Viết phương trình đường thẳng trong không gian

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN

ĐẶT VẤN ĐỀ
Năm học …………… là năm học tiếp tục thực hiện cuộc vận động “Học tập và làm theo tấm
gương đạo đức Hồ Chí Minh”, “Hai khơng_bốn nội dung”, “Mỗi thầy cơ là một tấm gương đạo đức,
tự học và tự sáng tạo”, với chủ đề “Năm học đổi mới quản lí và nâng cao chất lượng giáo dục” cùng
với phong trào xây dựng “trường học thân thiện, học sinh tích cực”
Nghị quyết TW2 khoá VIII đã khẳng định “ Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo,
khắc phục lối dạy truyền thụ một chiều, rèn luyện nều tư duy cho người học, từng bước áp dụng
phương pháp tiên tiến, hiện đại vào q trình dạy học”.
Do đó trong q trình dạy học địi hỏi đội ngũ các thầy cơ giáo phải tích cực học tập, khơng ngừng
nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tích cực, tự giác,
chủ động và sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng khả năng tự học, khả năng vận dụng kiến thức vào
thực tế, đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho học sinh.
Trong q trình giảng dạy tơi thấy học sinh cịn gặp nhiều lúng túng trong việc giải quyết một bài
toán hình học tọa độ nói chung, có thể có rất nhiều ngun nhân dẫn đến tình trạng nói trên, nhưng
theo tơi, ngun nhân chủ yếu là khi học hình học toạ độ, học sinh chỉ “giải hình học bằng đại số”,
khơng để ý đến các tính chất hình học.
Các phương pháp giải cịn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp bài tốn nào thì chỉ chú trọng tìm
cách giải cho riêng bài tốn đó mà khơng có một cách nhìn tổng qt. Chính vì vậydẫn đến tình trạng
các em bị lúng túng trước các câu hỏi mặc dù các câu hỏi đó chỉ xoay quanh một vấn đề: Viết
phương trình đường thẳng trong khơng gian.
Với vai trị là một giáo viên dạy Toán và qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi cùng các thầy cô
đồng nghiệp với mong muốn tìm ra hướng giải quyết đơn giản nhất cho một bài toán, làm cho học
sinh nhớ được kiến thức cơ bản trên cơ sở đó để sáng tạo. Tơi xin trình bày một số kinh nghiệm của
mình về việc giải quyết bài tốn Viết phương trình đường thẳng trong khơng gian đó là :
“Phân dạng và định hướng cách giải cho bài tốn viết phương trình đường thẳng
trong khơng gian”.
CƠ SỞ LÝ LUẬN

Trong chương trình Sách giáo khoa có đề cập đến hai dạng phương trình của đường thẳng:Phương
trình tham số và phương trình chính tắc.
Như vậy để xác định được phương trình đường thẳng ở hai dạng trên, người học phải xác định được:
+) Điểm mà đường thẳng đi qua.
+) Véctơ chỉ phương của đường thẳng.
Nhưng không phải trong mọi trường hợp, ta đều có thể tìm được một cách dễ dàng hai đại lượng
nói trên, và cũng như nhiều vấn đề khác của toán học. Bài toán viết phương trình đường thẳng cũng
chủ yếu có hai dạng: tường minh và không tường
minh
Dạng tường minh:

1


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Các đại lượng để giải quyết bài tốn thì đề bài cho sẵn, dạng toán này chủ yếu để người học củng
cố cơng thức.
- Với bài tốn viết phương trình đường thẳng trong khơng gian, dạng tường minh theo tơi đó là:
Viết phương trình tham số (hoặc chính tắc)của đường thẳng biết:
1) Hai điểm mà đường thẳng đi qua.
2) Một điểm mà đường thẳng đi qua và véctơ chỉ phương.
Dạng không tường minh:
- Các đại lượng để giải quyết bài toán được ẩn dưới một số điều kiện nhất định nào đó, dạng tốn
này địi hỏi người học phải biết kết hợp kiến thức, có tư duy logíc tốn học, vận dụng linh hoạt các
điều kiện có trong đề bài.
Trong đề tài này tôi xin được bàn về các dạng tốn khơng tường minh, đây cũng là dạng tốn chủ
yếu xuất hiện trong các kì thi, và học sinh cũng thường găph phải khó khăn trong dạng tốn này,
trước hết tơi xin được chia nhỏ thành hai bài tốn:
Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng trong khơng gian biết một điểm đi qua
Ở bài toán này đề bài chỉ cho biết một điểm đi qua,không cho trực tiếp phương của đường thẳng,
buộc học sinh phải xác định phương của đường thẳng dựa vào các điều kiện khác của bài tốn

Bài tốn 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước
Ở bài toán này đề bài không cho trực tiếp điểm đi qua và phương của đường thẳng, buộc học sinh
phải xác định các đại lượng đó dựa vào các điều kiện của bài tốn.
Ngồi việc phân dạng tốn, chúng ta cũng cần phải hướng dẫn cho học sinh định hướng cách giai
khi đứng trước một bài tốn.
Trong bài tốn Viết phương trình đường thẳng trong không gian, người học cần chú ý đến các
điều kiện xác định của đường thẳng trong không gian, tôi đặc biệt chú ý đền hai điều kiện xác định
đường thẳng sau:
+) Biết hai điểm đi qua.
+) Biết hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Và đó cũng là hướng giải quyết chủ yếu cho bài toán mà tơi đưa ra:
Định hướng thứ nhất: Tìm hai điểm mà đường thẳng đi qua.
Khi xác định được hai điểm đi qua thì hiển nhiên ta có hai đại lượng cần thiết để hình thành
phương trình dạng tham số hoặc dạng chính tắc.
Định hướng thứ hai: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Một vấn đề đặt ra ở đây là: phương trình dạng tổng quát của đường thẳng khơng được trình bày
trong sách giáo khoa, vậy nếu học sinh vẫn để dưới dạng tổng qt thì có được chấp nhận hay
khơng? nếu khơng được chấp nhận thì làm thế nào?
Các khắc phục khơng có gì khó khăn, các bạn có thể hướng dẫn học sinh chuển về dạng tham số
thơng qua ví dụ sau:
Ví dụ 1: (Cách thứ nhất)
Đường thẳng  là tập hợp các điểm có tọa độ thoả mãn hệ:
�x  y  2 z  5  0
�
2x  y  z 1  0
�
Ta có thể đặt bất kì một ẩn làm tham số
3 x  3  3t  0 �x  1  t
�x  y  3  2t  0 �
z  1 t � �

