Viet phuong trinh duong thang trong khong gian

10) CÁC BÀI TOÁN VỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
Cách giải: Lấy A thuộc
( )
P
và
( )
Q
, tìm
( ) ( )
;
d
Q P
u n n
 
=
 
uur uuur uuur
Bài toán 2:Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng
Cho đường thẳng ( d ) :





+=

+=
+=
tazz
tayy
taxx
30
20
10
và mặt phẳng ( P ) :Ax + By + Cz + D = 0
Cách giải: Để viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( d ) lên mặt
phẳng ( P) ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đường thẳng ( d) đi qua điểm
( )
000
;; zyxM
và có vecto chỉ phương
( )
321
;; aaaa
=
. Mặt phẳng ( P ) có vecto pháp tuyến
( )
CBAn ;;=
Bước 2: Xét vị trí tương đối của (d ) và ( P ). Bằng cách tính
CaBaAana
321
++=
-TH1: Nếu
0
321

=++=
CaBaAana
; thi ( d ) song song ( P). Trong trường hợp này
ta giải như sau:
d M

d’ H
a) Ta tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( P ).
b) Đường thẳng ( d’) đi qua H và song song với ( d) ; đó chính là đường thẳng cần tìm
-TH2:Nếu
0
321
≠++= CaBaAana
; thi ( d ) cắt ( P). Trong trường hợp này ta giải
như sau :
a)Tìm tọa độ giao điểm N của ( d ) và ( P) ;
b)Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên ( P ) .
c) Đường thẳng đi qua hai điểm N và H là đường thẳng cần tìm
d
M

H N d’

Chú ý: Có thể đi tìm mặt phẳng
( )
Q
chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng
( )
P
,

khi đó hình chiếu của d lên
( )
P
là giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua
( )
; ;
A A A
A x y z
, vuông góc với d và nằm trong
mặt phẳng
( )
P
1
Cho đường thẳng ( d ) :





+=
+=
+=
tazz
tayy

taxx
30
20
10
và mặt phẳng ( P ) :Ax + By + Cz + D = 0
Cách giải: Tìm
( )
;
d d
P
u u n
′
 
=
 
uur uur uuur
. Viết ptdt qua A và nhận
d
u
′
uur
làm vecto chỉ phương
Bài toán 4: Cho điểm
( )
; ;
A A A
A x y z
và hai đường thẳng
1 2
àd v d

. Viết phương trình đường thẳng d
đi qua A và cắt cả
1 2
;d d
Cách giải:
- Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
chứa d và
1
d
- Viết phương trình mặt phẳng
( )
Q
chứa d và
2
d
Khi đó giao tuyến của
( )
P
và
( )
Q
là đường thẳng d (sử dụng bài toán 1)
Cách xác định mặt phẳng
( )
P
:
( )
1

;
d
P
n u AM
 
=
 
uuur uur uuuur
, với
1
M d∈
Cách xác định mặt phẳng
( )
Q
:
( )
2
;
d
Q
n u AN
 
=
 
uuur uur uuur
, với
2
N d∈
Bài toán 5: Cho điểm
( )

; ;
A A A
A x y z
và hai đường thẳng
1 2
àd v d
. Viết phương trình đường thẳng d
đi qua A, cắt
1
d
và song song với
2
d
Cách giải: Như bài toán 4
Bài toán 6: Cho điểm
( )
; ;
A A A
A x y z
và hai đường thẳng
1 2
àd v d
. Viết phương trình đường thẳng d
đi qua A, cắt
1
d
và vuông góc với
2
d
Cách giải:

- Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
chứa d và
1
d
- Viết phương trình mặt phẳng
( )
Q
chứa d và vuông góc với
2
d
Khi đó giao tuyến của
( )
P
và
( )
Q
là đường thẳng d (sử dụng bài toán 1)
Cách xác định mặt phẳng
( )
P
:
( )
1
;
d
P
n u AM
 

=
 
uuur uur uuuur
, với
1
M d∈
Cách xác định mặt phẳng
( )
Q
:
( )
2
d
Q
n u=
uuur uur
(vtpt
( )
Q
là vtcp
2
d
)
Bài toán 7: Cho 3 đường thẳng
1 2 3
; ;d d d
. Viết phương trình đường thẳng d song song với
1
d
, cắt

2 3
;d d
Cách giải:
- Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
chứa
2
d
và song song với
1
d
- Viết phương trình mặt phẳng
( )
Q
chứa
3
d
và song song với
1
d
Khi đó giao tuyến của
( )
P
và
( )
Q
là đường thẳng d (sử dụng bài toán 1)
Cách xác định mặt phẳng
( )

P
:
( )
1 2
;
P
n u u
 
=
 
uuur ur uur
, với
2
M d∈
Cách xác định mặt phẳng
( )
Q
:
( )
1 3
;
P
n u u
 
=
 
uuur ur uur
,với
3
N d∈

Bài toán 8: Cho điểm
( )
; ;
A A A
A x y z
, đường thẳng
1
d
, mặt phẳng
( )
α
. Viết phương trình đường
thẳng d đi qua A, cắt
1
d
và song song với
( )
P
2
Cách giải:
- Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
xác định bởi A và
1
d
- Viết phương trình mặt phẳng
( )
Q
qua A và song song

( )
α
Khi đó giao tuyến của
( )
P
và
( )
Q
là đường thẳng d (sử dụng bài toán 1)
Bài toán 9: Cho hai đường thẳng
1 2
;d d
chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của
1 2
;d d
Cách giải:
- d là đường vuông góc chung nên d có vtcp
1 2
;u u u
 
=
 
r ur uur
- Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
đi qua
1 1
M d∈
nhận

( )
1
;
P
n u u
 
=
 
uuur r ur
- Viết phương trình mặt phẳng
( )
Q
đi qua
2 2
M d∈
nhận
( )
2
;
Q
n u u
 
=
 
uuur r uur
Khi đó giao tuyến của
( )
P
và
( )

Q
là đường thẳng d (sử dụng bài toán 1)
PHẦN BÀI TẬP :
I ) CÁC BÀI TẬP VỀ TỌA ĐỘ
BÀI 1 > Trong không gian tọa độ Oxyz ; cho :
kjiu 32
+−=
;
kjv 32
+=
;
jir 2
−=
1) Tìm tọa độ các vecto đó
2) Tính các tích vô hướng :
vu.
;
ru.
;
vr.
3) Tính cosin của các góc :
( )
vu;
;
( )
ru;
;
( )
vr;
4) Tính tọa độ các vecto:

rvua
+−=
32
;
rvub 2
+−=
5) Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( )
1;cos;cos;cos
222
=++
kujuiu
6) Tìm tọa độ vecto
c
; để sao cho :
rvuc
+=+
32
BÀI 2 > Trong không gian tọa độ Oxyz ; cho điểm M ( 1;2 ;3)
1.Tìm tọa độ các hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục tọa độ và các mặt phẳng
tọa độ
2.Tìm tọa độ các điểm đối xứng của điểm M qua các trục tọa độ
3.Tính các khoảng cách từ điểm M đến các trục tọa độ và các mặt phẳng tọa độ
BÀI 3 > Trong không gian tọa độ Oxyz ; cho điểm các điểm: A ( -3;-2 ;0) ;
B (3;-3;1) ; C ( 5;0;2)
1.Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành . Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành đó
2.Tính góc giữa hai vecto:
AC
và
BD

