chuyên đề tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (616.23 KB, 54 trang )
Chuyên đề
TÍCH PHÂN
Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu
THPT Phan Đình Phùng
Đồng Hới
Tháng 04 - 2012
y
x
O
−2 2
1
y = 2x −x
2
Copyright
c
2012 by Nguyễn Minh Hiếu, “All rights reserved”.
Nguyễn Minh Hiếu
2
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Mục lục
Chương 1. Nguyên Hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Nguyên Hàm . 5
1.1.1. Khái niệm nguyên hàm. . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp . . . . . 5
1.1.3. Tính chất của nguyên hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm. . 7
1.2.1. Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần . . . . . . . . 8
Chương 2. Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1. Tích Phân. 11
2.1.1. Khái niệm tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2. Tính chất của tích phân. . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3. Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân. . 13
2.2.1. Phương pháp hệ số bất định. . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2. Phương pháp đổi biến dạng 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3. Phương pháp đổi biến dạng 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.4. Phương pháp tích phân từng phần. . . . . . . . . . 23
2.3. Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác. 30
2.3.1. Dạng
b
a
sin
m
xcos
n
xdx . . . . . . . . . . . 30
2.3.2. Dạng
b
a
{f(sin x); cos x}dx hoặc
b
a
{f(cos x); sin x}dx . . . . . . . . . . 32
2.3.3. Dạng
b
a
f(tan x);
1
cos
2
x
dx hoặc
b
a
f(cot x);
1
sin
2
x
dx. . . . . . . . . . . . . 33
2.3.4. Dạng
a
0
f(x)dx, trong đó a ∈
π
2
, π,
π
4
,
. . . . . . . . . . . . . . . 35
Chương 3. Ứng Dụng Của Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1. Tính Diện Tích Tình Phẳng. . 39
3.2. Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay. . 43
Chương 4. Một Số Bài Toán Chọn Lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1. Tích Phân Hữu Tỉ. 47
4.2. Tích Phân Vô Tỉ . 47
4.3. Tích Phân Mũ - Lôgarit. . 48
4.4. Tích Phân Lượng Giác . 49
PHỤ LỤC 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
PHỤ LỤC 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
ĐÁP SỐ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
4
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chương 1
Nguyên Hàm
1.1. Nguyên Hàm.
1.1.1. Khái niệm nguyên hàm.
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu
F
(x) = f(x), với mọi x thuộc K.
Ví dụ 1.1.
a) Hàm số F (x) = x
3
là nguyên hàm của f(x) = 3x
2
trên R vì
x
3
= 3x
2
, với mọi x ∈ R.
b) Hàm số F (x) = cos x là nguyên hàm của f(x) = sin x trên R vì (sin x)
= cos x, với mọi x ∈ R.
Nhận xét. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng
F (x) + C với C ∈ R, gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K, ký hiệu là
f(x)dx. Vậy
f(x)dx = F (x) + C (1.1)
Ví dụ 1.2.
5x
4
dx = x
5
+ C.
1
2
√
x
dx =
√
x + C.
e
x
dx = e
x
+ C.
Lưu ý.
• Người ta cũng dùng ký hiệu
f(x)dx để chỉ một nguyên hàm bất kỳ của f.
• Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
1.1.2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.
Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm.Việc tìm nguyên hàm của một
hàm số thường được đưa về tìm nguyên hàm của các hàm số đơn giản hơn. Sau đây là nguyên hàm của
một số hàm số đơn giản thường gặp.
1.
0dx = C 6.
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C (0 < a = 1)
2.
dx = x + C 7.
cos xdx = sin x + C
3.
x
α
du =
x
α+1
α + 1
+ C (α = −1) 8.
sin xdx = −cos x + C
4.
1
x
dx = ln |x|+ C 9.
1
cos
2
x
dx = tan x + C
5.
e
x
dx = e
x
+ C 10.
1
sin
2
x
dx = −cot x + C
Ví dụ 1.3.
a)
x
2012
dx =
x
2013
2013
+ C. b)
1
x
2
dx =
x
−2
dx =
x
−1
−1
+ C = −
1
x
+ C.
c)
√
xdx =
x
1
2
dx =
x
3
2
3
2
+ C =
2x
√
x
3
+ C.
d)
1
5
√
x
3
dx =
x
−
3
5
dx =
5
5
√
x
2
2
+ C.
5
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
1.1.3. Tính chất của nguyên hàm.
Định lý 1.2. Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K thì
a)
[f(x) ± g(x)] dx =
f(x)dx ±
g(x)dx; b)
kf(x)dx = k
f(x)dx (k = 0).
Ví dụ 1.4.
a)
2x
3
− 3x
2
+ 1
dx =
2x
3
dx −
3x
2
dx +
1dx =
1
2
x
4
− x
3
+ x + C.
b)
e
x
−
1
x
+ 2
x
dx =
e
x
dx −
1
x
dx +
2
x
dx = e
x
− ln |x|+
2
x
ln 2
+ C.
c)
x
2
− 3x + 1
x
dx =
x − 3 +
1
x
dx =
xdx −
3dx +
1
x
dx =
1
2
x
2
− 3x + ln |x| + C.
d)
3sin
2
x − 4cos
2
x
sin
2
xcos
2
x
dx =
3
cos
2
x
−
4
sin
2
x
dx = 3
1
cos
2
x
dx−4
1
sin
2
x
dx = 3 tan x+4 cot x+C.
Ví dụ 1.5. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 4x
3
− 3x
2
+ 2, biết F (−1) = 3.
Lời giải. Ta có
f(x)dx =
(4x
3
− 3x
2
+ 2)dx = x
4
− x
3
+ 2x + C. Vì F (x) là một nguyên hàm của
f(x) nên có dạng F(x) = x
4
−x
3
+ 2x + C. Mặt khác F (−1) = 3 ⇒ C = 3. Do đó F (x) = x
4
−x
3
+ 2x + 3.
Ví dụ 1.6. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) =
1
x
thỏa F (1) = −1. Tìm x để 2F (x) =
1
F (x) + 1
−1.
Lời giải. Ta có
f(x)dx =
1
x
dx = ln |x| + C. Vì F (x) là một nguyên hàm của f (x) nên có dạng
F (x) = ln |x|+C. Mặt khác F (1) = −1 ⇒ C = −1. Do đó F (x) = ln |x|−1. Khi đó 2F (x) =
1
F (x) + 1
−1 ⇔
2(ln |x|−1) =
1
ln |x|
−1 ⇔
ln |x| = 0
2ln
2
|x| − ln |x| − 1 = 0
⇔
ln |x| = 1
ln |x| = −
1
2
⇔
x = ±e
x = ±
1
√
e
(thỏa mãn). Vậy
x = ±e và x = ±
1
√
e
.
BÀI TẬP
1.1. Tìm các họ nguyên hàm sau
a)
x
7
+ 4x
3
−
√
x
dx. b)
3
√
x + 1 −
1
√
x
dx. c)
3x
2
+ 1
(2x − 3) dx.
d)
√
x
√
x − 2x
(x + 1) dx. e)
3 sin x +
2
x
dx. f)
3 cos x − 3
x−1
dx.
1.2. Tìm các họ nguyên hàm sau
a)
x +
√
x + 1
3
√
x
dx
b)
x
3
+ 5x
2
− 3x +
√
x
x
√
x
dx.
c)
4
x
+ 1
2
x
dx.
d)
2
x
− 1
e
x
dx. e)
tan
2
xdx. f)
1
sin
2
xcos
2
x
dx.
1.3. Tìm một nguyên hàm F (x) của các hàm số sau
a) f(x) = 2 − x
2
, biết F (2) =
7
3
. b) f(x) = x −
1
x
2
+ 2, biết F (1) = 2.
c) f(x) = (x + 1)(x − 1) + 1, biết F (0) = 1.
d) f(x) =
3
√
x + x
3
+ 1, biết F (1) = 2.
e) f(x) = ax +
b
x
2
, biết F (−1) = 2, F (1) = 4 và F (2) = 5.