��
��
2
x

y

t

0
2
x

y

t

0
�
�
�y  2  t
Đặt:
Vậy ta có phương trình dạng tham số của .
�x  1  t
�
�y  2  t  t �R 
�z  1  t
�

2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 2: (Cách thứ hai)
Đường thẳng  là tập hợp các điểm có tọa độ thoả mãn hệ:
�
�x  y  2 z  5  0   
 I
�
2
x

y

z

1

0



�
+) Điểm đi qua: Với z  1 thay vào hệ (I) ta có:
�x  y  3
�x  1
��
 I
�
�2 x  y  0
�y  2

M  1; 2;1
Suy ra  đi qua
.
+) Đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng nên có một véctơ chỉ phương là tích có hướng
của hai mặt phẳng.
uur uur uur
u  �
n , n �
�
�  3;3;3
�x  1  3t
�
�y  2  3t
�z  1  3t
�

 t �R 

Vậy  có phương trình dạng tham số:
Ngồi ra trong từng trường hợp cụ thể, với các mối quan hệ trong từng bài toán cũng cần hướng cho
học sinh sáng tạo, tìm tịi cách giải mới.
CƠ SỞ THỰC TIỄN
Sau khi nghiên cứu và áp dụng vào các tiết dạy cho học sinh, tơi thấy học sinh khơng cịn lúng túng
trước bài tốn hình học dạng này nữa, mà chỉ sau một số bài tập nhất định, các em đã nắm chắc
nguyên tắc cơ bản để giải bài toán là “ Xác địn điểm đi qua và véctơ chỉ phương”. Đa số các em học
sinh từ trung bình trở lên đều có thể tự tin làm được hết các bài tập SGK và bài tập sách bài tập
hình học nâng cao 12. Các em tự đặt câu hỏi: Còn cách giải khác cho bài tốn khơng? Từ đó kích
thích sự tị mị tìm cách giải mới cho mỗi bài tốn cụ thể và cũng có nhiều em đã tìm được một số lời
giải khá độc đáo khác cho bài toán. Biết kết hợp các kiến thức đã học để giải các bài tốn hình học

khó hơn.
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
Trên cơ sở các kiến thức cơ bản về hình học giải tích đã được trình bày trong sách giáo khoa Hình
học 12. Kiến thức cơ bản về đường thẳng trong khơng gian lớp 11.Tơi xin được trình bày nội dung
đề tài dưới một số Bài toán cơ bản mà phương pháp giải các bài tốn đó được rút ra từ hai định
hướng cớ bản nêu trên.
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng trong khơng gian biết một điểm đi qua
+) Điểm đi qua đã cho trong đề bài.
+) Phương của đường thẳng xác định thông qua các đại lượng, các mối quan hệ
trong bài tốn.
Ví dụ 1
M  1; 2;3
Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm
và vng
   : 2x  3 y  z  2  0
góc với mặt phẳng
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
M  1; 2;3
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
.

3


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+) Mặt phẳng ()  có tọa độ các điểm thuộc mặt phẳng và véctơ pháp tuyến:
uur
n  2; 3;1
+) Quan hệ vng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng .

Các cách giải:
Cách 1:
Vì đường thẳng  vng góc với mặt phẳng () nên song song hoặc trùng với giá của véctơ pháp
uur
n  2; 3;1
tuyến của mặt phẳng ().Vậy  nhận
làm véctơ chỉ phương nên có phương trình dạng
tham số:
�x  1  2t
�
 t �R 
�y  2  3t
�z  3  1
�
N  x; y; z 
Cách 2: Vì đường thẳng  vng góc với mặt phẳng () nên  là tập hợp các điểm
sao
cho:
uuuu
r uur
�x  1  2t
�x  1  2t
�MN  tn
�
�
� �y  2  3t � �y  2  3t  t �R   I 
�
t �R
�
�z  3  t

�z  3  t
�
�
Hệ (I) là phương trình dạng tham số của đường thẳng .
(Cách giải thứ 2 được đề xuất từ học sinh)

Ví dụ 2

M  1;2;5 
Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình của đường thẳng  qua
và song
 P  :3x  y  5z  8  0 và  Q  :2 x  y  z  1  0 .
song với hai mặt phẳng:
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
M  1; 2;5 
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
.
+) Hai mặt phẳng :
uur
nP  3;1; 5 
(P)  có véctơ pháp tuyến:
.
uur
n  2; 1;1
(Q)  có véctơ pháp tuyến: Q
.
+) Quan hệ: Đường thẳng  song song với cả hai mặt phẳng, suy ra nó có
phương vng góc với hai véctơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng .

Cách giải:
Từ mối qua hệ giữa đường thẳng  với hai mặt phẳng (P) và (Q) dẫn đến đường thẳng  có một chỉ
r uur uur
u�
nP ; nQ �
�
�  4; 13; 5 
phương
Đường thẳng cần tìm có phương trình dạng chính tắc:
x 1 y  2 z  5
:


4
13
5
Ví dụ 3
A  2;1;3
Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
, cắt cả hai

4


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x 1 y  2 z  1
x  2 y  3 z 1
1 :


2 :



1

1
1
1
2
1
đường thẳng
và
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
A  2;1;3
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
.
ur
M  1; 2; 1
u1  1; 1;1
1
+) Đường thẳng
đi qua điểm
và có véctơ chỉ phương uu
.
r
N  2;3; 1
u  1; 2;1

+) Đường thẳng 2 đi qua điểm
và có véctơ chỉ phương 2

.


+) Quan hệ: Đường thẳng  cắt cả hai đường thẳng 1 và 2 .
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau:
Định hướng 1:
 .

+) Đường thẳng  cắt đường thẳng 1 nên xác định một mặt phẳng

 .
+) Đường thẳng  cắt đường thẳng 2 nên xác định một mặt phẳng
   và    .
Vậy đường thẳng  là giao của hai mặt phẳng
Định hướng 2:

+) Đường thẳng  cắt đường thẳng 1 tại P.