3
3. Tính diện tích của hình bình ABCD
BÀI 4 > Trong không gian tọa độ Oxyz . Tìm
1.Tọa độ điểm M thuộc trục Ox; sao cho M cách đều hai điểm A ( 1;2;-3) và B ( 0;2;-1)
2.Tọa độ điểm N thuộc trục Oy; sao cho tam giác NOC vuông tại O; với C(1;2;-3)
BÀI 5 > Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 1;0;0) ; B ( 0;0;1) ; C (2;1;1)
1) Chứng minh rằng ba điểm A; B ; C là ba đỉnh của một tam giác
2) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
3) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẽ từ đỉnh A
4) Tính các góc của tam giác ABC
5) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC và tính các khoảng cách từ G đến các đỉnh A;
B ; C của tam giác ABC
BÀI 6 >
Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A( 1;0;0) ; B (0;1;0) ; C (0;0;1) ; D ( -2;1;-2)
1) Chứng minh rằng bốn điểm A; B ; C ; D là bốn đỉnh của tứ diện
2)Tính các góc tạo bỡi các cạnh đối diện của tứ diện
3) Tính thể tích của tứ diện và độ dài đường cao của tứ diện kẽ từ đỉnh A
BÀI 7 > Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A( 5;3;-1) ; B (2;3;-4) ; C (1;2;0) ; D ( 3;1;-
2)
1) Chứng minh rằng bốn điểm A; B ; C ;D không đồng phẳng
2) Chúng minh các cạnh đối diện của tứ diện ABCD vuông góc với nhau
3) Chứng minh hình chóp D.ABC là hình chóp đều
4) Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao của hình chóp D.ABC
5) Tính thể tích hình chóp D.ABC
II ) CÁC BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU
Bài 1:
Xác định tọa độ của tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a.
0128
222

=++−++
yxzyx
b.
04284
222
=−−++++
zyxzyx
c.
07524
222
=−−++−−− zyxzyx
d.
03936333
222
=+−+−++ zyxzyx
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu:
a. Tâm I(2;1;-1), bán kính R = 4.
b. Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1).
c. Hai đầu đường kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7)
d. Đi qua bốn điểm (0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1)
e. Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x.
BÀI 3 Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
1) Nhận MN làm đường kính ; với M ( 1;2;5) và N (3;0;1)
2) Có tâm I ( 1;2;0) và đi qua điểm A ( 1;0;-3 )
3) Có bán kính bằng 2 ; tiếp xúc mặt phẳng ( Oyz) và có tâm nằm trên trục Ox
4) Có tâm I ( 1;2;3) và tiếp xúc với mạt phẳng ( Oyz )
4
5) Đi qua ba điểm A ( 0;8;0 ) ; B ( 4;6;2) ; C ( 0;12;4) và có tâm nằm trên mặt phẳng ( Oyz )
BÀI 4 Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau :
1)

0128
222
=++−++
yxzyx
2)
021536333
222
=−+−+++
zyxzyx
Bài 5.Tìm tâm và bán kính mặt cầu
a)
2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 9x y z− + + + − =
b)
2 2 2
25
4 5 3 0
4
x y z x y z+ + − + + + =
Bài 6.Cho A(1;3;-7), B(5;-1;1) .
a)Lập phương trình mặt cầu tâm A bán kính AB
b)Lập phương trình mặt cầu đường kính AB
c)Lập phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mặt phẳng Oxy
Bài 7.Cho A(1;1;1) ,B(1;2;1) ,C(1;1;2) , D(2;2;1)
a)Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D
b)Tìm hình chiếu của tâm mặt cầu ở câu a) lên các mp Oxy, Oyz
Bài 8. Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên
mp Oxy
Bài 9. Cho A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)
a)Chứng tỏ rằng ABCD là một tứ diện

b)Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
c)Viết phương trình mặt cầu cắt mp(ABC) theo thiết diện là một đường tròn có bán kính lớn nhất.
Bài 10. Chứng tỏ rằng phương trình
2 2 2 2
4 2 4 4 0x y z mx my z m m+ + + − + + + =
luôn là phương
trình của một mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
Bài 11. Chứng tỏ rằng phương trình
2 2 2 2
2 os . 2sin . 4 4 4sin 0x y z c x y z
α α α
+ + + − + − − =
luôn là
phương trình của một mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là lớn nhất.
III ) CÁC BÀI TẬP VỀ MẶT PHẲNG
BÀI 1 > Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:
1) Đi qua ba điểm : A ( 1;2;0) ; B ( -2;3;1) ; C (0;0;1)
2) Đi qua hai điểm A (1;-1;2) và B ( 0;1;0) và song song với trục Oz
3) Đi qua điểm A ( 3;2;-1) và song song với mặt phẳng ( P ) : x -5y +z = 0
4) Đi qua hai điểm A ( 0;1;1) và B (-1; 0; 2)và vuông góc với mặt phẳng
( P ):x –y + z+ 1 = 0
5) Đi qua các điểm là hình chiếu vuông góc của điểm M ( 1; 2; 3 )lên các trục tọa độ
6) Song song với mặt phẳng ( Q ) : 4x + 3y -12z + 1 = 0vaf tiếp xúc với mặt cầu
( S ) :
02642
222
=−−−−++
zyxzyx
BÀI 2 >
1) Tìm điểm M trên trục Oz ; sao cho cách đều điểm A (2;3;4 ) và mặt phẳng ( R):

2x +3y +z - 17 = 0
2) M cách đều hai mặt phẳng x +y –z +1 = 0 và x-y+ z + 5 = 0
Bài 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt
n
r
biết
a. Điểm
( ) ( )
M 3;1;1 , n 1;1;2= −
r
b.
( ) ( )
M 2;7;0 , n 3;0;1− =
r
c,
( ) ( )
M 4; 1; 2 , n 0;1;3− − =
r
d,
( ) ( )
M 2;1; 2 , n 1;0;0− =
r
Bài 2:
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2)
a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
5
b. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
c. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD.
d. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC)
Bài 3: Lập phương trình mp

