Các chuyên đề đại số lớp 9 bao gồm lí thuyết trọng tâm, các dạng bài tập, hướng dẫn giải chi tiết

CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

CHUYÊN ĐỀ 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA
BÀI 1. CĂN BẬC HAI
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nêu được định nghĩa căn bậc hai số học của số khơng âm.
+

Điều kiện có căn bậc hai của một số thực.

+ Nắm vững quan hệ so sánh của căn bậc hai số học.
 Kĩ năng
+

Tìm được căn bậc hai và căn bậc hai số học của một số.

+

Phân biệt được định nghĩa căn bậc hai và căn bậc hai số học.

+

Biết so sánh các căn bậc hai.

+ Giải được phương trình

x  a.

+ Giải được phương trình x 2  a .

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Căn bậc hai số học
Căn bậc hai
Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x 2  a .
Số dương a có hai căn bậc hai là hai số đối nhau:
Số dương kí hiệu là

a và số âm kí hiệu là  a .

Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết

0  0.

Căn bậc hai số học
Với số dương a , số

Chú ý

a được gọi là căn bậc hai số học của a .

Với a  0 , ta có

Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

x  0
a x 2
.
x  a

2. So sánh hai căn bậc hai số học
Với hai số a và b không âm, ta có

ab a  b.
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA

a là căn bậc hai
số học của a

So sánh

CĂN BẬC HAI

0ab a  b

Số dương

Căn bậc hai
của 0 là 0

x a
a0

a là

số x sao cho x  a

Căn bậc hai của số
2

a0

Số âm

Căn bậc hai số
học của 0 là 0

x a
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học của một số
Bài tốn 1. Tìm căn bậc hai
Phương pháp giải
Căn bậc hai

Ví dụ: Tìm căn bậc hai của 121.

Căn bậc hai của một số a không âm là số x

Hướng dẫn giải

sao cho x 2  a .

Ta có 112  121 và  11  121 .
2

Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta
Trang 2

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Do đó 121 có hai căn bậc hai là 11 và 11 .

0  0.

viết

Ví dụ mẫu
Ví dụ: Tìm căn bậc hai của các số sau:
2

a) 9.

1
c)   .
2

b) 0.

2

 3 
d)   .

 2 

Hướng dẫn giải
a) Ta có 32  9 và  3  9 .
2

Do đó 9 có hai căn bậc hai là 3 và 3 .
b) Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0.
2

2

1  1
c) Ta có       .
2  2
2

1
1
1
Do đó   có hai căn bậc hai là
và  .
2
2
2
2

2

 3   3 

d) Ta có      .
 2  2
2

3
3
 3 
Do đó   có hai căn bậc hai là
và  .
2
2
 2 
Bài toán 2. Tìm căn bậc hai số học
Phương pháp giải
Căn bậc hai số học
Với số dương a , số

Ví dụ: Tìm căn bậc hai số học của 121.

a được gọi là căn bậc hai số Hướng dẫn giải

học của a .

Ta có 121  11 .

Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

Vậy căn bậc hai số học của 121 là 11.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai số học của các số sau:
2

a) 9.

b) 0.

1
c)   .
2

2

 3 
d)   .
 2 

Hướng dẫn giải
a) Ta có

9  3 . Vậy căn bậc hai số học của 9 là 3.

b) Căn bậc hai số học của 0 là 0.

Trang 3

CHUYÊN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

2

2

c) Ta có

1 1
1
 . Vậy căn bậc hai số học của
  
4 2
2

1
1
  là .
2
2

d) Ta có

9 3
3
 3 
 3 
 . Vậy căn bậc hai số học của   là .
  
4 2
2
 2 

 2 

2

2

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức:

0, 09  3 0, 01  2 0,36 .

Hướng dẫn giải
Ta có

0, 09  3 0, 01  2 0,36
 0,3  3.0,1  2.0, 6
 0,3  0,3  1, 2
 1, 2 .

Bài tốn 3. Tìm số x khơng âm thỏa điều kiện cho trước
Phương pháp giải
Ví dụ: Tìm số x khơng âm biết:
a)

x  4.

b)

x  2.

Hướng dẫn giải

Với x  0 , ta có

a  0
x a
.
2
x  a

a) Ta có

x  4  x  16 . Vậy x  16 .

b) Ta có

x  2  x  4.

Vì x khơng âm nên 0  x  4 .
Vậy 0  x  4 .
Ví dụ mẫu
Ví dụ: Tìm số x khơng âm biết:
a)

x  3.

b) 4 x  8 .

c)

x  2.

d)

3x  6 .

