LÝ THUYẾT CƠ BẢN TOÁN LỚP 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.13 MB, 33 trang )
TỔNG HỢP TỪ DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN
Lý thuyết cơ bản
TOÁN 10
NGƯỜI TỔNG HP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG
DT: 0946798489
FB: />
Năm học: 2018 - 2019
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT
MỤC LỤC
PHẦN 1. ĐẠI SỐ 10 .............................................................................................................................. 3
Chương 1. Mệnh đề - tập hợp............................................................................................................... 3
Vấn đề 1. Mệnh đề và mệnh đề chứa biến .......................................................................................... 3
Vấn đề 2. Tập hợp ........................................................................................................................... 3
Vấn đề 3. Sai số- số gần đúng ........................................................................................................... 4
Chương 2. Hàm số bậc nhất và bậc hai.................................................................................................. 5
Vấn đề 1. Đại cương về hàm số ........................................................................................................ 5
Vấn đề 2. Hàm số bậc nhất ............................................................................................................... 6
Vấn đề 3. Hàm số bậc 2 ................................................................................................................... 6
Chương 3. Phương trình và hệ phương trình .......................................................................................... 7
Vấn đề 1. Đại cương về phương trình ................................................................................................ 7
Vấn đề 2. Phương trình bậc nhất 1 ẩn ................................................................................................ 8
Vấn đề 3. Phương trình bậc hai 1 ẩn .................................................................................................. 8
Vấn đề 4. Một số phương trình quy về bậc nhất, bậc hai .................................................................... 10
Vấn đề 5. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn ................................................................................... 12
Vấn đề 6. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn số .................................................................................... 13
Chương 4. Bất đẳng thức, bất phương trình ......................................................................................... 14
Vấn đề 1. Bất đẳng thức ................................................................................................................. 14
Vấn đề 2. Bất phương trình bậc nhất – bất phương trình bậc hai ......................................................... 15
Chương 6. Lượng giác ...................................................................................................................... 16
Vấn đề 1. Cung và góc lượng giác .................................................................................................. 16
Vấn đề 2. Giá trị lượng giác của 1 cung ........................................................................................... 17
Vấn đề 3. Cơng thức lượng giác...................................................................................................... 20
PHẦN 2. HÌNH HỌC 10 ...................................................................................................................... 21
Chương 1. Vecto .............................................................................................................................. 21
Vấn đề 1. Khái niệm véc tơ ............................................................................................................ 21
Vấn đề 2. Tổng của hai vecto ......................................................................................................... 21
Vấn đề 3. Hiệu của hai vecto .......................................................................................................... 22
Nguyễn Bảo Vương
Trang 1
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT
vấn đề 4. Phép nhân vercsto với một số ........................................................................................... 22
Vấn đề 5. Hệ trục tọa độ ................................................................................................................ 23
Chương 2. Tích vơ hướng .................................................................................................................. 24
Vấn đề 1. Giá trị lượng giác của 1 góc ............................................................................................. 24
Vấn đề 2. Tích vơ hướng................................................................................................................ 25
Vấn đề 3. Các hệ thức lượng tam giác ............................................................................................. 26
Chương 3. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng .................................................................................. 27
Vấn đề 1. Đường thẳng .................................................................................................................. 27
Vấn đề 2. Đường tròn .................................................................................................................... 29
Vấn đề 3. Elip ............................................................................................................................... 30
Vấn đề 4. Hypebol ........................................................................................................................ 30
Vấn đề 5. Parabol .......................................................................................................................... 31
Vấn đề 6. 3 đường conic ................................................................................................................ 32
Nguyễn Bảo Vương
Trang 2
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT
PHẦN 1. ĐẠI SỐ 10
Chương 1. Mệnh đề - tập hợp
Vấn đề 1. Mệnh đề và mệnh đề chứa biến
Mệnh đề
Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.
Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P.
Mệnh đề "không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P.
Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng.
Mệnh đề kéo theo: Cho mệnh đề P và Q.
Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là: P Q , (P suy ra Q).
Mệnh đề P Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Lưu ý rằng: Các định lí tốn học thường có dạng P Q. Khi đó:
P là giả thiết, Q là kết luận. P là điều kiện đủ để có Q. Q là điều kiện cần để có P.
Mệnh đề đảo
Cho mệnh đề kéo theo P Q. Mệnh đề Q P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P Q.
Mệnh đề tương đương: Cho mệnh đề P và Q.
Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P Q.
Mệnh đề P Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để P Q và Q P đều đúng.
Lưu ý rằng: Nếu mệnh đề P Q là 1 định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.
Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó
mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.
Kí hiệu và : Cho mệnh đề chứa biến P( x) với x X . Khi đó:
"Với mọi x thuộc X để P( x) đúng" được ký hiệu là: " x X , P( x)" hoặc " x X : P( x)".
"Tồn tại x thuộc X để P( x) đúng" được ký hiệu là: " x X , P( x)" hoặc " x X : P( x)".
Mệnh đề phủ định của mệnh đề " x X , P( x)" là " x X , P( x)".
Mệnh đề phủ định của mệnh đề " x X , P( x)" là " x X , P(x)".
Phép chứng minh phản chứng: Giả sử ta cần chứng minh định lí: A B.
Cách 1. Giả sử A đúng. Dùng suy luận và kiến thức toán học đã biết chứng minh B đúng.
Cách 2. (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai. Do A khơng thể vừa đúng
vừa sai nên kết quả là B phải đúng.
Lưu ý:
Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Ngồi ra nó khơng chia hết cho bất cứ số nào
khác. Số 0 và 1 không được coi là số nguyên tố.
Các số nguyên tố từ 2 đến 100 là 2; 3; 5;7;11;13;17;19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59;...
Ước và bội: Cho a, b . Nếu a chia hết b , thì ta gọi a là bội của b và b là ước của a.
Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 2 hay nhiều số tự nhiên là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của
các số đó.
Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 2 hay nhiều số tự nhiên là số nhỏ nhất trong tập hợp các ước chung của các số
đó.
Vấn đề 2. Tập hợp
Tập hợp
Nguyễn Bảo Vương
Trang 3
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT
Tập hợp là một khái niệm cơ bản của tốn học, khơng định nghĩa.