( )
α
đi qua điểm M và song song với mp
( )
β
biết:
a.
( ) ( ) ( )
M 2;1;5 , Oxyβ =
b.
( ) ( )
M 1;1;0 , :x 2y z 10 0− β − + − =
c.
( ) ( )
M 1; 2;1 , : 2x y 3 0− β − + =
d.
( ) ( )
M 3;6; 5 , : x z 1 0− β − + − =
Bài 4: Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và
a. Song song với các trục 0x và 0y.
b. Song song với các trục 0x,0z.
c. Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 6: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và :
a. Cùng phương với trục 0x.
b. Cùng phương với trục 0y.
c. Cùng phương với trục 0z.
Bài 7: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :
a. (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận
);4,3,2(n
làm VTPT.

b. (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
c. (P) đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ
Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - z - 6 = 0
a. Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ O và song song với mp (P).
b. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P). ( TNPT năm 1993)
Bài 9*:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z +5 = 0 và (Q): 2x – z = 0
a.Chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau
b.Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt p (P)và (Q) và đi qua A(-
1;2;3).
c.Lập phương trình mặt phẳng (
β
) qua giao tuyến của (P) và (Q) và song song với Oz.
d.Lập phương trình mặt phẳng (
γ
) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với (P) và (Q).
Bài 10: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a. Đi qua hai điểm A(0;-1;4) và có cặp VTCP là
( )
3;2;1a
r
và
( )
3;0;1b −
r
b. Đi qua hai điểm B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và cùng phương với trục 0x.
Bài 11: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a. Viết phương trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói CD.
Bài 12: Viết phương trình tổng quát của (P)

a. Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b.
Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0
c. Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) ,
d. Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3)
Bài 15: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) trong không gian 0xyz
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB.
b. Viết phương trình mp(Q) qua A vuông góc (P) và vuông góc với (y0z)
c. Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mp(P).
Bài 16: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):2x + ky + 3z – 5=0 và (Q): mx - 6y - 6z + 2=
0
a. Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau, lúc đó hãy tính
khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
b. Trong trường hợp k = m = 0 gọi (d) là giao tuyến của (P) và (Q)
Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.
a. Chứng minh rằng mp(AB’D’) song song mp(BC’D)
6
b. Tính khoảng cách giửa hai mặt phẳng trên.
c. Chứng minh rằng A’C vuông góc (BB’D’D)
Bài 18.Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a)Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ
(1; 1;5)n −
r
làm vectơ pháp tuyến
b)Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm trong mp đó
là
(1;2; 1), (2; 1;3)a b− −
r
r
c)Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB

d)Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e)Viết phương trình mp (ABC)
Bài 19. Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)
a)Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC)
b)Viết phương trình mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- 2 = 0
c)Viết phương trình mp qua hai điểm A , B và vuông góc với mp (Q):2x- y+2z- 2 = 0
d)Viết phương trình mp qua A, song song với Oy và vuông góc với mp (R):3x – y-3z-1=0
e)Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz
Bài 20. Viết phương trình mp đi qua M(2;1;4) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A,B, C sao
cho
OA = OB = OC
Bài 21.Viết phương trình mp đi qua M(2;2;2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A,B,C sao cho thể
tích tứ diện OABC nhỏ nhất .
Bài 22.Viết phương trình mp đi qua M(1;1;1) cắt các tia Ox, Oy,Oz lần lược tại các điểm A,B,C sao
cho tam giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC.
Bài 23.Cho tứ diện ABCD ,biết rằng A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1).
a)Viết phương trình mp chứa A và song song với mp (ABC)
b)Viết phương trình mp cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó.
Bài 24. Cho mp(P):2x- y+2z- 2 = 0 và hai điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4).
a)Tính khoảng cách từ A đến mp (P)
b)viết phương trình mp chứa hai điểm A,B và tạo với mp (P ) một góc có số đo lớn nhất.
c)Viết phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mp (P)
Bài 25.Cho ba mặt phẳng
( )
( )
( )
: 2 2 1 0
: 2 1 0
: 2 2 3 0
x y z

x y z
x y z
α
β
γ
− − − =
− + − =
− + + − =
a)Trong ba mặt phẳng đó mp nào song song với mp nào?
b)Tìm quỹ tích các điểm cách đều
( )
α
và
( )
γ
c)Tính khoảng cách giữa hai mp
( )
α
và
( )
γ
d)Tìm quỹ tích các điểm cách
( )
β
một khoảng bằng 1
e)Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Ox và tiếp xúc với hai mp
( )
α
và
( )

γ
Bài 26. Cho hai mặt phẳng
( )
( )
: 2 2 1 0
: 2 1 0
x y z
x y z
α
β
− − − =
− + − =
a)Tính cosin góc giữa hai mp đó
b)Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc Oy tiếp xúc với cả hai mp đó.
c)Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mp đó và song song với trục Ox
Bài 27. Cho mặt phẳng (P):2x- y+2z- 3 = 0 và mặt cầu (C ):
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 25x y z− + + + − =
a)Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) và mặt cầu (C ) cắt nhau. Tìm bán kính của đường tròn
giao tuyến
b)Lập phương trình các tiếp diện của mặt cầu song song với mặt phẳng (P)
7
Bài 28. Cho hai mặt phẳng
( )
: 2 2 5 0x y z
α
− + − =
và mặt cầu (C)
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 25x y z− + + + − =

a)Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu song song với Ox và vuông góc với
( )
α
b)Tính góc giưa mp
( )
α
với Ox
c)Lập phương trình mp đi qua hai A(1;0;1) điểm B(1;-2;2) và hợp với
( )
α
một góc 60
0
Bài 29. Cho bốn điểm A(1;1;2), B(1;2;1), C(2;1;1), D(1;1;-1)
a)Viết phương trình mp ABC.
b)Tính góc cosin giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD)
Bài 30. Viết phương trình mp đi qua điểm M(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng
x- y+ z -4= 0 và 3x- y + z -1= 0
Bài 31. Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng x+2 z -4= 0 và x+ y - z + 3= 0
đồng thời song song với mặt phẳng x+ y+ z = 0
Bài 32. Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng3 x-y+ z -2= 0 và x+4 y -5= 0
đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x- y+ 7 = 0
Bài 33. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2.Gọi I,J ,K lần lược là trung điểm
các cạnh BB’ , C’D’ và D’A’.
a) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (IJK) vuông góc với mặt phẳng (CC’K)
b)Tính góc giữa hai mặt phẳng (JAC) và (IAC’)
c)Tính khoảng cách từ I đến mp(AJK)
Bài 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB= SA= 2a. AD= a.Đặt hệ trục
Oxyz sao cho các tia Ox, Oy ,Oz lần lược trùng với các tia AB,AD,AS.
a)Từ điểm C vẽ tia CE cùng hướng với tia AS. Tìm tọa độ của E.
b)Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).