Hướng dẫn giải
a) Ta có

x  3  x  9 . Vậy x  9 .

b) Ta có 4 x  8  x  2  x  4 . Vậy x  4 .
c) Ta có

x  2  x  4 . Vậy x  4 .

d) Ta có

3 x  6  3 x  36  x  12

Vì x là số khơng âm nên 0  x  12 . Vậy 0  x  12 .
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Tính giá trị các biểu thức:
Trang 4

CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

a)

0, 01  0,81 .

b)

9
1

.
16
4

c)

412  402 .

d)

582  422 .

Câu 2: Tìm căn bậc hai của các số sau:
b) 1 .

a) 16.

2

 1 
d)   .
 2 

1
c)   .
2

2

 3 
d)    .
 2 

c) 1  2 x 2  0,98 .

d) 9  7 x 2  30 .

c) x 2  25  0 .

d) 5 x 2  125  0 .

1
c)   .
4

2

Câu 3: Tìm căn bậc hai số học của các số sau:
b) 10 .

a) 625.

2

Câu 4: Tìm giá trị của x biết:
a) x 2  9 .

b) x 2  1 

41
.
25

Câu 5: Tìm số x thỏa mãn:
a) x 2  10  0 .

b) 2 x 2  6  0 .

Câu 6: Tìm x , biết:
a)

x 1.

b) x 2  a .

Dạng 2: So sánh các căn bậc hai số học
Bài toán 1. So sánh trực tiếp
Phương pháp giải
Ví dụ: Khơng dùng máy tính hay bảng số, hãy so
sánh

26 và 5.

Dựa vào tính chất:

Hướng dẫn giải

Với hai số a và b khơng âm, ta có

Ta có 5  52  25 .

ab a  b.

Mà 25  26  25  26 hay 5  26 .

ab a  b.

Vậy 5  26 .

Ví dụ mẫu
Ví dụ: Khơng dùng máy tính hay bảng số, hãy so sánh
a)

3 và 2.

b) 7 và 43 .

c)  11 và 3 .

Hướng dẫn giải
a) Ta có 2  4 mà 4  3  4  3 hay 2  3 . Vậy 2  3 .
b) Ta có 7  49 mà 49  43  49  43 hay 7  43 .Vậy 7  43 .
c) Ta có 3  9 mà 9  11  9  11   9   11 hay 3   11 . Vậy 3   11 .

Bài tốn 2. So sánh gián tiếp
Trang 5

CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Phương pháp giải
Ví dụ: Khơng dùng máy tính hay bảng số, hãy so
sánh

3  7 và

26 .

Hướng dẫn giải
Nếu a  b; b  c thì a  c .

Ta có

3  4  3  2 và

7 9

 3  7  2  9  3  7  5.
26  25  26  5  26  5  3  7 .

Mà
Vậy

26  3  7 .

Ví dụ mẫu
Ví dụ: Khơng dùng máy tính hay bảng số, hãy so sánh

3  15 và

a)

2  26 .

b) 15  1 và 10 .
c) 1  2 và

51  7 .

Hướng dẫn giải
a) Ta có

3  4  3  2 ; 15  16  15  4

 3  15  6 . (1)
2  1  2  1; 26  25  26  5

Lại có

 2  26  6 . (2)
Từ (1) và (2) ta có
Vậy

2  26  6  3  15 .

2  26  3  15 .

b) Ta có 15  1  16  1  4  1  3; 10  9  10  3

 10  3  15  1 .
Vậy 10  15  1 .
c) Ta có

2  1  2  1  1 2  0 ;

51  49  51  7  51  7  0 ;
 1  2  0  51  7 .
Vậy 1  2  51  7 .
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Không dùng máy tính, so sánh các số sau:
a) 10 và 3.

b) 3 5 và 2 10 .

c)

8  1 và 2.

Câu 2: Khơng dùng máy tính, hãy so sánh các số thực sau:
Trang 6

CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

a)

8  3 và 6.

b) 2 5  5 và

5 3 .

Câu 3: So sánh các số sau:
a)

26  8 và 2.

b)

23  11 và 5  10 .

Câu 4: Không dùng máy tính, hãy so sánh các số thực sau:
a) 17  26 và 9.
c)

b)

31  19 và 6  17 .

48 và 13  35 .

d) 9  58 và

e) 13  12 và 12  11 .

f)

80  59 .

5  10  1 và

35 .