+) Đường thẳng  cắt đường thẳng 2 tại Q.
Vậy đường thẳng  cũng là đường thẳng PQ.
Từ đó dẫn đến các cách giải
Cách giải:
Cách 1:
   là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau  và 1 .
 Gọi
uuuu
r
ur


AM  3;1; 4 
u1  1; 1;1

 :
Vậy
có hai chỉ phương là
và
, suy ra pháp tuyến của
uur uuuu
r ur
n  �
AM ; u1 �
�
�  3; 7; 4 

   là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau  và  2 .
 Gọi
uuur
uu
r

AN  0; 2; 4 
u2  1; 2;1

 :
Vậy
có hai chỉ phương là
và
, suy ra pháp tuyến của
uur uuur uu

r
�  10; 4; 2 
n  �
AN
;
u
2�
�
r
uur uur
�
u�
n
� ; n �  2; 34;58 
Suy ra đường thẳng cần tìm có chỉ phương:

Hay  có phương trình:
Cách 2:

�x  2  t
�
 : �y  1  17t
�z  3  29t
�

Gọi P là giao điểm của  và

1 . P �1 � P  1  t; 2  t; 1  t 

 Q � 2 � Q  2  t ';3  2t '; 1  t '

Gọi Q là giao điểm của  và 2 .
Mặt khác ba điểm P, A, Q cùng thuộc đường thẳng  nên thẳng hàng hay:

5


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------uuu
r
uuu
r
QA  t '; 2  2t '; 4  t '  PA  3  t ; 1  t ; 4  t 
,
.
� 2
t'
�
15
t '  3k  tk
t ' 3k  tk  0
�
�
�
uuu
r
uuu
r
�
�
� 8
QA  k PA � �

2  2t '   k  tk � �
2t ' k  tk  2 � �
k
15
�
�
�
4  t '  4k  tk
t ' 4k  tk  4
�
�
26
�
tk  
�
15
�
uuu
r �2 34 58 �
2
r
QA � ;  ; �
t'
u
15
15
15
�
�Hay đường thẳng  có chỉ phương:  1; 17; 29  và đi qua
15 ta có :

Với
x  2 y 1 z  3
:


1
17
29
P
A nên có phương trình:
Cách 3:
uuuu
r ur
uuur uu
r
A
�
�
�
�  10; 4; 2 
AM
;
u


3;

7;

4

AN
;
u


1�
2�
�
�
Ta có:
,
r
2
2
2
u  a; b; c   a  b  c �0 
Q
Gọi
là chỉ phương của đường
thẳng  cần tìm.
uuuu
r ur r
AM
, u1 , u đồng phẳng
+) Ba vectơ
uuuu
r ur r
�
��
AM

.u  0 � 3a  7b  4c  0  1
� , u1 �
uuur uu
r r
AN
,
u
2 , u đồng phẳng
+) Ba vectơ
uuur uu
r r
��
AN , u2 �
.u  0 � 10a  4b  2c  0  2 
�
�
Từ (1) và (2):
3a  7b  4c  0
3a  7b  20a  8b  0
b  17a
�
�
�
��
��
�
5a  2b  c  0
c  5a  2b
c  29a
�

�
�
r
a 2 �
b 2 c 2 0 a 0 véctơ u  a; 17a; 29a  hay đường thẳng cần tìm có chỉ phương
Vì
r
u  1; 17; 29 
và đi qua A nên có phương trình:
x  2 y 1 z  3
:


1
17
29
Ví dụ 4
A  1; 2;3
Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng  đi qua
đồng thời
�x  6  2t
�
d1 : �y  1  4t
x 1 y  2 z  3
d2 :


�z  4  t
2
1

1 .
�
vng góc với d1 và cắt d2:biết
,
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
A  1; 2;3
+)Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
.
ur
M
6;1;
4
u


d
 2; 4; 1 .
+)Đường thẳng 1 đi qua điểm
và có véctơ chỉ phương 1

6


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------uu
r
N  1; 2;3
u2  2;1; 1
d
2

+) Đường thẳng
đi qua điểm
và có véctơ chỉ phương
.
d
+) Quan hệ: Đường thẳng  cắt 2 .
d
Đường thẳng  vng góc với 1 (có thể cắt hoặc không cắt).
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau:
d1
Khơng thể dựa vào điều kiện  cắt

vì mối qua hệ này khơng chắc chắn xảy ra.

Định hướng 1: (Xác định điểm đi qua)

d
+)Đường thẳng  cắt đường thẳng 2 tại P.
uuu
r ur
uuu
r ur
d1
AP  u1 � AP.u1  0
+)Đường thẳng  vng góc với
nên
.
Suy ra đường thẳng  cũng là đường thẳng PA.
Định hướng 2:

d
 .
+) Đường thẳng  cắt đường thẳng 2 nên xác định một mặt phẳng
   qua A và
d
+) Đường thẳng  vng góc với 1 nên xác định một mặt phẳng
d
vng góc với 1 .
   và    .
Vậy đường thẳng  là giao của hai mặt phẳng
Từ đó dẫn đến các cách giải
Cách giải:
Cách 1:

P  1  2t; 2  t ;3  t 
d
P �d 2
Gọi giao của đường thẳng  với 2 là P, suy ra
hay
uuu
r
AP  2t ; t  4; t 
Véctơ
d
Mặt khác  vng góc với 1 nên:
uuu
r ur
uuu
r ur
AP  u1 � AP.u1  0 � 4t  4t  16  t  0 � t  16

.
x

1
y

2
z

3
uuu
r
:


AP  32;12; 16 
8
3
4 .
Suy ra
, hay
   là mặt phẳng xác định bởi  và d 2 .
Cách 2: Gọi
uur uuu
r uu
r
�  4;0; 8 
n  �
NA
,

u
2�
�
   chứa  nên đi qua A.    : x  2 z  7  0
Mặt khác
ur

u1  2; 4; 1

d1
Gọi
là mặt phẳng qua A và vng góc với , nên nhận
là véctơ pháp tuyến.
   : 2x  4 y  z  3  0
r uur uur
u�
n , n �




�
�  8;3; 4  .
Ví  là giao của
và
nên có chỉ phương

Phương trình của đường thẳng

�x  1  8t

�
 : �y  2  3t
�z  3  4t
�

 t �R 
.

