Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính

Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh
Khoa Cơng nghệ Cơ khí
Bộ mơn Cơ sở - Thiết kế

Bài 3:
Hệ Phương trình Đại số Tuyến tính
Thời lượng: 6 tiết

1


Nội dung bài học

2


Dạng tổng quát của hệ PT Đại số tuyến tính

 f1 ( x1 , x2 ,… , xn ) = 0

 f 2 ( x1 , x2 ,… , xn ) = 0

…
 f ( x , x ,… , x ) = 0
n
 n 1 2
Tìm:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + … + a1n xn = b1
a x + a x + a x + … + a x = b
 21 1 22 2 23 3

2n n
2

⋮
⋮
an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 + … + ann xn = bn

x = ( x1 , x2 , x3 ,… , xn ) = ?
T

3

(1)


Ôn tập về ma trận

Cột 3

 a11

a21

A =
n×m
⋮

 an1

a12

a13

a22

a23

an 2

an 3

⋯ a1m 

… a2 m  Hàng 2

⋮

⋯ anm 

4


Ôn tập về ma trận
1) Ma trận hàng:
B = [b1 b2

1× m

b3 … bm ]

3) Ma trận vng: n=m
 a11
a
21

A=
n× n
 ⋮

 an1

a12
a22
an 2

a13 ⋯ a1n 

a23 … a2 n 

⋮

an 3 ⋯ ann 

5

2) Ma trận cột:
 c1 
c 
 2
C =  c3 

n×1
 
⋮
cn 


Ôn tập về ma trận
4) Ma trận đối xứng: aij = aji
 5 −1 7 
A =  −1 2 4 
3×3
 7 4 6 

5) Ma trận đường chéo:
 a11
0
A =
n× n
0

0

0
a22
0
0

0
0 0 
⋱ 0


0 ann 
0

6

6) Ma trận đơn vị:
1
0
I =
n× n
0

0

0
0 
0 ⋱ 0

0 0 1

0
1

0
0

7) Ma trận tam giác trên
 a11 a12
0 a

22
A =
4×4
0
0

0
0

a13
a23
a33
0

a14 
a24 
a34 

a44 


Ôn tập về ma trận
8) Ma trận tam giác dưới:
 a11 0
a
a
21
22

A=

4×4
 a31 a32

 a41 a42

0
0
a33
a43

0
0 
0

a44 

9) Ma trận dải:
 a11
a
21
A=
4×4
0

0

a12

0

a22
a32

a23
a33

0

a43

0
0 
a34 

a44 

7


Ôn tập về ma trận

8

1) Cộng ma trận:
 a11 a12 … a1m   b11 b12 … b1m   a11 + b11
a
 b
 a + b
a
…

a
b
…
b
22
2m 
2m 
 21
+  21 22
=  21 21
 ⋮
 ⋮
  ⋮
⋮
⋮

 
 
 an1 an 2 … anm  bn1 bn 2 … bnm   an1 + bn1

A+ B = B+ A

2) Tính chất giao hốn cộng:
3) Tính chất kết hợp cộng:

a12 + b12 … a1m + b1m 
a22 + b22 … a2 m + b2 m 

⋮


an 2 + bn 2 … anm + bnm 

n× m

n×m

n× m

n× m

( A+ B )+ C = A+( B + C )
n×m

n×m

n× m

n×m

n×m

n×m


Ôn tập về ma trận
4) Nhân cho số thực:

5) Nhân hai ma trận:

 a11

a
g ⋅  21
 ⋮

 an1

a12 … a1m   g ⋅ a11
a22 … a2 m   g ⋅ a21
=
  ⋮
⋮
 
an 2 … anm   g ⋅ an1

9

g ⋅ a12 … g ⋅ a1m 
g ⋅ a22 … g ⋅ a2 m 

⋮

g ⋅ an 2 … g ⋅ anm 

  a11 a12 … a1m   b11 b12 … b1 p   c11 c12 … c1 p 

 c

 b
b
…

b
c
…
c
a
a
…
a
22
2p 
21
22
2p 
22
2 m   21
  21
⋅
=
  ⋮
 ⋮

⋮
⋮
  ⋮
⋮
A ⋅ B = C ⇔ 
 

 
n×m m× p

n× p
b
b
…
b
c
c
…
c
mp 
np 
  n1 n 2

  an1 an 2 … anm   m1 m 2

n
cij = ∑ aik bkj

k =1


Ôn tập về ma trận

( A ⋅ B )⋅ C = A ⋅( B ⋅ C )

