CHUYEN DE PHAN SO LOP 6

CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ - RÚT GỌN PHÂN SỐ.
I.

Lý thuyết:
- Phân số có dạng a/b trong đó b là những số nguyên, b ≠ 0 gọi là phân số.
a c
=
- Hai phân số
khi ad = bc.
b d
- Nếu nhân hoặc chia cả tử và mẫu của một phân số với một số khác 0 thì được một phân số mới
bằng phân số ban đầu.
- Mỗi phân số có vơ số phân số bằng nó.
- Muốn rút gọn phân số, ta chia cả tử và mẫu của phân số cho cùng môt ước chung khác 1 và -1.
- Phân số tối giản là phân số mà cả tử và mẫu số chỉ có ước chung là 1 và -1.

II.

Bài tập cơ bản:

Dạng 1: Tìm tử hoặc mẫu số của phân số bằng nhau.
Bài 1. Tìm x, y, z:
x −12 2
11
−3 x −18 −z
a. =
b. =
c.
=
=
=

5 20
y −66
6 −2
y
24
Bài 2. Tìm các số nguyên x và y biết: x< 0< y và:
−2 y
=
x 3
Bài 3. Tìm các số nguyên x và y biết x− y=4 và:
x−3 3
=
y −2 2
21
Bài 4: Viết dạng chung của tất cả các phân số bằng phân số
28
Dạng 2: Tìm điều kiện của phân số.
3
Bài 1. Cho biểu thức: A=
với n là số nguyên.
n+2
a. Điều kiện gì của n để A là phân số.
b. Tìm A biết n = 0; n = 2; n = 7.
c. Tìm n để A là số nguyên.
6
Bài 2. Cho phân số A=
. Tìm số tự nhiên n để:
n−3
1
a. A = 3.

b. A = 1
c. A=
2
Bài 3. Tìm các số tự nhiên n sao cho các phân số sau có giá trị ngun:
n+4
n−2
6
n
a.
b.
c.
d.
n
4
n−1
n−2
8
Bài 4. Tìm tất cả các phân số bằng phân số
mà tử số a của phân số thỏa mãn −4 ≤a< 17.
−12
n+ 1
Bài 5. Cho A=
. Với giá trị nào của n thì A là một số chẵn? Một số nguyên âm?
n−1

Dạng 3: Tìm phân số thỏa mãn điều kiện cho trước:
Bài 1. Cho A = { 0; 5; -7}. Viết tập hợp B các phân số mà cả tử và mẫu để thuộc tập hợp A.
13
Bài 2. Viết các phân số bằng phân số
mà cả tử và mẫu là các số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 100.

17


Bài 3. a. Tìm phân số bằng phân số

−33
57

biết rằng hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số là -160.
−25
35

b. Tìm phân số bằng phân số

biết tổng cả tử và mẫu số của phân số là -6.

Bài 4. Người ta thấy một số phân số có tính chất đặc biệt. Ví dụ như phân số
21
63

tử cũng như ở mẫu số thì ta được phân số

và

12 21
=
36 63

. Phân số

12
, nếu đổi chỗ các chữ số ở
36

13
cũng có tính chất này. Tìm các
26

phân số khác cũng có tính chất như vậy.
Bài 5. Cộng cả tử và mẫu của phân số

23
40

với cùng một số tự nhiên n thì được một phân số bằng phân số

3
. Tìm n.
4
n+1
n+13
; B=
.
n−3
n−2
Bài 7. Cho hai tập hợp A= {1 ,−2,4 } và B={−4 ,−3,0,8 } .
a. Viết tất cả các phân số mà tử số là một phần tử của A và mẫu số là một phần tử của B.
b. Đưa các phân số trên về dạng có mẫu dương.
c. Tìm các phân số bằng nhau trong các phân số trên.
5 n+ 6

Bài 8. Tìm các số tự nhiên n để phân số sau chưa tối giản:
6 n+5
Bài 6. Tìm số tự nhiên n để các phân số sau tối giản:

