Ứng dụng thực tế của đạo hàm

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
11L
_________*_________

ỨNG DỤNG THỰC TẾ
CỦA ĐẠO HÀM
TIỂU LUẬN CUỐI KỲ
Học phần: Giải tích
Nhóm thực hiện:
1. Hoàng Anh Quốc
2. Nguyễn Nguyễn Nguyên Hằng
3. Nguyễn Thành Danh
4. Nguyễn Phạm Anh Khoa
5. Nguyễn Long Khương

Tỉnh Bình Dương
Tháng 4 năm 2021


0


Lời nói đầu
Nhà tốn học người Mỹ Judith Victor Grabiner đã từng nói: “ Đạo hàm lần đầu tiên được
sử dụng như cơng cụ, sau đó mới được phát minh, tiếp nữa là được mở rộng và phát triển, cuối
cùng mới được định nghĩa.” Câu nói ấy có nghĩa là trước khi được phát minh ra, người ta đã biết
sử dụng đạo hàm như một công cụ đầy hiệu quả. Newton và Leibniz được lịch sử công nhận là
độc lập với nhau phát minh ra giải tích và khái niệm đạo hàm nói riêng. Leibniz xuất phát từ việc
giải quyết bài toán tiếp tuyến đã đưa ra khái niệm “vi phân” và xây dựng đạo hàm theo khái niệm
này. Trong khi đó, Newton phát minh ra đạo hàm trong một hồn cảnh rất đặc thù: ơng phát minh
ra giải tích chỉ như sáng tạo ra cơng cụ thích hợp để phục vụ cho các tính tốn trong một lý thuyết

vĩ đại mà sau này đã đặt nền móng cho cơ học cổ điển: Thuyết vạn vật hấp dẫn.
Tìm hiểu sâu hơn về đạo hàm và ứng dụng của nó là mục tiêu chính của tiểu luận này. Để
triển khai điều đó, tiểu luận được xây dựng thành 3 chương bao gồm:
Chương 1: Giới hạn.
Đây là chương mở đầu, cũng là chương sở hữu kiến thức cơ bản để tiếp tục tiếp cận những
kiến thức của các chương tiếp theo
Chương 2: Đạo hàm.
Chương này đề cập, giải thích những kiến thức về đạo hàm, các định nghĩa và công thức
áp dụng.
Chương 3: Ứng dụng thực tế của đạo hàm
Trong chương này, chúng em cung cấp một số bài tập có liên quan đến đạo hàm được tham
khảo từ tài liệu [1] và đưa ra cách giải quyết những bài tập này. Bên cạnh đó, chúng em giới thiệu
một vài ứng dụng của đạo hàm trong các bài tốn thực tiễn. Ví dụ như tính khoảng cách trong thể
thao hay tốc độ tăng trưởng của số lượng cá thể... trong chương này.
Kiến thức trong tiểu luận lần này được chúng em tham khảo từ nhiều nguồn tài liệu tin cậy
và giáo trình có liên quan, đồng thời đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ từ các nhóm khác.
Chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Nguyễn Nhân Trí đã tạo cơ hội cho
chúng em được học hỏi và bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học.
Trân Trọng!
Bình Dương, ngày 17 tháng 04 năm 2021
Nhóm thực hiện

1


2


Chương 1

Giới hạn
1.1

Giới hạn của hàm số

Định nghĩa 1.1: ([1])
1. Khi tiến tới ( nhưng khơng bằng ) , thì giới hạn của là , được viết là
Ví dụ 1.1:
Với , ta có bảng giá trị sau

3.9

10.8

3.99

10.98

3.999

10.998

4.001

11.002

4.01

11.02

4.1

11.2

Đây là giới hạn về mặt bảng số.
Ví dụ 1.2:
Với

, ta có đồ thị sa

4
3

 Đây là giới hạn về mặt đồ thị

2
1
2

3

1

1

1

3 4

1.2

Giới hạn một bên của hàm số

Định nghĩa 1.2: ([1])
1. Khi tiến tới từ bên trái , ta có giới hạn bên trái, được viết là
2. Khi tiến tới từ bên phải , giới hạn bên phải, được viết là
Mệnh đề 1.1: ([1])
1. Nếu giới hạn bên trái và bên phải bằng nhau thì tồn tại giới hạn khi tiến tới .
2. Nếu giới hạn bên trái và bên phải khơng bằng nhau thì khơng tồn tại giới hạn khi
tiến tới .
Ví dụ 1.3:
Xét hàm G được cho bởi
Vẽ đồ thị của hàm và tìm từng giới hạn nếu nó tồn tại
a)
b)
Giải
Ta sử dụng phương pháp kiểm tra các giới hạn bên trái và bên phải ở cả số và đồ thị
a)