ĐÁP ÁN - BÀI 1. CĂN BẬC HAI
Dạng 1: Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học của một số
Câu 1:
a)

0, 01  0,81  0,1  0,9  1 .

b)

9
1 3 1 5

   .
16
4 4 2 4

c)

412  402 

d)

582  422 

 41  40  41  40  
 58  42  58  42  

81  9 .
16.100  1600  40 .

Câu 2:
a) 4 và 4
c)

b) 1 khơng có căn bậc hai.

1
1
và  .
4
4

d)

1
1
và  .

2
2

Câu 3:
a) 25.

b) 10 khơng có căn bậc hai số học.

1
c) .
2

 3 
d)    khơng có căn bậc hai số học.
 2 

2

Câu 4:
a) Ta có x 2  9  x  3 .
b) Ta có x 2  1 

41
16
4
 x2 
x .
25
25
5

c) 1  2 x 2  0,98  x 2  0, 01  x  0,1 .
d) Ta có x 2  3 , khơng tồn tại x .
Câu 5:

 x  10
a) Ta có x 2  10  0  x 2  10  
.
 x   10
x  3
b) Ta có 2 x 2  6  0  2 x 2  6  x 2  3  
.
x


3

Trang 7

CHUYÊN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

x  5
c) Ta có x 2  25  0  x 2  52  
.
 x  5
d) Ta có 5 x 2  125  0  5 x 2  125  x 2  25 (vơ lý). Khơng có x thỏa mãn.
Câu 6:

x 1  0  x 1.

a)

b) Nếu a  0 thì x   a . Nếu a  0 thì x  0 . Nếu a  0 thì khơng tồn tại x .
Dạng 2: So sánh các căn bậc hai số học
Câu 1:
a) 10  9  3.



b) 3 5



2



 9.5  45 ; 2 10



2

 4.10  40 .

Ta có 45  40 nên 3 5  2 10 .
c)

8  9  3 nên

8 1  2 .

Câu 2:
a) Ta có 6  3  3 mà 3  9 và 8  9 



 

b) Xét hiệu 2 5  5 

8  9  8  3 . Vậy

8 3 6.



5  3  5  2  5  4  0 . Vậy 2 5  5  5  3 .

Câu 3:
a)
b)

26  25 ,

8  9 nên

26  8  25  9  5  3  2 .

23  11  25  10  5  10 .

Câu 4:
a) Ta có 9  4  5 . Mà 16  17; 25  26  16  17; 25  26  4  17;5  26

 4  5  17  26 .
Vậy 9  17  26 .
b) Ta có

48  49  48  7; 35  36  35  6  48  35  13  48  13  35 .

c) Ta có

31  36  31  6; 19  17  31  19  6  17 .

Vậy

31  19  6  17 .

d) Ta có

81  80  9  80; 58  59   58   59  9  58  80  59 .

Vậy 9  58  80  59 .
e) Ta có 13  12 

1
1

; 12  11 
13  12
12  11

Mà 12  11  13  12 

1
1

.
13  12
12  11

Vậy 13  12  12  11 .
f) Ta có

5  10  1  4  9  1  6; 35  36  6 

5  10  1  6  35 .
Trang 8

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Vậy

5  10  1  35 .

Trang 9

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

CHUYÊN ĐỀ 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA
BÀI 2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC

A2  A

Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa căn thức bậc hai.
+ Nắm vững điều kiện xác định của biểu thức chứa căn thức bậc hai.
+ Hiểu được hằng đẳng thức

A2  A .

 Kĩ năng
+

Giải được phương trình, bất phương trình chứa căn bậc hai.

+

Biết cách xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa.

+

Biết cách so sánh các căn bậc hai.

+

Rút gọn được biểu thức dạng

A2 .

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Căn thức bậc hai
Căn thức bậc hai
Với A là một biểu thức đại số, ta gọi

A là căn

thức bậc hai của A , còn A được gọi là biểu thức
lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
Điều kiện xác định
Biểu thức

A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy

giá trị không âm.
2. Nhắc lại một số dạng bất phương trình cơ bản
Chia hai vế của bất phương trình cho một số dương
bất kỳ thì bất phương trình khơng đổi chiều, cịn
chia hai vế của bất phương trình cho một số âm thì
bất phương trình đổi chiều.
Với a là một số dương:

 Nếu x 2  a thì x  a hoặc x   a .
 Nếu x 2  a thì  a  x  a .
3. Hằng đẳng thức

A2  A
Định lí

Với mọi số A , ta có:

Chú ý
Một cách tổng quát, với A là một biểu thức, ta có

A2  A , có nghĩa là:

A  A.
2



A2  A nếu A  0 (tức là A lấy giá trị không

âm).