6
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chương 1. Nguyên Hàm
1.2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm.
1.2.1. Phương pháp đổi biến số.
Định lý 1.3. Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho
f [u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là
f(u)du = F (u) + C thì
f [u(x)] u
(x)dx = F [u(x)] + C (1.2)
Nhận xét. Trong thực hành công thức (1.2) thường được viết như sau
f [u(x)] u
(x)dx =
f [u(x)] du(x) = F [u(x)] + C (1.3)
Đặc biệt vì d(Ax + B) = Adx ⇒ dx =
1
A
d(Ax + B) nên ta có
f (Ax + B) dx =
f (Ax + B)
1
A
d(Ax + B) =
1
A
F (Ax + B) + C (1.4)
Ví dụ 1.7. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
(3x + 3)
9
dx. b) I =
7
2 − 9x
dx. c) I =
e
3x+1
+ cos 5x
dx.
d) I =
4x − 1
2x + 1
dx. e) I =
sin
2
xdx. f) I =
sin 5x sin xdx.
Lời giải.
a) I =
1
3
(3x + 3)
9
d(3x + 3) =
1
3
(3x + 3)
10
10
+ C =
1
30
(3x + 3)
10
+ C.
b) I = −
1
9
7
2 − 9x
d(2 − 9x) = −
7
9
ln |2 − 9x| + C.
c) I =
e
3x+1
dx +
cos 5xdx =
1
3
e
3x+1
d(3x + 1) +
1
5
cos 5xd (5x) =
1
3
e
3x+1
+
1
5
sin x + C.
d) I =
2 −
3
2x + 1
dx =
2dx −
1
2
3
2x + 1
d(2x + 1) = 2x −
3
2
ln |2x + 1| + C.
e) I =
1 − cos 2x
2
dx =
1
2
−
1
2
cos 2x
dx =
1
2
dx −
1
4
cos 2xd (2x) =
1
2
x −
1
4
sin 2x + C.
f) I =
1
2
(cos 4x − cos 6x) dx =
1
8
cos 4xd (4x) −
1
12
cos 6xd (6x) =
1
8
sin 4x −
1
12
sin 6x + C
Ví dụ 1.8. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
x(x
2
+ 1)
2012
dx. b) I =
tan xdx. c) I =
e
x
e
x
+ 1
dx.
d) I =
√
1 + ln x
x
dx.
e) I =
cos
5
xdx.
f) I =
x
√
x
2
+ 1
dx.
Lời giải.
a) I =
1
2
(x
2
+ 1)
2012
d(x
2
+ 1) =
1
2
(x
2
+ 1)
2013
2013
+ C =
(x
2
+ 1)
2013
4026
+ C.
b) I =
sin x
cos x
dx = −
1
cos x
d (cos x) = −ln |cos x| + C.
c) I =
1
e
x
+ 1
d (e
x
+ 1) = ln |e
x
+ 1| + C.
d) I =
(1 + ln x)
1
2
d (1 + ln x) =
(1 + ln x)
3
2
3
2
+ C =
2 (1 + ln x)
√
1 + ln x
3
+ C.
e) I =
cos
4
x cos xdx =
1 − sin
2
x
2
d (sin x) = sin x −
2sin
3
x
3
+
sin
5
x
5
+ C.
f) C1: I =
1
2
x
2
+ 1
−
1
2
d
x
2
+ 1
=
1
2
x
2
+ 1
1
2
1
2
+ C =
x
2
+ 1 + C.
C2: I =
d
x
2
+ 1
=
x
2
+ 1 + C.
7
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Ví dụ 1.9. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
x (x − 1)
2012
dx.
b) I =
x
3
x
2
+ 1
dx.
c) I =
x
5
x
3
+ 1dx.
d) I =
e
2x
√
e
x
+ 1
dx.
e) I =
2 ln x − 1
x ln x
dx.
f) I =
sin
3
x
√
1 + cos xdx.
Lời giải.
a) Đặt u = x − 1 ⇒ du = dx. Ta có
I =
(u + 1)u
2012
du =
u
2013
+ u
2012
du
=
u
2014
2014
+
u
2013
2013
+ C =
(x − 1)
2014
2014
+
(x − 1)
2013
2013
+ C
b) Đặt u = x
2
+ 1 ⇒ du = 2xdx. Ta có
I =
x
2
x
x
2
+ 1
dx =
1
2
u − 1
u
du =
1
2
1 −
1
u
du
=
1
2
(u − ln |u|) + C =
1
2
x
2
+ 1
−
1
2
ln
x
2
+ 1
+ C
c) Đặt u =
√
x
3
+ 1 ⇔ u
2
= x
3
+ 1 ⇒ 2udu = 3x
2
dx. Ta có
I =
x
3
x
2
x
3
+ 1dx =
u
2
− 1
u
2u
3
du =
2
3
u
4
− u
2
du
=
2
3
u
5
5
+
u
3
3
+ C =
2
√
x
3
+ 1
5
15
+
2
√
x
3
+ 1
3
9
+ C
d) Đặt u =
√
e
x
+ 1 ⇔ u
2
= e
x
+ 1 ⇒ 2udu = e
x
dx. Ta có
I =
e
x
.e
x
√
e
x
+ 1
dx =
u
2
− 1
u
2udu = 2
u
2
− 1
du
= 2
u
3
3
− u
+ C =
2
√
e
x
+ 1
3
3
− 2
√
e
x
+ 1 + C
e) Đặt u = ln x ⇒ du =
1
x
dx. Ta có
I =
2u − 1
u
du =
2 −
1
u
du
= 2u − ln |u| + C = 2 ln x − ln |ln x| + C
f) Đặt u =
√
1 + cos x ⇔ u
2
= 1 + cos x ⇒ 2udu = −sin xdx. Ta có
I =
sin
2
x sin x
√
1 + cos xdx =
1 − cos
2
x
√
1 + cos x sin xdx
= −
1 −
u
2
− 1
2
u.2udu = −
−u
4
+ 2u
2
2u
2
du = 2
u
6
− 2u
4
du
= 2
u
7
7
−
2u
5
5
+ C =
2
√
1 + cos x
7
7
−
4
√
1 + cos x
5
5
+ C
1.2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần.
Định lý 1.4. Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
u(x)v
(x)dx = u(x)v(x) −
v(x)u
(x)dx (1.5)
8
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chương 1. Nguyên Hàm
Công thức (1.5) gọi là công thức lấy nguyên hàm từng phần và được viết gọn dưới dạng
udv = uv −
vdu (1.6)
Ví dụ 1.10. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
(x − 1) e
x
dx. b) I =
x cos xdx. c) I =
x
2
ln xdx.
d) I =
ln (2x + 1) dx. e) I =
x
2
e
2x−1
dx. f) I =
e
x
sin xdx.