7


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ngồi hai cách giải trên, ta cịn có thể tìm trực tiếp véctơ chỉ phương

r
u  a; b; c 

2
2
2
Cách 3: Gọi
là chỉ phương của đường thẳng  cần tìm a  b  c �0 .
uuu
r uu
r
r
d
NA
;
u
2 và u đồng phẳng:

Vì  cắt 2 nên ba véctơ
uuu
r uu
r r
�
�
NA
,
u
.u  0 � 4a  8c  0 � a  2c  1
2�
�
r ur
u.u1  0 � 2a  4b  c  0
d
 2
Mặt khác   1 
3c  4b  0 � 3c  4b
Từ (1) và (2) ta có:

b3
�
c  4 � �
a 8
�
Chọn

�x  1  8t
�
 : �y  2  3t

�z  3  4t
�

 t �R 

Vậy  có phương trình:
.
K  x; y; z 
Cách 4: Gọi
. K thuộc đường thẳng cần tìm khi và chỉ khi
uuur uuu
r uu
r
uuur uuu
r uu
r đồng
�
�
� 0
AK
NA
,
u
�
2�
AK
;
NA
;
u

�
�
�
2
�
 I
�
uuur ur
phẳng
�uuur ur
�
AK

u
AK
.
u

0
�
1
1
�
�
4  x  1  8  z  3  0
�x  2 z  7  0
�
��
��
2x  4 y  z  3  0

2  x  1  4  y  2    z  3  0
�
�
Đặt z = t:
�x  7  2t
�x  7  2t
�
� � 17 3
�
14  4t  4 y  t  3  0 �y   t
�
� 4 4
�x  7  2t
� 17 3
�
 : �y   t  t �R 
� 4 4
t
�
�z 
Vậy, đường thẳng cần tìm có phương trình
.
Ví dụ 5
A  3; 2; 1
Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng  đi qua
, vng góc
�x  3  t
�
d : �y  4  5t
�z  1  2t

�
và cắt đường thẳng
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
A  3; 2; 1
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
.
r
M
3;
4;

1
u


 1; 5; 2  .
+) Đường thẳng d đi qua điểm
và có véctơ chỉ phương
+) Quan hệ: Đường thẳng  cắt d .
Đường thẳng  vng góc với d .

8


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Từ định hướng trên, học sinh có thể giải quyết Ví dụ5 với đầy đủ các cách như Ví dụ4.
Cách giải:uuuu
r
AM  0;6;0 

uur uuuu
r r
�
n

AM

  là mặt phẳng qua A và chứa d.  � , u �
�  12;0; 6 
Gọi
uur r

n  u  1; 5; 2 

Gọi
là mặt phẳng qua A và vng góc với d.
ur uur uur
u1  �
n ; n �
�
�  30; 30; 60 
Vậy đường thẳng cần tìm có chỉ phương:
x  3 y  2 z 1
:


1
1
2 .
Phương trình của đường thẳng

Qua các ví dụ trên cho thấy, mỗi bài tốn khơng phải chỉ có một cách giải mà đối với mỗi bài
tốn, trong từng trường hợp, học sinh có thể định hướng cho mình nhiều cách giải khác nhau,
phù hợp với đặc điểm của từng bài tốn.
Có những cách giải thì rất hiệu quả đối với bài tốn này nhưng sẽ gặp khó khăn đối với bài
tốn khác. Như ví dụ sau:
Ví dụ 6
   : 2 x  y  2 z  17  0 và mặt cầu
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
2
2
2
 S  :  x  1   y  3   z  2   9 . Viết phương trình tiếp tuyến  với mặt cầu (S) biết tiếp
M  1;8; 2 
tuyến đó đi qua
và song song với mặt phẳng ().
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
M  1;8; 2 
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :uur
.
   có véctơ pháp tuyến n  2; 1; 2  .
+) Mặt phẳng
 S  có tâm và bán kính I  1;3; 2  , R  3
+) Mặt cầu
 / /
+) Quan hệ: Đường thẳng
Đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu (S)  khoảng cách từ tâm I
đến đường thẳng  bằng R.
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Từ định hướng trên, học sinh có thể giải quyết Ví dụ5 với đầy đủ các cách như Ví dụ4.

Cách giải:
r
2
2
2
u  a; b; c 
Gọi
là chỉ phương của đường thẳng  cần tìm a  b  c �0 .
 / /
Vì
nên ta có: r uur
u.n  0 � 2a  b  2c  0 � b  2a  2c
 1
uuur r
uuur
r
IM , u �
IM  0;5; 4  u  a; b; c  �
�  5c  4b; 4a; 5a 
+)
,
, �
Đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi
uuur r
2
2
2
�
IM , u �
 5c  4b    4a    5a 

�
�
d  I ,   R �
R�
3
r
u
a 2  b2  c 2

9


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------�

 5c  4b 

2

  4a    5a   3 a 2  b 2  c 2

 8a  3c 

2

  4a    5a   3 a 2   2a  2c   c 2

2

 2

2

Từ (1) và (2) ta có:
�

2

2

2

� 105a 2  48ac  9c 2  45a 2  72ac  45c 2
a
�
�c  1
ac
�
��
��
a
3
5a  3c
�
�

2
2
�
5
�c

� 5a  2ac  3c  0
2
2
2
Vì a  b  c �0 suy ra a �0 .
b4
�
x 1 y  8 z  2
a 1� �
1 :


c

1
�
1
4
1
Nếu a  c chọn
. Tiếp tuyến cần tìm:
b4
�
x 1 y  8 z  2
a  3 � �
2 :


c  5 . Tiếp tuyến cần tìm:
�

3
4
5
Nếu 5a  3c chọn
Vậy qua M có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài
x 1 y  8 z  2
x 1 y  8 z  2
1 :


2 :


1
4
1 và
3
4
5 .
Như vậy bài tốn được giải quyết khơng mấy khó khăn!nhưng nếu sử dụng cách khácthì vẫn
giải được, tuy nhiên khá phức tạp. Ví như ta dùng các xác định hai điểm đi qua:
Đề bài đã cho một điểm nên ta chi cần xác định thêm một điểm. Điểm có thể tìm được đó là tiếp
điểm.
K  x; y; z 
Cách khác: Gọi uuuu
là tọa độ tiếp điểm thì ta vẫn có thể tìm được K nhờ các điều kiện sau:
r uur
uur uuuu
r
K � S 

MK .n  0
+)
, +)
, +) IK .MK  0 .