A2   A nếu A  0 (tức là A lấy giá trị âm).

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

A là biểu thức dưới dấu căn

A

A là căn bậc hai của A

A có nghĩa khi A  0

 A khi A  0
A2  A  
 A khi A  0

Trang 2

CHUYÊN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Giải phương trình, bất phương trình
Bài tốn 1. Giải phương trình
Phương pháp giải

Ví dụ: Giải phương trình:
a) 3 x 2  12 .

b)

x 1  2 .

Với a  0 , ta có:

Hướng dẫn giải

 Nếu x 2  a thì x  a hoặc x   a .

x  2
a) 3 x 2  12  x 2  4  
.
 x  2
Vậy phương trình có nghiệm x  2; x  2 .

 Nếu

x  a thì x  a 2 .

b)

x 1  2  x 1  4  x  3 .

Vậy phương trình có nghiệm x  3 .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau

a) x 2  4 .

b) 1  x 2  1 .

c) 3 x 2  6 .

d) x 2  9 .

Hướng dẫn giải

x  2
a) Ta có x 2  4  
.
 x  2
Vậy phương trình có nghiệm x  2; x  2 .
b) Ta có 1  x 2  1  x 2  0  x  0 .
Vậy phương trình có nghiệm x  0 .
c) Ta có 3 x 2  6  x 2  2  x   2 .
Vậy phương trình có nghiệm x  2; x   2 .
d) Ta có x 2  9 .
Vì 9 là số âm nên phương trình vơ nghiệm.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a)

3x  1  2 .

c) 3 4 x  1  6 .

b)

x2  5  3 .

d)

x 2  1  2 .

Hướng dẫn giải
a) Ta có

3x  1  2  3x  1  4  3x  3  x  1 .

Vậy phương trình có nghiệm x  1 .
Trang 3

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

b) Ta có

x  2
x2  5  3  x2  5  9  x2  4  
.
 x  2

Vậy phương trình có nghiệm x  2; x  2 .
c) Ta có 3 4 x  1  6  4 x  1  2  4 x  1  4  4 x  5  x 
Vậy phương trình có nghiệm x 
d) Ta có

5
.
4

5
.
4

x 2  1  0 và 2  0 nên phương trình vơ nghiệm.

Bài tốn 2. Giải bất phương trình
Phương pháp giải
Ví dụ: Giải các bất phương trình sau
b)  2 x  1  9 .
2

a) x 2  4 .
c)

2x 1  3 .

e) x 2  3 .

d)

2x 1  5 .

f)

x  1  3 .

Với số dương a ta có

Hướng dẫn giải

x  a
 x 2  a thì 
.
 x   a

x  4
x  2

a) Ta có x 2  4  
.
 x  2
 x   4

x  a
 x 2  a thì 
.
 x   a

Vậy x  2 hoặc x  2 .

 x 2  a thì  a  x  a .

b) Ta có  2 x  1  9
2

 x 2  a thì  a  x  a .

  9  2x 1  9
 3  2 x  1  3
 2  2 x  4
 1  x  2 .

Vậy 1  x  2 .



x  a thì x  a 2 .



x  a thì x  a 2 .

c) Ta có

2x 1  3

 2 x  1  32
 2x 1  9


2 x  10



x 5.

Vậy x  5 .



x  a thì 0  x  a 2 .

d)

2x 1  5
Trang 4

CHUYÊN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT



 0  2 x  1  52

x  a  0  x  a2 .

 0  2 x  1  25
 1  2 x  24

1
   x  12 .
2

1
Vậy    x  12 .
2
Đặc biệt:

e) x 2  3

Khi a  0 thì bất phương trình

Vì x 2  0 với mọi x .

x 2  a; x 2  a; x  a; x  a có nghiệm với mọi

Mà 3  0 nên bất phương trình vơ nghiệm.

x thỏa mãn điều kiện xác định, cịn bất phương

f)

trình x 2  a; x 2  a; x  a; x  a vô nghiệm.

Điều kiện xác định: x  1  0  x  1 .

Chú ý: x 2  0; x  0 với mọi x thỏa điều kiện

Vì

xác định.