Lời giải.
a) Đặt
u = x − 1
dv = e
x
dx
⇒
du = dx
v = e
x
. Ta có
I = (x − 1)e
x
−
e
x
dx = (x − 1)e
x
− e
x
+ C = (x − 2)e
x
+ C
b) Đặt
u = x
dv = cos xdx
⇒
du = dx
v = sin x
. Ta có
I = x sin x −
sin xdx = x sin x + cos x + C
c) Đặt
u = ln x
dv = x
2
dx
⇒
du =
1
x
dx
v =
x
3
3
. Ta có
I =
x
3
3
ln x −
x
3
3
1
x
dx =
x
3
3
ln x −
1
3
x
2
dx =
x
3
3
ln x −
x
3
9
+ C
d) Đặt
u = ln(2x + 1)
dv = dx
⇒
du =
2
2x+1
dx
v = x
. Ta có
I = x ln(2x + 1) −
2x
2x + 1
dx =
1 −
1
2x + 1
dx = x −
1
2
ln |2x + 1| + C
e) Đặt
u = x
2
dv = e
2x−1
dx
⇒
du = 2xdx
v =
1
2
e
2x−1
. Ta có
I =
1
2
x
2
e
2x−1
−
xe
2x−1
dx =
1
2
x
2
e
2x−1
− I
1
Đặt
u = x
dv = e
2x−1
dx
⇒
du = dx
v =
1
2
e
2x−1
. Ta có
I
1
=
1
2
xe
2x−1
−
1
2
e
2x−1
dx =
1
2
xe
2x−1
−
1
4
e
2x−1
+ C
Vậy I =
1
2
x
2
e
2x−1
−
1
2
xe
2x−1
−
1
4
e
2x−1
+ C =
1
4
2x
2
− 2x + 1
e
2x−1
+ C.
f) Đặt
u = e
x
dv = sin xdx
⇒
du = e
x
dx
v = −cos x
. Ta có
I = −e
x
cos x +
e
x
cos xdx = −e
x
cos x + I
1
Lại đặt
u = e
x
dv = cos xdx
⇒
du = e
x
dx
v = sin x
. Ta có
I
1
= e
x
sin x −
e
x
sin xdx = e
x
sin x − I
Vậy I = −e
x
cos x + e
x
sin x − I ⇔ I =
1
2
e
x
(sin x − cos x) + C.
9
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
BÀI TẬP
1.4. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
√
3x − 1dx. b) I =
1
4x
2
+ 4x + 1
dx.
c) I =
4x
2
− x + 3
2x + 1
dx.
d) I =
1
√
3x + 1 +
√
3x − 1
dx.
e) I =
tan
2
xdx. f) I =
cos 7x cos xdx.
g) I =
sin
4
xdx. h) I =
1
1 + cos x
dx. i) I =
1
cos
4
x
dx.
1.5. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
x
1 + x
2
dx. b) I =
sin
3
xdx.
c) I =
sin
3
x
cos x
dx.
d) I =
1
e
−x
+ 1
dx.
e) I =
ln x(1 − 3 ln x)
x
dx.
f) I =
1
x(ln
2
x − 4 ln x + 4)
dx.
1.6. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
x
2
(1 − x)
100
dx.
b) I =
x
x
2
+ 1
5
dx.
c) I =
x
5
− 2x
2
x
3
+ 1
dx.
d) I =
sin 2xe
sin
2
x
dx. e) I =
1
e
x
+ e
−x
+ 2
dx.
f) I =
1
x ln x. ln(ln x)
dx.
1.7. Tìm các họ nguyên hàm sau
a) I =
xe
x
dx. b) I =
(2x − 1) sin 2xdx. c) I =
x
3
ln xdx.
d) I =
ln
x
2
+ 2x
dx. e) I =
x
2
cos xdx. f) I =
e
x
cos 2xdx.
10
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chương 2
Tích Phân
2.1. Tích Phân.
2.1.1. Khái niệm tích phân.
Định nghĩa 2.1. Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F là một nguyên
hàm của f trên K thì hiệu số F (b) − F (a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và ký hiệu là
b
a
f(x)dx.
Nhận xét.
a) Nếu a < b thì ta gọi
b
a
f(x)dx là tích phân của f trên đoạn [a; b].
b) Hiệu số F (b) − F (a) còn được ký hiệu là F (x)|
b
a
. Khi đó
b
a
f(x)dx = F (x)|
b
a
= F (b) − F (a) (2.1)
c) Tích phân không phụ thuộc biến số, tức là
b
a
f(x)dx =
b
a
f(t)dt =
b
a
f(u)du = = F (b) −F (a).
Ví dụ 2.1. Tính các tích phân sau
a) I =
1
0
5x
4
dx.
b) I =
e
1
dx
x
.
c) I =
π
6
0
cos 3xdx.
d) I =
ln 2
0
e
−x
dx.
e) I =
1
1
2
(2x − 1)
2012
dx.
f) I =
1
−1
√
5 − 4xdx.
Lời giải.
a) I = x
5
1
0
= 1.
b) I = ln |x||
e
1
= ln e − ln 1 = 1.
c) I =
1
3
sin 3x
π
6
0
=
1
3
sin
π
2
−
1
3
sin 0 =
1
3
.
d) I = −e
−x
ln 2
0
= −
e
−ln 2
− e
0
=
1
2
.
e) I =
1
2
(2x − 1)
2013
2013
1
1
2
=
1
4026
.
f) I =
1
−1
(5 − 4x)
1
2
dx = −
1
4
(5 − 4x)
3
2
3
2
1
−1
=
13
3
.
2.1.2. Tính chất của tích phân.
Định lý 2.2. Giả sử các hàm số f , g liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có
1)
a
a
f(x)dx = 0.
2)
b
a
f(x)dx = −
a
b
f(x)dx.
11
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
3)
b
a
f(x)dx +
c
b
f(x)dx =
c
a
f(x)dx.
4)
b
a
[f(x) ± g(x)]dx =
b
a
f(x)dx ±
b
a
g(x)dx. 5)
b
a
kf(x)dx = k
b
a
f(x)dx (k ∈ R).
Ví dụ 2.2. Tính các tích phân sau
a) I =
2
1
6x
2
− 4x + 1
dx.
b) I =
ln 2
0
(e
x
+ 2x) dx.
c) [CĐ-2010] I =
1
0
2x − 1
x + 1
dx.
d) I =
π
8
0
cos
2
2xdx. e) I =
π
4
0
2cos
2
x + 1
1 − sin
2
x
dx.
f) I =
3
2
1
√
x + 1 −
√
x − 1
dx.
Lời giải.
a) I =
2x
3
− 2x
2
+ x
2
1
= 9.
b) I =
e
x
+ x
2
ln 2
0
= 1 + ln
2
2.
c) I =
1
0
2 −
3
x + 1
dx = (2x − 3 ln |x + 1|)|
1
0
= 2 − 3 ln 2.
d) I =
1
2
π
8
0
(1 + cos 4x) dx =
1
2
x +
1
4
sin 4x
π
8
0
=
π + 2
16
.
e) I =
π
4
0
2cos
2
x + 1
cos
2
x
dx =
π
4
0
2 +
1
cos
2
x
dx = (2x + tan x)|
π
4
0
=
π + 2
2
.
f) I =
3
2
√
x + 1 +
√
x − 1
dx =
3
2
(x + 1)
1
2
+ (x − 1)
1
2
dx
=
2
3
(x + 1)
3
2
+ (x − 1)
3
2
3
2
=
7 − 3
√
3 + 2
√
2
3
.
Tổng quát 2.1. I =
1
√
ax + b ±
√
ax + c
dx. Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
2.1.3. Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Bài toán 2.1. Tính tích phân I =
b
a
|f(x)|dx.
Phương pháp.
• Cho f(x) = 0 ⇒ x = x
i
(chỉ lấy những x
i
thuộc khoảng (a; b)).
• Khi đó I =
x
i
a
|f(x)|dx +
b
x
i
|f(x)|dx.
• Xét dấu f(x) trên các khoảng (a; x
i
) và (x
i
; b) để phá giá trị tuyệt đối.
Lưu ý. Để xét dấu f(x) trên (a; x
i
) ta lấy x
0
∈ (a; x
i
) thay vào f (x) để xác định dấu.
Ví dụ 2.3. Tính các tích phân sau
a) I =
2
−2
|x − 1|dx.
b) [D-03] I =
2
0
x
2
− x
dx.
c) I =
2
−2
|2x − |x + 1||dx.