Có 2 cách xác định tập hợp:
Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc ; ;
Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu .
Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau
Tập hợp con: A B (x A x B).
A A , A .
B
A
A
A , A .
A B , B C A C.
A B
. Nếu tập hợp có n phần tử 2n tập hợp con.
B
A
Tập hợp bằng nhau: A B
Một số tập hợp con của tập hợp số thực R
Tập hợp con của : * . Trong đó:
: là tập hợp số tự nhiên khơng có số 0.
: là tập hợp số tự nhiên.
: là tập hợp số hữu tỷ.
: là tập hợp số nguyên.
( ; ) : là tập hợp số thực.
Khoảng:
( a; b) x a x b :
–
( a; ) x a x :
–
( ; b) x x b :
–
a
//////////
b
///////////
(
+
+
)
Đoạn: a; b x a x b : –
Nửa khoảng:
+
+
a
b
–
+
–
+
a; x a x :
–
+
–
]
+
a; b x a x b :
a; b x
axb :
; b x
xb :
Các phép toán tập hợp
Giao của hai tập hợp: A B x x A và x B
A
B
A
Hợp của hai tập hợp: A B x x A hoặc x B
Hiệu của hai tập hợp: A \ B x x A và x B
Phần bù: Cho B A thì C A B A\B.
A
B
B
Vấn đề 3. Sai số- số gần đúng
Số gần đúng
Trong đo đạc, tính tốn ta thường chỉ nhận được các số gần đúng.
Sai số tuyệt đối
Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì a a a gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.
Nguyễn Bảo Vương
Trang 4
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT
Độ chính xác của một số gần đúng
Nếu a a a d thì a d a a d. Ta nói a là số gần đúng của a với độ chính xác d và qui ước viết gọn là
a a d.
Sai số tương đối
Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a , kí hiệu a
a
a
a càng nhỏ thì độ chính xác của phép đo đạc hoặc tính tốn càng lớn.
Ta thường viết a dưới dạng phần trăm.
Qui tròn số gần đúng
Nếu chữ số ngay sau hàng qui trịn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó
bởi số 0.
Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó
bởi số 0 và cộng thêm một đơn vị vào chữ số ở hàng qui tròn.
Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số qui trịn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của số qui trịn khơng
vượt q nửa đơn vị của hàng qui tròn. Như vậy, độ chính xác của số qui trịn bằng nửa đơn vị của hàng qui
tròn.
Chữ số chắc
Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d. Trong số a, một chữ số được gọi là chữ số chắc (hay đáng tin)
nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó.
Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ
số không chắc đều là chữ số không chắc.
Chương 2. Hàm số bậc nhất và bậc hai
Vấn đề 1. Đại cương về hàm số
Định nghĩa
Cho D , D . Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x D với một và chỉ một số
y . Trong đó:
x được gọi là biến số (đối số), y được gọi là giá trị của hàm số f tại x. Kí hiệu: y f ( x).
D được gọi là tập xác định của hàm số.
T y f ( x) x D được gọi là tập giá trị của hàm số.
Cách cho hàm số: cho bằng bảng, biểu đồ, công thức y f ( x).
Tập xác định của hàm y f ( x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f ( x) có nghĩa.
Chiều biến thiên của hàm số: Giả sử hàm số y f ( x) có tập xác định là D. Khi đó:
Hàm số y f ( x) được gọi là đồng biến trên D x1 , x2 D và x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ).
Hàm số y f ( x) được gọi là nghịch biến trên D x1 , x2 D và x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ).
Tính chẵn lẻ của hàm số
Cho hàm số y f ( x) có tập xác định D.
Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu x D thì x D và f ( x) f ( x).
Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu x D thì x D và f ( x) f ( x).
Tính chất của đồ thị hàm số chẵn và hàm số lẻ:
+ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng.
Đồ thị của hàm số
Nguyễn Bảo Vương
Trang 5
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT
Đồ thị của hàm số y f ( x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M x; f ( x) trên mặt phẳng toạ độ
Oxy với mọi x D.
Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y f ( x) là một đường. Khi đó ta nói y f ( x) là phương trình của đường
đó.
Vấn đề 2. Hàm số bậc nhất
Hàm số
TXĐ
Tính chất
Bảng biến thiên
x
a 0 : hàm
số đồng biến
Hàm số bậc
nhất
a 0 : hàm
( a 0)
số nghịch
biến
Hàm số hằng
Không đổi.
Hàm số
Hàm chẵn.
y x
Đồng biến
trên ( ; 0)
và nghịch
biến (0; ).
x khi x 0
x khi x 0
A
A(0; b)
y
b
B ; 0
a
O
B
A
O
Hàm chẵn.
yb
y
x
Đồ thị
y ax b
Điểm đặc biệt
B
A(0; b)
A
O
x
O(0; 0)
0
A( 1;1)
y
B(1;1)
0
B
A
O
b
khi x
ax b
a
Đối với hàm số y ax b , (a 0) thì ta có: y ax b
( ax b) khi x b
a
Do đó để vẽ hàm số y ax b , ta sẽ vẽ hai đường thẳng y ax b và y ax b , rồi xóa đi hai
phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hồnh Ox.
Lưu ý: Cho hai đường thẳng d : y ax b và d : y ax b. Khi đó:
d // d a a và b b.
d d a.a 1.
d d a a và b b.
d d a a.
Phương trình đường thẳng d qua A( x A ; y A ) và có hệ số góc k dạng d : y k.( x x A ) y A .
Vấn đề 3. Hàm số bậc 2
Hàm số
TXĐ
Tính chất
Đồ thị y ax 2 , ( a 0) là 1
parabol ( P ) có:
y ax 2
Nguyễn Bảo Vương
Đỉnh O(0; 0).
Bảng biến thiên
Đồ thị
Khi a 0 :
x
y
0
0
O
Trang 6
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT
( a 0)
Trục đối xứng: Oy.
Khi a 0 :
x
a 0 : bề lõm quay lên.
0
0
y
a 0 : bề lõm quay xuống.