Mà 3  0 nên bất phương trình nghiệm đúng với

x  1  3 .

x  1  0 với mọi x  1 .

mọi x thỏa điều kiện xác định.
Vậy bất phương trình có nghiệm x  1 .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau
a) x 2  3 .

b) 5  x 2  4 .

c)  2 x  3  25 .
2

d) x 2  2 x  2  0 .

Hướng dẫn giải
a) Ta có x 2  3 nên  3  x  3 . Vậy  3  x  3 .
b) Ta có 5  x 2  4 nên x 2  1  1  x  1 . Vậy 1  x  1 .

2 x  3  5
2 x  8
x  4
2
c) Ta có  2 x  3  25  
.



 2 x  3  5
 2 x  2
 x  1
Vậy x  4 hoặc x  1 .
d) Ta có x 2  2 x  2  0

 x2  2x  1  3  0
  x  1  3
2

  3  x 1  3
  3 1  x  3 1 .
Vậy  3  1  x  3  1 .
Trang 5

CHUYÊN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau
a)

x  3.

b)

x 1  3.

c)

4x 1  5 .

d)

3 x  6 .

Hướng dẫn giải

x  3  x  32  x  9 .

a) Ta có

Vậy x  9 .
b) Ta có

x 1  3

 0  x  1  32
 0  x 1  9
 1  x  8 .

Vậy 1  x  8 .
c) Ta có

4x 1  5

 0  4 x  1  52
 0  4 x  1  25
 1  4 x  24

1
   x  6.
4
1
Vậy   x  6 .
4
d)

3 x  6 .

Ta có

3 x  0 mà 6  0 nên bất phương trình vơ nghiệm.
Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Giải các phương trình sau:
a) x 2  9 .

b) 2  x 2  2 .

c) 4 x 2  3 .

d) x 2  1 .

Câu 2: Giải các phương trình sau:
a)

3x  1  2 .

c) 3 4 x  3  9 .

b) x 2  1  1 .
d)

3 x 2  1  2 .

Câu 3: Giải các bất phương trình sau:
a) x 2  5 .

b) 5  x 2  4 .

c)  x  3  16 .

d) x 2  4 x  2  0 .

2

Câu 4: Giải các bất phương trình sau:
a)

x  2.

b) x  1  2 .
Trang 6

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

c)

2x 1  3 .

d) 3 x 2  1  1 .

Dạng 2: Tìm điều kiện để biểu thức
Bài tốn 1: Biểu thức

A có nghĩa

A có nghĩa

Phương pháp giải
Ví dụ: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
a) 1  x .

b)

9  x2 .

Hướng dẫn giải
a) 1  x có nghĩa khi 1  x  0  x  1 .

A có nghĩa khi A  0 .

Biểu thức

Vậy x  1 .

Chú ý:

 f  x 

2

 0 với mọi x thỏa điều kiện xác b)
9  x 2 , ta có x 2  0 với mọi x nên x 2  9  9 .

định.

Vậy biểu thức có nghĩa với mọi x .
Ví dụ mẫu
Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của biểu thức sau:
a)

6  2x .

c)

 x  1

2

.

b)

3  x2 .

d)

  x  1 .
2

Hướng dẫn giải
a) Biểu thức

6  2x xác định khi 6  2 x  0
 2 x  6
 x 3.

Vậy điều kiện xác định là x  3 .
b) Biểu thức

3  x 2 xác định khi 3  x 2  0
 x2  3
 3x 3.

Vậy điều kiện xác định  3  x  3 .
c) Biểu thức

 x  1

2

xác định khi  x  1  0 .
2

Mà  x  1  0 , x .

2

Vậy biểu thức xác định với mọi x .
d) Biểu thức

  x  1 có nghĩa khi   x  1  0 .
2

2

Trang 7

CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Mà   x  1  0, x nên biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi  x  1  0  x  1 .
2

2

Vậy biểu thức xác định khi x  1 .

Bài toán 2: Biểu thức

B
có nghĩa
A

Phương pháp giải
Ví dụ: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
a)

5x  6
.
1 x

b)

1

 x  2

2

.

Hướng dẫn giải
Biểu thức

B
có nghĩa khi A  0 .
A

a)

5x  6
có nghĩa khi 1  x  0  x  1 .
1 x

Vậy biểu thức có nghĩa khi x  1 .
Chú ý:  f  x    0 với mọi x thỏa mãn điều kiện
2

xác định.

b)

1

có nghĩa khi  x  2   0 .
2

 x  2

2

Mà  x  2   0
2

  x  2  0
2

 x2 0


x  2.

Vậy biểu thức có nghĩa khi x  2 .

