so với các bộ lọc Buttworth có cùng chỉ tiêu.

2.4. Bộ lọc thông thấp Elliptic:
Các bộ lọc này thường cân bằng gợn sóng ở dải thơng cũng như dải chắn.
Chúng có các đặc trưng đáp ứng biên độ tương tự như các bộ lọc FIR cân bằng
gợn sóng. Vì vậy các bộ lọc Elliptic là các bộ lọc tối ưu trong đó đạt được bậc tối
thiểu N đối vớicác chỉ tiêu đã cho. Các bộ lọc này, vì nhiều lý do đã xét trước đây,
là rất khó để phân tích và thiết kế. Khơng thể thiết kế chúng bằng các công cụ đơn
giản, và thường phải dùng các chương trình hoặc bảng để thiết kế.
11


Phương trình đáp ứng bình phương biên độ
|𝐻𝑎 (𝑗𝛺)|2 =

1
𝛺

1 + 𝜀 2 𝑈𝑁2 ( )

N là bậc của bộ lọc.
ε là độ gợn sóng dải thơng.

UN() là hàm Jacobian Elliptic bậc N.

𝛺𝑐

Hình 2.6. Đáp ứng bình phương biên độ của bộ lọc Elliptic

Tính tốn bậc N cho bộ lọc
𝑁=

𝐾(𝑘)𝐾(√1 − 𝑘 2 )
𝐾(𝑘1 )𝐾(√1 − 𝑘 2 )
𝛺𝑝
𝑘=
𝛺𝑠
𝜀
𝑘1 =
√𝐴2 − 1
𝜋
2

𝐾 (𝑥 ) = ∫
0

𝑑𝜃
√1 − 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃)

2.5. Các phương pháp tổng hợp bộ lọc số IIR từ bộ lọc tương tự IIR
Phương pháp được đề cập trong báo cáo này là một số biến đổi từ bộ lọc
tương tự sang bộ lọc số theo các phép ánh xạ. Việc tổng hợp bộ lọc tương tự đã
được giới thiệu ở phần trước, khi tổng hợp bộ lọc số IIR ta sẽ bắt đầu việc tổng

hợp bộ lọc trong miền tương tự tức là xác định hàm truyền đạt Ha(s) và sau đó biến
đổi sang miền số. Có 3 phương pháp chính để chuyển đổi từ bộ lọc tương tự sang
bộ lọc số tương đương:
-

Phương pháp bất biến xung
Phương pháp biến đổi song tuyến
Phương pháp tương đương vi phân

12


Ngồi ra ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi dải tần bộ lọc số thông thấp
đã được thiết kế để các bộ lọc thông thấp khác với tần số cắt khác hoặc bộ lọc
thông cao, thông dải, chắn dải.
 Biến đổi bất biến xung
→ Bảo tồn hình dang của đáp ứng xung từ lọc tương tự thành lọc số.
 Kỹ thuật xấp xỉ sai phân hữu hạn
→ Chuyển đổi biểu diễn một phương trình vi phân thành một phương trình
sai phân tương ứng.
 Bất biến bước nhảy
→ Bảo tồn hình dạng của đáp ứng bước nhảy.
 Biến đổi song tuyến tính
→ Bảo tồn biểu diễn hàm hệ thống từ miền tương tự sang miền số.
a. Biến đổi bất biến xung
Trong phương pháp này chúng ta muốn đáp ứng xung của bộ lọc số trông
tương tự như đáp ứng xung của bộ lọc chọn tần analog.
Lẫy mẫu ha(t) ở các chu kỳ lấy mẫu T ta thu được h(n):
ℎ(𝑛) = ℎ𝑎 (𝑛𝑇)
T được chọn sao hình dạng của ha(t) được giữ bởi mẫu, lúc này:

𝜔 = 𝛺𝑇 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑒 𝑗𝜔 = 𝑒 𝑗𝛺𝑇
Do z = ejw trên đường tròn đơn vị và s = jΩ trên trục ảo , ta có phép biến đổi
sau đây từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z:
𝑧 = 𝑒 𝑠𝑇
Quan hệ giữa hàm truyền thống H(Z) hà Ha(s) trong miền tần số:
∞

1
2𝜋
∑ 𝐻𝑎 (𝑠 − 𝑗
𝑘)
𝑇
𝑇
𝑘=− ∞

Hình 2.7. Ánh xạ mặt phẳng phức trong phép biến đổi bất biến xung

13


Các tính chất:
- 𝜎 = 𝑅𝑒(𝑠):
 𝜎 < 0, ánh xạ vào |z|<1
(bên trong đường tròn đơn vị).
 𝜎 = 0, ánh xạ |z|=1(trên đường tròn đơn vị).
 𝜎 > 0, ánh xạ |z|>1(bên ngồi đường trịn đơn vị).
- Ánh xạ nhiều s lên một z:
 Mỗi dải bán- vô hạn bên trái (nằm bên mặt phẳng trái) ánh xạ vào
bên trong đường trịn đơn vị.
- Tính nhân quả và ổn định là không thay đổi.