c)Chứng tỏ rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
d)Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)
e)Tính thể tích hình chóp S.ABCD
Bài 35. Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC.D là điểm đối xứng với A qua
I.Dựng đoạn SD =
6
2
a
vuông góc với mp (ABC).Chứng minh rằng
a)
( ) ( )mp SAB mp SAC⊥
b)
( ) ( )mp SBC mp SAD⊥
c)Tính thể tích hình chóp S.ABC
IV CÁC BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Lập phương trình tham số và chính của đường thẳng (d) trong các trường hợp sau :
a. (d) đi qua điểm M(1;0;1) và nhận
(3;2;3)a
r
làm VTCP
b. (d) đi qua 2 điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)
c. (d) đi qua A(2; -1; 3) và vuông góc mặt phẳng (P): 3x + 2y – z + 1 = 0
Bài 2 :
Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng (d) có
phương trình:
( )
R t,
21
22: ∈






+=
+=
−=
tz
ty
tx
d
Bài 3: Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng (d) trong trường hợp sau:
a. Đi qua hai điểm A(1;3;1) và B(4;1;2).
b. Đi qua M(2;-1;1) vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x – z + 1= 0. Tìm tọa độ giao điểm của
(d) và (P).
8
c. (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) : 2 4 0 , ( ): 2 2 0P x y z Q x y z
+ − + = − + + =
Bài 4: Cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có phương trình cho bởi :
( )
1
1
2
1
1

2
:
1
−
=
−
=
− zyx
d

( ) ( )
t
31
2
21
:
2
R
tz
ty
tx
d ∈





+−=
+=
+=

a) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau. Xác định toạ độ giao điểm của nó.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
).
Bài 5: Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P), tìm giao điểm nếu có.
a)
( )
R t,
2
3
1
: ∈





+=
−=
+=
tz
ty
tx
d
(P): x-y+z+3=0
b)
( )

R t,
1
9
412
: ∈





+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
(P): y+4z+17=0
Bài 6: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng d:





=
+=
+=
tz
ty
tx

21
2
a. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d
b. Tìm tọa độ điể A’ đối xứng với A qua đường thẳng d.
Bài 7: Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng
01:)( =−++ zyx
α
a. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên
)(
α
b. Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng
)(
α
c. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
)(
α

Bài 8: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0) , B(0;-7;3) , C(-2;1;-1) , D(3;2;6).
a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b. Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC).
c. Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC).
d. Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB
Bài 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.
a. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C).
b. Chứng tỏ rằng AC’ vuông góc mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C).
Bài 10.Viết phương trình tham số của đường thẳng
a)Đi qua A(1;2;-1) và có vectơ chỉ phương là
(1; 2;1)a = −
r
b) đi qua hai điểm I(-1;2;1), J(1;-4;3).

c)Đi qua A và song song với đường thẳng
1 2 1
2 1 3
x y z− − +
= =
−

d)Đi qua M(1;2;4) và vuông góc với mặt phẳng 3x- y + z -1= 0
Bài 11. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng
a)Qua A(3;-1;2) và song song với đường thẳng
1 2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

9
b)Qua A và song song với hai mặt phẳng x+2 z -4= 0 ; x+ y - z + 3= 0
c)Qua M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng (d
1
):
1 2
3

x t
y t
z t
= −


= +


= −

và (d
2
):
1 2 1
2 1 3
x y z− − +
= =
−
Bài 12. Cho tứ diện ABCD ,biết rằng A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)
a)Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD).
b)Viết phương trình đường thẳng qua I(1;5;-2) và vuông góc với cả hai đường thẳng
AB,CD.
Bài 13. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d):
1 2 1
2 1 3
x y z− − +
= =
−
lên các

mặt phẳng tọa độ
Bài 14.Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (d)
1 2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

lên mặt phẳng (P):x+ y - z +
3= 0
Bài 15.Viết phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 2 1 0, : 2 1 0x y z x y z
α β
− − − = − + − =

V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG
-GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
Bài 1.Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
a) (d)
1 7 3
2 1 4
x y z− − −

= =
và (d’)
6 1 2
3 2 1
x y z− + +
= =
−

b) (d)
1 2
2 2 1
x y z− −
= =
−
và (d’)
8 4
2 3 1
x y z+ −
= =
−

c) (d)
2 1
4 6 8
x y z− +
= =
− −
và (d’)
7 2
6 9 12

x y z− −
= =

d) (d)
1 2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

và (d’) là giao tuyến củahai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 3 3 9 0, : 2 3 0x y z x y z
α β
− − − = − + + =
Bài 2.Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.Tìm tọa độ giao điểm của chúng nếu có.
a)(d)
12 9 1
4 3 1
x y z− − −
= =
và
( )

:3 5 2 0x y z
α
+ − − =
b)(d)
1 3
2 4 3
x y z+ −
= =
và
( )
:3 3 2 5 0x y z
α
− + − =
c)(d)
9 1 3
8 2 3
x y z− − −
= =
và
( )
: 2 4 1 0x y z
α
+ − + =
Bài 3. Tính góc giữa các cặp đường thẳng ở bài 7.
Bài 4.Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng ở bài 7(nếu chúng chéo nhau hoặt song song
nhau)
Bài 5.Tính góc giữa cặp đường thẳng và mặt phẳng ở bài 8.
Bài 6.Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;3) đến các đường thẳng
10
a)(d

1
):
12 9 1
4 3 1
x y z− − −
= =
b) (d
2
):
1 2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

c)(d
3
) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 3 3 9 0, : 2 3 0x y z x y z
α β
− − − = − + + =
Bài 7. Cho đường thẳng (d)

1 1 3
1 2 1
x y z− − −
= =
và
( )
: 2 4 1 0x y z
α
+ − + =
.
a)Tìm giao điểm giữa (d) và
( )
α
b)Viết phương trình mp chứa (d) và hợp với
( )
α
một góc có số đo lớn nhất
c)Viết phương trình mp chứa (d) và hợp với
( )
α
một góc có số đo nhỏ nhất
Bài 9.Trong không gian cho bốn đường thẳng
(d
1
):
1 2
1 2 2
x y z− −
= =
−

, (d
2
):
2 2
2 4 4
x y z− −
= =
−

(d
3
):
1
2 1 1
x y z −
= =
, (d
4
) :
2 1
2 2 1
x y z− −
= =
−

a)Chứng tỏ rằng (d
1
) và (d
2
) cùng nằm trên một mặt phẳng.Viết phương trình tổng quát của

mặt phẳng đó
b)Chứng tỏ rằng tồn tại một đường thẳng (d) cắt cả bốn đường thẳng đã cho.
c)Tính côsin góc giữa (d
1
) và (d
3
)
Bài 10. Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0) C(2;-3;2) và mp
( )
: 2 0x y z
α
+ + − =
a)Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và BC
b)Tìm trên mp
( )
α
điểm cách đều 3 điểm A,B,C
c)Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng AB lên mp
( )
α
Bài 11. Cho tứ diện ABCD.Biết rằng A(1;1;2), B(1;2;1), C(2;1;1), D(1;1;-1)
a)Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD
b)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
c)Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên mp (BDC)
d) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng DB
e)Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp (BCD)
Bài 12.Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M(2;-1;1) qua mp
( )
: 2 0x y z
α