0.9

3.1

0.99

3.01

0.999

3.001

1.1

2.9

1.01

2.99

1.001

2.999

Giới hạn số

Giới hạn về mặt đồ thị

Cả bảng và đồ thị đều cho thấy rằng: Khi tiến gần đến 1, kết quả của đến gần đến 3.
Như vậy,
4


b)

tại.

1.3

2.5

1.5

2.9

1.1

2.99

1.01

2.999

1.001

3.5

2.224
7

3.1

2.048
8

3.01

2.005
0

3.001

2.000
5

Cả bảng và đồ thị đều chỉ ra rằng .
Vì giới hạn bên trái và bên phải khác nhau nên không tồn

Giới hạn hữu tỉ của hàm số

Định nghĩa 1.3: ([1])
2.1 Đối với bất kì hàm hữu tỉ với nằm trong miền xác định của nó, ta có
Định lý 1.1: ([1])
Một hàm liên tục tại nếu đáp ứng ba điều kiện sau:
1. tồn tại. ( Tồn tại kết quả tại )
2. tồn tại. ( Giới hạn khi tồn tại).
3. ( Giới hạn giống với kết quả).
Nếu một trong những điều kiện này khơng được đáp ứng, thì hàm khơng liên tục tại
Ví dụ 1.4:
1. Cho , và . Ta có

2. Cho

5

, và . Ta có


Ví dụ 1.5:
Hàm được cho bởi

có liên tục trên khơng?
Giải

Để g liên tục trên , nó phải liên tục tại mỗi điểm trong . Lưu ý rằng

, với mọi .
Vì không thuộc miền xác định của nên không tồn tại. do đó, khơng liên tục trên .

6


Chương 2

Đạo hàm
2.1

Tỉ lệ thay đổi trung bình

Định nghĩa 2.1: ([1])
Tốc độ thay đổi của đối với giữa 2 điểm và điểm là hệ số góc của đoạn thẳng nối hai
điểm đó:
Ví dụ 2.1:
Vào lúc 13 giờ, một hiệu sách có tổng doanh thu trong ngày là 570. Vào lúc 16 giờ, hiệu
sách đó có tổng doanh thu trong ngày là 900. Do đó, tỷ lệ doanh thu trung bình theo thời gian là
, hay là 110 mỗi một giờ trong khoảng thời gian từ 13 giờ tới 16 giờ.
Định nghĩa 2.2: ([1])
Gọi là một hàm số. Mọi đường thẳng nối 2 điểm trên đồ thi của đều được gọi là đường cát
tuyến. Độ dốc của đường thẳng là tốc độ thay đổi trung bình của hàm số , được tính bởi thương
số chênh lệch:

Trong đó được gọi là độ chênh lệch giữa hai giá trị .
Ví dụ 2.2:
Cho hàm số . Khi đó
Thương số chênh lệnh của hàm số được đơn giản thành
Do đó, nếu và thì độ dốc của đường thẳng là

2.2

Đạo hàm

Định nghĩa 2.3: ([1])
Đạo hàm của hàm được xác định bởi:

Nhận xét 2.1: ([1])
7


Qua đạo hàm, chúng ta có thể biết được độ dốc của hàm số với đường tiếp tuyến tại biến
đang xét, và hệ số góc đó được coi là tốc độ thay đổi tức thời của hàm số. Quá trình để tính đạo
hàm được gọi là vi phân.
Ví dụ 2.3:
Cho hàm số . Thương số chênh lệch của hàm số này là . Do đó, đạo hàm của hàm số này
bằng
Hệ số góc của đường tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại là
Ví dụ 2.4:
Cho hàm số , tìm và
Ta có:

Vì
Nên ta có

Do đó,

2.3

Tính liên tục của hàm số

Định lý 2.1: ([1])
1. Nếu hàm số khả vi tại thì hàm số đó liên tục tại (Tính khả vi nghĩa là tính liên tục)
2. Hàm số liên tục tại khơng nhất thiết phải khả vi tại . Bất kỳ hàm số nào có một góc trên
đồ thị thì đều liên tục nhưng khơng khả vi tại góc đó.
3. Nếu hàm số khơng liên tục tại thì hàm số đó khơng phân biệt tại
Ví dụ 2.5:
Cho hàm số . Vì chúng ta đã biết đạo hàm và tồn tại đạo hàm tại
nên ta có thể kết luận rằng hàm số liên tục tại