O
Khi a 0 :
x
Đồ thị y ax 2 bx c ,( a 0)
là 1 parabol ( P) có:
y
b
Đỉnh I ;
2a 4a
y ax 2 bx c
( a 0)
b
Trục đối xứng: x
2a
b
2a
4a
O
I
Khi a 0 :
x
a 0 : bề lõm quay lên.
a 0 : bề lõm quay xuống.
y
b
2a
4a
I
O
Vẽ đồ thị hàm số
2
Vẽ đồ thị hàm y f x ax2 b x c , ( a 0)
y f ( x) ax bx c , ( a 0)
Bước 1. Vẽ parabol ( P ) : y ax 2 bx c.
Bước 1. Vẽ parabol ( P ) : y ax 2 bx c.
Bước 2. Do
f ( x) khi f ( x) 0
nên đồ thị
y f ( x)
f ( x) khi f ( x) 0
Bước 2. Do y f x
là hàm chẵn nên đồ thị
đối xứng nhau qua Oy và vẽ như sau:
Giữ nguyên phần ( P ) bên phải Oy.
hàm số y f ( x) được vẽ như sau:
Lấy đối xứng phần này qua Oy.
Giữ nguyên phần ( P ) phía trên Ox.
Đồ thị y f x
Lấy đối xứng phần ( P ) dưới Ox qua
là hợp 2 phần trên.
Ox.
Đồ thị y f ( x) là hợp 2 phần trên.
O
O
Chương 3. Phương trình và hệ phương trình
Vấn đề 1. Đại cương về phương trình
Khái niệm phương trình một ẩn
— Cho hai hàm số y f ( x) và y g( x) có tập xác định lần lượt là D f và D g . Đặt D D f Dg . Mệnh đề chứa biến
" f ( x) g( x)" được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn và D gọi tập xác định của phương trình.
Nguyễn Bảo Vương
Trang 7
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT
— Số xo D gọi là 1 nghiệm của phương trình f ( x) g( x) nếu " f ( xo ) g( xo )" là 1 mệnh đề đúng.
Phương trình tương đương
— Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng 1 tập nghiệm. Nếu phương trình f1 ( x) g1 ( x) tương
đương với phương trình f 2 ( x ) g2 ( x) thì viết f1 ( x) g1 ( x) f2 ( x) g 2 ( x).
— Định lý 1: Cho phương trình f ( x) g( x) có tập xác định D và y h( x) là một hàm số xác định trên D. Khi đó
trên miền D, phương trình đã cho tương đương với mỗi phương trình sau:
(1) : f ( x) h( x) g( x) h( x).
(2) : f ( x).h( x) g( x).h( x) với h( x) 0, x D.
Phương trình hệ quả
— Phương trình f1 ( x) g1 ( x) có tập nghiệm là S1 được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f 2 ( x ) g2 ( x)
có tập nghiệm S2 nếu S1 S2 . Khi đó viết: f1 ( x) g1 ( x) f 2 ( x) g2 ( x).
— Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho:
2
2
f ( x) g( x) f ( x) g( x) .
Lưu ý:
Nếu hai vế của 1 phương trình ln cùng dấu thì khi bình phương 2 vế của nó, ta được một phương trình
tương đương.
Nếu phép biến đổi tương đương dẫn đến phương trình hệ quả, ta phải thử lại các nghiệm tìm được vào phương
trình đã cho để phát hiện và loại bỏ nghiệm ngoại lai.
Vấn đề 2. Phương trình bậc nhất 1 ẩn
Giải và biện luận phương trình ax b 0 ax b
Hệ số
Kết luận
b
( i ) có nghiệm duy nhất x
a
a0
a0
(i)
b0
( i ) vô nghiệm.
b0
( i ) nghiệm đúng với mọi x .
Bài toán tìm tham số trong phương trình bậc nhất ax b 0
(ii)
Để phương trình (ii) có nghiệm duy nhất a 0.
Để phương trình (ii) có tập nghiệm là (vơ số nghiệm)
Để phương trình (ii) vơ nghiệm
Để phương trình (ii) có nghiệm có nghiệm duy nhất hoặc có tập
a 0
b 0
a 0
b 0
a 0
nghiệm là a 0
b 0
Lưu ý: Có nghiệm là trường hợp ngược lại của vơ nghiệm. Do đó,
tìm điều kiện để (ii) có nghiệm, thơng thường ta tìm điều kiện để (ii)
vơ nghiệm, rồi lấy kết quả ngược lại.
Vấn đề 3. Phương trình bậc hai 1 ẩn
Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax 2 bx c 0
Nguyễn Bảo Vương
(i)
Trang 8
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT
Phương pháp:
Bước 1. Biến đổi phương trình về đúng dạng ax 2 bx c 0.
Bước 2. Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: a 0, ta giải và biện luận ax b 0.
Trường hợp 2: a 0. Ta lập b2 4ac. Khi đó:
Nếu 0 thì ( i ) có 2 nghiệm phân biệt x1,2
Nếu 0 thì ( i ) có 1 nghiệm (kép): x
b
2a
b
2a
Nếu 0 thì ( i ) vơ nghiệm.
Bước 3. Kết luận.
Lưu ý:
a 0
a 0
hoặc
Phương trình ( i ) có nghiệm
b 0
0
a 0
a 0
Phương trình ( i ) có nghiệm duy nhất
hoặc
b 0
0
Định lý Viét
b
S x1 x2 a
Nếu phương trình bậc hai ax bx c 0, ( a 0) có 2 nghiệm x1 , x2 thì
P x x c
1 2
a
Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u v S và tích uv P thì u, v là 2 nghiệm của phương
trình x 2 Sx P 0, (S 2 4 P 0).
2
Ứng dụng định lý Viét
Tính giá trị các biểu thức đối xứng của 2 nghiệm phương trình bậc hai:
x12 x22 ( x12 2 x1 x2 x22 ) 2 x1 x2 ( x1 x2 )2 2 x1 x2 S2 2 P.
( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 S2 4 P x1 x2 a 0 ( x1 x2 )2 a2 S2 4 P a2 .
x13 x 23 ( x1 x2 )( x12 x1 x 2 x22 ) ( x1 x2 ) ( x1 x2 )2 3 x1 x2 S.(S 2 3 P ) S 3 3SP.............
b
(1)
S x1 x2 a
Lưu ý: Nếu biểu thức không đối xứng thường ta giải hệ Biểu thức không đối xứng
c
P x1 x2
(3)
a
bằng phương pháp cộng ở (1) và (2) được x1 , x2 theo m và thế x1 , x2 vào (3) để tìm m.
Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Phương trình có 2 nghiệm trái dấu: x1 0 x2 P 0.
0
Phương trình có 2 nghiệm dương: 0 x1 x2 P 0
S 0
Nguyễn Bảo Vương
Trang 9
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT
0
Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt: 0 x1 x2 S 0
P 0
0
Phương trình có 2 nghiệm âm: x1 x2 0 P 0
S 0
0
Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt: x1 x2 0 P 0
S 0
x x2 0
0
Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu: 1
P 0
0 x1 x2
Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu so sánh 2 nghiệm x1 , x2 với số , ta thường có 2 cách làm sau:
Một là đặt ẩn phụ t x để đưa về so sánh 2 nghiệm t1 , t 2 với số 0 như trên.
x1 a x2 x1 a 0 x2 a ( x1 a)( x2 a) 0
Hai là biến đổi, chẳng hạn:
x a
x a 0 nhân ( x1 a)( x2 a) 0
a x1 x2 1
1
x2 a
x2 a 0 x1 x2 2a 0
Vấn đề 4. Một số phương trình quy về bậc nhất, bậc hai
Phương trình trùng phương: ax 4 bx 2 c 0, ( a 0)
()
()
— Đặt t x 2 0 thì () at 2 bt c 0
— Để xác định số nghiệm của (), ta dựa vào số nghiệm của () và dấu của chúng, cụ thể:
() v« nghiƯm
Để () vơ nghiệm () cã nghiƯm kÐp ©m.
() cã 2 nghiƯm ©m
() cã nghiƯm kÐp t1 t 2 0
Để () có 1 nghiệm
() có 1 nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại âm
() cã nghiƯm kÐp d¬ng
Để () có 2 nghiệm phân biệt
() cã 2 nghiƯm tr¸i dÊu
Để () có 3 nghiệm () có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm cịn lại dương.
Để () có 4 nghiệm () có 2 nghiệm dương phân biệt.
Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai
2
Loại 1. ax4 bx3 cx2 dx e 0 với
e d
0.
a b
2
d
Phương pháp giải: Chia hai vế cho x 0, rồi đặt t x t 2 x với
x
x
b
2
Loại 2. ( x a)( x b)( x c )( x d) e với a c b d.
Phương pháp giải: ( x a)( x c ) ( x b)( x d) e
x 2 ( a c)x ac x 2 (b d)x bd e và đặt t x 2 ( a c )x.
Loại 3. ( x a)( x b)( x c)( x d) ex 2 với a.b c.d.
Nguyễn Bảo Vương
Trang 10
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT
Phương pháp giải: Đặt t x 2 ab
abcd
x thì phương trình
2
abcd
abcd
t
x t
x ex 2 (có dạng đẳng cấp)
2
2
Loại 4. ( x a)4 ( x b)4 c
Phương pháp giải: Đặt x t
Loại 5. x4 ax2 bx c
ab
ab
(t )4 (t )4 c với
2
2
(1)
Phương pháp giải: Tạo ra dạng A2 B2 bằng cách thêm hai vế cho một lượng
2 k.x 2 k 2 , tức phương trình (1) tương đương:
( x 2 )2 2 kx 2 k 2 (2 k a) x 2 bx c k 2 ( x 2 k )2 (2 k a) x 2 bx c k 2 .
2 k a 0
k?
2
2
VP b 4(2 k a)(c k ) 0
Cần vế phải có dạng bình phương
Loại 6. x4 ax 3 bx2 cx d
(2)
2
2
Phương pháp giải: Tạo A B bằng cách thêm ở vế phải 1 biểu thức để tạo ra dạng
a
2
2
bình phương: x 2 x k x 4 ax 3 2 k
của phương trình (2) một lượng: 2 k
2
a
4
a2
4
2
2
x kax k . Do đó ta sẽ cộng thêm hai vế
2
2
x kax k , thì phương trình
2
a
a2
(2) x 2 x k 2 k b x 2 ( ka c)x k 2 d.
2
4
a2
2
k
b0
4
k?
Lúc này cần số k thỏa:
2
( ka c)2 4 2 k a b ( k 2 d) 0
VP
4
Lưu ý: Với sự hổ trợ của casio, ta hồn tồn có thể giải được phương trình bậc bốn bằng
phương pháp tách nhân tử. Tức sử dụng chức năng table của casio để tìm nhân tử bậc hai, sau
đó lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu được bậc hai. Khi đó bậc bốn được viết lại thành
tích của 2 bậc hai.
Phân tích phương trình bậc ba bằng Sơ đồ Hoocner
Khi gặp bài tốn chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm
nghiệm sau đó chia Hoocner.
— Nguyên tắc nhẩm nghiệm:
Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x 1.
Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có 1 nghiệm x 1.
Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi tham số m và
thử lại tính đúng sai.
— Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo.
Để giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, ta tìm cách khử dấu trị tuyệt đối bằng cách: dùng
A khi A 0
, hoặc bình phương 2 vế hoặc đặt ẩn phụ.
A khi A 0
định nghĩa A
Nguyễn Bảo Vương
Trang 11
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT
A 0
B 0
AB
Loại 1: A B A B hoặc sử dụng định nghĩa: A B
A 0
A B
A B
A B
Loại 2: A B
A B
Loại 3: a. A b. B C dùng phương pháp chia khoảng để giải.
Lưu ý: Giải và biện luận phương trình ax b cx d ta làm như sau:
ax b cx d
Phương trình ax b cx d
ax b cx d
(1)
(2)
Giải và biện luận từng phương trình (1) và (2).
Xét trường hợp nghiệm của phương trình (1) trùng với nghiệm phương trình (2).
Kết luận.
B 0
A B
2
A B
A B A B2 .
A 0 (hay B 0)
A B
A B
3
A B A B3 .
Vấn đề 5. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Định nghĩa:
a12 b12 0
a1 x b1 y c1 (1)
(
I
)
:
Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn x và y là hệ có dạng
với 2 2
a2 x b2 y c2 (2)
a2 b2 0
Cặp số ( xo ; y o ) đồng thời thỏa cả 2 phương trình (1) và (2) được gọi là nghiệm của hệ.
Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.
Ký hiệu: D
a1
a2
b1
c
a1b2 a2 b1 , Dx 1
b2
c2
b1
a
c1b2 c2 b1 , Dy 1
b2
a2
Xét D
D0
D0
Dx 0 hoặc Dy 0
Dx Dy 0
c1
a1c2 a2 c1 .
c2
Kết quả
Hệ có nghiệm duy nhất x
Dy
Dx
, y
D
D
Hệ vơ nghiệm.
Hệ có vơ số nghiệm.
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương
pháp cộng đại số.
Biểu diễn hình học của tập nghiệm:
Nghiệm ( x ; y ) của hệ ( I ) là tọa độ điểm M( x; y) thuộc cả 2 đường thẳng:
( d1 ) : a1 x b1 y c1 và ( d2 ) : a2 x b2 y c2 .
Hệ ( I ) có nghiệm duy nhất ( d1 ) và ( d2 ) cắt nhau.
Hệ ( I ) vô nghiệm ( d1 ) và ( d2 ) song song với nhau.
Hệ ( I ) có vơ số nghiệm ( d1 ) và ( d2 ) trùng nhau.
Nguyễn Bảo Vương
Trang 12
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT
a1 b1
a2 b2
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a1 b1 c1
a2 b2 c2
Vô nghiệm
Vô số nghiệm
M
Nghiệm duy nhất
HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN
a1 x b1 y c1 z d1
Hệ có dạng: a2 x b2 y c2 z d2 Một nghiệm của hệ là bộ 3 số ( xo ; y o ; zo ) thỏa cả 3 phương
a x b y c z d
3
3
3
3
trình của hệ. Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về
các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các
phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vấn đề 6. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn số
HỆ GỒM 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ax by c
2
2
dx exy fy gx hy i
(1)
(2)
Dạng tổng quát:
Phương pháp giải: Từ phương trình bậc nhất (1), rút x theo y (hoặc y theo x) và thế vào
phương trình cịn lại (2) để giải tìm x (hoặc tìm y).
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I
Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ khơng thay đổi và trật tự các
phương trình cũng khơng thay đổi.
Phương pháp giải: Biến đổi về dạng tổng và tích 2 biến.
Đặt S x y , P xy.
Giải hệ với ẩn S , P với điều kiện có nghiệm ( x; y ) là S2 4 P.
Tìm nghiệm ( x; y ) bằng cách thế vào phương trình X 2 SX P 0.
Một số biến đổi để đưa về dạng tổng – tích thường gặp:
x 2 y 2 ( x y )2 2 xy S 2 2 P.
( x y )2 ( x y ) 2 4 xy S 2 4 P.
4
4
2
2 2
2
2
4
2
x 3 y 3 ( x y ) 3 3 xy( x y ) S 3 3SP.
2
x y ( x y ) 2 x y S 4S P 2 P .
x 4 y 4 x 2 y 2 ( x 2 xy y 2 )( x 2 xy y 2 )
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II
Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ phương trình khơng thay đổi
và trật tự các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia).
Phương pháp giải: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, lúc nào cũng đưa được về dạng
( x y). f ( x) 0, tức ln có x y.
Lưu ý: Đối với hệ đối xứng loại II chứa căn thức, sau khi trừ ta thường liên hợp.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
Nguyễn Bảo Vương
Trang 13
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT
a1 x 2 b1 xy c1 y 2 d1
2
2
a2 x b2 xy c2 y d2
Dạng tổng quát:
Phương pháp giải: ( i )
(i)
d2 ( a1 x 2 b1 xy c1 y 2 ) d1 .d2
2
2
d1 ( a2 x b2 xy c 2 y ) d1 .d2
(1)
(2)
Lấy (1) (2) ( a1d2 a2 d1 ) x 2 (b1d2 b2 d1 ) xy (c1d2 c2 d1 ) y 2 0. Đây là phương trình đẳng
cấp bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ x , y.
fm ( x; y) a
với f m ( x; y ), fn ( x; y ), f k ( x ; y ) là các biểu thức đẳng cấp bậc
fn ( x; y ) fk ( x; y )
Lưu ý: Dạng
m, n, k thỏa mãn m n k. Khi đó ta sẽ sử dụng kỹ thuật đồng bậc để giải. Tức biến đổi hệ
a f ( x; y )
m
fm ( x; y) fn ( x; y) a. fk ( x; y) và đây là phương trình đẳng cấp bậc k.
a f ( x; y ) a f ( x; y )
k
n
Chương 4. Bất đẳng thức, bất phương trình
Vấn đề 1. Bất đẳng thức
Điều kiện
Cộng hai vế với số bất kì
Nội dung
ab acbc
(1)
một số dương: c 0
a b ac bc
(2a)
một số âm: c 0
a b ac bc
(2b)
Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều
a b
ac bd
c d
(3)
Nhân từng vế BĐT khi biết nó dương
a b 0
ac bd
c d 0
(4)
Mũ lẻ
a b a2 n 1 b2 n1
(5a)
Mũ chẵn
0 a b a 2n b2n
(5b)
a0
ab a b
(6a)
a bất kỳ
ab 3 a 3 b
(6b)
Nhân hai vế
Nâng lũy thừa với n
Lấy căn hai vế
Nếu a, b cùng dấu: ab 0
ab
1 1
a b
(7 a)
Nếu a, b trái dấu: ab 0
ab
1 1
a b
(7 b)
Nghịch đảo
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (AM – GM)
ab
ab . Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b.
2
abc 3
abc . Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c.
a 0; b 0; c 0 thì ta có:
3
a 0; b 0 thì ta có:
BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACÔPXKI (CAUCHY SCHWARZ)
( a.x b.y)2 ( a 2 b 2 )( x 2 y 2 )
x y
x; y; a; b thì:
Dấu " " xảy ra khi , (a; b 0).