+ + − =
Bài 13.Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A(2;-1;5) quađường thẳng
1 2 3
1 2 3
x y z− − −
= =
Bài 14. Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5) và mp
( )
: 2 0x y z
α
+ + − =
Tìm điểm M trên mp
( )
α
sao cho
MA+MB nhỏ nhất
Bài 15. Cho A(2;1;1) , B(1;2;-1) và mp
( )
: 2 4 0x y z
α
+ + + =
.Tìm điểm M trên mp
( )
α
sao cho
MA MB−
lớn nhất
Bài 16.Cho A(2;1;1) , B(1;2;-1) và mp
( )
: 2 4 0x y z

α
+ + + =
.Tìm điểm M trên mp
( )
α
sao cho
MA MB+
uuur uuur
nhỏ nhất .
Bài 17. Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5) và mp
( )
: 2 0x y z
α
+ + − =
Tìm điểm M trên mp
( )
α
sao cho
MA
2
+MB
2
nhỏ nhất
Bài 18. Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5),C(-1;-2;-3) và mp
( )
: 2 0x y z
α
+ + − =
Tìm điểm M trên mp
( )

α

sao cho MA
2
+MB
2
+MC
2
nhỏ nhất
11
Bài 19.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5),C(-1;-2;-3), D(1;5;1) và mp
( )
: 1 0x y z
α
+ + + =
Tìm điểm M trên
mp
( )
α
sao cho MA
2
+MB
2
+MC
2
+MD
2
nhỏ nhất
Bài 20.Cho ba đường thẳng (d
1

):
1 2 2
1 4 3
x y z− + −
= =
,(d
2
):
3
1
5
x t
y t
z t
=


= −


= +

Và (d
3
) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 4 3 0, : 2 1 0x y z x y z
α β
− + − = − − + =
Viết phương trình song song với (d

1
) cắt cả hai đường thẳng (d
2
) và (d
3
)
Bài 21.Cho hai đường thẳng (d
1
):
1 2
3
x t
y t
z t
= +


=


= −

Và (d
2
) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 1 0, : 2 3 0x y z x z
α β
+ + − = + − =
Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;-1;1) cắt cả hai đường thẳng (d

1
) và (d
2
)
Bài 22.Viết phương trình của đường thẳng nằm trong mp :y+2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng.
(d
1
):
1
4
x t
y t
z t
= −


=


=

(d
2
):
2
4 2
1
x t
y t
z

= −


= +


=

Bài 23. Cho hai đường thẳng (d):
1 1 2
2 3 1
x y z+ − −
= =
và (d’):
2 2
1 5 2
x y z− +
= =
−
.
a)Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chéo nhau.Tính khoảng cách giữa chúng
b)Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng
c)Tính góc giữa (d
1
) và (d
2
)
Bài 24. Cho hai đường thẳng (d):
1 2 3
1 2 3

x y z− − −
= =
và (d’):
2
1
x t
y t
z t
= −


= − +


=

.
a)Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chéo nhau.Tính khoảng cách giữa chúng
b)Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng
c)Tính góc giữa (d
1
) và (d
2
)
Bài 25.Cho hai đường thẳng (d
1
):
1 3
2
x t

y t
z t
= +


= − +


=

Và (d
2
) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 0, : 1 0x y z x
α β
+ − + = + =
Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0;1;1) vuông góc với đường thẳng (d
1
) và cắt (d
2
)
Bài 26.Cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 4 1 0, : 0x y x z
α β
+ − = + =
.Viết
phương trình đường thẳng đi qua điểm M(0;1;-1) vuông góc và cắt đường thẳng (d)
Bài 27. Cho hai điểm A(1;1;-5), B(0;1;-7) và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng

( ) ( )
: 1, : 1y x z
α β
= + = −
Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho chu vi tam giác AMB nhỏ
nhất.
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TỔNG HỢP
12
Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4).
1. Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phương trình tham số của đương thẳng AB.
2. Gọi M là điểm sao cho
MCMB 2−=
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông
góc với đường thẳng BC. (Đề thi tốt nghiệp 2006)
Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) và mặt phẳng
)(
α
có phương trình x + 2y
– 2z + 6 = 0.
1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là góc tọa độ O và tiếp xúc mặt phẳng
)(
α
.
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng (
∆
) đi qua điểm E và vuông góc mặt phẳng
)(
α
. (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 1)
Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2), N(3; 1; 5) và đường thẳng (d) có

phương trình





−=
+−=
+=
tz
ty
tx
6
3
21
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d).
2. Viết phương trình tham số của đương thẳng đi qua hai điểm M và N.
(Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 2)
Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1)
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
2. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. (Đề thi tốt nghiệp 2008)
Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình: (S):
( ) ( ) ( )
36221
222
=−+−+− zyx
và (P): x + 2y + 2z +18 = 0.
1. Xác định tọa độ tâm T và bán kính mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng
(P).
2. Viết phương trình tham số của đương thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm tọa độ

giao điểm của d và (P). (Đề thi tốt nghiệp 2009)
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(2,-2,0) , N(-4;4;2) và mặt phẳng (P) có phương
trình 6y+8z+1=0
1.Viết phương trình tham số của đường thằng d đi qua hai điềm M và N.
2.Lập phương trình mặt cầu (S) tâm M nhận mặt phẳng (P) là mặt phẳng tiếp diện.
13
Bài 7: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;1;2), B(0;-1;3), C(3;1;4)
1. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua ba điểm A,B,C
2 Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và có đường kính bằng 4
Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm
( )
2; 1;0A −
và đường thẳng d:
1 2
1
2 3
x t
y t
z t
= +


= − −


= +

1. Viết phương trình mặt phẳng

( )
P
đi qua A và vuông góc với d.
2. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d.
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 2 ; -1 ; 1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; 2 ;0).
1. Chứng minh A,B,C không thẳng hàng .Viết phương trình mp(ABC).
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.
Bài 10: Trong không gian Oxyz cho các điểm A( 1 ; -3 ; -1), B( -2; 1 ; 3)
1/ Viết phương trình đường thẳng AB
2/Viết phương trình mặt phẳng qua gốc toạ độ và vuông góc AB
Bài 11: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;2;3) và đường thẳng d có phương trình
1 1 1
2 1 2
x y z− + −
= =
.
1) Viết phương trình mặt phẳng
α
qua A và vuông góc d.
2) Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng
α
.
Bài 12: Trong không gian Oxyz , cho A(2 ;-3;1) và mp (Q) : x + 3y - z + 2 = 0 .
1
. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua A và vuông góc với (Q).
2. Tìm tọa độ H hình chiếu của A trên (Q).Suy ra tọa độ A' đối xứng của A qua (Q).
Bài 13: Trong không gian
Oxyz
, cho 4 điểm
( ) ( ) ( )

