Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 1: Những khái niệm cơ bản

Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh

Khoa Cơng nghệ Cơ khí
Bộ mơn Cơ sở - Thiết kế

Bài 1:
Những khái niệm Cơ bản
Thời lượng: 3 tiết

1


Các khái niệm

2

Là các kỹ thuật mà các vấn đề tốn học được phát biểu sao cho có thể giải quyết
được bằng các phép tính số học. Phương pháp số rất phù hợp với việc sử dụng
máy tính cá nhân (Personal Computer)
1. Phương pháp giải tích: đưa ra lời giải với cơng thức tường minh, chính
xác. Nhưng hạn chế với các bài tốn đơn giản, kích thước nhỏ, mơ hình
tuyến tính, v.v…
2. Phương pháp đồ thị: Đưa ra lời giải ở dạng đồ thị trực quan. Tuy nhiên
kết quả của nó khơng thể đọc được một cách chính xác, và giới hạn ở các
bài tốn khơng gian 2 chiều hoặc 3 chiều
3. Phương pháp số nhưng tính bằng tay: Chậm, mất thời gian và công sức,
tẻ nhạt


3

1. Giải được các bài toán phức tạp về số lượng PT, độ phi tuyến, hình học
phức tạp mà khơng giải được bằng pp giải tích
2. Trong q trình làm việc, ta thường xuyên sử dụng các phần mềm ứng
dụng phương pháp số. Việc sử dụng tốt các phần mềm đó là dựa trên
kiến thức nền cơ sở về các pp số này
3. Có nhiều vấn đề mà khơng thể xử lý bằng các gói phần mềm có sẵn. Nếu
thành thạo phương pháp số và lập trình thì ta có thể tự thiết kế các
chương trình của riêng mình để giải quyết vấn đề mà không phải mua các
phần mềm đắt tiền.
4. PP số là một công cụ hiệu quả để học về máy tính và lập trình máy tính
5. PP số là một phương tiện hiệu quả để củng cố sự hiểu biết về mặt tốn
học. Vì mục đích của phương pháp số là đưa toán học cao cấp về các
phép toán số học cơ bản


Các nội dung chính trong mơn học phương pháp số

4


Các nội dung chính trong mơn học phương pháp số

5


Các nội dung chính trong mơn học phương pháp số

6

Các nội dung chính trong mơn học phương pháp số

7


Các nội dung chính trong mơn học phương pháp số

8


Những nội dung sẽ học trong học phần

Phương trình đại số

Tích phân số

Hệ phương trình
tuyến tính

Trị riêng và véctơ riêng

Sai phân số

Phương trình vi phân thường

9


10

Mơ hình tốn hố (Mathematical Modeling)

Một mơ hình tốn học được hiểu là một cơng thức hoặc phương trình thể hiện các
tính năng thiết yếu của một hệ thống hoặc q trình vật lý theo thuật ngữ tốn học
Biến phụ thuộc =

f(Các biến độc lập, Tham biến, Các hàm cưỡng bức)

(1)

-

Biến phụ thuộc: là một đặc trưng phản ảnh ứng xử hoặc trạng thái của một hệ
thống

-

Các biến độc lập: thường là có đơn vị, như biến thời gian, kích thước hình học mà
theo đó ứng xử của hệ thống được xác định

-

Tham biến: các thông số phản ánh các thuộc tính (tính chất) hoặc thành phần của
hệ thống (thường là không đổi)

-

Các hàm cưỡng bức: Là các tác nhân bên ngoài tác động vào hệ thống

Định luật II – Newton:

F

m

a

F
F  ma  a 
m

11

(2)

-

a (gia tốc của vật [m/s2]) chính là biến phụ thuộc, thể hiện ứng xử của hệ thống

-

F (ngoại lực tác dụng vào vật [N]) chính là hàm cưỡng bức

-

m (khối lượng của vật [kg]) chính là một tham biến phản ảnh thuộc tính của hệ
thống

 Trong mơ hình tốn này khơng có các biến độc lập vì chúng ta chưa đề cập đến

chuyện gia tốc phụ thuộc vào thời gian hay khơng gian như thế nào. Vì ở dạng đại số
đơn giản, nghiệm của PT (2) có thể được lấy dễ dàng. Tuy nhiên, các mơ hình tốn học
khác của các hiện tượng vật lý có thể phức tạp hơn nhiều và khơng thể được giải
chính xác hoặc địi hỏi các kỹ thuật toán học phức tạp hơn so với biến đổi đại số đơn
giản. Để minh họa một mô hình phức tạp hơn thuộc loại này, đl II Newton được sử
dụng để xác định vận tốc đầu cuối của một vật thể rơi tự do gần bề mặt trái đất


12

FD  m  g

- lực trọng trường

FU  c  v  t  - lực cản của không khí

c
d
F
dv FD  FU m  g  c  v
 dt v  t   g  m v  t 
a



 
m
dt
m
m

v  t   v  0   0
t 0


(3)