6) Tính chất kết hợp nhân:

7) Tính chất phân phối:

10

n×m m× p

p× q

(

)

n× m

m× p p×q

 A⋅ B + C = A⋅ B + A⋅ C
 n×m m× p m× p n×m m× p n×m m× p

 A + B ⋅ C = A⋅ C + B⋅ C
 n×m n×m m× p n×m m× p n×m m× p

(

)


Ôn tập về ma trận
8) Định thức:
a. Bậc 2:

b. Bậc 3:

 a11
A =
2× 2
 a21

( )

a12 
⇒ det A = a11a22 − a12 a21

2×2
a22 

11


Ôn tập về ma trận
9) Ma trận ngược:
 a11
A=
2×2
 a21

 a22 − a12 
 −a
a12 
a11 
−1

21

⇒A =
2× 2
a22 
det A

( )
2×2

10) Tính chất Ma trận ngược:
−1

−1

A⋅ A = A ⋅ A = I

n× n

n× n

n× n

n×n

n× n

 a11
A =  a21
3×3
 a31

a12
a22
a32

12

 
 det  A  det  A  
det
A

 21 
 31  
11
  2×2 
 2×2 
 2×2 
a13 


1  
 det  A  det  A  
A
a23  ⇒ A −1 =
det

 22 
 32  
  2×122 
3×3

×
2
2


 2×2 
det A 

a33 
3×3
 
 det  A  det  A  
A
det
 23 
 33  
  2×132 
 2×2 
 2×2  

( )

 a22 a32 
 a32
A11 = 
A 21 = 

2×2
 a23 a33  2×2  a33
 a23 a33 

 a33
A12 = 
A 22 = 

2×2
 a21 a31  2×2  a31
 a21 a31 
 a31
A13 = 
A 23 = 

2×2
 a22 a32  2×2  a32

a12 
a13 
a13 
a11 
a11 
a12 

 a12
A 31 = 
2×2
 a13
 a13
A 32 = 
2× 2
 a11
 a11

A 33 = 
2×2
 a12

a22 
a23 
a23 
a21 
a21 
a22 


Phát biểu bài toán ở dạng ma trận
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + … + a1n xn = b1
 a11 a12
a x + a x + a x + … + a x = b
a
a22
 21 1 22 2 23 3
2n n
2
21

⇔

 ⋮
⋮
⋮

an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 + … + ann xn = bn

 an1 an 2

a13 … a1n   x1  b1 
a23 … a2 n   x2  b2 
⋅  =  
 ⋮  ⋮ 
⋮
    
an 3 … ann   xn  bn 

⇔

A ⋅ x = b (2)
n×n n×1
n×1

Nhân hai vế của (2) cho ma trận ngược của ma trận A:

( 2 ) ⇔ An×−n1 ⋅ nA×n⋅ nx×1 = An×−n1⋅ nb×1 ⇔ ( An×−n1⋅ nA×n ) ⋅ nx×1 = An×−n1⋅ nb×1
I

n×n

⇔

I ⋅ x = A −1 ⋅ b

n×n n×1
x

n×1

n× n

n×1

⇔

x = A −1 ⋅ b

n×1

n×n

n×1

(3)

13


Hệ phương trình ít ẩn (≤3)
Hệ 2 phương trình

Ví dụ:

a11 x1 + a12 x2 = b1

a21 x1 + a22 x2 = b2
⇓

3x1 + 2 x2 = 18

− x1 + 2 x2 = 2


 a11 
b1
 x2 = − 
 x1 +
a12

 a12 

 x = −  a21  x + b2

 1
 2
a22
 a22 


3

 x2 = − 2 x1 + 9

x = 1 x +1
 2 2 1

⇓

f1 = @(x,y) 3*x + 2*y - 18;
f2 = @(x,y) -x + 2*y - 2;
fimplicit(f1,[0 6 0 9],'m-','Linewidth',2),grid on
hold on
fimplicit(f2,[0 6 0 9],'k-','Linewidth',2),grid on