3;2;0 , 0;2;1 , 1;1;2 , (3; 2; 2)A B C D− − −
.
1. Viết phương trình mặt phẳng
( )ABC
. Suy ra
DABC
là một tứ diện.
2. Viết phương trình mặt cầu
( )S
tâm
D
và tiếp xúc mặt phẳng
( )ABC
.
Bài 14: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3)
1. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua M và song song với đường thẳng
2 3 4 0x y z− + − =
.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (
α
).
Bài 15: Trong không gian Oxyz, cho điểm
( )
2; 1;0A −
và đường thẳng d:
1 2
1
2 3

x t
y t
z t
= +


= − −


= +

1. Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
đi qua A và vuông góc với d.
14
2. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
Bài 16:
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
x 1 y 3 z 2
d :
1 2 2
+ + +
= =
và điểm A(3;2;0)
1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên d
2. Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua đường thẳng d.
Bài 17:
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3)
1. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng qua ba điểm:A, B, C

2. Gọi (d) là đường thẳng qua C và vuông góc mặt phẳng (ABC). Tìm tọa độ giao điểm của
đường thẳng (d) và mặt phẳng (Oxy).
Bài 18:
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (
α
) : 2x + y + z – 9 = 0 và đường thẳng
∆
:
2 4
1
3
x t
y t
z t
= − +


= +


=

( t là tham số)
1. Tìm giao điểm I của
∆
và (
α
).
2. Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với (
α

).
Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) và đường thẳng (d)
có phương trình
x 1 2t
y 3 t
z 6 t
= +


= − +


= −

1. Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d).
2.
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm hai điểm M và N.
CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2008
Bài 1 : A – 2002 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc, cho 2 đường
thẳng :
1 2
1
2
: ; : 2
2 3 4
1 2
x t
x y z
d d y t
z t

= +

+

= = = +


= +

1) Viết pt mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d
1
và song song với đường thẳng d
2
15
2) Cho điểm M (2 ; 1 ; 4) .Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng d
2
sao cho đoạn
MH có độ dài nhỏ nhất.
Đáp số : 1) ( P) : 2x – z = 0 2) H ( 2 ; 3 ; 3 )
Bài 2 : B – 2002 : Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a
1)Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng A
1

B và B
1
D.
2) Gọi M ,N , P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB
1
, CD , A
1
D
1
.
Tính góc giữa 2 đường thẳng MP và C
1
N.
Đáp số : 1)
1 1
6
( , )
6
a
d A B B D =
2) Góc giữa MP và C
1
N bằng 90
0

Bài 3 : D – 2002 :
1) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(ABC), AC = AD =
4cm,
AB = 3 cm , BC = 5 cm . Tính khoảng cách từ điểm A tới mp (BCD).
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho đường thẳng

mp (P ) : 2x – y + z = 0 và đường thẳng d
m
là giao tuyến của 2 mp ( Q ) , ( R ) có
phương trình là :
(Q):(2m +1)x +(1–m )y + m – 1 = 0 ; ( R ) : mx + ( 2m + 1 )z + 4m + 2 = 0
Xác định m để đường thẳng d
m
song song với mp ( P ) .
Đáp số : 1)
6 34
( ,( ))
17
d A DBC =
2) m = - 1 / 2
Bài 4 : A – 2003 :
1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc phẳng nhị diện
[ ]
, ' ,B A C D
.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ , B ( a ; 0 ; 0 ) , D ( 0 ; a ; 0 ) , A’ ( 0; 0 ; b
) , với a và b > 0. Gọi M là trung điểm cạnh CC’ .
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
b) Xác định tỷ số a / b để hai mp ( A’BD ) và ( MBD ) vuông góc với nhau.
Đáp số : 1) Số đo của góc phẳng nhị diện
[ ]
, ' ,B A C D
bằng 120
0
.

2) a)
2
'
4
BDA M
a b
V =
b)
1
a
b
=
Bài 5 : B – 2003 :
1) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi
cạnh a, góc BAD bằng 60
0
. Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh
CC’. Chứng minh rằng 4 điểm B’,M , D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ
dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
16
2) Trong khụng gian vi h ta cỏc vuụng gúc Oxyz , cho 2 im A ( 2 ; 0
; 0 ) , B ( 0 ; 0 ; 8 ) v im C sao cho
(0;6;0)AC =
uuur
. Tớnh khong cỏch t trung im
I ca BC n ng thng OA.
ỏp s:1)T giỏc BMDN l hbh nờn 4 im B , M , D , N ng phng. 2) d ( I ,
OA ) = 5.
Bi 6 : D 2003 : Trong khụng gian vi h ta cỏc vuụng gúc Oxyz , cho
ng thng d

k
l giao tuyn ca 2 mt phng ( P) v ( Q) cú phng trỡnh:
( ) : 3 2 0;( ) : 1 0P x ky z Q kx y z+ + = + + =
Tỡm k ng thng d
k
vuụng gúc vi mt phng ( R) : x y 2z + 5 = 0.
ỏp s : 1 vtcp ca d
k
l
2
1
2
, (3 1; 1; 1 3 ) 0, . 1u n n k k k k k

= = =

r r uur r
Bi 7 : A 2004 : Trong khụng gian vi h ta cỏc vuụng gúc Oxyz , cho hỡnh
chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi , AC ct BD ti gc ta O.Bit A(2 ;
0;0),B(0;1;0),
S ( 0 ; 0 ;
2 2
).Gi M l trung im ca cnh SC.
a) Tớnh gúc v khong cỏch gia 2 ng thng SA v BM.
b) Gi s ng thng SD ct mt phng (ABM) ti im N. Tớnh th tớch khi chúp
S.ABMN
ỏp s : a) Gúc gia SA v BM bng 30
0
. Khong cỏch gia SA v BM bng :
2 6 / 3

b)
2
ABMB SABM SAMN
V V V= + =
Bi 8 : B 2004 : Trong khụng gian vi h ta cỏc vuụng gúc Oxyz ,
cho im A ( - 4 ; - 2 ; 4 ) v ng thng d :
3 2
1
1 4
x t
y t
z t
= +


=


= +

.
Vit phng trỡnh chớnh tc ca ng thng d i qua A , ct v vuụng gúc vi
ng thn d.
ỏp s :
4 2 4
':
3 2 1
x y z
d
+ + +