- Aliasing (sai số lấy mẫu) xuất hiện nếu bộ lọc khơng có băng tần
hữu hạn.
Các bước thiết kế
Với các chỉ tiêu đã cho wp, ws, Rp, As, chúng ta muốn xác định H(z) bằng
cách thiết kế trước tiên một bộ lọc analog tương đương và sau đó ánh xạ chúng
thành bộ lọc số mong muốn.
𝜔𝑝
𝜔
1. Chọn T và xác định các tần số tương tự: 𝛺𝑝 = , 𝛺𝑠 = 𝑠
𝑇

𝑇

2. Thiết kế một bộ lọc tương tự Ha(s) sử dụng các đặc tính của một
trong ba bộ lọc điển hình phần trước.
3. Sử dụng phép khai triển riêng phần, khai triển Ha(s) thành𝐻𝑎 (𝑠) =
𝑅𝑘
∑𝑁
𝑘=1
𝑠−𝑝𝑘

4. Biến đổi các điểm cực tương tự {pk} thành các điểm cực số {𝑒 𝑝𝑘𝑇 }
để thu được các bộ lọc số.
𝑁

𝐻(𝑧) = ∑
𝑘=1

𝑅𝑘
1 − 𝑒 𝑝𝑘𝑇 𝑧 −1

Ưu và nhược điểm của phương pháp:
- Đây là một thiết kế ổn định và các tần số Ω và ω có quan hệ tuyến tính.
- Bất tiện: Gặp phải aliasing (sai số lấy mẫu) ở đáp ứng tần số analog, và đôi
khi aliasing này là ko chấp nhận đc.
- Như vậy, phương pháp thiết kế này chỉ tiện sử dụng khi bộ lọc analog có
băng tần-hữu hạn biến đổi thành bộ lọc thơng thấp hoặc thơng dải khơng có dao
động trong dải chắn.
b. Biến đổi song tuyến tính
𝑠=

2 1 − 𝑧 −1
1 + 𝑠𝑇/2
(
) => 𝑧 =
−1
𝑇 1+𝑧
1 − 𝑠𝑇/2

Ở đây T là một tham số. Một tên gọi khác của phép biển đổi này là Biến đôi phân đoạn
tuyến tính (linear fractional) vì ta có:
𝑇
𝑇
𝑠𝑧 + 𝑠 − 𝑧 + 1 = 0
2
2
14


là tuyến tính với mỗi biến (s hoặc z) nếu biến còn lại cố định, hoặc song

tuyến với z và s.

Hình 2.8. Ánh xạ mặt phẳng phức trong phép biến đổi song tuyến
tính
Các tính chất:
 𝜎 < 0, ánh xạ vào |z|<1
(bên trong đường tròn đơn vị).
 𝜎 = 0, ánh xạ |z|=1(trên đường tròn đơn vị).
 𝜎 > 0, ánh xạ |z|>1(bên ngồi đường trịn đơn vị).
- Tồn bộ mặt phẳng nửa trái ánh xạ vào bên trong đường tròn đơn vị.
Đây là phép biến đổi ổn định.
- Trục ảo ánh xạ lên đường tròn đơn vị là ánh xạ 1-1. Do đó khơng có
Aliasing trong miền tần số.
- Quan hệ của Ω theo 𝜔 là phi tuyến
ΩT
2
𝜔
𝜔 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) <=> Ω = 𝑡𝑎𝑛 ( )
2
𝑇
2
Các bước thiết kế
Với các chỉ tiêu đã cho wp, ws, Rp, As, chúng ta cần xác định H(z). Các
bước như sau:
1. Chọn một giá trị T tuỳ ý, và có thể đặt T = 1.
2. Chuyển đổi các tần số cắt ωp, ωs, nghĩa là tính tốn Ωs và Ωp để sử
dụng:
𝜔𝑝
2
2

𝜔𝑠
Ω𝑝 = 𝑡𝑎𝑛 ( ) , Ω𝑠 = 𝑡𝑎𝑛 ( ).
𝑇
2
𝑇
2
3. Thiết kế bộ lọc thông thấp Ha(s) phù hợp với các thông số này.
4. Cuối cùng lấy: 𝐻 (𝑧) = 𝐻𝑎 (
hàm hữu tỉ theo z-1.