2
4
1
8
1
2
6

tồn tại, do đó
hàm số liên tục
tại

8
-1

1

2

3

4


Ví dụ 2.6:
Hàm giá trị tuyệt đối là hàm liên tục tại nhưng khơng vi phân tại , vì có một góc tại

là hàm liên tục tại nhưng thì khơng
tồn tại

Ví dụ 2.7:
Hàm số

là hàm khơng liên tục tại , do đó, đạo hàm của khơng xác định

tại
(Lưu ý rằng đạo hàm của hàm số vẫn được xác định tại các giá trị khác của )

không liên tục tại , nên
không xác định

2.4

Ký hiệu

Định nghĩa 2.4: ([1])
Nếu , đạo hàm trong hệ ký hiệu Leibniz được viết là
Mỗi cách viết trên đều mang ý nghĩa là
Ví dụ 2.8:
9


Cho hàm số y. Khi đó, trong hệ ký hiệu Leibniz,

2.5

Các quy tắc tính đạo hàm

2.5.1 Đạo hàm của hằng số
Với bất kỳ só thực c,
Ví dụ 2.9:

2.5.2 Đạo hàm của hàm luỹ thừa
Với bất kỳ số thực k,
Ví dụ 2.10:

2.5.3 Đạo hàm của tích hằng số với một hàm
Với bất kỳ số thực c,
Ví dụ 2.11:

2.5.4 Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số
Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số là:
Ví dụ 2.12:

2.5.5 Đạo hàm của tích hai hàm số

Đạo hàm của tích hai hàm số là:
Ví dụ 2.13:

10


2.5.6 Đạo hàm của thương hai hàm số
Đạo hàm của thương hai hàm số là:
Ví dụ 2.14:
2.5.7 Đạo hàm của hàm số hợp
Đạo hàm của hàm số hợp:
Ví dụ 2.15:
Cho , với . Tìm
Giải
Ta có:

2.6

và

. Vì

Đạo hàm cấp cao

2.6.1 Đạo hàm cấp hai
Định nghĩa 2.5: ([2])
Cho hàm số có đạo hàm . Nếu cũng có đạo hàm thì đaọ hàm của nó được gọi là đạo hàm
cấp hai của hàm và ký hiệu là , tức là:
Ví dụ 2.16:
Cho . Khi đó

Và vì vậy

2.6.2 Đạo hàm cấp cao
Định nghĩa 2.6: ([2])
Cho hàm số có đạo hàm cấp (với ) là . Nếu là hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó
được gọi là đạo hàm cấp của hàm và ký hiệu là , hay nói cách khác,
,
Ví dụ 2.17:
11


Cho . Khi đó

Chương 3

Ứng dụng thực tế của đạo hàm
3.1

Ứng dụng của đạo hàm trong thể thao – Môn bóng chày

Bạn đã bao giờ xem một trận đấu bóng chày và thấy một quả home run đánh một chướng
ngại vật sau khi nó đã vượt qua hàng rào?
Giả sử quả bóng chạm vào một vị trí cao 60 ft so với mặt đất ở khoảng cách 400ft từ sân
nhà. Một phát thanh viên hoặc một thông báo trên bảng điểm có thể tun bố : “ Theo thơng số cơ
bản ban đầu, quả bóng bay được 442ft.”. Vậy làm sao để tính tồn được điều này? Câu trả lời liên
quan đến đường cong hình thành bởi đường đi của quả bóng chày.
Bất kể con đường của một quả bóng chày trúng đích là gì thì nó vẫn khơng phải là biểu đồ
của parabol
.
Một quả bóng chày trúng

đích đi theo đường của một parabol
"lệch", như hình bên. Một lý do
khiến đường bay của quả bóng
khơng phải là parabol là quả bóng
bị đánh trúng có xốy ngược. Thực
tế này, kết hợp với hiệu ứng ma sát
của các đường khâu của quả bóng
với khơng khí, làm lệch đường đi
của quả bóng theo hướng hạ cánh
của nó.
Hãy xem liệu chúng ta có thể
lập mơ hình đường đi của một quả
bóng chày hay khơng.
Xét dữ liệu sau
Khoảng cách ngang
0
50
100
200
285
300
360
400
(Tính bằng đơn vị feet)
12