A=

Dạng 4: Chứng minh biểu thức phân số
Bài 1. Cho hai phân số:

a c
= . Chứng minh rằng:
b d

a+b c +d
a−b c−d
=
=
b.
b
d
b
d
a
≠
b
b
≠
0
m∈
Z

Bài 2. Cho
và
. Chứng minh rằng với mọi số
và m≠ 0 ta không thể có:
a a+m
≠
.
b b+m
a
a
So sánh sự khác biệt khi: m < 0 và m > 0 trong các trường hợp b > 0 và b < 0 .
n
Bài 3. Chứng minh rằng
tối giản với mọi n ∈ N .
n+1
p
p+ q
Bài 4. Cho phân số tối giản
. Chứng minh rằng phân số
cũng tối giản.
q
q
12n+1
21 n+ 4
Bài 5. Chứng tỏ rằng
và
với n ∈ N là phân số tối giản.
30 n+ 2
14 n+3

a.

Dạng 5: Rút gọn phân số
Bài 1. Rút gọn và so sánh các phân số sau:
3 4 . 23−3 4 .4
52 .7−52 .2
A= 5 2 5 B= 3
3 .3 −3 .5
5 .7−53 .4
Bài 2. Rút gọn phân số sau:
a2 +an+ ab+bn
M=
3 bn−a 2−an+3 ab


Bài 3. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất đê tất cả các phân số sau là phân số tối giản.
7
8
9
31
;
;
;…;
.
n+9 n+10 n+11
n+33

NÂNG CAO
I.
Tài liệu chun tốn THCS.

Bài 1: Tìm quy luật của dãy phân số sau và viết tiếp một phân số nữa theo quy luật ấy:
1 5 1 1 1
; ; ; ; .
12 12 3 4 6
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để các phân số sau đều là số nguyên:
15 12
6
;
;
.
n n+ 2 2 n−1
1+2+3+.. .+19+20
Bài 3: Cho phân số A =
. Hãy xóa đi ở tử số và mẫu số của phân số trên một số để được
6 +7+8+.. .+35+36
phân số mới bằng phân số ban đầu.
a 132
=
.
Bài 4: Tìm các số tự nhiên a và b, biết rằng BCNN (a,b) = 1092 và
b 143
Bài 5: Tìm x:
7 x
10+ x 3 40+ x 6
a. = b.
= c.
=
x 28 17 + x 4 77−x 7
a
3

.
Bài 6: Tìm các số tự nhiên a và b biêt rằng a3 +b 3=1216 và phân số
rút gọn được thành
b
5
Bài 7: Rút gọn các phân số sau:
10.11+ 50.55+70.77
1.3.5 .7 … .49
a.
b.
11.12+ 55.60+ 77.84 26.27 .28.29 … .50
Bài 8: Tìm số nguyên n sao cho:
n+3
n+ 7
3 n+2
a.
là số nguyên âm.
b.
là số nguyên.
c.
là số tự
n−2
3 n−1
4 n−5
nhiên.
n−5
Bài 9: Chứng minh rằng
là phân số tối giản với mọi số nguyên n.
3 n−14
2 n−1

Bài 10: Tìm số nguyên n để phân số
rút gọn được.
3 n+ 2
Bài 11: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều là các phân số tối giản:
n+7 n+8 n+ 9 n+10 n+11
;
;
;
;
.
3
4
5
6
7
a 49
=
Bài 12: Tìm các số tự nhiên a và b biết rằng
và ƯCLN (a,b) = 12.
b 56
Bài 13: Tìm các số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho:
a 5 b 21 c 6
= ; = ; = .
b 14 c 28 d 11
II.

NCPT:


Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số A =

n+10
2 n−8

có giá trị là một số nguyên.