2 1−𝑧 −1
𝑇 1+𝑧 −1

), và nhận được H(z) là một

Ưu và nhược điểm của phương pháp
- Là một thiết kế ổn định.
- Không bị aliasing (sai số lấy mẫu).
- Không ràng buộc về kiểu bộ lọc có thể biến đổi được.
15


So sánh thiết kế của 3 bộ lọc:
Chúng ta thiết kế bộ lọc số sử dụng 3 bộ lọc Analog điển hình khác nhau
(Butterworth,Chebyshev, Ellipic). Bây giờ chúng ta sẽ so sánh hiệu quả của chúng.
Thông số kỹ thuật là:

Rõ ràng, bộ lọc Ellipic cho kết quả thiết kế tốt nhất, bậc N nhỏ nhất và
min(As) là lớn nhất. Tuy nhiên nếu chúng ta so sánh đáp ứng pha thì thiết kế
theo Ellipic có đáp ứng pha là phi tuyến nhất trong dải thông.

16


Chương III. Thiết kế và mô phỏng bộ lọc số IIR
3.1 Tín hiệu điện tim ECG
Điện tâm đồ (tiếng Anh: Electrocardiogram hay thường gọi tắt là ECG) là đồ thị
ghi những thay đổi của dòng điện trong tim. Quả tim co bóp theo nhịp được điều khiển
của một hệ thống dẫn truyền trong cơ tim. Những dòng điện tuy rất nhỏ, khoảng một
phần nghìn volt, nhưng có thể dị thấy được từ các cực điện đặt trên tay, chân và ngực
bệnh nhân và chuyển đến máy ghi. Máy ghi điện khuếch đại lên và ghi lại trên điện
tâm đồ. Điện tâm đồ được sử dụng trong y học để phát hiện các bệnh về tim như rối
loạn nhịp tim, suy tim, nhồi máu cơ tim v.v...
Hình 3.1 mơ tả một phần tín hiệu điện tim. Xung điện này truyền ra các cơ chung
quanh làm co bóp hai tâm nhĩ (tạo nên sóng P trên Điện Tâm đồ). Sau có dịng điện
tiếp tục truyền theo 1 chuỗi tế bào đặc biệt tới nút nhĩ thất (atrioventricular node) nằm
gần vách liên thất rồi theo chuỗi tế bào sợi Purkinje chạy dọc vách liên thất lan vào các
cơ chung quanh (loạt sóng QRS) làm hai thất này co bóp. Sau đó xung điện giảm đi,
tâm thất giãn ra (tạo nên sóng T).

Hình 3.1. Tín hiệu điện tim

Sóng P
Sóng P hình thành do q trình khử cực tâm nhĩ (cả nhĩ trái và nhĩ phải), bình
thường biên độ của sóng P thường dưới 2mm (0.2mmV), và thời gian của sóng P là từ
0.08 đến 0.1 giây, việc tăng biên độ và kéo dài thời gian của sóng gợi ý đến một tình
trạng tâm nhĩ lớn (tăng biên độ gợi ý lớn nhĩ phải. thời gian khử cực kéo dài gợi ý đến
lớn nhĩ trái).
Phức bộ QRS
Phức bộ QRS thể hiện quá trình khử cực của tâm thất, tùy vào chiều khử cực và

vị trí đặt điện cực mà trên giấy ghi sẽ cho thấy các phức bộ khác nhau, ưu thế sóng R
hay S, bình thường QRS kéo dài từ 0.06 đến 0.1 giây.
Sóng Q là sóng âm đầu tiên của phức bộ QRS, sóng Q trên bệnh nhân bình
thường thường nhỏ và ngắn (hình thành do quá trình khử cực vách liên thất), một sóng
Q sâu (biên độ âm lớn) và kéo dài cho thấy một tình trạng hoại tử cơ tim (Trong nhồi
máu cơ tim cũ hay nhồi máu cơ tim không có ST chênh lệch).

17


Sóng R là sóng dương đầu tiên của phức bộ, và sóng âm sau nó là S, đây là hai
sóng hình thành do khử cực thất, về bản chất là giống nhau, nếu điện cực đặt ở vị trị
chiều khử cực hướng đến thì sóng R sẽ ưu thế, như trong chuyển đạo DII, V5, V6. Sóng
R sẽ ưu thế hơn nếu chiều khử cực đi xa vị trí đặt điện cực như V1, V2.
Sóng T
Là sóng theo sau phức bộ QRS, thể hiện quá trình tái cực muộn của 2 tâm thất,
sóng T có giá trị rất lớn trong việc nhận định một tình trạng cơ tim thiếu máu.
Sóng U
Nguồn gốc sóng U vẫn chưa điện xác định rõ ràng, các giả thuyết đặt ra là:
 Tái cực chậm sợi Purkinje.
 Tái cực kéo dài giữa cơ tim tế bào M (mid-myocardial cell)
Bình thường khơng thấy sóng U trên điện tâm đồ, nếu có thì là sóng nhỏ sau sóng
T, sóng U đảo ngược hay nhơ cao nhọn gặp trong rất nhiều loại bệnh lý tim (bệnh
mạch vành, tăng huyết áp, bệnh van tim, tim bẩm sinh, bệnh lý cơ tim, cường giáp,
ngộ độc, rối loạn điện giải,...)