Khoảng cách dọc
4,5
43

82
130
142
134
100
60
(Tính bằng đơn vị feet)
Giả sử đối với dữ liệu đã cho là điểm trên sân nhà mà bóng được đánh, cách mặt đất
khoảng 4,5 ft. Ngồi ra, giả sử rằng quả bóng đã chạm vào một bảng quảng cáo cách mặt đất 60 ft
và cách sân nhà 400 ft.
Trên thực tế, các bảng điểm trong các giải đấu lớn sử dụng các mơ hình khác nhau để dự
đoán khoảng cách rằng một quả home run sẽ đi được. Các mơ hình là tuyến tính và có liên quan
đến quỹ đạo của quả bóng, nghĩa là quả bóng được đánh cao bao nhiêu. Xem đồ thị sau:

theo phương ngang
theo phương ngang
theo phương ngang

Quỹ đạo quả bóng
Chiều cao (feet)
Trun
Trunggbình
bình

Trung
Cao
bình
Trun
g
Thấp

bình

Trung
bình
Điểm
cản trở

Khoảng cách (feet)
Giả sử rằng một quả bóng chạm vào chân vật cản theo chiều ngang từ tấm nhà ở độ cao
(tính theo đơn vị feet). Sau đó khoảng cách nằm ngang ước tính mà quả bóng sẽ đã đi, tùy thuộc
vào loại quỹ đạo của nó, là
Quỹ đạo thấp:
Quỹ đạo trung bình:
Quỹ đạo cao:

3.2

Ứng dụng của đạo hàm trong sinh học – Đường cong sinh sản

Trong một số tình huống nhất định, các nhà sinh vật học có thể xác định cái được gọi là
đường cong sinh sản. Đó là hàm số sao cho nếu là số lượng cá thể sau năm, thì là số lượng cá
thể vào một năm sau, tại thời điểm . đường cong như vậy được hiển thị như :

Số lượng cá thể
trong quần thể
một năm sau
(tại )

Hàm số sinh sản

13

Số lượng cá thể tại thời điểm


Đường thẳng rất quan trọng vì nếu nó trùng với đường cong, thì số lượng cá thể vẫn giữ
nguyên từ năm này sang năm khác. Ở đây đồ thị của hàm nằm hầu hết trên đường thẳng, cho
thấy rằng số lượng cá thể ngày càng tăng.
Việc có quá nhiều hươu trên một cánh rừng có thể làm cạn kiệt nguồn cung cấp thức ăn và
cuối cùng khiến số lượng cá thể giảm sút vì thiếu thức ăn. Trong những trường hợp đó, những
người thợ săn được phép “thu hoạch” một số con hươu. Sau đó, với nguồn cung cấp thức ăn lớn
hơn từ thiên nhiên, số hươu cịn lại có thể thịnh vượng và tăng lên.
Chúng ta biết rằng một quần thể sẽ phát triển thành một quần thể trong vịng một năm.
Nếu đây là một quần thể thú có lơng và số lượng cá thể ngày càng tăng thì thợ săn có thể “thu
hoạch” một lượng mỗi năm mà không cần thu hẹp quần thể ban đầu. Nếu số lượng cá thể vẫn giữ
nguyên hoặc giảm, thì việc thu hoạch như vậy sẽ làm cạn kiệt số cá thể trong quần thể.
Giả sử ta muốn biết giá trị của để cho phép thu hoạch là lớn nhất. Nếu ta có thể xác định
thì ta có thể để quần thể ấy phát triển cho đến khi cho đến khi nó đạt đến mức đó và bắt đầu thu
hoạch từ năm này qua năm khác với số lượng cá thể
Cho hàm thu hoạch H được cho bởi
.
Do đó
Bây giờ, nếu ta giả sử rằng xác định trên tất cả các giá trị của và chỉ có một giá trị giới
hạn, điều đó dẫn đến việc thu hoạch bền vững xảy ra tại giá trị khi và chỉ khi
Và
Hoặc tương đương như vậy, ta có định nghĩa sau đây:
Định nghĩa 3.1: ([1])
Thu hoạch tối đa bền vững xảy ra tại khi và chỉ khi

Ví

sự
14

Số lượng cá thể
(hàng nghìn)