12
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chương 2. Tích Phân
Lời giải.
a) I =
1
−2
|x − 1|dx +
2
1
|x − 1|dx =
1
−2
(1 − x) dx +
2
1
(x − 1) dx
=
x −
1
2
x
2
1
−2
+
1
2
x
2
− x
2
1
=
9
2
+
1
2
= 5.
b) I =
1
0
x
2
− x
dx +
2
1
x
2
− x
dx =
1
0
x − x
2
dx +
2
1
x
2
− x
dx
=
1
2
x −
1
3
x
3
1
0
+
1
3
x
3
−
1
2
x
2
1
=
1
6
+
5
6
= 1.
c) I =
−1
−2
|2x + x + 1|dx +
2
−1
|2x − x −1|dx =
−1
−2
|3x + 1|dx +
1
−1
|x − 1|dx +
2
1
|x − 1|dx
=
−1
−2
(−3x − 1) dx +
1
−1
(1 − x) dx +
2
1
(x − 1) dx
=
−
3x
2
2
− x
−1
−2
+
x −
1
2
x
2
1
−1
+
1
2
x
2
− x
2
1
=
7
2
+ 2 +
1
2
= 6.
BÀI TẬP
2.1. Tính các tích phân sau
a) I =
1
0
e
2−5x
dx.
b) I =
π
6
0
sin
2x +
π
6
dx. c) I =
π
6
0
1
cos
2
2x
dx.
d) I =
1
0
(−2x + 1)
7
dx. e) I =
2
1
3
√
3x + 2dx.
f) I =
0
−1
4
(3 − 5x)
3
dx.
2.2. Tính các tích phân sau
a) I =
4
1
2x +
√
x
dx. b) I =
4
2
x +
1
x
2
dx.
c) I =
π
2
0
1 + sin
x
2
cos
x
2
dx.
d) I =
π
2
0
cos 3x cos xdx.
e) I =
1
0
x
2
− 3x + 3
x − 2
dx. f) I =
1
0
x(x − 1)
2009
dx.
2.3. Tính các tích phân sau
a) I =
4
0
|3 − x|dx. b) I =
2
0
x
2
− 3x + 2
dx.
c) I =
3
−2
(|x + 1| + |x − 2|) dx.
d) I =
3
0
x
2
− 4x + 4 − 1
dx. e) I =
2π
0
√
1 − cos 2xdx. f) [BĐT-103] I =
2π
0
√
1 + sin xdx.
2.2. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân.
2.2.1. Phương pháp hệ số bất định.
Mệnh đề 2.3. Mọi đa thức bậc n, (n ≥ 3) đều phân tích được thành tích của các nhị thức bậc nhất và
các tam thức bậc hai có biệt thức ∆ < 0.
13
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Bài toán 2.2. Tính tích phân I =
b
a
f(x)
g(x)
dx, trong đó bậc f(x) < bậc g(x).
Phương pháp. Phân tích tích phân cần tính thành tổng hoặc hiệu của các tích phân có mẫu là các nhị
thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai có biệt thức ∆ < 0 hoặc các lũy thừa của chúng.
Lưu ý.
a) Nếu bậc f(x) ≥ bậc g(x) thì chia f(x) cho g(x).
b) Trong thực hành ta thường gặp các trường hợp sau
•
ax + b
(x − x
1
) (x − x
2
)
=
A
x − x
1
+
B
x − x
2
.
•
ax + b
(x − x
0
)
2
=
A
x − x
0
+
B
(x − x
0
)
2
.
•
ax
2
+ bx + c
(a
1
x + b
1
)(a
2
x
2
+ b
2
x + c
2
)
=
A
a
1
x + b
1
+
B
a
2
x
2
+ b
2
x + c
2
+
C (2a
2
x + b
2
)
a
2
x
2
+ b
2
x + c
2
(tam thức vô nghiệm).
Sau khi phân tích như trên ta dùng phương pháp đồng nhất hệ số hoặc phương pháp trị số riêng để
tìm A, B, C,
Ví dụ 2.4. Tính các tích phân sau
a) I =
5
3
1
(x − 2) (x + 1)
dx. b) I =
1
0
5x − 13
x
2
− 5x + 6
dx. c) I =
1
0
x
4
x
2
− 1
dx.
d) I =
1
0
3x − 1
x
2
+ 6x + 9
dx. e) I =
2
1
x
2
− 3x + 2
x (x
2
+ 2x + 1)
dx. f) [BĐT-78] I =
1
0
4x − 2
(x + 2)(x
2
+ 1)
dx.
Lời giải.
a) C1: (Phương pháp đồng nhất hệ số)
Ta có
1
(x − 2) (x + 1)
=
A
x − 2
+
B
x + 1
=
A (x + 1) + B (x − 2)
(x − 2) (x + 1)
=
(A + B) x + A −2B
(x − 2) (x + 1)
.
Đồng nhất hệ số được
A + B = 0
A − 2B = 1
⇔
A =
1
3
B = −
1
3
. Khi đó
I =
1
3
5
3
1
x − 2
dx −
1
3
5
3
1
x + 1
dx =
1
3
(ln |x − 2| − ln |x + 1|)
5
3
=
1
3
ln 2
C2: (Phương pháp trị số riêng)
Ta có
1
(x − 2) (x + 1)
=
A
x − 2
+
B
x + 1
=
A (x + 1) + B (x − 2)
(x − 2) (x + 1)
⇒ 1 = A (x + 1) + B (x − 2).
Cho x = 2 được A =
1
3
; cho x = −1 được B = −
1
3
. Khi đó
I =
1
3
5
3
1
x − 2
dx −
1
3
5
3
1
x + 1
dx =
1
3
(ln |x − 2| − ln |x + 1|)
5
3
=
1
3
ln 2
C3: (Kỹ thuật thêm bớt hay còn gọi là kỹ thuật nhảy tầng lầu)
I =
1
3
5
3
(x + 1) −(x − 2)
(x − 2) (x + 1)
dx =
1
3
5
3
1
x − 2
−
1
x + 1
dx
=
1
3
(ln |x − 2| − ln |x + 1|)
5
3
=
1
3
ln 2
b) Ta có
5x − 13
x
2
− 5x + 6
=
5x − 13
(x − 3)(x −2)
=
A
x − 3
+
B
x − 2
=
(A + B) x − 2A −3B
(x − 3)(x −2)
.
14
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chương 2. Tích Phân
Đồng nhất hệ số được
A + B = 5
−2A − 3B = −13
⇔
A = 2
B = 3
. Khi đó
I = 2
1
0
1
x − 3
dx + 3
1
0
1
x − 2
dx = 2 ln |x −3||
1
0
+ 3 ln |x − 2||
1
0
= −ln 18
c) Ta có I =
3
2
x
2
+ 1 +
1
x
2
− 1
dx =
x
3
3
+ x
3
2
+
3
2
1
x
2
− 1
dx =
22
3
+
3
2
1
x
2
− 1
dx.
Lại có
1
x
2
− 1
=
1
(x − 1)(x + 1)
=
A
x − 1
+
B
x + 1
=
(A + B) x + A −B
(x − 1)(x + 1)
.
Đồng nhất hệ số được
A + B = 0
A − B = 1
⇔
A =
1
2
B = −
1
2
. Khi đó
I =
22
3
+
1
2
3
2
1
x − 1
dx −
1
2
3
2
1
x + 1
dx =
22
3
+
1
2
(ln |x − 1| − ln |x + 1|)
3
2
=
22
3
+
1
2
ln
3
2
d) Ta có
3x − 1
x
2
+ 6x + 9
=
3x − 1
(x + 3)
2
=
A
x + 3
+
B
(x + 3)
2
=
A(x + 3) + B
(x + 3)
2
=
Ax + 3A + B
(x + 3)
2
.
Đồng nhất hệ số được
A = 3
3A + B = −1
⇔
A = 3
B = −10
. Khi đó
I = 3
1
0
1
x + 3
dx − 10
1
0
1
(x + 3)
2
dx = 3 ln |x + 3||
1
0
+
10
x + 3
1
0
= 3 ln
4
3
−
5
6
e) Ta có
x
2
− 3x + 2
x (x
2
+ 2x + 1)
=
x
2
− 3x + 2
x(x + 1)
2
=
A
x
+
B
x + 1
+
C
(x + 1)
2
=
A(x + 1)
2
+ Bx(x + 1) + Cx
x(x + 1)
2
=
(A + B)x
2
+ (2A + B + C)x + A
x(x + 1)
2
.