Ví dụ mẫu
Ví dụ: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
a)
c)

x
.
x 1

b)

x2
x  2x 1
2

.

d)

2x 1
1  x2
x
x 1
2

.
.

Hướng dẫn giải
a)

x
có nghĩa khi x  1  0  x  1 .
x 1

Vậy biểu thức có nghĩa khi x  1 .
b)

2x 1
1 x

2

có nghĩa khi 1  x 2  0  1  x  1 .

Vậy biểu thức có nghĩa khi 1  x  1 .
Trang 8

CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

c)

x2

có nghĩa khi x 2  2 x  1  0   x  1  0 .
2

x  2x 1
2

Mà  x  1  0x nên  x  1  0  x  1 .
2

2

Vậy biểu thức có nghĩa khi x  1 .
d)

x
x 1
2

có nghĩa khi x 2  1  0 .

Mà x 2  0x nên x 2  1  1, x  x 2  1  0x .
Vậy biểu thức có nghĩa với mọi x .
Bài tốn 3: Biểu thức chứa nhiều căn bậc hai và có mẫu thức
Phương pháp giải
Ví dụ: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
a) A  1  x  1  x .
b) B 

2x  4  x 1
.
x 2  3x

Hướng dẫn giải

Tìm tất cả các điều kiện của biểu thức chứa căn và a) A có nghĩa khi:

1  x  0
x  1

 1  x  1 .

1  x  0
 x  1

mẫu thức sau đó kết hợp lại.
Chú ý:

 Biểu thức

A có nghĩa khi A  0 .

Vậy biểu thức A có nghĩa khi 1  x  1 .

 Biểu thức

B
có nghĩa khi A  0 .
A

b) B có nghĩa khi:

 Biểu thức

B

có nghĩa khi A  0 .
A

x  2
2 x  4
2 x  4  0
x  2


 x  0  
.
 2
 x  x  3  0
 x  3x  0
x  3 x  3

Vậy biểu thức B có nghĩa khi x  2; x  3 .

Ví dụ mẫu
Ví dụ: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
a) A 
c) C 

2 x
.
x 1
x2
.
 x  2 x 1

b) B  x  1  3 x  6 .
d) D  2  x 

x2
.
x 1

Hướng dẫn giải

2  x  0
x  2
a) A có nghĩa khi: 

1 x  2.
x 1  0
x  1
Trang 9

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Vậy biểu thức A có nghĩa khi 1  x  2 .

x 1  0
x  1
b) B có nghĩa khi: 

 x  2.

3 x  6  0
x  2
Vậy biểu thức B có nghĩa khi x  2 .

x 1  0
x  1
c) C có nghĩa khi: 

 x  1.
x  2  0
 x  2
Vậy biểu thức C có nghĩa khi x  1 .

2  x  0
x  2
2  x  2


d) D có nghĩa khi:  x  2  0   x  2  
.
x

1

x 1  0
x  1


2  x  2
Vậy biểu thức D có nghĩa khi 

.
x  1
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức sau:
a)

6 x .

c)

 2 x  1

b) 1  x 2 .
2

.

d)

  x 2  1 .
2

Câu 2: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
a)
c)

x
.
x2
x2  x  3

4x2  4x  1

2x2  1

b)
.

9  x2

d)

.

x
x2  9

.

Câu 3: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:
a) A 
c) C 

3 x
.
x4

b) B  x  1  2  x .

x2 1
.

 x  2 x 1

Dạng 3: Rút gọn biểu thức dạng

d) D  1  x 

x 1
.
x

A2

Bài toán 1: Rút gọn biểu thức dạng

A2 với A là một số có chứa căn bậc hai số học

Phương pháp giải
Ví dụ: Tính giá trị biểu thức:

P  62 5  62 5 .
Hướng dẫn giải
Đưa biểu thức trong căn bậc hai về dạng bình

P  62 5  62 5

phương của một tổng hoặc một hiệu, sau đó áp
Trang 10

CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

A2  A .

dụng hằng đẳng thức

 5  2 5 1  5  2 5 1








5 1  5 1

2

5 1 





5 1

2

 5 1 5 1
 2 .
Vậy P  2 .
Ví dụ mẫu
Ví dụ: Tính giá trị biểu thức:
a) A 

1  2 

2

b) B  5  2 6 .

.

c) C  9  4 5 .

d) D 

2 3
.
2

Hướng dẫn giải
a) Ta có A 

1  2 

2

 1 2  2 1 .