Số lượng cá thể
một năm sau

10

9,7

20

23,1

30

37,4

40

46,2

50

42,6

và
Phương trình trên được suy ra từ .
dụ 3.1:
Bảng dưới đây liệt kê dữ liệu liên quan đến
sinh sản của một loài động vật nhất định.


a. Sử dụng phương pháp hồi quy để tìm hàm đa thức bậc ba phù hợp với dữ liệu đã cho.
b. Vẽ đồ thị đường cong sinh sản, đường thẳng
và hàm thu hoạch bền vững tối đa.
c. Xác định bằng đồ thị số lượng cá thể mà tại
đó thu hoạch bền vững tối đa xảy ra.

Giải
a. Gọi là đồ thị đường cong sinh sản
- Với bảng giá trị đã cho, ta dễ dàng tìm ra được :
-

Vậy đồ thị đường cong sinh sản phù hợp với dữ liệu trên là

b.

c. Điểm thu hoạch bền vững tối đa có thể được xác định bằng cách đạo hàm hàm thu
hoạch và cho nó bằng để được các giá trị của sao cho thu hoạch là tối đa.

3.3

-

Giá trị của tại đó cực đại có thể được xác định bằng cách cho đạo hàm hàm thu hoạch

bằng .

-

Giá trị xác định ở trên của số lượng cá thể cũng có thể xác minh từ đường cong.

Ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế – Chi phí sản xuất

Phép tính vi phân (hay đạo hàm) xuất hiện từ thế kỷ thứ XVIII. Đầu tiên chúng được ứng
dụng trong vật lí, sau đó nó tiếp tục được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác. Đặc biệt, nó có
15


nhiều ứng dụng trong lí thuyết kinh tế và quản lí kinh doanh. Các ứng dụng này tập trung chủ yếu
quanh vấn đề về tổng chi phí, giá cả, lượng hàng tồn kho,...
Trong cơ chế thị trường hiện nay ở nước ta, mục tiêu lâu dài bao trùm của các doanh
nghiệp là kinh doanh có hiệu quả và tối đa hóa lợi nhuận. Mơi trường kinh doanh ln biến đổi
địi hỏi mỗi doanh nghiệp phải có chiến lược kinh doanh thích hợp. Cơng việc kinh doanh là một
nghệ thuật địi hỏi sự tính tốn nhanh nhạy, biết nhìn nhận vấn đề ở tầm chiến lược. Vậy sẽ xuất
hiện hai bài toán lớn mà các nhà kinh doanh cần phải giải quyết.
Giả sử ta có một doanh nghiệp sản xuất mặt hàng Y. Tổng chi phí là một hàm phụ thuộc
theo sản lượng hàng hóa Y. Tổng chi phí này thường bao gồm hai loại: thứ nhất là chi phí để xây
dựng nhà máy, mua sắm máy móc, thường là một giá trị cố định, gọi là ; loại thứ hai là chi phí
tiền lương và chi phí vật liệu thơ. Vậy làm sao để hoạt động sản xuất đạt hiệu quả tối đa?
Chi phí tiền lương và vật liệu thơ để làm ra một đơn vị sản lượng là cố định, gọi là . Khi
đó, để làm ra sản phẩm hàng hóa Y cần chi phí. Như vậy, tổng chi phí được tính như sau:
Để cho doanh nghiệp sản xuất hiệu quả nhất thì lợi nhuận phải đạt cực đại và chi phí phải
đạt cực tiểu hay chi phí trung bình đạt cực tiểu. Ta lấy đạo hàm của hàm ta được:
Mức làm hiệu quả sản xuất tối đa là mức làm sao cho đạo hàm của nó bằng khơng, tức là
hay

Vì vậy ta kết luận được rằng, hoạt động sản xuất đạt hiệu quả tối đa khi và chỉ khi chi phí
lề bằng chi phí trung bình.
Tuy vậy, trên thực tế thì tổng chi phí khơng chỉ đơn giản như trên mà nó cịn phụ thuộc
vào nhiều yếu tố khác nhau như thời gian hoặc loại chi phí thứ hai nhiều khi khơng chỉ tỉ lệ với x
vì khi x tăng (theo thời gian) thì máy móc hỏng nhiều hơn và những sự thiếu hiệu quả khác mà nó
phát sinh từ lực lượng sản xuất với mức độ ngày càng cao hơn. Vì vậy, hàm chi phí sẽ có dạng
hoặc có thể tạo ra hàm phức tạp hơn nữa.
Đạo hàm của cho chúng ta biết được tốc độ gia tăng của tổng chi phí theo biến . Các nhà
kinh tế học gọi phép đạo hàm này là chi phí lề. Thực tế. nó chính là chi phí gia tăng khi ta muốn
tăng sản lượng của một đơn hàng lên một đơn vị từ mức . Theo đó, khi sản lượng sản phẩm biến
đổi từ tới thì