Đồng nhất hệ số được
A + B = 1
2A + B + C = −3
A = 2
⇔
A = 2
B = −1
C = −6
. Khi đó
I = 2
2
1
1
x
dx −
2
1
1
x + 1
dx − 6
2
1
1
(x + 1)
2
dx =
2 ln |x| − ln |x + 1| +
6
x + 1
2
1
= ln
8
3
− 1
f) Ta có
4x − 2
(x + 2)(x
2
+ 1)
=
A
x + 2
+
B
x
2
+ 1
+
2Cx
x
2
+ 1
=
A
x
2
+ 1
+ B(x + 2) + 2Cx(x + 2)
(x + 2)(x
2
+ 1)
=
(A + 2C) x
2
+ (B + 4C) x + A + 2B
(x + 2)(x
2
+ 1)
.
Đồng nhất hệ số được
A + 2C = 0
B + 4C = 4
A + 2B = −2
⇔
A = −2
B = 0
C = 1
. Khi đó
I = −2
1
0
1
x + 2
dx +
1
0
2x
x
2
+ 1
dx =
−2 ln |x + 2| + ln
x
2
+ 1
1
0
= ln
8
9
Ví dụ 2.5. Tính các tích phân sau
a) I =
√
3
1
1
x + x
3
dx.
b) I =
2
1
1 − x
4
x + x
5
dx. c) [BĐT-15] I =
1
0
1
(x
2
− 3x + 2)
2
dx.
15
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
a) I =
√
3
1
1
x + x
3
dx =
√
3
1
1
x (1 + x
2
)
dx =
√
3
1
x
2
+ 1 − x
2
x (1 + x
2
)
dx =
√
3
1
1
x
−
x
1 + x
2
dx
=
ln |x|−
1
2
ln
1 + x
2
√
3
1
=
1
2
ln
3
2
.
b) I =
2
1
1 − x
4
x (1 + x
4
)
dx =
2
1
1 + x
4
− 2x
4
x (1 + x
4
)
dx =
2
1
1
x
dx − 2
2
1
x
3
1 + x
4
dx
=
ln |x|−
1
2
ln
1 + x
4
2
1
=
1
2
ln
8
17
c) I =
1
0
1
(x
2
+ 3x + 2)
2
dx =
1
0
(x + 2) −(x + 1)
(x + 1)(x + 2)
2
dx =
1
0
1
x + 1
−
1
x + 2
2
dx
=
1
0
1
(x + 2)
2
+
1
(x + 1)
2
−
2
(x + 1)(x + 2)
dx = −
1
x + 1
1
0
−
1
x + 2
1
0
−2
1
0
(x + 2) −(x + 1)
(x + 1)(x + 2)
dx
=
2
3
− 2
1
0
1
x + 1
dx −
1
0
1
x + 2
dx
=
2
3
− 2 (ln |x + 1| − ln |x + 2|)|
1
0
=
2
3
+ 2 ln
3
4
Nhận xét. Rõ ràng đối với các bài tập trong ví dụ 2.5 dùng kỹ thuật thêm bớt là tốt hơn dùng phương
pháp hệ số bất định.
2.2.2. Phương pháp đổi biến dạng 1.
Bài toán 2.3. Tính tích phân I =
b
a
f(x)dx.
Phương pháp.
• Đặt x = ϕ(t) ⇒ dx = ϕ
(t)dt.
• Đổi cận: x = a ⇒ t = α; x = b ⇒ t = β (trong đó ϕ(α) = a, ϕ(β) = b).
• Khi đó I =
β
α
f (ϕ(t)) ϕ
(t)dt.
Lưu ý.
• a
2
+ x
2
: x = |a|tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
. •
a
2
− x
2
: x = |a|sin t t ∈
−
π
2
;
π
2
.
•
x
2
− a
2
: x =
|a|
sin t
t ∈
−
π
2
;
π
2
\{0}.
Ví dụ 2.6. Tính các tích phân sau
a) I =
1
0
1
1 + x
2
dx. b) I =
1
0
1
3 + x
2
dx. c) I =
1
0
x
3
x
8
+ 1
dx.
d) I =
1
0
1 − x
2
dx.
e) I =
√
2
2
0
x
2
√
1 − x
2
dx.
f) I =
2
2
√
3
1
x
√
x
2
− 1
dx.
Lời giải.
a) Đặt x = tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx =
1
cos
2
t
dt = (1 + tan
2
t)dt.
16
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chương 2. Tích Phân
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
4
. Ta có
I =
π
4
0
1
1 + tan
2
t
(1 + tan
2
t)dt =
π
4
0
dt = t|
π
4
0
=
π
4
b) Đặt x =
√
3 tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx =
√
3
cos
2
t
dt =
√
3(1 + tan
2
t)dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
6
. Ta có
I =
π
6
0
1
3 + 3tan
2
t
√
3
1 + tan
2
t
dt =
1
√
3
π
6
0
dt =
1
√
3
t|
π
6
0
=
π
6
√
3
c) Đặt x
4
= tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ 4x
3
dx =
1
cos
2
t
dt = (1 + tan
2
t)dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
4
. Ta có
I =
1
4
π
4
0
1
1 + tan
2
t
(1 + tan
2
t)dt =
1
4
π
4
0
dt =
1
4
t
π
4
0
=
π
16
d) Đặt x = sin t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx = cos tdt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
2
. Ta có
I =
π
2
0
1 − sin
2
t cos tdt =
π
2
0
cos
2
tdt =
1
2
π
2
0
(1 + cos 2t) dt =
1
2
t +
1
4
sin 2t
π
2
0
=
π
4
e) Đặt x = sin t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx = cos tdt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x =
√
2
2
⇒ t =
π
4
. Ta có
I =
π
4
0
sin
2
t
1 − sin
2
t
cos tdt =
π
4
0
sin
2
tdt =
1
2
π
4
0
(1 − cos 2t) dt =
1
2
t −
1
4
sin 2t
π
4
0
=
π −2
8
f) Đặt x =
1
sin t
, t ∈
−
π
2
;
π
2
\{0} ⇒ dx = −
cos t
sin
2
t
dt.
Đổi cận: x =
2
√
3
⇒ t =
π
3
; x = 2 ⇒ t =
π
6
. Ta có
I =
π
3
π
6
1
1
sin t
1
sin
2
t
− 1
cos t
sin
2
t
dt =
π
3
π
6
dt = t|
π
3
π
6
=
π
6
Ví dụ 2.7. Tính các tích phân sau
a) I =
1
0
1
x
2
+ x + 1
dx. b) I =
1
0
2x − x
2
dx.
c) I =
√
2
0
2 + x
2 − x
dx.
d) I =
1
0
x
2
+ x + 2
x
3
+ x
2
+ x + 1
dx. e) I =
2
1
1
x
2
√
1 + x
2
dx.
f) I =
π
−π
sin
2
x
3
x
+ 1
dx.
17
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
a) Ta có I =
1
0
1
x +
1
2
2
+
3
4
dx.
Đặt x +
1
2
=
√
3
2
tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx =
√
3
2
1
cos
2
t
dt =
√
3
2
(1 + tan
2
t)dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t =
π
6
; x = 1 ⇒ t =
π
3
. Ta có
I =
π
3
π
6
1
3
4
tan
2
t +
3
4
√
3
2
(1 + tan
2
t)dt =
2
√
3
π
3
π
6
dt =
2
√
3
t
π
3
π
6
=
π
3
√
3
Tổng quát 2.2. I =
1
ax
2
+ bx + c
dx (với ∆ là biệt thức của mẫu)
• Nếu ∆ > 0 thì I =
1
a(x − x
1
)(x − x
2
)
dx.
• Nếu ∆ = 0 thì I =
1
a(x − x
0
)
2
dx.
• Nếu ∆ < 0 thì I =
1
u
2
+ A
2
dx.
b) Ta có I =
1
0
1 − (x −1)
2
dx.
Đặt x − 1 = sin t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx = cos dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = −
π
2
; x = 1 ⇒ t = 0. Ta có
I =
0
−
π
2
1 − sin
2
t cos tdt =
0
−
π
2
cos
2
tdt =
1
2
0
−
π
2
(1 + cos2t) dt =
1
2
t +
1
4
sin 2t
0
−
π
2
=
π
4
Tổng quát 2.3. I =
ax
2
+ bx + cdx =
A
2
− u
2
dx (trong đó a < 0 và ∆ > 0)
c) Ta có I =
√
2
0
2 + x
√
4 − x
2
dx.
Đặt x = 2 sin t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx = 2 cos dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x =
√
2 ⇒ t =
π
4
. Ta có
I =
π
4
0
2 + 2 sin t
4 − 4sin
2
t
2 cos tdt = 2
π
4
0
(1 + sin t) dt = (2t − 2 cos t)|
π
4
0
= 2 −
√
2 +
1
2
π
Tổng quát 2.4. I =
a + x
a − x
dx =
a + x
√
a
2
− x
2
dx (a > 0).
d) Ta có I =
1
0
x
2
+ x + 2
x
3
+ x
2
+ x + 1
dx =
1
0
x
2
+ x + 2
x
2
(x + 1) + x + 1
dx =
1
0
x
2
+ 1 + x + 1
(x + 1) (x
2
+ 1)
dx
=
1
0
1
x + 1
+
1
x
2
+ 1
dx = ln |x + 1||
1
0
+
1
0
1
x
2
+ 1
dx = ln 2 +
1
0
1
x
2
+ 1
dx.
18
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chương 2. Tích Phân
Đặt x = tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx =
1
cos
2
t
dt = (1 + tan
2
t)dt.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
4
. Ta có
I = ln 2 +
π
4
0
1
tan
2
t + 1
(1 + tan
2
t)dt = ln 2 +
π
4
0
dt = ln 2 + t|
π
4
0
= ln 2 +
π
4
e) C1: Đặt x = tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
⇒ dx =
1
cos
2
t
dt.
Đổi cận: x = 1 ⇒ t =
π
4
; x = 2 ⇒ arctan 2. Ta có
I =
arctan 2
π
4
1
tan
2
t
√
1 + tan
2
t
1
cos
2
t
dt =
arctan 2
π
4
cos t
sin
2
t
dt = −
1
sin t
arctan 2
π
4
=
2
√
2 −
√
5
2
C2: Đặt x =
1
t
⇒ dx = −
1
t
2
dt. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 2 ⇒ t =
1
2
. Ta có
I =
1
1
2
1
1
t
2
1 +
1
t
2
1
t
2
dt =
1
1
2
t
√
1 + t
2
dt =
1
2
1
1
2
1
√
1 + t
2
d(1 + t
2
) =
1 + t
2
1
1
2
=
2
√
2 −
√
5
2
Tổng quát 2.5. I =
1
(1 + x
n
)
n
√
1 + x
n
dx. Đặt x =
1
t
.
f) Đặt x = −t ⇒ dx = −dt. Đổi cận: x = −π ⇒ t = π; x = π ⇒ t = −π. Ta có
I =
π
−π
sin
2
(−t)
3
−t
+ 1
dt =
π
−π
sin
2
t
1
3
t
+ 1
dt =
π
−π
3
t
sin
2
t
1 + 3
t
dt =
π
−π
3
x
sin
2
x
1 + 3
x
dx
Suy ra 2I =
π
−π
sin
2
x
1 + 3
x
+
3
x
sin
2
x
1 + 3
x
dx =
π
−π
sin
2
xdx =
1
2
x −
1
4
sin 2x
π
−π
= π ⇔ I =
π
2
.
Tổng quát 2.6. I =
a
−a
f(x)dx. Đặt x = −t.
2.2.3. Phương pháp đổi biến dạng 2.
Bài toán 2.4. Tính tích phân I =
b
a
f [u(x)] u
(x)dx.
Phương pháp.
• Đặt u = u(x) ⇒ du = u
(x)dx.
• Đổi cận: x = a ⇒ u = u(a); x = b ⇒ u = u(b).
• Khi đó I =
b
a
f (u) du.
Lưu ý. u(x) thường nằm trong dấu lũy thừa, lượng giác, trên số mũ, dưới mẫu hay cả dấu căn, dấu lôgarit.
19
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Ví dụ 2.8. Tính các tích phân sau
a) I =
1
0
x
3
1 + x
4
3
dx. b) I =
1
0
x + 2
x
2
+ 4x + 7
dx. c) [DB-02] I =
1
0
x
3
x
2
+ 1
dx.
d) [BĐT-18] I =
1
0
x
(x + 1)
3
dx. e) I =
1
0
x
5
x
2
+ 1
2011
dx. f) I =
2
1
(2x − 1)
10
(x + 1)
12
dx.
Lời giải.
a) I =
1
4
1
0
1 + x
4
3
d
1 + x
4
=
1
16
1 + x
4
4
1
0
=
15
16
.
b) I =
1
2
1
0
1
x
2
+ 4x + 7
d
x
2
+ 4x + 7
=
1
2
ln
x
2
+ 4x + 7
1
0
=
1
2
ln
12
7
.
c) I =
1
0
x −
x
x
2
+ 1
dx =
1
0
xdx −
1
2
1
0
1
x
2
+ 1
d
x
2
+ 1
=
x
2
2
1
0
−
1
2
ln
x
2
+ 1
1
0
=
1
2
−
1
2
ln 2.
d) Đặt u = x + 1 ⇒ du = dx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x = 1 ⇒ u = 2. Ta có
I =
2
1
u − 1
u
3
du =
2
1
1
u
2
−
1
u
3
du =
−
1
u
+
1
2u
2
2
1
=
1
8
e) Ta có I =
1
0
x
4
x
x
2
+ 1
2012
dx.
Đặt u = x
2
+ 1 ⇒ du = 2xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x = 1 ⇒ u = 2. Ta có
I =
1
2
2
1
(u − 1)
2
u
2012
du =
1
2
2
1
u
2014
− 2u
2013
+ u
2012
du
=
1
2
u
2015
2015
−
2u
2014
2014
+
u
2013
2013
2
1
=
2025079.2
2012
− 1
4084588365
f) Ta có I =
2
1
2x − 1
x + 1
10
.
1
(x + 1)
2
dx.
Đặt u =
2x − 1
x + 1
⇒ du =
3
(x + 1)
2
dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ u =
1
2
; x = 2 ⇒ u = 1. Ta có
I =
1
3
1
1
2
u
10
du =
u
11
33
1
1
2
=
2047
67584
Tổng quát 2.7. I =
(ax + b)
n
(cx + d)
n+2
dx =
ax + b
cx + d
n
1
(cx + d)
2
dx. Đặt u =
ax + b
cx + d
.
Ví dụ 2.9. Tính các tích phân sau
a) [DB-03] I =
1
0
x
3
1 − x
2
dx. b) [D-2011] I =
4
0
4x − 1
√
2x + 1 + 2
dx. c) I =
6
2
1
2x + 1 +
√
4x + 1
dx.
d) [A-03] I =
2
√
3
√
5
1
x
√
x
2
+ 4
dx.
e) I =
64
1
1
√
x +
3
√
x
dx. f) I =
1
0
1
(x + 1) (x + 8)
dx.
20
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chương 2. Tích Phân
Lời giải.
a) Ta có I =
1
0
x
2
x
1 − x
2
dx.