2
2
2
2
a b
a.x b.y ( a b )( x y )
Nguyễn Bảo Vương
Trang 14
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT
( a.x b.y c.z)2 ( a2 b2 c 2 )( x 2 y 2 z 2 )
2
2
2
2
2
2
a.x b.y c.z ( a b c )( x y z )
x; y; z; a; b; c thì:
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi
x; y và a 0, b 0 thì
x y z
( a; b; c 0).
a b c
x y
x 2 y 2 ( x y )2
Dấu " " xảy ra khi
a
b
ab
a b
x; y; z và a 0, b 0, c 0 thì
x y z
x 2 y 2 z 2 ( x y z )2
Dấu " "
a
b
c
abc
a b c
Để chứng minh một bất đẳng thức bằng phương pháp tương đương, ta có thể làm theo 2 ý tưởng:
— Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết là luôn đúng.
— Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.
Một số bất đẳng thức luôn đúng:
A 2 0.
A 2 B2 0.
A.B 0 với A , B 0.
A 2 B2 2 AB.
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz loại I
2
( a.x b.y) ( a 2 b2 )( x 2 y 2 )
x y
x; y; a; b thì:
Dấu " " xảy ra khi , ( a; b 0).
2
2
2
2
a b
a.x b.y ( a b )( x y )
( a.x b.y c.z)2 ( a2 b2 c 2 )( x 2 y 2 z 2 )
2
2
2
2
2
2
a.x b.y c.z ( a b c )( x y z )
x; y; z; a; b; c thì:
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi
x y z
( a; b; c 0).
a b c
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz loại II (cộng mẫu số)
x; y và a 0, b 0 thì
x 2 y 2 ( x y )2
x y
Dấu " " xảy ra khi
a
b
ab
a b
x; y; z và a 0, b 0, c 0 thì
x 2 y 2 z 2 ( x y z )2
x y z
Dấu " "
a
b
c
abc
a b c
Thông thường, ta sẽ sử dụng dạng cộng mẫu số khi có dạng bình phương và cả 2 dạng làm cho bậc của bất đẳng
thức giảm đi.
Vấn đề 2. Bất phương trình bậc nhất – bất phương trình bậc hai
DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Định nghĩa: Bất phương trình bậc nhất là bất phương trình có dạng: ax b 0, ax b 0,
ax b 0, ax b 0 với a, b .
Giải và biện luận bất phương trình dạng: ax b 0
(1)
b
b
Nếu a 0 thì (1) ax b x S ;
a
a
b
b
Nếu a 0 thì (1) ax b x S ;
a
a
Nếu a 0 thì (1) 0 x b. Khi đó, xét:
Nếu b 0 S .
Nếu b 0 S .
Lưu ý: Ta giải tương tự với ax b 0, ax b 0, ax b 0.
Dấu của nhị thức bậc nhất: Cho nhị thức bậc nhất f ( x) ax b , ( a 0).
Nguyễn Bảo Vương
Trang 15
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT
x
f ( x) ax b
Trái dấu với a
b
a
0
Cùng dấu với a
Giải hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn:
― Giải từng bất phương trình trong hệ.
― Lấy giao nghiệm.
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f ( x) ax 2 bx c , ( a 0)
― Trường hợp 1. 0 :
x
f ( x)
Cùng dấu với a
― Trường hợp 2. 0 :
x
xo
f ( x)
Cùng dấu với a
Cùng dấu với a
0
― Trường hợp 3. 0 :
x
x1
x2
f ( x)
Cùng dấu với a 0
Trái dấu với a
2
Nhận xét: Cho tam thức bậc hai f ( x) ax bx c , ( a 0)
a 0
ax 2 bx c 0, x
0
a 0
ax 2 bx c 0, x
0
0
Cùng dấu với a
a 0
ax 2 bx c 0, x
0
a 0
ax 2 bx c 0, x
0
Chương 6. Lượng giác
Vấn đề 1. Cung và góc lượng giác
1. Đường trịn định hướng và cung lượng giác
+
Đường tròn định hướng là một đường trịn trên đó ta chọn một chiều chuyển động gọi là
A
chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim
đồng hồ làm chiều dương.
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di động trên đường trịn ln theo một chiều
(âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B.
Với hai điểm A, B đã cho trên đường trịn định hướng ta có vơ số cung lng giỏc im u A, im cui B.
ỵ
Mi cung nh vậy đều được kí hiệu là AB .
2. Góc lượng giỏc
D
ỵ
Trờn ng trũn nh hng cho mt cung lng giỏc CD . Mt im M chuyn ng trờn
ỵ
ng trũn t C tới D tạo nên cung lượng giác CD . nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh
gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC ,
tia cuối là OD.
Kí hiệu góc lượng giác đó là OC , OD .
Nguyễn Bảo Vương
M
O
C
Trang 16
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT
3. Đường trịn lượng giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính
R 1.
Đường trịn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm
A 1;0, A ' 1;0 , B 0;1, B ' 0; 1.
+
O
Ta lấy A 1;0 làm điểm gốc của đường trịn đó.
Đường trịn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A ).
II – SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
1. Độ và radian
a) Đơn vị radian
Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad.
b) Quan hệ giữa độ và radian
180
.
1
rad và 1rad
180
0
0
c) Độ dài của một cung tròn
Trên đường tròn bán kính R, cung nửa đường trịn có số đo là rad và có độ dài là R. Vậy cung có số đo
rad của đường trịn bán kính R có độ dài
R.
2. Số đo của một cung lng giỏc
ỵ
S o ca mt cung lng giỏc AM ( A M ) là một số thực âm hay dng.
ỵ
ỵ
Kớ hiu s o ca cung AM l s AM .
Ghi nhớ
Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bi ca 2.
Ta vit
ỵ
s AM k 2, k .
trong đó là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A , điểm cuối là M .
3. Số đo của một góc lượng giác
Số đo của góc lượng giác OA, OC là số đo của cung lượng giác AC tương ứng.
Chú ý Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và góc
lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược
lại.
4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
Chọn điểm gốc A 1;0 làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn
cung lượng giác có số đo trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M
được xác định bởi hệ thức sđ AM .
Vấn đề 2. Giá trị lượng giỏc ca 1 cung
1. nh ngha
ỵ
ỵ
ỵ
Trờn ng trũn lng giỏc cho cung AM có sđ AM (cịn viết AM )
Tung độ y OK của điểm M gọi là sin của và kí hiệu là sin .
sin OK .
Nguyễn Bảo Vương
Trang 17
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT
Hồnh độ x OH của điểm M gọi là côsin của và kí hiệu là cos .
cos OH .
M
sin
gọi là tang của và kí hiệu là tan (người ta cịn dùng kí
Nếu cos 0, tỉ số
cos
A'
hiệu tg )
tan
y
B
K
A x
H
O
sin
.
cos
B'
cos
gọi là cơtang của và kí hiệu là cot (người ta cịn dùng kí hiệu cotg )
Nếu sin 0, tỉ số
sin
cos
cot
.
sin
Các giá trị sin , cos , tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung .
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, cịn trục hồnh là trục cơsin
2. Hệ quả
1) sin và cos xác định với mọi . Hơn nữa, ta có
sin k 2 sin , k ;
cos k 2 cos , k .
2) Vì 1 OK 1; 1 OH 1 nên ta có
1 sin 1
1 cos 1.
3) Với mọi m mà 1 m 1 đều tồn tại và sao cho sin m và cos m.
2
5) cot xác định với mọi k k .
4) tan xác định với mọi k k .
ỵ
6) Du ca cỏc giá trị lượng giác của góc phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM trên đường tròn
lượng giác.
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
Góc phần tư
I
II
III
IV
Giá trị lượng giác
cos
sin
tan
cot
3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
0
6
4
3
2
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
Nguyễn Bảo Vương
Trang 18
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT
tan
0
cot
Khơng xác định
1
1
3
1
1
3
Khơng xác định
3
0
3
II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CƠTANG
1. Ý nghĩa hình học của tan
Từ A vẽ tiếp tuyến t 'At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại
A.
Gọi T là giao điểm của OM với trục t ' At .
tan được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ AT trên trục t 'At . Trục t 'At được gọi là trục tang.
y
t
M
A x
O
T
t'
2. Ý nghĩa hình học của cot
Từ B vẽ tiếp tuyến s 'Bs với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại
B.
Gọi S là giao điểm của OM với trục s 'Bs
cot được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ BS trên trục s 'Bs Trục s 'Bs được gọi là trục côtang.
III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
1. Công thức lượng giác cơ bản
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau
sin 2 cos 2 1
1
1 tan 2
,
cos 2
1
1 cot 2
,
sin 2
tan .cot 1,
y
s'
S s
B
M
x
k , k
2
O
k , k
k
, k
2
2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
1) Cung đối nhau: và
cos cos
sin sin
tan tan
cot cot
2) Cung bù nhau: và
Nguyễn Bảo Vương
Trang 19
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
3) Cung hơn kém : và
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
4) Cung phụ nhau: và
2
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
Vấn đề 3. Công thức lượng giác
I – CÔNG THỨC CỘNG
cos a b cos a cos b sin a sin b
cos a b cos a cos b sin a sin b
sin a b sin a cos b cos a sin b
sin a b sin a cos b cos a sin b
tan a tan b
1 tan a tan b
tan a tan b
tan a b
.
1 tan a tan b
tan a b
II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
sin 2a 2 sin a cos a
cos 2a cos 2 a sin 2 a 2 cos 2 a 1 1 2 sin 2 a
2 tan a
tan 2a
.
1 tan 2 a
III – CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH
1. Cơng thức biến đổi tích thành tổng
1
cos a b cos a b
2
1
sin a sin b cos a b cos a b
2
1
sin a cos b sin a b sin a b .
2
cos a cos b
Nguyễn Bảo Vương
Trang 20
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT
2. Cơng thức biến đổi tổng thành tích
u v
u v
cos
2
2
u v
u v
cos u cos v 2 sin
sin
2
2
u v
u v
sin u sin v 2 sin
cos
2
2
u v
u v
sin u sin v 2 cos
sin
.
2
2
cos u cos v 2 cos
PHẦN 2. HÌNH HỌC 10
Chương 1. Vecto
Vấn đề 1. Khái niệm véc tơ
1.
Định nghĩa
•
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đọan thẳng, đã chỉ rõ điểm nào là điểm
đầu, điểm nào là điểm cuối.
•
Kí hiệu vectơ có M là điểm đầu và N là điểm cuối là MN . Nhiều khi người ta dùng kí hiệu a để chỉ một
vectơ AB nào đó.
•
2.
•
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vectơ - khơng, kí hiệu là 0 .
Hai vectơ cùng phương, cùng hướng
Giá của vectơ AB : Cho AB khác 0 .
B
A
Đường thẳng AB được gọi là giá của AB .
•
Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng
có giá song song hoặc trùng nhau.
•
Nếu hai vectơ cùng phương thì hoặc chúng cùng hướng, hoặc chúng
ngược hướng.
E
D
b
C
G
Chú ý. Vectơ - khơng AA có giá là mọi đường thẳng qua A; 0 cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ.
*
Trên hình vẽ ta có các vectơ AB, CD, EG cùng phương với nhau, trong đó AB, CD cùng hướng, EG ngược
hướng với các vectơ AB, CD .
3.
Hai vectơ bằng nhau
•
Độ dài của vectơ AB : Độ dài của đoạn thẳng AB được gọi là độ dài của vectơ AB , kí hiệu là AB .
•
Hai vectơ a và b gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài, ta viết a = b .
Vấn đề 2. Tổng của hai vecto
1.
▪
Định nghĩa .
Cho hai vectơ a và b .
2. Tính chất
*
a b ba ;
3.
Các quy tắc
Nguyễn Bảo Vương
* a0 a ;
b
a
Từ một điểm A bất kì dựng các vectơ AB a , BC b .
Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b .
Kí hiệu AC a b .
b
B
a
C
A
a+b
* ab c a bc .
Trang 21
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT
•
Quy tắc ba điểm :
Với ba điểm A, B, C tùy ý ta ln có AB BC AC .
•
Quy tắc hình bình hành :
O
A
OABC là hình bình hành OA OC OB .
C
Tính chất trung điểm :
B
M là trung điểm đoạn AB MA MB 0 .
Tính chất trọng tâm tam giác :
A
M
G là trọng tâm của tam giác ABC GA GB GC 0 .
G
Vấn đề 3. Hiệu của hai vecto
1.
Vectơ đối của một vectơ
C
B
•
Nếu a b 0 thì ta nói a là vectơ đối của vectơ b và ngược lại.
•
Vectơ đối của vectơ a (kí hiệu a ) là một vectơ ngược hướng với vectơ a và có cùng độ dài với vectơ a .
2.
a)
Hiệu của hai vectơ :
Định nghĩa: Hiệu của hai vectơ a và b , kí hiệu a b là tổng của vectơ a với vectơ đối của vectơ b .
b)
a b a (b)
Cách vẽ vectơ a b :
Cho các vectơ a và b
A
(như hình vẽ).
O
Từ điểm O bất kì, ta vẽ OA a , OB b .
Ta có BA a b .
c)
B
Quy tắc về hiệu vectơ: Với ba điểm M, N, O tùy ý thì ta có: MN ON OM
vấn đề 4. Phép nhân vercsto với một số
1.
Định nghĩa
Tích của vectơ a với số thực k là một vectơ, kí hiệu là ka , được xác định như sau :
1) Nếu k 0 thì vectơ ka cùng hướng với vectơ a ;
Nếu k 0 thì vectơ ka ngược hướng với vectơ a ;
2) Độ dài của vectơ ka bằng k . a .
2.
Tính chất
Với mọi vectơ a, b và mọi số thực k, l ta có :
1) k la (kl)a ;
2) (k l)a ka la ;
3) k a b ka kb ; k a b ka kb ;
4) ka 0 k 0 hoặc a 0 .
I là trung điểm đoạn AB MA MB 2MI , với mọi điểm M.
Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm M ta ln có :
3.
Điều kiện để hai vectơ cùng phương
MA MB MC 3MG .
• b cùng phương a ( a 0 ) k : b ka .
Nguyễn Bảo Vương
Trang 22
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT
• Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng k : AB kAC .
4. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương
Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Khi đó mọi vectơ c đều có thể biểu thị được một cách duy nhất
qua hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho c ma nb .
Vấn đề 5. Hệ trục tọa độ
I). TRỤC VÀ ĐỘ DÀI TRÊN TRỤC
Trục tọa độ (còn gọi là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O cố định và vectơ đơn vị i (vectơ
có độ dài bằng 1).
Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
Hướng của vectơ đơn vị gọi là hướng của trục.
Trục tọa độ như vậy được kí hiệu là O; i
i
O
x
B
A
a
Cho điểm M tùy ý nằm trên trục O; i . Khi đó có duy nhất số k xác định để OM k.i . Số k được gọi là tọa độ của
điểm M đối với trục O; i
Cho vectơ a nằm trên trục O; i . Khi đó, khi đó có duy nhất số t xác định để a t.i . Số t được gọi là tọa độ của
vectơ a đối với trục O; i
Như vậy tọa độ điểm M là tọa độ của vec tơ OM .
AB t.i . Ta gọi số t đó là độ dài
Nếu hai điểm A, B
phân
biết
nằm
trên
trục
Ox.
Khi
đó
có
duy
nhất
số
t
sao
cho
đại số của vectơ AB đối với trục đã cho, kí hiệu là AB .Như vậy AB AB.i
Nhận xét:
a).
Nếu vectơ AB
cùng
hướng
với
vectơ
i thì AB AB .
Nếu vectơ AB ngược hướng với vectơ i thì AB AB .
b).
Nếu hai điểm A và B nằm trên trục O; i có tọa độ lần lượt là a và b thì
AB b a
Định lý: Trên trục số:
Với ba điểm bất kì trên trục, ta có: AB BC AC (HỆ THỨC Sa – lơ).
Hai vectơ AB và CD bằng nhau khi và chỉ khi AB CD .
II). HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
y
Hệ trục tọa độ O; i; j gồm hai trục O; i và O; j vng góc với nhau (như hình vẽ).
Trong đó:
Điểm O gọi là gốc tọa độ.
Trục O; j gọi là trục tung, khí hiệu là Oy.
j
O
x
i
Trục O; i gọi là trục hồnh, khí hiệu là Ox.
Các vectơ i và j là các vectơ đơn vị trên trục Ox và Oy.
Hệ trục tọa độ O; i; j cịn được kí hiệu là Oxy.
Chú ý: Mặt phẳng mà trên đó đã chọn một hệ trục tọa độ Oxy được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy (Hay mặt phẳng
Oxy).
Nguyễn Bảo Vương
Trang 23
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT
III). TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Đối với hệ trục tọa độ O; i; j nếu u x.i y.j thì cặp số x; y được gọi là tọa độ của vectơ u .
Kí hiệu u x; y hay u x; y . Số x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của vectơ u .
a x; y
Định lí: Cho hai vec tơ
và số thực k. Khi đó:
b x '; y '
a b x x '; y y ' và a b x x '; y y '
k.a kx; ky
x kx '
a cùng phương với b b 0 k :
y ky '
x x '
ab
y y '
y
u
A
K
u
j
O
x
H
i
IV). TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa độ của điểm M. Như vậy theo định nghĩa ta có:
x; y là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM x; y
Kí hiệu: M x; y hay M x; y .
Số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ của điểm M.
Nhận xét: Nếu gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên Ox và Oy thì:
M x; y OM x.i y.j OH OK
Như vậy: OH x.i hay x OH và OK y.j hay y OK .
y
M(x;y)
K
j
O
x
i
H
Định lí: Với hai điểm A x A ; y A và B x B ; y B ta có:
AB x B x A ; y B y A
V). TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TỌA ĐỘ TRỌNG TÂM TÂM CỦA TAM GIÁC.
Định lí 1: Với hai điểm A x A ; y A
x x A x B
I
2
và B x B ; y B , khi đó trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ là:
yA yB
y I
2
Định lí 2: Cho ba điểm A x A ; y A , B x B ; y B và C x C ; yC . Khi đó trọng tâm G của ABC có tọa độ là
x x A x B x C
G
3
yA y B yC
yG
3
Chương 2. Tích vơ hướng
Vấn đề 1. Giá trị lượng giác của 1 góc
A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1. Định nghĩa
Với mỗi góc (00 1800), ta xác định một điểm M(x ; y) trên nửa đường M'
.
tròn đơn vị sao cho MOx
Khi đó
cos = x ,
sin y ,
-1 -x
Nguyễn Bảo Vương
y
1
y
M
x
O
x
1
Trang 24