Bài tốn 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước
Cả điểm đi qua và phương của đường thẳng được xác định thông qua các đại lượng cho trước và
các mối quan hệ hình học.
Ví dụ 7
Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình của đường thẳng  biết nó vng góc với mặt
phẳng (P) : x  y  z  4  0 và cắt cả hai đường thẳng chéo nhau:
�x  2  t
�
1 : �y  3  t
�z  1  2t
�

�x  2  3t '
�
 2 : �y  1  t '
�z  t '
�

và
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
uur
nP  1;1; 1
+) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến
.

ur
M 1  1;1; 2 
u1  2;3;1
1
+) Đường thẳng
đi qua
có chỉ phương
.
ur
M  2;1;0 
u  3; 1;1
+) Đường thẳng  2 đi qua 2
có chỉ phương 1
.

10


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------   P
+) Quan hệ: Đường thẳng
Đường thẳng  cắt cả 1 và  2 .
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Cách giải:
Cách 1: (Xác địng hai điểm đi qua)

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng  với hai đường thẳng 1 ,  2 .
M �1 � M  2  t ;3  t ;1  2t 
+)
1
N � 2 � N  2  3t ';1  t '; t ' 

+) uuuu
M
r
MN  3t ' t ; 2  t ' t ; 1  t ' 2t 
+)
N 2
   P
Theo giả thiết
nên:
3
t
'

t

k
3t ' t  k  0
t '  2
�
�
�
uuuu
r
uur
�
�
�
MN  k nP � �
2  t ' t  k � �
t ' t  k  2 � �

t 3
P
�
�
�
1  t ' 2t   k
t ' 2t  k  1
k  3
�
�
�
uuuu
r
M  1;6; 5  MN  3; 3;3
Vậy
,
.
x 1 y  6 z  5


1
1
Đường thẳng có phương trình: 1
1
Cách 2: (Giao của hai mặt phẳng)
   là mặt phẳng chứa 1 và vng góc với (P)
Gọi
uur uur ur
n  �
nP , u1 �

�
�  4; 3;1
2


Mặt phẳng
có phương trình 4 x  3 y  z  9  0
   là mặt phẳng chứa  2 và vuông góc với (P)
Gọi
uur uur uu
r
�
P
n  �
n
,
u
�P 2 �  0; 4; 4 
   có phương trình y  z  1  0
Mặt phẳng
Vậy đường thẳng  là tập hợp điểm có tọa độ thỏa mãn hệ
4x  3y  z  9  0
�
3
�
� x    t ; y 1  t.
y  z 1  0
�
2
Đặt z = t:

3
�
�x   2  t
�
�y  1  t  t �R 
�z 
t
�
�
Đường thẳng có phương trình:
Trong bài tốn trên, véctơ chỉ phương của đường thẳng có thể xác định được một cách
1 dễ dàng nhờ
mặt phẳng (P). Vậy chỉ cần xác định được một điểm đi qua là đủ
Cách 3: Gọi () là mặt phẳng chứa đường thẳng 1
và vng góc với mặt phẳng (P).
Vì 1 và  2 chéo nhau nên  2 cắt () tại M.

M

11
P

2


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Mặt khác 1 khơng vng góc với (P) nên 1 cắt đường
thẳng qua M và vng góc với (P).
Vây đường thẳng cần tìm  là đường thẳng qua M và
vng góc với mặt phẳng (P).
Ta đi tìm M.

Mặt phẳng () đi qua M1 và có pháp tuyến
uur ur uur
n  �
u1 , nP �
�
�  4;3; 1
suy ra: 4 x  3 y  z  5  0
Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ:
�x  2  3t '
�y  1  t '
3
�
� 4  2  3t '  3  1  t '   t '  5  0 � t ' 
�
4
�z  t '
�
4x  3y  z  5  0
�
3
�1 7 3�
t'
�M�
 ; ; �
4
� 4 4 4�
Với
. Suy ra đường thẳng có phương trình:
1
7

3
x
y
z
4
4
4
1
1
1
Ví dụ 8
Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng:
x  6 y  1 z  10
x4 y3 z 4
2 :


1 :


1
2
1
7
2
3
và
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
ur

M 1  6;1;10 
u1  1; 2; 1
1
+)Đường thẳng
đi qua
có chỉ phương uu
.
r
M  4;3; 4 
u  7; 2;3
+)Đường thẳng  2 đi qua 2
có chỉ phương 2
.

+)Quan hệ: Đường thẳng  vng góc và cắt 1
Đường thẳng  vng góc và cắt  2 .
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Cách giải:
Cách 1: (Xác định hai điểm đi qua)
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng  với 1 và  2
+)

M �1 � M  6  t ;1  2t ;10  t 

.
N � 2 � N  4  7t ';3  2t '; 4  3t ' 
+) uuuu
.
r
MN  10  7t ' t ; 2  2t ' 2t ; 6  3t ' t 

+)
uuuu
r ur
uuuu
r ur
�
�
�
 10  7t ' t   2  2  2t ' 2t    6  3t ' t   0
�MN  u1
�MN .u1  0
�
��
r uu
r � �uuuu
r uu
r
�uuuu
7  10  7t ' t   2  2  2t ' 2t   3  6  3t ' t   0
�
�MN  u2
�MN .u2  0

12


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------�
 10  7t ' t   2  2  2t ' 2t    6  3t ' t   0
�
t ' t  0

t '  1
�
�
��
��
��
56  62t ' 6t  0
t 1
�7  10  7t ' t   2  2  2t ' 2t   3  6  3t ' t   0
�
�
uuuu
r
M  7;3;9  MN  4; 2; 8 
Suy ra
,
, hay đường vuông góc chung có phương trình:
�x  7  2t
�
�y  3  t
�z  9  4t
�
Cách 2: (Đường thẳng là giao của hai mặt phẳng)
ur uu
r
r
�
�  8; 4;16 
u
;

u
u
 2;1; 4  .
1
2
Ta có: � �
su ra đường vng góc chung có chỉ phương
M 1  6;1;10 
Gọi () là mặt phẳng xác định bởi  và 1 .Vậy () đi qua điểm
và có véctơ pháp
uur r ur
n �
u; u �  9;6;3
tuyến:  � 1 �
nên có phương trình:
3x  2 y  z  6  0

M 2  4;3; 4 
Gọi () là mặt phẳng xác định bởi  và  2 . Vậy () đi qua điểm
và có véctơ pháp
uur r uu
r
n �
u; u �  5; 34;11
tuyến:  � 2 �
nên có phương trình:
5 x  34 y  11z  38  0
Vậy đường vng góc chung là tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ:
3x  2 y  z  6  0
�

�
5 x  34 y  11z  38  0
�
3 x  2 y  4t  7
�
�x  3  2t
��
�
5 x  34 y  44t  49
�y  1  t
Đặt: z  1  4t thay vào hệ ta có: �
Vậy đương vng góc chung cần tìm có phương trình:
x  3 y 1 z 1


2
1
4
Ví dụ 9
Trong khơng gian tọa độ Oxyz.
x  2 y 1 z  7
d:


1
2
1 . Viết phương
Cho mặt phẳng (P) : x  3 y  5 z  6  0 và đường thẳng
trình tham số của đường thẳng  nằm trong (P), cắt và vng góc với d.
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?