Vậy A  2  1 .
b) Ta có B  5  2 6  2  2. 2. 3  3 



2 3



2



2 3  2 3.

Vậy B  2  3 .
c) Ta có C  9  4 5  4  2.2. 5  5 

2  5 

2

 2 5  5 2.

Vậy C  5  2 .

2 3
2 2 3

42 3



d) Ta có D 
2
2
2 2
Vậy D 





3 1
2

2



3 1
.
2

3 1
.
2

Bài toán 2: Rút gọn biểu thức dạng

A2 với A là một biểu thức chứa biến

Phương pháp giải
Ví dụ: Rút gọn biểu thức:

P  x2  6x  9 .
Hướng dẫn giải
Đưa biểu thức trong căn bậc hai về dạng bình

P  x2  6x  9
Trang 11

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

phương của một tổng hay bình phương của một
hiệu.

 x 2  2.3.x  33

 x  3



2

 x 3 .

Chú ý: Với A là một biểu thức, ta có
có nghĩa là:



A2  A , Nếu x  3 thì P  x  3 .
Nếu x  3 thì P  3  x .

A2  A nếu A  0 (tức là A lấy giá trị không

âm).



A2   A nếu A  0 (tức là A lấy giá trị âm).
Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:
a) A 

x

2

 2 .
2

b) B  x 2  x 

1

.
4

c) C  x 4  x 2  4 x  4 .
Hướng dẫn giải
a) Ta có A 

x

2

 2  x2  2  x2  2 .
2

2

2

1
1 1
1
1

b) Ta có B  x  x   x 2  2 x.      x    x  .
4
2 2
2
2

2

 Nếu x 

1
1
thì B  x  .
2
2

 Nếu x 

1
1
thì B   x .
2
2

c) Ta có C  x 4  x 2  4 x  4  x 4  x 2  2.2 x  22



x 

2 2



 x  2

2

 x2  x  2 .

 Nếu x  2 thì C  x 2  x  2 .
 Nếu x  2 thì C  x 2  x  2 .

Ví dụ 2: Cho biểu thức: P  3 x  1  4 x 2  12 x  9
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tính giá trị của P khi x  1 .
Trang 12

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

c) Tính giá trị của P khi x  2 .
Hướng dẫn giải
a) Ta có P  3 x  1  4 x 2  12 x  9

 3x  1 

 2x

 3x  1 

 2 x  3

2

 2.2 x.3  32
2

 3x  1  2 x  3
 Nếu x 

3
thì P  3 x  1  2 x  3  5 x  4 .
2

 Nếu x 

3
thì P  3 x  1  2 x  3  x  2 .
2

b) Khi x  1 

3
thì thay x  1 vào biểu thức P  x  2 ta được P  1  2  3 .
2

Vậy P  3 khi x  1 .
c) Khi x  2 

3
thì thay x  2 vào biểu thức P  5 x  4 ta được P  5.2  4  6 .
2

Vậy P  6 khi x  2 .

Bài tốn 3: Giải phương trình chứa biểu thức

A2 với A là một biểu thức chứa biến

Phương pháp giải
Ví dụ: Tìm x biết

x2  2x  1  2x  5 .

Hướng dẫn giải
Đưa biểu thức trong căn bậc hai về dạng bình Ta có x 2  2 x  1  2 x  5
phương của một tổng hay bình phương của một
2
  x  1  2 x  5
hiệu rồi áp dụng hằng đẳng thức A2  A .
 x  1  2 x  5 (1)
Chia 2 trường hợp tìm x thỏa mãn.

 Nếu x  1 thì x  1  x  1 . Khi đó (1) trở thành:
x  1  2 x  5  3x  6  x  2

(thỏa mãn điều kiện x  1 )

 Nếu x  1 thì x  1  1  x . Khi đó (1) trở thành:
1 x  2x  5  x  4

(không thỏa mãn điều kiện x  1 )
Vậy x  2 .
Ví dụ mẫu

Trang 13

CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Ví dụ 1: Tìm x , biết 3 x  4 x 2  12 x  9  4 .
Hướng dẫn giải
Ta có 3 x  4 x 2  12 x  9  4

 3x 

 2x

 3x 

 2 x  3

2

 2.2 x.3  32  4
2

4

 3 x  2 x  3  4 . (1)
 Nếu x 

3

thì (1) trở thành 3 x  2 x  3  4
2

 5x  3  4
 5x  7

x

7
3
(không thỏa mãn điều kiện x  ).
5
2

 Nếu x 

3
thì (1) trở thành 3 x  2 x  3  4
2

 x3 4
 x  1 (thỏa mãn điều kiện x 

3
).
2

Vậy x  1 .
Ví dụ 2: Cho biểu thức Q  2 x  x 2  6 x  9  3 .
a) Rút gọn Q .