21 n+3
rút gọn được.
6 n+ 4
Bài 3: Tìm các số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho:
a 3 b 12 c 6
= ; = ; = .
b 5 c 21 d 11
Bài 4: Rút gọn:
1999… 9
a.
( 100 chữ số 9 ở tử số, 100 chữ số 9 ở mẫu số)
999 … 95
121212
187187187
b.
c.
424242
221221221
3.7 .13 .37 .39−10101
d.
505050+70707
Bài 5: Chứng minh các phân số sau có giá trị là số tự nhiên:
2002
2003

10 +2
10 +8
a.
b.
3
9
Bài 6: Chứng minh các phân số sau bằng nhau:
1717 171717
a.
và
2929 292929
Bài 2: Tìm n để phân số A =

b.

3210−34 6420−68
và
4170−41 8340−82

c.

2016 4212
6318
;
và
7320 14640 21960

Bài 7: Tìm các số nguyên x và y biết rằng:
x 5 x 28
a. = b. =

3 y y 35
a
Bài 8: Tìm các phân số
có giá trị bằng:
b
36
a.
biết BCNN (a, b) = 300.
45
b.

21
35

biết ƯCLN (a, b) = 30.

c.

15
35

biết UCLN (a, b). BCNN (a, b) = 3549.

Bài 9: Chứng minh rằng ba phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n.
a.

n+ 1
2n+ 3 3 n+2
b.
c.

2 n+3 4 n+8 5 n+ 3

Bài 10: Cho phân số A =

63
3 n+ 1

, n∈N .

a. Với giá trị nào của n thì A rút gọn được?
b. Với giá trị nào của n thì A là số tự nhiên?
Bài 11: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau là phân số tối giản:


a.

2n+ 3 3 n+2 2 n+7
b.
c.
4 n+1 7 n+1 5 n+2

Bài 12: Tìm số tự nhiên n để phân số sau có giá trị ngun:
n+ 3
2 n−1
Bài 13: Tìm các số nguyên n sao cho các phân số sau có giá trị là số nguyên:
a.

12
2 n+3
b.

3 n−1
7

Bài 14: Cho phân số A =

8 n+ 193
4 n+3

tìm số tự nhiên n để:

a. Có giá trị là số tự nhiên.
b. Là phân số tối giản.
c. Với giá trị nào của n trong khoảng 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được.
Bài 15: Tìm các phân số tối giản nhỏ hơn 1 có tử và mẫu đều dương, biết rằng tích của tử và mẫu của phân số
bằng 120.
Bài 16: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều là phân số tối giản:
5
6
7
17
;
;
;…;
.
n+8 n+9 n+ 10
n+20
15 49 36
; ;
. Biến đổi ba phân số trên thành các phân số bằng chúng sao cho mẫu
42 56 51

của phân số thứ nhất bằng tử của phân số thứ hai, mẫu của phân số thứ hai bằng tử số của phân số thứ ba.
Bài 17: Cho ba phân số

1
và khác số tự nhiên biết rằng nếu lấy mẫu nhân với một số, lấy tử cộng
5
với số đó thì giá trị của phân số khơng thay đổi.
Bài 18: Tìm các phân số lớn hơn
Bài 19: Cho phân số:
A=

23+22+21+…+ 14+13
11+10+9+ …+2+1

Hãy xóa ở tử số một số hạng và xóa ở mẫu số một số hạng để được một phân số mới bằng phân số A.
Bài 20: Bộ sử Hu – me
Người Anh có thói quen xếp bổ sử nước Anh của Hu-me gồm chín tập ở tủ sách đặc biệt gồm hai ngăn: ngăn
trên xếp 5 cuốn, ngăn dưới xếp 4 cuốn, ở gáy các cuốn sách có ghi các số 1, 2, 3, 4,..., 9. Nếu chủ nhân xếp
13458
67 29

( phân số này có giá trị bằng 2) thì chứng tỏ chủ nhân đã đọc 2 tập ( riêng trường hợp mới đọc một

taaoj thì xếp

12345
). Hãy nêu cách xếp chín cuốn sách đó để chứng tỏ chủ nhân của bộ sách đã đọc 3, 4, 5,
6789

6, 7, 8, 9 cuốn.