16


17


Bài tập và lời giải
Bài 1:
Mặc dù hầu hết các máy tính khơng thể tính tốn chính xác phương trình quỹ đạo của
đường đi quả bóng chày , nhưng hãy giả sử rằng phương trình đã được tìm thấy bằng cách sử
dụng một số loại đường cong kĩ thuật phù hợp.
a. Vẽ đồ thị của hàm trên đoạn .
b. Dự đoán khoảng cách theo phương ngang từ sân nhà mà tại đó bóng sẽ chạm đất nếu nó
khơng trúng biển quảng cáo.
c. Tìm tốc độ thay đổi chiều cao của quả bóng so với khoảng cách nằm ngang của nó.
d. Tìm (các) điểm mà tại đó đồ thị có đường tiếp tuyến nằm ngang. Giải thích.
Giải
a.

b. Để cho bóng chạm đất thì và (do vị trí bóng chạm đất phải khác vị trí đánh bóng), do
đó phương trình trở thành:

(Nhận)
Vậy, nếu quả bóng được đánh
và trong q trình bay khơng trúng biển quảng cáo, nó sẽ rơi
(Loại)
cách sân nhà một khoảng ft
c. Tốc độ thay đổi chiều cao của quả bóng là đạo hàm của phương trình
d. Điểm mà tại đó đồ thị có đường tiếp tuyến nằm ngang khi và chỉ khi
(Nhận)
(Loại)
-

18

Tại đó, độ cao của quả bóng bằng


Vậy, tại vị trí cách sân nhà ft, có độ cao tối đa ft, đồ thị có đường tiếp tuyến nằm ngang.
Bài 2:
Cho phương trình đường cong sinh sản , trong đó tính bằng hàng nghìn.
a. Vẽ đồ thị đường cong sinh sản, đường thẳng và hàm thu hoạch
b. Tìm số lượng cá thể thời điểm thu hoạch tối đa bền vững diễn ra. Dùng cả biện pháp sử
dụng đồ thị và giải tích.
c. Tìm giá trị thu hoạch bền vững tối đa.
Giải
a.

b. Điểm thu hoạch bền vững tối đa có thể được xác định bằng cách đạo hàm hàm thu
hoạch và cho nó bằng để được các giá trị của sao cho thu hoạch là tối đa.
-

Giá trị của tại đó cực đại có thể được xác định bằng cách cho đạo hàm của hàm thu
hoạch bằng .

-

- Số lượng cá thể này cho thu hoạch tối đa khi tại giá trị thu được.
- Giá trị xác định ở trên của số lượng cá thể cũng có thể xác minh từ đường cong.
c. Có được giá trị mà tại đó thu hoạch tối đa, thay giá trị vào hàm thu hoạch sẽ có được
giá trị thu hoạch bền vững tối đa.

Bài 3:
Cho đường cong sinh sản , trong đó P được tính bằng hàng nghìn. Đây là đường cong sinh
sản trong khu vực Vịnh Hudson dành cho thỏ rừng – một lồi thú có lơng.
a. Vẽ đồ thị đường cong sinh sản, đường thẳng và hàm thu hoạch
b. Tìm số lượng cá thể thời điểm thu hoạch tối đa bền vững diễn ra. Dùng cả biện pháp sử
dụng đồ thị và giải tích.
19


c. Tìm giá trị thu hoạch bền vững tối đa.
Giải
a.

b. Điểm thu hoạch bền vững tối đa có thể được xác định bằng cách đạo hàm hàm thu
hoạch và cho nó bằng để được các giá trị của sao cho thu hoạch là tối đa.

-

Giá trị của tại đó cực đại có thể được xác định bằng cách cho đạo hàm của hàm thu
hoạch bằng .