b) Tìm x biết Q  7 .
Hướng dẫn giải
a) Ta có Q  2 x  x 2  6 x  9  3

 Q  2x 

 x  3

2

3

 Q  2x  x  3  3 .
 Nếu x  3 thì Q  2 x  x  3  3  3 x .
 Nếu x  3 thì Q  2 x  x  3  3  x  6 .
b) Ta xét hai trường hợp:

 Nếu x  3 thì 3 x  7  x 

7
(không thỏa mãn điều kiện x  3 ).
3

 Nếu x  3 thì x  6  7  x  1 (thỏa mãn điều kiện x  3 ).
Vậy x  1 thì Q  7 .
Bài tập tự luyện dạng 3
Trang 14

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Tính giá trị biểu thức:
a) A 

3  2 

2

b) B  6  2 5 .

.

c) C  9  4 5 .

d) D 

3 5
.
2

Câu 2: Rút gọn biểu thức:
a) A 

x

2

 1 .

2

b) B  x 2  2 x  1 .

Câu 3: Cho biểu thức P  5 x  7  x 2  4 x  4 .
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tính giá trị của P khi x  1 .
c) Tính giá trị của P khi x  3 .
Câu 4: Tìm x , biết 3 x  4 x 2  4 x  1  4 .
Câu 5. Giải các phương trình sau:
a)  x  3  11  6 2 .

b) x 2  10 x  25  27  10 2 .

c) 4 x 2  4 x  27  10 3 .

d) x 2  2 5 x  16  4 5 .

2

e) x 2  4 3 x  1  4 3 .
Câu 6. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A  8  2 10  2 5  8  2 10  2 5 .
b) B 
c) C 
d) D 

7 5  7 5
7  2 11
2 22

 3 2 2 .

2 1 1 .

1  2 27 2  38  5  3 2

Câu 7. Cho P 

3 2 4

.

x4 x4  x4 x4
.
8 16
1  2
x x

a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa.
b) Tìm số ngun x để P là số nguyên.

Trang 15

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT


CHUN ĐỀ TỐN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

ĐÁP ÁN - BÀI 2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC

A2  A

Dạng 1: Giải phương trình, bất phương trình
Câu 1.

x  3
a) Ta có x 2  9  
. Vậy tập nghiệm của phương trình là S  3;3 .
 x  3
b) Ta có 2  x 2  2  x 2  0  x  0 . Vậy S  0 .


3
x

3
 3 3 
2
; .
c) Ta có 4 x 2  3  x 2   
. Vậy S  
4

 2 2 
3

x  

2

d) Ta có x 2  1 phương trình vơ nghiệm. Vậy S   .
Câu 2.
a) Ta có

5
5 
3 x  1  2  3 x  1  4  x  . Vậy S    .
3
3

b) Ta có

x 2  1  1  x 2  1  1  x 2  0  x  0 . Vậy S  0 .

c) Ta có 3 4 x  3  9  4 x  3  3  4 x  3  9  4 x  12  x  3 . Vậy S  3 .
d) Ta có

3 x 2  1  2 phương trình vơ nghiệm. Vậy S   .

Câu 3.
a) Ta có x 2  5   5  x  5 . Vậy nghiệm của bất phương trình là  5  x  5 .

x  1
b) Ta có 5  x 2  4  x 2  1  
. Vậy nghiệm của bất phương trình là x  1 hoặc x  1 .
 x  1
x  3  4
x  7
2
c) Ta có  x  3  16  

.

 x  3  4
 x  1
Vậy nghiệm của bất phương trình là x  7 hoặc x  1 .
d) Ta có x 2  4 x  2  0  x 2  4 x  4  2  0   x  2   2   2  x  2  2  2  2  x  2  2
2

.
Vậy nghiệm của bất phương trình là 2  2  x  2  2 .
Câu 4.
a) Điều kiện x  0 . Ta có
b) Điều kiện x  1 . Ta có

x  2  x  4.
x 1  2  x 1  4  x  3 .

Kết hợp điều kiện ta được 1  x  3 .
Vậy nghiệm của bất phương trình là 1  x  3 .
Trang 16

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 PHẦN ĐẠI SỐ: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP, HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT