De thi HSG Lop 8

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học: 2017-2018
ĐỀ CHÍNH THỨC
Mơn: TỐN
Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề)
_____________________________
Bài 1 (3 điểm). Chứng minh rằng:
a) 85 + 211 chia hết cho 17
b) 1919 + 6919 chia hết cho 44
Bài 2 (3 điểm). Tìm x biết:
2

 2009  x    2009  x   x 
2
 2009  x    2009  x   x 

2010    x  2010 

2

2010    x  2010 

2

19

49

.

 x2
6
1  
10  x 2 
 3




 :  x  2  x  2 
6

3
x
x

2
x

4
x
 

Bài 3 (4 điểm). Cho biểu thức A = 

a) Tìm điều kiện của x để A xác định .
b) Rút gọn biểu thức A .
c) Tìm giá trị của x để A > O
Bài 4 (4 điểm). Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên:

4 x 3  3 x 2  2 x  83
x 3
A=

Bài 5 (3 điểm): Cho tam giác ABC, đường cao AH, vẽ phân giác Hx của góc AHB


và phân giác Hy của góc AHC . Kẻ AD vng góc với Hx, AE vng góc Hy.

Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình vng.


Bài 6 (3 điểm). Cho góc vng xOy và điểm I nằm trong góc đó. Kẻ IC vng góc
với Ox; ID vng góc với Oy. Biết IC = ID = a. Đường thẳng kẻ qua I cắt Ox ở A
cắt Oy ở B.
a) Chứng minh rằng tích AC.DB không đổi khi đường thẳng đi qua I thay
đổi.
8a 2
b) Biết diện tích tam giác AOB là SAOB = 3 . Tính CA và DB theo a.

--------------- HẾT ---------------Lưu ý : Cán bộ coi thi khơng được giải thích gì thêm.


PHỊNG GD&ĐT HẢI LĂNG
HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT TỐN LỚP 8
NĂM HỌC 2017-2018
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1 (3 điểm):
a) (1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1) = 211.17
Nên kết quả trên chia hết cho 17.

b) (1,5đ) Áp dụng hằng đẳng thức:
n
a + bn = (a + b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) với mọi n lẽ.
Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918)
= 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hết cho 44.
Câu 2 (3 điểm):
2
2
 2009  x    2009  x   x  2010    x  2010  19
2
2
 2009  x    2009  x   x  2010    x  2010  49 .
ĐKXĐ: x 2009; x 2010 .
Đặt a = x – 2010
(a  0), ta có hệ thức:
2

 a  1   a  1 a  a 2 19
2
 a  1   a  1 a  a 2 49

a 2  a  1 19
 2

3a  3a  1 49
 49a 2  49a  49 57a 2  57a  19  8a 2  8a  30 0
3

a



2

 a  5
2
2
  2a  1  4 0   2a  3  2a  5  0

2 (thoả ĐK)
4023
4015
Suy ra x = 2 hoặc x = 2 (thoả ĐK)
4023
4015
Vậy x = 2 và x = 2 là giá trị cần tìm.
Câu 3 (4 điểm):
a) x # 2 , x # -2 , x # 0
(0,75đ)
2
1 
6
 x


 2
:
b) A =  x  4 2  x x  2  x  2
x  2 x  2  x  2
6
:

x2
=  x  2 x  2

=

6
x2
1
.

 x  2 x  2 6 2  x

(2đ)


1
0
 2  x  0  x  2 (1,25đ)
c) Để A > 0 thì 2  x
4
Câu 4 (4 điểm). Biến đổi A = 4x2 + 9x + 29 + x  3
(1đ)

4
 A  Z  x  3  Z  x-3 là ước của 4
 x-3 = 1 ; 2 ; 4

(1đ)
(1đ)
(1đ)

 x = -1; 1; 2; 4 ; 5 ; 7

Câu 5 (3 điểm).




Hx là phân giác của góc AHB
; Hy phân giác của góc AHC mà AHB
và

AHC
là hai góc kề bù nên Hx và Hy vng góc
(1đ)



AEH
Hay DHE
= 900 mặt khác ADH
= 900
Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật (1)
(1đ)
0

AHD  AHB  90 450
2
2
0


AHE  AHC  90 450
2
2


 AHD  AHE

Do

Hay HA là phân giác DHE
(2)
Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vng
(1đ)
Câu 6 (3 điểm):


a) (1,5đ) Ta có góc A chung và AIC = ABO (cặp góc đồng vị)
  IAC ~  BAO (g.g)
AC IC
AC AO


Suy ra: AO BO  IC BO
Tương tự:  BID ~  BAO (g.g)

Suy ra:

OA OB


ID BD 

OA ID

OB BD

(1)

(2)


AC ID

Từ (1) và(2) Suy ra: IC BD

Hay AC. BD = IC . ID = a2
Suy ra: AC.BD = a2 khơng đổi.
b) (1,5đ) Theo cơng thức tính diện tích tam giác vng ta có:
SAOB

1
8a 2
= 2 OA.OB mà SAOB = 3

(giả thiết)

1
8a 2
16a 2
hay 2 OA.OB = 3  OA . OB = 3

16a 2
Suy ra: (a + CA)(a + DB ) = 3

16a 2
 a2 + a(CA + DB) + CA.DB = 3

16a 2
10a 2
Mà CA . DB = a2 ( theo câu a)  a(CA +DB) = 3 - 2a2 = 3
10a
 CA + DB = 3 .
CA.DB a 2


10a
CA  DB 
3
Vậy: 

Giải hệ pt

a
 CA = 3 và DB = 3a
a
Hoặc CA = 3a và DB = 3

----------- HẾT -------------

Lưu ý: Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của
học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn chính xác mới được điểm tối đa.