14


Hệ phương trình ít ẩn (≤3)
Các tình huống nghiệm:

a11 a12 b1
=
≠
a21 a22 b2
Hai đường thẳng song song
Vô nghiệm

15

a11 x1 + a12 x2 = b1

a21 x1 + a22 x2 = b2

a11 a12 b1
=
=
a21 a22 b2

Hai đường thẳng trùng nhau
Vô số nghiệm

a11 a12
≠
a21 a22

Hai đường thẳng cắt nhau
Một nghiệm


Hệ phương trình ít ẩn (≤3)
Hệ 3 phương trình
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
a x + a x + a x = b
 31 1 32 2 33 3 3

16

4 x1 + x2 − x3 = −2

5 x1 + x2 + 2 x3 = 4
6 x + x + x = 6
 1 2 3

Ba mặt phẳng
f1 = @(x,y,z) 4*x + y - z + 2;

f2 = @(x,y,z) 5*x + y + 2*z - 4;
f3 = @(x,y,z) 6*x + y + z - 6;
interval = [0 10 -15 -10 -5 5];
fimplicit3(f1,interval,'FaceColor','m','EdgeColor','k','FaceAlpha',.9), hold
fimplicit3(f2,interval,'FaceColor','g','EdgeColor','k','FaceAlpha',.9), hold
fimplicit3(f3,interval,'FaceColor','y','EdgeColor','k','FaceAlpha',.9), hold
scatter3(3,-13,1,100,'filled','MarkerEdgeColor','k','MarkerFaceColor',[0 .75

on
on
on
.75])

( 3; −13;1)


Quy tắc Cramer
 a11

a21

 A b  =
 ⋮
n×( n +1)

 an1

1) Vô nghiệm:

a12

a22
⋮
an 2

a13 … a1n b1 

a23 … a2 n b2 
⋮
⋮
⋮ ⋮

an 3 … ann bn 

 D = 0

 Dxi ≠ 0; i = 1..n

2) Vô số nghiệm:
 D = 0

 Dxi = 0; i = 1..n

3) Một nghiệm:
D≠0

a11 a12
a
a22
D = 21
⋮

⋮
an1 an 2

a13 … a1n
a23 … a2 n
⋮
⋮
⋮
an 3 … ann

b1
b2
Dx1 =
⋮
bn

a12
a22
⋮
an 2

a13 … a1n
a23 … a2 n
⋮
⋮
⋮
an 3 … ann

a11 b1
a21 b2

Dx2 =
⋮
⋮
an1 bn

a13 … a1n
a23 … a2 n
⋮
⋮
⋮
an3 … ann

…
a11 a12
a21 a22
Dxn =
⋮
⋮
an1 an 2

a13 … b1
a23 … b2
⋮
⋮ ⋮
an 3 … bn

17

Dxi


 xi =
;
D
i = 1..n



Quy tắc Cramer

18

4 1 −1
D= 5 1

2

6 1

1

=4

−2 1 −1

4 x1 + x2 − x3 = −2

5 x1 + x2 + 2 x3 = 4
6 x + x + x = 6
 1 2 3

Dx1 = 4
6

1
1

2 = 12
1

4 −2 −1
Dx2 = 5 4 2 = −52
6

6

1

4 1 −2
Dx3 = 5 1

4

6 1

6

=4

x1 =
x2 =

x3 =

Dx1
D
Dx2
D
Dx3
D

=3
= −13
=1


Tính định thức bằng MATLAB
format long
D = [4 1 -1; 5 1 2; 6 1 1]
D_x1 = [-2 1 -1; 4 1 2; 6 1 1]
D_x2 = [4 -2 -1; 5 4 2; 6 6 1]
D_x3 = [4 1 -2; 5 1 4; 6 1 6]
det_D = det(D)
det_Dx1 = det(D_x1)
det_Dx2 = det(D_x2)
det_Dx3 = det(D_x3)
x1 = det(D_x1)/det(D)
x2 = det(D_x2)/det(D)
x3 = det(D_x3)/det(D)

19

Các phương pháp để giải hệ phương trình tuyến tính

Đưa hệ PT (2) về dạng tương
đương đơn giản hơn:
- Ma trận tam giác trên
Phương
Gauss
- Ma trận tam giác dưới