(phương trình vi phân)
-

v (vận tốc của vật [m/s]) và a (gia tốc của vật [m/s2]) chính là các biến phụ thuộc,
thể hiện ứng xử của hệ thống

-

FD , FU (ngoại lực tác dụng vào vật [N]) chính là các hàm cưỡng bức

-

m (khối lượng của vật [kg]), c (hệ số cản của khơng khí [kg/s]), g=9,81 (gia tốc trọng
trường [m/s2]) - các tham biến phản ảnh thuộc tính của hệ

-

t (thời gian [s]) – biến độc lập


13

c
d

 c
v
t

g

v
t





  t 
gm
 dt
 m
m

v
t

1

e

 (4) Số cụ thể:





c
v  t   v  0   0


t 0


v  t   53.39 1  e 0.18355t 

Rất ít khi có thể
thu được lời
giải chính xác.

 g  9.81 m 2 ;
s


m  68.1 kg;

kg
c

12.5

s


c
d

v
t

g

v t 
 dt  
m

v  t   v  0   0
t 0


14

Theo định nghĩa đạo hàm:
dv
v
v v  ti 1   v  ti 
 lim



t

0
dt
t t 0 t
ti 1  ti

v  ti 1   v  ti 
c
g  v  ti 

ti 1  ti
m
ti 1 ti
c


v  ti 1   v  ti    g  v  ti    ti 1  ti 
m



(5)

Giá trị
mới

Giá trị
cũ

Độ
dốc

Cỡ
bước

15

Nếu cho cỡ bước = 2, tức là:
Ta có:

ti 1  ti  2; i  0,1, 2,3,

t0  0; t1  2; t2  4; t3  6; t4  8;

; v  t0   0

t1  2

12.5 


v
t

v
2

0

9.81

 0   2  19.62 m





 1

s
68.1 

t2  4

12.5



v
t

v
4

19.62

9.81


19.62
 2  32.04 m




 2



s
68.1



 

 

t3  6

12.5



v
t

v
6

32.04

9.81


32.04
 2  39.89 m





 3


s
68.1



 

Tương tự cho các điểm t tiếp theo


16

Lời giải
chính xác

Lời giải số


d
 dt f  t   g  t 
 f t   ?

 f t   f  0  f0

t 0


Giá trị
mới

Giá trị
cũ

Độ
dốc

  f  ti 1   f  ti   g  ti    ti 1  ti 

   f  ti 1   f  ti   g  ti   hi

  hi  ti 1  ti

 f  t0   f 0

Cỡ
bước

(*)


Các định luận bảo toàn trong kỹ thuật
Độ thay đổi

Giá trị khi tăng

18

(6)

Giá trị khi giảm

 Tính tốn các thay đổi theo thời gian (time-variable hoặc transient computation)
0

Giá trị khi tăng

Giá trị khi tăng

Giá trị khi giảm

Giá trị khi giảm

(7)

Tính toán trạng thái ổn định (Steady-state computation)
Mặc dù các phương trình (6) và (7) trơng có vẻ đơn giản đến mức tầm thường,
nhưng chúng lại thể hiện 2 cách cơ bản mà các định luật bảo toàn được sử dụng
trong kỹ thuật. Về sau là mối liên hệ giữa phương pháp số và kỹ thuật.


Ví dụ cho Steady-State Computation

19

Dịng chảy ống 4 + Dịng chảy ống 3 = Dòng chảy ống 1 + Dòng chảy ống 2
Dòng chảy ống 4 + 120 = 100 + 80

Dòng chảy ống 4 = 60

 FD  FU
mg
 v

c
m  g  c  v

(8)


Bốn lĩnh vực kỹ thuật sử dụng định luật bảo tồn
Các lị
phản ứng

Lượng
vào
Định luật
bảo tồn
khối lượng

Chênh lệch
khối lượng
theo t

20

Lượng
ra
Lượng vào
theo t

Lượng ra
theo t

(9)

Kết cấu

Định luật
bảo toàn
động lượng

(10)
Tổng lực theo phương ngang (FH) = 0
Tổng lực theo phương dọc (FV) = 0


Bốn lĩnh vực kỹ thuật sử dụng định luật bảo tồn
Ơ tơ

Định luật
bảo tồn
động lượng

Lực hướng

lên

Lực hướng
xuống
Định luật
bảo tồn
điện tích

Mạch điện

Định luật
bảo toàn
năng lượng

2

d x
m 2 
dt

Lực
hướng
lên
theo t

21

Lực
hướng
xuống

theo t

(11)

Tổng điện tích mỗi nút (i) = 0

(12)
Ở mỗi vịng kín

   i  R  0

(13)