Đặt u =
√
1 − x
2
⇔ u
2
= 1 − x
2
⇒ 2udu = −2xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x = 1 ⇒ u = 0. Ta có
I =
1
0
1 − u
2
u.udu =
1
0
u
2
− u
4
du =
u
3
3
−
u
5
5
1
0
=
2
15
c) Đặt u =
√
2x + 1 ⇔ u
2
= 2x + 1 ⇒ 2udu = 2dx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x = 4 ⇒ u = 3. Ta có
I =
3
1
2
u
2
− 1
− 1
u + 2
udu =
3
1
2u
3
− 3u
u + 2
du =
3
1
2u
2
− 4u + 5 −
10
u + 2
du
=
2u
3
3
− 2u
2
− 10 ln |u + 2|
3
1
=
34
3
+ 10 ln
3
5
c) Đặt u =
√
4x + 1 ⇔ u
2
= 4x + 1 ⇒ udu = 2dx. Đổi cận: x = 2 ⇒ u = 3; x = 6 ⇒ u = 5. Ta có
I =
1
2
5
3
1
u
2
−1
2
+ 1 + u
udu =
5
3
u
u
2
+ 2u + 1
du =
5
3
u + 1 −1
(u + 1)
2
du
=
5
3
1
u + 1
−
1
(u + 1)
2
du =
ln |u + 1| +
1
u + 1
5
3
= ln
3
2
−
1
12
d) Ta có I =
2
√
3
√
5
x
x
2
√
x
2
+ 4
dx.
Đặt u =
√
x
2
+ 4 ⇔ u
2
= x
2
+ 4 ⇒ udu = xdx. Đổi cận: x =
√
5 ⇒ u = 3; x = 2
√
3 ⇒ u = 4. Ta có
I =
4
3
u
(u
2
− 4) u
du =
4
3
1
(u − 2) (u + 2)
du =
1
4
4
3
(u + 2) −(u − 2)
(u − 2) (u + 2)
du
=
1
4
4
3
1
u − 2
−
1
u + 2
du =
1
4
(ln |u − 2| − ln |u + 2|)
4
3
=
1
4
ln
5
3
e) Đặt u =
6
√
x ⇔ u
6
= x ⇒ 6u
5
du = dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1; x = 64 ⇒ u = 2. Ta có
I =
2
1
1
u
3
+ u
2
6u
5
du = 6
2
1
u
3
u + 1
du = 6
2
1
u
2
− u + 1 −
1
u + 1
du
= 6
u
3
3
−
u
2
2
+ u − ln |u + 1|
2
1
= 11 + 6 ln
2
3
f) Đặt u =
√
x + 1 +
√
x + 8
⇒ du =
1
2
√
x + 1
+
1
2
√
x + 8
dx =
√
x + 1 +
√
x + 8
2
(x + 1)(x + 8)
dx ⇔
2
u
du =
1
(x + 1)(x + 8)
dx.
Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1 + 2
√
2; x = 1 ⇒ u = 3 +
√
2. Ta có
I =
3+
√
2
1+2
√
2
2
u
du = 2 ln |u||
3+
√
2
1+2
√
2
= 2 ln
3 +
√
2
1 + 2
√
2
21
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Tổng quát 2.8. I =
1
(ax + b)(ax + c)
dx. Đặt u =
|ax + b| +
|ax + c|.
Ví dụ 2.10. Tính các tích phân sau
a) [D-09] I =
3
1
1
e
x
− 1
dx.
b) I =
ln 2
0
1
1 + e
−x
dx.
c) [A-2010] I =
1
0
x
2
+ e
x
+ 2x
2
e
x
1 + 2e
x
dx.
d) [DB-03] I =
ln 5
ln 2
e
2x
√
e
x
− 1
dx. e) I =
ln 5
ln 2
e
x
(10 − e
x
)
√
e
x
− 1
dx.
f) [B-2010] I =
e
1
ln x
x(2 + ln x)
2
dx.
g) I =
e
1
1 + ln
3
x
x
dx.
h) I =
√
e
1
1
x
ln
2
x − 3 ln x + 2
dx.
i) [B-04] I =
e
1
√
1 + 3 ln x. ln x
x
dx.
Lời giải.
a) I =
3
1
e
x
− (e
x
− 1)
e
x
− 1
dx =
3
1
e
x
e
x
− 1
− 1
dx = (ln |e
x
− 1| − x)|
3
1
= ln
e
2
+ e + 1
− 2.
b) I =
ln 2
0
1
1 +
1
e
x
dx =
ln 2
0
e
x
1 + e
x
dx =
ln 2
0
1
1 + e
x
de
x
= ln |1 + e
x
||
ln 2
0
= ln
3
2
.
c) I =
1
0
x
2
(1 + 2e
x
) + e
x
1 + 2e
x
dx =
1
0
x
2
+
e
x
1 + 2e
x
dx =
1
0
x
2
dx +
1
2
1
0
1
1 + 2e
x
d(1 + 2e
x
)
=
x
3
3
1
0
+
1
2
ln |1 + 2e
x
|
1
0
=
1
3
+
1
2
ln
1 + 2e
3
.
d) Ta có I =
ln 5
ln 2
e
x
.e
x
√
e
x
− 1
dx.
Đặt u =
√
e
x
− 1 ⇔ u
2
= e
x
− 1 ⇒ 2udu = e
x
dx. Đổi cận: x = ln 2 ⇒ u = 1; x = ln 5 ⇒ u = 4. Ta có
I =
4
1
u
2
+ 1
u
2udu = 2
4
1
u
2
+ 1
du = 2
u
3
3
+ u
4
1
=
20
3
e) Đặt u =
√
e
x
− 1 ⇔ u
2
= e
x
− 1 ⇒ 2udu = e
x
dx.
Đổi cận: x = ln 2 ⇒ u = 1; x = ln 5 ⇒ u = 2. Ta có
I =
2
1
1
(9 − u)u
2udu =
1
3
2
1
(3 + u) + (3 − u)
(3 + u)(3 −u)
du =
1
3
2
1
1
3 − u
+
1
3 + u
du
=
1
3
(ln |3 + u| − ln |3 − u|)
2
1
=
1
3
ln
5
2
f) Đặt u = 2 + ln x ⇒ du =
1
x
dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 2; x = e ⇒ u = 3. Ta có
I =
3
2
u − 2
u
2
du =
3
2
1
u
−
2
u
2
du =
ln |u|+
2
u
3
2
= ln
3
2
−
1
3
g) I =
e
1
1 + ln
3
x
x
dx =
e
1
1 + ln
3
x
d ln x =
ln x +
ln
4
x
4
e
1
=
5
4
.
22
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chương 2. Tích Phân
h) Đặt u = ln x ⇒ du =
1
x
dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 0; x =
√
e ⇒ u =
1
2
. Ta có
I =
1
2
0
1
u
2
− 3u + 2
du =
1
2
0
(u − 1) −(u − 2)
(u − 1)(u −2)
du =
1
2
0
1
u − 2
−
1
u − 1
du
= (ln |u − 2| − ln |u − 1|)||
1
2
0
= ln
3
2
i) Đặt u =
√
1 + 3 ln x ⇔ u
2
= 1 + 3 ln x ⇒ 2udu =
3
x
dx.
Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1; x = e ⇒ u = 2. Ta có
I =
2
1
u
u
2
− 1
3
.
2u
3
du =
2
9
2
1
u
4
− u
2
du =
2
9
u
5
5
−
u
3
3
2
1
=
116
135
2.2.4. Phương pháp tích phân từng phần.
Bài toán 2.5. Tính tích phân I =
b
a
u(x).v
(x)dx.
Phương pháp.
• Đặt
u = u(x)
dv = v
(x)dx
⇒
du = u
(x)dx
v =
v
(x)dx (chọn C = 0)
.
• Khi đó I = uv|
b
a
−
b
a
vdu.