1) Đề cho:
uur
nP  1;3; 5 
+) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến
. uu
r
M
2;1;7
u


 1; 2;1 .
+) Đường thẳng d đi qua
có chỉ phương d
 � P 
+) Quan hệ: Đường thẳng
Đường thẳng  cắt cả d và d   .
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Cách giải:
 Điểm đi qua:

13


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Vì đường thẳng  cắt d và nằm trong mặt phẳng (P) nên đi qu agiao điểm của d va (P).Tọa độ giao
điểm là nghiệm của hệ:
�x  3 y  5 z  6  0
�x  14
�x  3 y  5 z  6  0
�

�
�
� �y  25
�x  2 y  1 z  7 � �y  2 x  3


�
�
�z  19
�1
2
1
�z  x  5
�
M  14; 25;19 
Vậy  đi qua điểm
.
Véctơ chỉ phương:
Cách 1:
Vì  nằm trong mặt phẳng (P) nên có phương vng góc với véctơ pháp tuyến của (P), nên có chỉ
phương:
r uur uu
r
�
u�
n
;
u
�P d �  13; 6; 1

�x  14  13t
�
�y  25  6t
�z  19  t
�

Suy ra  có phương trình:
N  x; y; z 
Cách 2: Gọi
là điểm thuộc đường thẳng  cần tìm, khi đó:
uuuu
r
MN  x  14; y  25; z  19 
Ta có:
uuuu
r uur
�
�MN � P 
�MN .n p  0
� �uuuu
r uu
r
�
MN  d
MN .ud  0
�
�
Mặt khác:
�
 x  14   3  y  25   5  z  19   0

�
��
P
 x  14   2  y  25    z  19   0
�
�x  3 y  5 z  6  0
�x  181  13 z
��
��
�x  2 y  z  83  0
�y  89  6 z
z

t
Đặt
, ta có phương trình tham số của đường thẳng:
�x  181  13t
�
� �y  89  6t
 t �R 
�z  t
�

d
d’

(Trong cách 2, đường thẳng  chính là giao tuyến của mặt phẳng () với mặt phẳng (P), trong đó
() chứa d và vơng góc với (P). )
Ví dụ 10
Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường phân giác của hai đường thẳng:

�x  1  4t
�
 2 : �y  3
x  2 y 1 z  3
1 :


�z  5  3t
�
1
2
2 và
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
ur
M 1  2; 1;3
u1  1; 2; 2 
1
+) Đường thẳng
đi qua điểm
và có chỉ phương
.

14


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------uu
r
M
1;


3;5
u


 4;0;3 .

2
+) Đường thẳng 2 đi qua
có chỉ phương 2
2

+) Quan hệ: Đường phân giác  là tập hợp các điểm nằm trên mặt phẳng xác định bởi 1 và

đồng thời cách đều cả hai đường thẳng đó.
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Cách giải:
Đường phân giác đi qua giao điểm A của hai đường thẳng 1 và  2 .
Tọa độ giao điểm A là nghiệm của hệ:
�x  1  4t
�x  1  4t
�x  1
�y  3
�y  3
�
�
�
�
�
�y  3

� �z  5  3t
��
� A  1; 3;5 
�z  5  3t
�
�
�z  5
�x  2  y  1  z  3
�4t  1  2  3t  2
�
t 0
�
�1
�1
2
2
2
2
ur
�ur u1 �1 2 2 �
v1  ur  � ; ;  �
�
3 3 3�
�
� u1 �
u
u
r
�
uu

r u
�4 3 �
�
v
r2  � ;0; �
�2  uuu
�5 5 �
2
Đặt �
ur uu
r �
r � 7 2 19 �
17 2 1 � ur uu
v1  v2  � ; ;  � v1  v2  � ; ;  �
15 3 15 �,
�
� 15 3 15 �
Ta có:

d
d
Hai đường thẳng cắt nhau có hai phân giác 1 và ur2 uu
r
 17;10; 1 nên có phương
d
v

v
+) Phân giác 1 có chỉ phương cùng phương với 1 2 có tọa độ:
x 1 y  3 z  5



17
10
1 .
trình:
ur uu
r
 7; 2; 19  nên có phương trình:
d
v

v
+) Phân giác 2 có chỉ phương cùng phương với 1 2 có tọa độ:
x 1 y  3 z  5


7
10
19 .
Ví dụ 11
Trong khơng gian tọa độ Oxyz. cho đường thẳng
�
x  2  4t
�
d: �
y  3 2t
�
P : x  y  2z  5  0
z   3 t

�
nằm trong mặt phẳng
Viết phương trình đường thẳng  nằm trong (P) và cách d một khoảng là 14 .

 

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
uur
nP  1;1; 2 
+) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến
.
r
M  2;3; 3 
u  4; 2;1
+) Đường thẳng d đi qua
có chỉ phương
.
 � P 
+) Quan hệ: Đường thẳng

15


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Đường thẳng  / /d .
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Cách giải:
r
u  4; 2;1
Cách 1: Đường thẳng  có cùng chỉ phương

với d .
Điểm đi qua:
A  x0 ; y0 ; z0 
Gọi
là hình chiếu của M trên đường thẳng , suy ra:
2
2
2
�
�AM  14
�AM  14
 x0  2    y0  3   z0  3  14
�
�
rr
�
�uuuu
�
4  x0  2   2  y0  3    z0  3   0
�AM  d � �AM .u  0 � �
�A � P
�A � P
�
 x0  y0  2 z0  5  0
 
�  
�
�
2
2

2
�
 x0  2    y0  3   z0  3  14
�
�
��
4 x0  2 y0  z0  11  0
�
 x0  y0  2 z0  5  0
�
z  11  2t , ta có hệ:
Đặt 0
2
2
2
2
2
2
�
 x0  2    y0  3   14  2t   14 � x0  2    y0  3   14  2t   14
�
�
�
�
� �4 x0  2 y0  2t  0
� �y0  2 x0  t
� x  y  22  4t  5  0
�
3 x  3t  27  0
0

� 0
� 0
2
2
2
2
2
2
�
 x0  2    y0  3   14  2t   14 � 7  t    3t  21   14  2t   14
�
�
�
�
� �y0  18  3t
� �y0  18  3t
�x  9  t
�x  9  t
�0
�0
��
t 8
��
2
t 6
�
14t  196t  672  0
��
�
�

� �y0  18  3t
� �y0  18  3t
�x  9  t
�x  9  t
�0
�0
�
�
�x0  1
�
t  8 � �y0  6
�z  5
A  1;6; 5 
�0
Với
,
x 1 y  6 z  5


4
2
1
Đường thẳng cần tìm có phương trình:
�x0  3
�
t  6 � �y0  0
�z  1
A  3;0; 1
�0
Với

,
x  3 y z 1
 
4
2
1
Đường thẳng cần tìm có phương trình:

16


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn có phương trình:
x 1 y  6 z  5
x  3 y z 1


 
4
2
1 và 4
2
1 .
Cách 2: (Giao của hai mặt phẳng)
Đường thẳng cần tìm là giao của mặt phẳng (P) với mặt phẳng () vng góc với (P) và cách d một
khoảng bằng 14 .
uur uu
r uur
�
n  �
u

�d ; nP �  3; 9;6  nên phương trình có dạng:
Mặt phẳng () có véctơ pháp tuyến:
x  3y  2z  d  0
Mặt khác:
296 d
d  d ,      14 � d  M ,      14 �
 14
1 9  4
d  1
�
� d  13  14 � �
d  27
�

d  1 �    : x  3 y  2 z  1  0
Với
Đường thẳng cần tìm là tập hợp các điểm thỏa mãn hệ:

�
�
y 0
x3
�
x  3y  2z  1 0
�
�
��
x  2z  1 0 � �
y 0
�


x

y

2z

5

0
�
�
x  2z  5  0 �
z  1
�
�
�x  3  4t
�
2t
�y 
�z  1  t
�

Đường thẳng có phương trình:
d  27 �    : x  3 y  2 z  27  0
Với
Đường thẳng cần tìm là tập hợp các điểm thỏa mãn hệ:

�y  6
�x  1

�
x  3y  2z  27  0 �
�
� �x  2z  9  0 � �y  6
�
x  y  2z  5  0
�
�x  2z  11 0 �
z  5
�
�

Đường thẳng có phương trình:

�x  3  4t
�
2t
�y 
�z  1  t
�
�x  3  4t
�
2t
�y 
�z  1  t
�

�x  3  4t
�
2t

�y 
�z  1  t
�

Vậy có hai đường thẳng cần tìm:
và
.
Cách 3: (Sử dụng tập hợp điểm)
K  x '; y '; z '
Gọi
là điểm thuộc đường thẳng cần tìm. Ta có:
K � P  �  x ' y ' 2 z ' 5  0
+)
(1)
d  K ; d   14
+)
(2)

17


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Gọi () là mặt phẳng chứa d và vng góc với mặt phẳng (P).
uur uur r
n  �
nP , u �
M  2;3; 3
�
�  3;9; 6 
Mặt phẳng () có pháp tuyến đi qua
và cóvéctơ pháp tuyến

có phương trình: x  3 y  2 z  13  0
Ta có:

d  K ; d   14 � d  K ;      14 �

x ' 3 y ' 2 z ' 13
14

 14

x ' 3 y ' 2 z ' 13  14
�
� x ' 3 y ' 2 z ' 13  14 � �
x ' 3 y ' 2 z ' 13  14
�
�
x ' 3 y ' 2 z ' 1  0
 3
��
x ' 3 y ' 2 z ' 27  0  4 
�
�x ' 3 y ' 2  6t  1  0
�x '  11  12t
��
�
 x ' y ' 2  6t  5  0
�y '  4  6t
Từ (1) và (3), đặt z '  1  3t , ta được: �
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình dạng tham số:
�x  11  12t

�
�y  4  6t  t �R 
�z  1  3t
�
�x ' 3 y ' 2  6t  27  0 �y '  18  6t
��
�

x
'

y
'

2

6
t

5

0
z
'

1

3
t
�

�x '  25  12t
Từ (1) và (3), đặt
, ta được:
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình dạng tham số:
�x  25  12t
�
�y  18  6t  t �R 
�z  1  3t
�
Ví dụ 12
Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình hình chiếu vng góc  của đường thẳng
�
x  1 t
�
d: �
y1
�
z  1 t
   : 2x  3y  z  0
�
trên mặt phẳng
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
uur
n  2;3; 1
+) Mặt phẳng (): véctơ pháp tuyến
.
ur
A  1;1;1
u1  1;0;1

+) Đường thẳng d đi qua
có chỉ phương
.
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Cách giải:
Cách 1: (Xác định hai điểm đi qua)

Để xác định hai điểm đi qua của đường thẳng :
+) Nếu d cắt () tại N thì N là một điểm đi qua của , lấy một điểm M bất kì trên d khơng thuộc (), xác
định hình chiếu M’ của M trên (). Ta có hai điểm đi qua của .
+)Nếu d khơng cắt () thì lấy hai điểm phân biệt M, Ntrên d, xác định hinhd chiếu M’, N’ của M và N trên
(). Ta có hai điểm đi qua của .

Để xét sự tương giao của d và (), ta xét hệ:

18


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

�
x  1 t
�
�
�
x  1 t
x  1 t
x  3
�
�

�
�
y1
y1
�
�
y1
�
y1
��
��
��
 I :�
�
z  1 t
z  1 t
z  1 t
z  3
�
�
�
�
2 1 t  3  1 t  0 �
2x  3y  z  0 �
2 2t  3 1 t  0 �
t  4
�
�





N 3;1; 3
Vậy d giao với () tại
, đường thẳng  đi qua điểm N.
Gọi d’ là đường thẳng qua A và vng góc với (), nhận véctơ pháp tuyến của () là chỉ phương. Có
phương trình:
�x  1  2t1
�
�y  1  3t1  t1 �R 
�z  1  t
1
�
Hình chiếu vng góc của M trên mặt phẳng () là giao điểm của đường thẳng d’ với mặt phẳng
().Có tọa độ là nghiệm của hệ:
�x  1  2t1
�x  1  2t1
1
9
� 3
�y  1  3t
x  ,y  ,z 
�y  1  3t
�
1
�
�
� 7
7

7
1
��
��
�
z

1

t
2
1
�z  1  t1
�
�
t1  
�
�
�2  1  2t1   3  1  3t1    1  t1   0
7
�2 x  3 y  z  0
�
�3 1 9 �
M '� ; ; �
�7 7 7 �
suy ra
Đường thẳng  cũng là đường thẳng NM’ đi qua
uuuuu
r �24 6 30 �
NM ' � ;  ; �

7 7 � có phương trình:
�7

�
x  3 4t2
�
y  1 t2
�
�
z  3 5t2
�

N  3;1; 3

và có chỉ phương

 t2 �R 

Cách 2: (Xác định hai mặt phẳng có giao là đường thẳng cần tìm)
   là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vng góc với mặt phẳng () , vậy
Gọi
uur uur ur
n
n ; u1 �

A
1;1;1
  đi qua   và có véctơ pháp tuyến   �
�
�  3; 3; 3 , phương trình

mp
x  y  z 1  0
Hình chiếu vng góc cần tìm là giao của () và
�x  y  z  1  0
�
2x  3y  z  0
�
Đặt z  1  t , ta có:

   , thỏa mãn hệ:

� 1 1
y  t
�
�x  y  t  0
�2 x  2 y  2t  0
� 5 5
��
��
�
2x  3 y 1  t  0 � 1 4
�2 x  3 y  1  t  0 �
x  t
� 5 5

19


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình:
� 1

�x  5  4t
�
� 1
�y   t
� 5
�z  1  5t
�
�
Cách 3: (Sử dụng tập hợp điểm)
M 1 t;1;1 t
Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d,
. Hình chiếu d’ của d là tập dợp các điểm hình
 .
chiếu của M trên mặt phẳng





Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình hình chiếu vng góc  của đường thẳng
�
x  1 t
�
d: �
y1
�
z  1 t
�
trên mặt phẳng
Ví dụ 13

:

x 1 y 1 z 1


2
3
1 và mặt phẳng

Trong không gian tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng
 : x  y  z 3  0 .
1.Viết phương trình hình chiếu vng góc d của  trên mặt phẳng ().
x  2 y z 1
l:
 
1
1
2 của đường thẳng 
2.Viết phương trình hình chiếu song song theo phương
trên mặt phẳng ().
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
uur
nP  1;1; 1
+)Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến
.
ur
M 1  1;1; 2 
u1  2;3;1


1
+)Đường thẳng
đi qua
có chỉ phương
.
ur
M  2;1;0 
u  3; 1;1
+)Đường thẳng  2 đi qua 2
có chỉ phương 1
.
   P
+)Quan hệ: Đường thẳng
Đường thẳng  cắt cả 1 và  2 .
2)Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Cách giải:

20


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 14
x 2 y z 3
d:


1
2
2 và mặt phẳng
Trong không gian tọa độ Oxyz. cho đường thẳng

 P :2x  y  z  5  0

1.Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
2.Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳng (P)
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
ur
M

2;0;

3
u


 1; 2; 2  .
+)Đường thẳng d đi qua 1
có chỉ phương 1
r
n  2;1; 1
P
+)Mặt phẳng   có pháp tuyến
.
 P .
+)Quan hệ: Đường thẳng d ' đối xứng với d qua mặt phẳng
 P .
Đường thẳng d cắt mặt phẳng
2)Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Cách giải:

Ví dụ 15
Trong khơng gian tọa độ Oxyz. Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng:
�x  1  2t
�
 : �y 
t
 t �R 
x  3 y 1 z  1
x  2 y 1 z 1
1 :


2 :


�z  2  t
�
2
1
1 và
2
1
1
,
d ,d
 ,
Viết phương trình các đường thẳng 1 2 lần lượt đối xứng với 1 2 qua  .
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
r

M
1;0;

2
u


 2;1;1 .
+) Đường thẳng  đi qua
có chỉ phương ur
M  3;1; 1
u1  2;1;1
+) Đường thẳng 1 đi qua 1
có chỉ phươnguu
.
r
M  2; 1;1
u  2; 1;1
+) Đường thẳng  2 đi qua 1
có chỉ phương 2
.
+) Quan hệ:
1) Quan hệ giữa các đại lượng đã cho:
 và 1 song song với nhau

21


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ và  2 cắt nhau nhau
2) Quan hệ giữa đại lượng cần tìm với đại lượng đã cho

d1 đối xứng với 1 qua đường thẳng  .
d2

đối xứng với 2 qua đường thẳng  .
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm.
Cách giải:
d
1) Xác định đường thẳng 1 .
Cách 1: (Xác định điểm đi qua)
M  3;1; 1 �1 M  1;0; 2  �
Lấy hai điểm 1
.
M
B  x1 ; y1 ; z1 
A1 qua M.
Gọi 1uuuu
là
điểm
đối
xứng
với
r
uuuuur
MB1  x1  1; y1 ; z1  2  M 1M  4; 1; 1
Ta có:
,
B
A
AB
Vì 1 đối xứng với 1 qua I nên I là trung điểm của 1 1 , hay

�x1  1  4
�x1  5
uuuur uuuuur
�
�
MB1  M1M � �y1  1 � �y1  1 � B1  5; 1; 3
�z  2  1 �z  3
�1
�1


d
d
Mặt khác  và 1 song song với nhau nên 1 cũng song song với  , hay 1 có cùng chỉ phương
với  .
�x  5  2t
�
d1 : �y   1  t  t �R 
�z  3  t
d
�
Vậy 1 có phương trình:
Cách 2: (Sử dụng tập hợp điểm)
A  1;0; 2  �
Lấy
K  3  2t;1  t ; 1  t 
K �1
Gọi
, suy ra:
.

K
x
;
y
;
z
d1 là tập hợp các điểm 1  1 1 1  đối xứng với K qua A. Vậy:
4  2t  x1  1
�
�4  2t  x1  1
�x1  5  2t
uuu
r uuuur
�
�
�
��
1  t  y1
KA  AK1 � �1  t  y1
� �y1  1  t
�
�1  t  z  2
�z  3  t
1  t  z1  2
1
�
�
�1
�x  5  2t
�

�y  1  t
�z  3  t
�
hay đường thẳng cần tìm có phương trình:
.

Đăng ngày 04 tháng 3 năm 2011
Lê Hồ Bình

22