= =

Bi 9 :D 2004 :
1)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C .
Biết A(a; 0; 0) B(-a; 0; 0) C(0; 1; 0) B (-a; 0; b) a > 0; b > 0
a)Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng B C và AC
b)Cho a, b thay đổi nhng luôn thoả mãn a + b = 1. Tìm a, b để khoảng cách
giữa hai đờng thẳng A C và AC lớn nhất
17
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1) B(1; 0; 0), C(1; 1;
1) và mặt phẳng (P): x + y + z - 2 = 0. Viết phơng trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B,
C và có tâm thuộc mặt phẳng (P)
ỏp s : 1) a)
1 1
2 2
( , )
ab
d BC AC
a b
=
+

b) p dng BT Cosi ta cú k/c gia 2 t trờn ln nht bng
2
khi a = b = 2.
2) Phng trỡnh mt cu :
2 2 2
( 1) ( 1) 1x y z + + =

Bài 10 - A 2005 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đờng thẳng

d:
1 3 3
1 2 1
x y z +
= =

và mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
a.Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2
b.Tìm toạ độ giao điểm A của đờng thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phơng trình tham
số của đờng thẳng

nằm trong mặt phẳng (P), biết

đi qua A và vuông góc với d.
ỏp s : a) Cú 2 im : I ( - 3 ; 5 ; 7 ) , I ( 3 ; - 7 ; 1 )
b) Phng trỡnh tham s ca
: 1
4
x t
y
z t
=


=


= +

Bài 11 - B 2005

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
với
A(0; -3; 0) , B(4; 0; 0) , C(0; 3; 0) , B
1
(4; 0; 4)
a.Tìm toạ độ các đỉnh A
1
, C
1
. Viết phơng trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với
mặt phẳng (BCC
1
B
1
).
b.Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phơng trình mặt phẳng P) đi qua hai điểm A,
M và song song với BC
1
. mặt phẳng (P) cắt đờng thẳng A
1
C

1
tại điểm N. Tính độ dài
đoạn MN.
ỏp s : a) A
1
( 0 ; - 3 ; 4 ) , C
1
( 0 ; 3 ; 4 ) , Pt mt cu :
2 2 2
576
( 3)
25
x y z+ + + =

b) Pt mp ( P): x + 4y 2z + 12 = 0, Ta im N ( 0 ; - 1 ; 4) => MN =
17
2
Bài 12. D 2005
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng: d
1
:
1 2 1
3 1 2
x y z + +
= =


và và
2
d

là giao tuyến hai mặt phẳng
( ) : 2 0 ; ( ): 3 12 0x y z x y

+ = + =
a.Chứng minh rằng: d
1
và d
2
song song với nhau. Viết phơng trình mặt phẳng
(P) chứa cả hai đờng thẳng d
1
và d
2
18
b.Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đờng thẳng d
1
, d
2
lần lợt tại các điểm A, B.
Tính diện tích

OAB (O là gốc toạ độ)
ỏp s : a) Pt m p ( P) : 15x + 11y 17z 10 = 0.
b) Ta cú A ( - 5 ; 0 ; 5 ) , B ( 12 ; 0 10 ) => S
OAB
= 5
Bài 13- A 2006
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hình lập phơng ABCD.A B C D
với
A(0; 0; 0) , B(1; 0; 0), D(0; 1; 0) , A (0; 0; 1). G i M và N lần lợt là trung điểm của

AB và CD.
a.Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng A C và MN.
b.Viết phơng trình mặt phẳng chứa A C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc

biết
cos

=
1
6

ỏp s : a)
2
( ' , )
4
d A C MN =
b) Gi mp ( Q ) cn tỡm l : ax + by + cz + d = 0 (
2 2 2
0a b c+ + >
).
Vỡ ( Q) cha A v C nờn : c + d = 0 v a + b + d = 0. => c = - d = a + b.
Do ú ( Q) : ax + by + ( a + b)z ( a + b ) = 0
Mt VTPT ca ( Q) cú ta l : ( a ; b ; a + b ) . Mt VTPT ca mp ( Oxy) cú ta
l
( 0 ; 0 ; 1).
Ta cú :
2 2 2
2
1 1
cos

2
6 6
( )
a b
a b
b a
a b a b

=
+

= =

=
+ + +

Vi a = -2b : Chn b = -1 => a = 2 . ta cú ptmp : 2x y + z 1 = 0
Vi b = -2a : Chn a = 1 => b = - 2 . ta cú ptmp : x 2y - z + 1 = 0
Bài 14- B 2006 :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 2) và hai đờng
thẳng :d
1
:
1 1
2 1 1
x y z +
= =

d
2
:

1
1 2
2
x t
y t
z t
= +


=


= +

a.Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d
1
và d
2
.
b.Tìm toạ độ các điểm M

d
1
, N

d
2
sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng
ỏp số : a) (P) : x + 3y + 5z 13 = 0 b) M ( 0 ; 1 ; - 1 ) , N ( 0 ; 1 ; 1 )
Bài 15- D 2006 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đ-

ờng thẳng
d
1
:
2 2 3
2 1 1
x y z +
= =

d
2
:
1 1 1
1 2 1
x y z +
= =

19
a.Tìm toạ độ điểm A đối xứng với điểm A qua đ ờng thẳng d
1
b.Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua A vuông góc với d
1
và cắt d
2
ỏp s : a) A ( -1 ; - 1 ; 4 ) b) Pt chớnh tc ca
1 1 3
:
1 3 5

x y z
= =

Bài 16 - A 2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng
d
1
:
1 2
2 1 1
x y z +
= =

và d
2
:
1 2
1
3
x t
y t
z
= +


= +


=

a.Chứng minh rằng: d

1
và d
2
chéo nhau.
b.Viết phơng trình đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0 và cắt
hai đờng thẳng d
1
, d
2
ỏp s : b) Gi M,N l giao im ca d vi vi 2 t ó cho => M( 2 ; 0 ; - 1) , N( - 5 ;
- 1 ; 3)
Phng trỡnh chớnh tc ca d :
2 1 5 1 3
7 1 4 7 1 4
x y z x y z
hay
+ + +
= = = =


Bài 17- B 2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 4y + 2z - 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0
a.Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đờng tròn có bán
kính bằng 3.

b.Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng
(P) lớn nhất
ỏp s : a) ( S) cú tõm I( 1 ; - 2 ; - 1 ) , R = 3. Mt phng ( Q) ct ( S) theo trũn cú
bk r = 3 nờn ( Q ) phi cha tõm I ca mc ( S). Mt khỏc , ( Q) li cha trc Ox nờn
mp ( Q) cú vtpt l
, (0; 1;2)n i OI

= =

r r uur
=> ( Q) : y 2z = 0.
Bài 18 - D 2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2); B(-1
2; 4) và đờng thẳng