Các vấn đề kỹ thuật thực tế cần phải áp dụng PP số

22

1. Các bài toán phi tuyến và tuyến tính. Phần lớn cơ học cổ điển
thường phải tuyến tính hóa các bài tốn phi tuyến để thu được các
lời giải giải tích tường mình. Mặc dù điều này là hợp lý, nhưng
thường có thể đạt được cái nhìn sâu rộng hơn nếu các vấn đề phi
tuyến được kiểm tra bằng phương pháp số.
2. Các hệ thống lớn và hệ thống nhỏ. Nếu khơng có máy tính, việc phân
tích các hệ thống có trên ba thành phần tương tác với nhau thường
là khơng khả thi. Với máy tính và phương pháp số, các hệ thống đa
thành phần thực tế hơn có thể được thực hiện phân tích.
3. Lý tưởng và khơng lý tưởng. Các định luật được lý tưởng hố có rất
nhiều trong kỹ thuật. Thường thì có những lựa chọn thay thế khơng
lý tưởng thực tế hơn nhưng địi hỏi nhiều tính tốn hơn. Các

phương pháp tiếp cận số gần đúng có thể tạo điều kiện thuận lợi
cho việc áp dụng vào các bài tốn khơng lý tưởng này.


23

Các vấn đề kỹ thuật thực tế cần phải áp dụng PP số (Tiếp)
4. Phân tích độ nhạy. Những tính tốn thủ cơng sẽ địi hỏi rất nhiều
thời gian và công sức để thực hiện thành công. Điều này sẽ làm
nản lịng các nhà phân tích nếu muốn thực hiện nhiều phép tính cần
thiết để kiểm tra cách hệ thống đáp ứng trong các điều kiện khác
nhau. Các phân tích độ nhạy như vậy sẽ thuận lợi hơn khi các
phương pháp số cho phép máy tính đảm nhận gánh nặng tính tốn.
5. Thiết kế. Trong thiết kế chúng ta thường phải đánh giá hiệu suất
của một hệ thống như một hàm số phụ thuộc vào các tham biến
của nó. Thơng thường thì sẽ rất khó giải quyết các vấn đề thiết kế
ngược - nghĩa là xác định các tham biến khi hiệu suất yêu cầu được
chỉ định. Các phương pháp số và máy tính thường cho phép thực
hiện nhiệm vụ này một cách hiệu quả.


Xấp xỉ và làm tròn số
v  t   53.39 1  e0.18355t 

CX

Số

24


12.5


v  ti    ti 1  ti 
v  ti 1   v  ti   9.81 
68.1



v  t   v  0   0
 0

Sai số có một tầm quan trọng trong việc đánh giá tính chính xác của lời giải.
Chúng ta đã xác định được vận tốc của người nhảy dù bằng 2 phương
pháp: Giải tích chính xác và phương pháp số. Mặc dù pp số đem lại các ước
tính rất gần với lời giải chính xác, nhưng ln có sự khác biệt (sai số) vì pp
số liên quan đến một phép tính gần đúng. Trong trường hợp này chúng ta
may mắn vì có sẵn lời giải giải tích chính xác, nó cho phép chúng ta tính
được sai số một cách chính xác. Nhưng trong đại đa số các bài tốn kỹ
thuật khác, chúng ta khơng thể có được lời giải giải tích thì khơng thể tính
chính xác được các sai số liên quan đến các pp số.
Trong trường hợp này, chúng ta chỉ có thể xấp xỉ hoá hoặc ước lượng sai
số.


Xấp xỉ và làm tròn số

25

Như vậy sai số là điều không thể tránh khỏi ở những phương pháp số. Nhưng sai số có thể
dẫn đến các lỗi. Mà Sinh viên cũng như các kỹ sư luôn bằng mọi cách phải hạn chế sai sót
trong cơng việc. Bởi lẽ Khi làm bài kiểm tra hoặc làm bài tập về nhà, SV có thể bị phạt, điểm
kém vì lỗi. Nhưng khi hành nghề cơng việc, sai sót có thể gây tốn kém và đôi khi là thảm họa.
Nếu một cấu trúc hoặc thiết bị bị lỗi, có thể nguy hiểm đến tính mạng. Mặc dù sự hồn hảo là
một mục tiêu đáng khen ngợi, nhưng hiếm khi đạt được. Ví dụ: mặc dù thực tế là mơ hình
nhảy dù được phát triển từ định luật II Newton là một phép gần đúng tuyệt vời, nó sẽ khơng
bao giờ dự đốn chính xác được cú rơi của người nhảy dù trong thực tế. Một loạt các yếu tố
như gió và những thay đổi nhỏ trong lực cản của khơng khí sẽ dẫn đến sai lệch so với dự
đoán.
Nếu những sai lệch này cao hoặc thấp một cách có hệ thống, thì chúng ta có thể cần phát
triển một mơ hình mới. Tuy nhiên, nếu chúng được phân phối ngẫu nhiên và nhóm chặt chẽ
xung quanh dự đốn, thì độ lệch có thể được coi là khơng đáng kể và mơ hình được coi là
phù hợp.
Phép tính gần đúng số cũng đưa ra sự khác biệt tương tự trong phân tích. Một lần nữa, câu
hỏi đặt ra là: Sai số tiếp theo xuất hiện trong tính tốn của chúng ta là bao nhiêu và nó có thể
chấp nhận được khơng?