III.

Tốn bồi dưỡng:

Câu 1: Tìm các phân số mà cả tử và mẫu là các số nguyên dương có một chữ số, tử số kém mẫu số 3 đơn vị và:
a. 210 là bội chung của các tử số.
b. 210 là bội chung của các mẫu số.


c. 210 là bội chung của cả tử và mẫu số.
Câu 2: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số
Câu 3: Tìm số tự nhiên a để phân số

5 a+17
4 a+ 13

n+19
n−2

tối giản.

có giá trị lớn nhất. Giá trị ấy là bao nhiêu?

35 28
;
. Tìm phân số nhỏ nhất có cả tử số và mẫu số đều dương sao cho khi lấy
396 297
phân số ấy chia cho mỗi phân số trên đều được giá trị là một số tự nhiên.
Câu 4: Cho hai phân số

2
11

Câu 5: a. Tìm các phân số có mẫu số là 11 thỏa mãn lớn hơn
b.Tìm một phân số có mẫu số là 5 thỏa mãn lớn hơn

2
7

và bé hơn

và nhỏ hơn

49
.
77

3
.
7

Câu 6: Tính:
A=

2.4+ 2.4 .8+4.8 .16+8.16 .32
3.4+ 2.6 .8+ 4.12 .16+8.24 .32

Câu 7: Tìm phân số có mẫu số lớn hơn tử số 3507 đơn vị. Sau khi rút gọn phân số ấy được kết quả là

5

.
12

Câu 8: Tìm phân số có tổng cả tử số và mẫu số là 4120 biết sau khi rút gọn phân số ấy được kết quả là

9
11

.

3
số học sinh của tổ thứ nhất chia đều cho ba
5
tổ cịn lại thì số học sinh 4 tổ bằng nhau. Nếu số học sinh của tổ thứ nhất bớt đi 6 thì khi ấy tổ thứ nhất có số
học sinh bằng tổng số học sinh 3 tổ còn lại. Hỏi mỗi tổ có bao nhiêu học sinh?
Câu 9: Trong một ngày hội có 4 tổ học sinh tham gia. Nếu lấy

Câu 10: Hiện nay anh 10 tuổi. Năm mà tuổi người anh bằng tuổi của người em hiện nay thì lúc ấy tuổi anh gấp
3 lần tuổi em. Hỏi hiện nay người em bao nhiêu tuổi?
Câu 11: Tìm một phân số tối giản biết khi cộng tử số với 6 và mẫu số với 8 thì giá trị phân số khơng thay đổi.
Câu 12: Một phân số có tử và mẫu số đều dương. Hỏi có thể cộng cả tử và mẫu số của phân số ấy với những số
tự nhiên như thế nào thì khơng làm thay đổi giá trị của phân số ấy?
Câu 13: Chứng minh với mọi n khác 0 thì phân số sau tối giản:
8 n+5
6 n+4
Câu 14: Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số sau rút gọn được:
4 n+5
5 n+ 4
Câu 15: Tìm một phân số có giá trị bằng

198
234

biết tổng cả tử số mà mẫu số của phân số ấy là 72.

Câu 16: Phải cùng cộng thêm vào cả tử số và mẫu số của phân số
Câu 17: Cho phân số

11
20

số nào để được phân số

5
.
8

16
.Hỏi phải cùng bớt đi ở cả tử và mẫu số của phân số ấy bao nhiêu để được
31

Câu 18: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn:

3
.
8


63452+ n 23
=

36548+ n 77
Câu 19: Tìm số tự nhiên x biết:
57643+ x
1
=1
85357−x
6
Câu 20: Tìm các số tự nhiên a, b, c biết rằng:
1
= 0 , ´abc .
a+b+ c