- Số lượng thỏ rừng này cho thu hoạch tối đa khi tại giá trị thu được.
- Giá trị xác định ở trên của số lượng cá thể cũng có thể xác minh từ đường cong.
c. Có được giá trị mà tại đó thu hoạch tối đa, thay giá trị vào hàm thu hoạch sẽ có được
giá trị thu hoạch bền vững tối đa.

Bài 4:
Cho đường cong sinh sản , trong đó được tính bằng hàng nghìn. Đây là đường cong sinh
sản trong khu vực Vịnh Hudson dành cho linh miêu – một loài thú có lơng.
a. Vẽ đồ thị đường cong sinh sản, đường thẳng và hàm thu hoạch
b. Tìm số lượng cá thể thời điểm thu hoạch tối đa bền vững diễn ra. Dùng cả biện pháp sử
dụng đồ thị và giải tích.
c. Tìm giá trị thu hoạch bền vững tối đa.
Giải
20


a.

b. Điểm thu hoạch bền vững tối đa có thể được xác định bằng cách đạo hàm hàm thu
hoạch và cho nó bằng để được các giá trị của sao cho thu hoạch là tối đa.

-

Giá trị của tại đó cực đại có thể được xác định bằng cách cho đạo hàm của hàm thu
hoạch bằng .

- Số lượng linh miêu này cho thu hoạch tối đa khi tại giá trị thu được.
- Giá trị xác định ở trên của số lượng linh miêu cũng có thể xác minh từ đường cong.
c. Có được giá trị mà tại đó thu hoạch tối đa, thay giá trị vào hàm thu hoạch sẽ có được
giá trị thu hoạch bền vững tối đa.

Bài 5:
Cho đường cong sinh sản , trong đó được tính bằng hàng nghìn. Giả sử rằng đây là đường
cong sinh sản cho quần thể cá hồi nâu trong một hồ lớn.
a. Vẽ đồ thị đường cong sinh sản, đường thẳng và hàm thu hoạch
b. Xác định bằng đồ thị số lượng cá thể mà tại đó thu hoạch bền vững tối đa xảy ra.
c. Tìm giá trị thu hoạch bền vững tối đa.
Giải
a.

21


b. Điểm thu hoạch bền vững tối đa có thể được xác định bằng cách đạo hàm hàm thu
hoạch và cho nó bằng để được các giá trị của sao cho thu hoạch là tối đa.

-

Giá trị của tại đó cực đại có thể được xác định bằng cách cho đạo hàm của hàm thu
hoạch bằng .

- Số lượng cá thể tại này cho thu hoạch tối đa khi tại giá trị thu được.
- Giá trị được xác định ở trên cũng có thể xác minh từ đường cong.
c. Có được giá trị mà tại đó thu hoạch tối đa, thay giá trị vào hàm thu hoạch sẽ có được
giá trị thu hoạch bền vững tối đa.

Bài 6:
Cho đường cong sinh sản , trong đó được tính bằng hàng nghìn.
a. Vẽ đồ thị đường cong sinh sản, đường thẳng và hàm thu hoạch
b. Xác định bằng đồ thị số lượng cá thể mà tại đó thu hoạch bền vững tối đa xảy ra.
c. Tìm giá trị thu hoạch bền vững tối đa.
Giải
a.

22


b. Điểm thu hoạch bền vững tối đa có thể được xác định bằng cách đạo hàm hàm thu
hoạch và cho nó bằng để được các giá trị của sao cho thu hoạch là tối đa.

-

Giá trị của tại đó cực đại có thể được xác định bằng cách cho đạo hàm của hàm thu
hoạch bằng .

- Số lượng cá thể tại này cho thu hoạch tối đa khi tại giá trị thu được.
- Giá trị được xác định ở trên cũng có thể xác minh từ đường cong.
c. Có được giá trị mà tại đó thu hoạch tối đa, thay giá trị vào hàm thu hoạch sẽ có được
giá trị thu hoạch bền vững tối đa.

Bài 7:
Cho bảng số liệu sau
Khoảng cách ngang
0
50

100 200 285
(Tính bằng đơn vị feet)
Khoảng cách dọc
4,5
43
82
130 142
(Tính bằng đơn vị feet)
1. Vẽ đồ thị các điểm và kết nối chúng bằng các đoạn thẳng.
2.
a. Dùng hồi quy để tìm hàm bậc ba phù hợp với dữ liệu.
b. Vẽ đồ thị của hàm trên đoạn .
c. Hàm số trên có hình dạng giống với dữ liệu đã cho không?
23

300

360

400

134

100

60