- Ma trận đường chéo

pháp khử

Phương pháp khử
Gauss-Jordan

- Phương pháp
Jacobi
- Phương pháp
Gauss-Seidel

20


Các phương pháp trực tiếp (Direct Methods)
Ví dụ hệ 4 PT-4 ẩn
 a11 a12
0 a
22


0
0

0
0
b
x4 = 4 ;
a44
x3 =
x2 =

a13
a23
a33
0

a14   x1  b1 
   
a24   x2  b2 
⋅  =  
a34   x3  b3 

a44   x4  b4 

b3 − a34 x4
;
a33
b2 − ( a23 x3 + a24 x4 )
a22

;

b1 − ( a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 )
x1 =
a11

Tổng quát:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + … + a1n xn = b1

a22 x2 + a23 x3 + … + a2 n xn = b2


a33 x3 + … + a3n xn = b3

⋮
⋮
⋮


an −1, n −1 xn −1 + an −1, n xn = bn −1

ann xn = bn

b
xn = n ;
ann
j =n

bi −

xi =

∑a x
ij

j =i +1

aii

j

;

i = n − 1, n − 2,… ,1

21


Các phương pháp trực tiếp (Direct Methods)
Ví dụ hệ 4 PT-4 ẩn
 a11
a
 21
 a31

 a41

0

0

a22
a32

0
a33

a42

a43

x1 =

b1
;
a11

x2 =

b2 − a21 x1
;
a22

0   x1  b1 
   
0   x2  b2 
⋅  =  
0   x3  b3 

a44   x4  b4 

b − ( a31 x1 + a32 x2 )
;
x3 = 3
a33
b4 − ( a41 x1 + a42 x2 + a43 x3 )
x4 =
a44

Tổng quát:
= b1
 a11 x1
a x + a x
= b2
 12 1 22 2
= b3
 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
 ⋮
⋮
⋮

 an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 + … + ann xn = bn
x1 =

b1
;
a11
j = i −1

bi −

xi =

∑a x
ij

j =1

aii

j

;

i = 2,3,… , n

22


Các phương pháp trực tiếp (Direct Methods)
Ví dụ hệ 4 PT-4 ẩn
 a11 0
0 a
22

0
0

0
0
x1 =

b1
;
a11

b2
x2 =
;
a22
b
x3 = 3 ;
a33
x4 =

b4
a44

0
0
a33
0

0   x1  b1 
   
0   x2  b2 
⋅  =  

0  x3  b3 

a44   x4  b4 

23

Tổng quát:
 a11 x1

a22 x2

a33 x3

 ⋮
⋮


bi
xi = ; i = 1..n
aii

= b1
= b2
= b3
⋮
ann xn = bn


Các phương pháp trực tiếp (Direct Methods)
 a11
a
21


A⋅ x = b ⇔
n×n n×1
n×1
 ⋮

 an1

a12
a22
an 2

 a11

a21

 A b  =
 ⋮
n×( n +1)

 an1

a13 … a1n   x1  b1 
a23 … a2 n   x2  b2 
⋅  =  
 ⋮  ⋮ 
⋮
    
an 3 … ann   xn  bn 

a12

a22
⋮
an 2

a13 … a1n b1 

a23 … a2 n b2 
⋮
⋮
⋮ ⋮

an 3 … ann bn 

24


Các phương pháp trực tiếp (Direct Methods)
 a11

a21

 A b  =
 ⋮
n×( n +1)

 an1

a12
a22
⋮

an 2

Q
trình
… a1n b1 

a
a
11
12
xi 


a13
a23 … a2 n b2 
⋮
⋮
⋮ ⋮

an 3 … ann bn 

j =n

bi′ − ∑ aij′ x j

′
j = i +1
 xn = bn ; xi =
;
′


ann
aii′

j =n

bi − ∑ a1 j x j

j =2
 x1 =
a11


0
⋮

 0

′
a22
⋮
0

a13 … a1n
′ … a2′ n
a23
⋮
⋮
⋮
′

0 … ann

25

b1 

b2′ 
⋮

bn′ 

i = n − 1, n − 2,… , 2

Quá trình
ngược