3.2 Bài toán đặt ra và thiết kế bộ lọc
Trong phạm vi Đề tài, nhóm nghiên cứu thực hiện tổng hợp bộ lọc Butterworth
dựa trên phương pháp biến đổi song tuyến tính. Tín hiệu ECG thử nghiệm được mơ tả
như trên hình 3.2.

Hình 3.2. Tín hiệu mẫu ECG

18


Thông thường, nhịp tim của người trong phạm vi từ 60-90 nhịp/phút, tương
đương với 1-1.5 Hz, do đó, mục tiêu của việc thiết kế bộ lọc thông thấp là loại bỏ
nhiễu là tín hiệu của nguồn xoay chiều có tần số 50-60 Hz.
Ta chọn các thông số sau:

ωp = 0.04, ωs = 0.06, Rp=7dB, As=30dB.

Chọn chu kì lấy mẫu là T = 2/Fs = 1/1000 = 0.001.
Chuyển đổi ωp, ωs (tính tốn Ωp và Ωs ):
𝜔𝑝
2
2
0.04
Ω𝑝 = 𝑡𝑎𝑛 ( ) =
𝑡𝑎𝑛
= 0.6981(𝑟𝑎𝑑/𝑠)
𝑇
2
0.001
2
2
𝜔𝑠
2
0.06

Ω𝑠 = 𝑡𝑎𝑛 ( ) =
𝑡𝑎𝑛
= 1.047(𝑟𝑎𝑑/𝑠)
𝑇
2
0.001
2
 Tính bậc của bộ lọc:
𝑅𝑝

𝐴𝑠

𝑙𝑜𝑔10 [(10 10 − 1) / (10 10 − 1)]
𝑁=

Ω

𝑝
2𝑙𝑜𝑔10 ( )

Ω𝑠

7

=

20

𝑙𝑜𝑔10 [(1010 − 1) / (1010 − 1)]
2𝑙𝑜𝑔10 (

0.6981
1.047

)

= 3.9547

=> 𝑁 = 4
 Tính tần số cắt của bộ lọc:
Ω𝑐1 =

Ω𝑝
2𝑁

𝑅

√10 10𝑝 − 1

0.6981

=
2.4

= 0.5868(𝑟𝑎𝑑/𝑠)

7
10

√10 − 1

Hoặc:
Ω𝑐2 =

Ω𝑠
2𝑁

𝐴

√1010𝑠 − 1

1.047

=
2.4

= 0.5895(𝑟𝑎𝑑/𝑠)

20
10

√10 − 1

Vậy chọn 0.5868 < Ω𝑐 < 0.5895 chọn Ω𝑐 = 0.589 (𝑟𝑎𝑑/𝑠).
Tần số trung tâm được lựa chọn: fc = 5.3737 Hz đi qua, những tín hiệu
có tần số lớn hơn khơng thể đi qua.

19

Đáp ứng bình phương-biên độ:
1

|𝐻𝑎 (𝑗Ω)|2 =

1

=

𝛺 2𝑁

1+( )

1+(

𝛺𝑐

⇒ 𝐻𝑎 (𝑠)𝐻𝑎 (−𝑠) = |𝐻𝑎 (𝑗Ω)|2 |Ω=s =
j

𝛺
0.589

)

8

=

1

1+(

⇒ 𝐻𝑎 (𝑗Ω) = 𝐻𝑎 (𝑠) =

𝑠
𝑗0.589

)

8

1
1+
=

1
0.5898

𝛺8

1
1+

1
0.5898

𝑠8

0.5898
(𝑠 − 𝑠4 )

Ta tính được tần số cắt của bộ lọc này là fc = 5.3737 Hz với biểu thứ
sau:

𝜔𝑐
𝐹
2𝜋 𝑠

𝑓𝑐 =

Trong đó S4 là nghiệm của mẫu thức 𝐻𝑎 (𝑠)𝐻𝑎 (−𝑠) nửa mặt phẳng bên trái.
Xác định H(Z)= 𝐻𝑎 (𝑠 =

2 1−𝑧 −1

|

𝑇 1+𝑧 −1 𝑇=0.001

) = 𝐻𝑎 (𝑠 = 0.002

1−𝑧 −1
1+𝑧 −1

)

Như vậy ta nhận được H(z) là một hàm hữu tỉ theo z-1.
Phần tiếp theo sẽ thiết kế bộ lọc trên Matlab với những thơng số tính được
trong ví dụ trên.

20