Lưu ý. Trong tích phân từng phần ta thường gặp các trường hợp sau
• I =
{P (x); e
x
}dx u = P (x)
• I =
P (x); sin x, cos x,
1
cos
2
x
,
1
sin
2
x
dx u = P (x)
• I =
{P (x); ln x}dx
u = ln x
• I =
{e
x
; sin x, cos x}dx
u = e
x
hoặc u = sin x, cos x
Ví dụ 2.11. Tính các tích phân sau
a) [D-06] I =
1
0
(x − 2) e
2x
dx. b) [CĐ-09] I =
1
0
e
−2x
+ x
e
x
dx.
c) I =
π
2
0
(x + 1) sin 2xdx.
d) I =
π
2
0
x (2 + sin x) dx.
e) [D-08] I =
2
1
ln x
x
3
dx. f) [D-04] I =
3
2
ln
x
2
− x
dx.
Lời giải.
a) Đặt
u = x − 2
dv = e
2x
dx
⇒
du = dx
v =
1
2
e
2x
dx
. Ta có
I =
1
2
(x − 2)e
2x
1
0
−
1
2
1
0
e
2x
dx = −
e
2
2
+ 1 −
1
4
e
2x
1
0
=
5 − 3e
2
4
b) Ta có I =
1
0
e
−2x
+ x
e
x
dx =
1
0
e
−x
dx +
1
0
xe
x
dx = −e
−x
1
0
+
1
0
xe
x
dx = 1 −
1
e
+
1
0
xe
x
dx.
23
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Nguyễn Minh Hiếu
Đặt
u = x
dv = e
x
dx
⇒
du = dx
v = e
x
. Ta có
I = 1 −
1
e
+ xe
x
|
1
0
−
1
0
e
x
dx = 1 −
1
e
+ e − e
x
|
1
0
= 2 −
1
e
c) Đặt
u = x + 1
dv = sin 2xdx
⇒
du = dx
v = −
1
2
cos 2x
. Ta có
I = −
1
2
(x + 1) cos 2x
π
2
0
+
1
2
π
2
0
cos 2xdx =
π
4
+ 1 +
1
4
sin 2x
π
2
0
=
π + 4
4
d) Đặt
u = x
dv = (2 + sin x)dx
⇒
du = dx
v = 2x − cos x
. Ta có
I = x(2x − cos x)|
π
2
0
−
π
2
0
(2x − cos x)dx =
π
2
2
−
x
2
−
s
inx
π
2
0
=
π
2
4
+ 1
e) Đặt
u = ln x
dv =
1
x
3
dx
⇒
du =
1
x
dx
v = −
1
2x
2
. Ta có
I = −
ln x
2x
2
2
1
+
1
2
2
1
1
x
3
dx = −
1
8
ln 2 −
1
4x
2
2
1
=
3
16
−
1
8
ln 2
f) Đặt
u = ln
x
2
− x
dv = dx
⇒
du =
2x−1
x
2
−x
dx
v = x
. Ta có
I = x ln
x
2
− x
3
2
−
3
2
x
2x − 1
x
2
− x
dx = 3 ln 6 − 2 ln 2 −
3
2
2x − 1
x − 1
dx
= 3 ln 6 − 2 ln 2 −
3
2
2 +
1
x − 1
dx = 3 ln 6 − 2 ln 2 − (2x + ln |x − 1|)|
3
2
= 3 ln 3 − 2
Ví dụ 2.12. Tính các tích phân sau
a) I =
π
4
0
x
1 + cos 2x
dx.
b) I =
e
1
x
2
+ 1
x
ln xdx.
c) I =
0
−1
x
e
2x
+
3
√
x + 1
dx.
d) [B-09] I =
3
1
3 + ln x
(1 + x)
2
dx.
e) I =
ln 3
0
xe
x
√
e
x
+ 1
dx.
f) [B-2011] I =
π
3
0
1 + x sin x
cos
2
x
dx.
Lời giải.
a) Ta có I =
π
4
0
x
2cos
2
x
dx.
Đặt
u = x
dv =
1
2cos
2
x
dx
⇒
du = dx
v =
1
2
tan x
. Ta có
I =
1
2
x tan x
π
4
0
−
1
2
π
4
0
tan xdx =
π
8
−
1
2
π
4
0
sin x
cos x
dx =
π
8
+
1
2
π
4
0
1
cos x
d cos x
=
π
8
+
1
2
ln |cos x|
π
4
0
=
π
8
−
1
4
ln 2
24
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chương 2. Tích Phân
b) Ta có I =
e
1
x +
1
x
ln xdx =
e
1
x ln xdx +
e
1
ln x
x
dx =
e
1
x ln xdx +
ln
2
x
2
e
1
=
e
1
x ln xdx +
1
2
Đặt
u = ln x
dv = xdx
⇒
du =
1
x
dx
v =
x
2
2
. Ta có
I =
1
2
+
x
2
2
ln x
e
1
−
e
1
x
2
2
1
x
dx =
1
2
+
e
2
2
−
1
2
e
1
xdx =
1
2
+
e
2
2
−
x
2
4
e
1
=
e
2
+ 3
4
c) Ta có I =
0
−1
x
e
2x
+
3
√
x + 1
dx =
0
−1
xe
2x
dx +
0
−1
x
3
√
x + 1dx = I
1
+ I
2
.
Đặt
u = x
dv = e
2x
dx
⇒
du = dx
v =
1
2
e
2x
. Ta có
I
1
=
1
2
xe
2x
0
−1
−
1
2
0
−1
e
2x
dx =
1
2e
2
−
1
4
e
2x
0
−1
=
3
4e
2
−
1
4
Đặt u =
3
√
x + 1 ⇔ u
3
= x + 1 ⇒ 3u
2
du = dx. Đổi cận: x = −1 ⇒ u = 0; x = 0 ⇒ u = 1. Ta có
I
2
=
1
0
u
3
− 1
u.3u
2
du = 3
1
0
u
6
− u
3
du = 3
u
7
7
−
u
4
4
1
0
= −
9
28
Vậy I = I
1
+ I
2
=
3
4e
2
−
1
4
−
9
28
=
3
4e
2
−
4
7
.
d) Đặt
u = 3 + ln x
dv =
1
(1+x)
2
⇒
du =
1
x
dx
v = −
1
1+x
. Ta có
I = −
3 + ln x
1 + x
3
1
+
3
1
1
x(1 + x)
dx =
3 − ln 3
4
+
3
1
1 + x −x
x(1 + x)
dx =
3 − ln 3
4
+
3
1
1
x
−
1
1 + x
dx
=
3 − ln 3
4
+ (ln |x|− ln |1 + x|)|
3
1
=
1
4
3 + ln
27
16
e) Đặt
u = x
dv =
e
x
√
e
x
+1
⇒
du = dx
v = 2
√
e
x
+ 1
. Ta có
I = 2x
√
e
x
+ 1
ln 3
0
− 2
ln 3
0
√
e
x
+ 1dx = 4 ln 3 −2
ln 3
0
e
x
√
e
x
+ 1
e
x
dx
Lại đặt u =
√
e
x
+ 1 ⇔ u
2
= e
x
+ 1 ⇒ 2udu = e
x
dx.
Đổi cận: x = 0 ⇒ u =
√
2; x = ln 3 ⇒ u = 2. Ta có
I = 4 ln 3 − 2
2
√
2
u
u
2
− 1
2udu = 4 ln 3 − 4
2
√
2
1 +
1
u
2
− 1
du
= 4 ln 3 − 4t|
2
√
2
− 2
2
√
2
(u + 1) −(u − 1)
(u + 1)(u −1)
du = 4 ln 3 − 8 + 4
√
2 − 2
2
√
2
1
u − 1
−
1
u + 1
du
= 4 ln 3 − 8 + 4
√
2 − 2 (ln |u − 1| − ln |u + 1|)|
2
√
2
= 6 ln 3 − 8 + 4
√
2 + 4 ln
√
2 − 1
25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