:
1 2
1 1 2
x y z +
= =

a.Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc
với mặt phẳng (OAB).
b.Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng

sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất
ỏp s : a) Ptt d :

2 2
2 1 1
x y z
= =

b) M( - 1 ; 0 ; 4 )
Bài 19 A 2008
Trong không gian Oxyz cho điểm A(2

;5

;3) và đờng thẳng
2
2
12
1
:)(

==
zyx
d
a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên (d)
b) Viêt phơng trình mặt phẳng (

) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A tới (

) là lớn
nhất.
ỏp s : a) Gi H l hcvg ca A trờn d => H ( 3 ; 1 ; 4 )
20

b) L mp i qua H v vuụng gúc vi AH => ptmp : x 4y z + 3 = 0.
Bài 20 - B 2008 Trong không gian Oxyz cho điểm A(0

;1

;2)

; B(2

;-2

;1)

; C(-
2

;0

;1) .
a) Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C
b) Tìm toạ độ M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho MA= MB=MC.
ỏp s : a) Ptmp ( ABC ) :x + 2y 4z + 6 = 0.
b) Gi M( x ; y ; z ) thuc ( P).Ta cú h pt :
2 2 2
( ; ; ) ( )
(2;3; 7)
M x y z P
M
MA MB MC

=>

= =

Hoc M thuc t v gúc vi mp ( ABC ) ti trung im I ( 0 ; - 1 ; 1 ) ca BC.
Ta im M l nghim ca hpt :
2 2 3 0
(2;3; 7)
1 1
1 2 4
x y z
M
x y z
+ + =



+
= =


Bài 21- D 2008 Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3

;3

;0)

; B(3

;0

;3)

;
C(0

;3

;3)

; D(3

;3

;3)
a) Viết phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D
b) Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
ỏp s : a) Pt m cu ( S) :
2 2 2
3 3 3 0x y z x y z+ + =
, tõm I ( 3 / 2 ; 3 / 2 ; 3 / 2 )
b) Gi H l tõm ng trũn ngoi tip tg ABC => H ( 2 ; 2 ; 2 )
Bài 22 A 2009
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v D; AB = AD = 2a, CD = a; gúc
gia hai mt phng (SBC) v (ABCD) bng 60
0
. Gi I l trung im ca cnh AD. Bit hai
mt phng (SBI) v (SCI) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABCD), tớnh th tớch khi chúp
S.ABCD theo a.

Đáp số : V=3a
3

15/5
Bài 23 B 2009 :
Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.ABC cú BB = a, gúc gia ng thng BB v mt
phng (ABC) bng 60
0
; tam giỏc ABC vuụng ti C v
ã
BAC
= 60
0
. Hỡnh chiu vuụng gúc ca
im B lờn mt phng (ABC) trựng vi trng tõm ca tam giỏc ABC. Tớnh th tớch khi t
din AABC theo a.
Đáp số V= 9a
3
/208
Bài 24 D 2009
Cho hỡnh lng tr ng ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B, AB = a, AA =
2a, AC = 3a. Gi M l trung im ca on thng AC, I l giao im ca AM v AC.
Tớnh theo a th tớch khi t din IABC v khong cỏch t im A n mt phng (IBC).
Đáp số V = 4a
3
/9
d= 2a

5/5
Bi 1 ( d b 1 khi B nm 2007)Trong khụng gian Oxyz cho cỏc im A(3,5,5); B(5,3,7); v

mt phng (P): x + y + z = 0
1. Tỡm giao im I ca ng thng AB vi mt phng (P).
2. Tỡm im M

(P) sao cho MA
2
+ MB
2
nh nht.
21
Bài 2. (Đề dự bị 1 khối B năm 2007). Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O,
SA vuông góc với hình chóp. Cho AB = a, SA = a
2
. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên
SB, SD. Chứng minh SC
⊥
(AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.
Bài 3. (Đề dự bị 2 khối A năm 2007)Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0);
C(2,4,6) và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
α − + = β + + − =( ) : 6x 3y 2z 0,( ) : 6x 3y 2z 24 0
1. Chứng minh các đường thẳng AB và OC chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng
∆
// (d) và cắt các đường AB, OC.
Bài 4. (Đề dự bị 2 khối A năm 2007) Cho hình chóp SABC có góc
( )
o
60ABC,SBC =
∧
, ABC và SBC

là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC).
Bài 5 (Đề dự bị 1 khối A năm 2007)Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18)
và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).
2. Tìm tọa độ điểm M
∈
(P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Bài 6.(Đề dự bị 1 khối A năm 2007). Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1
2a 5=
và
o
120BAC =
∧
. Gọi M là trung điểm của cạnh CC
1
. Chứng minh MB
⊥
MA
1
và tính
khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A
1
BM).

Bài 7 (Đề dự bị 2 khối B năm 2007). Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2,0,0); M(0,–3,6)
1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P): x + 2y – 9 = 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M, bán kính
MO. Tìm tọa độ tiếp điểm.
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương
ứng B, C sao cho V
OABC
= 3.
Bài 8 (Đề dự bị 1 khối B năm 2007). . Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB =
2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A
lấy điểm S sao cho
( )
o
60SBC,SAB =
∧
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng
minh
∆
AHK vuông và tính V
SABC
?
Bài 9(Đề dự bị 1 khối D năm 2007)Cho đường thẳng d:
1
1z
1
2y
2
3x
−
+
=

+
=
−
và mặt phẳng
(P):
02zyx =+++
1. Tìm giao điểm M của d và (P).
2. Viết phương trình đường thẳng
∆
nằm trong (P) sao cho
∆

⊥
d và khoảng cách từ M đến
∆
bằng
42
.
Bài 10 (Đề dự bị 1 khối D năm 2007). Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác
vuông
aACAB
==
, AA
1

= a
2
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA
1
và BC
1
. Chứng
minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA
1
và BC
1
. Tính
11
BCMA
V
.
Bài 11. (Đề dự bị 2 khối D năm 2007).Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và các đường thẳng
2
z
3
3y
2
1x
:d
1
=
−
−
=
−

và
5
5z
4
y
6
5x
:d
2
−
+
==
−
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d
1
và (Q)
⊥
(P).
2. Tìm các điểm M
∈
d
1
, N
∈
d
2
sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
Bài 12. (Đề dự bị 2 khối D năm 2007).
Cho lăng trụ đứng ABCA
1

B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn
AA
1
. Chứng minh BM
⊥
B
1
C và tính d(BM, B
1
C).
22
Bài 13. (Đề dự bị 1 khối A năm 2006).
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a và góc BAD = 60
0
. Gọi M,N là trung
điểm các cạnh A’D’ và A’B’.Chứng minh rằng A’C’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể
tích của khối chóp A.BDMN
23