Chuyên đề phần số học 8_9

Chuyên đề2
Số nguyên tố, hợp số, số chính phơng

I. Mục tiêu
- HS nắm đợc định nghĩa các loại số : Hợp số, số nguyên tố, số chính phơng
và một số công thức tổng quát của các loại số trên
- Vận dụng các kiến thức trên vào giải toán một cách thành thạo
- Rèn luyện cho HS t duy toán học, khả năng phát triển.
II. Chuẩn bị
- Hệ thống các kiến thức cơ bản và nâng cao
- Tài liệu tham khảo: Các chuyên đề số học các tác giả Võ Đại Mau, Vũ D-
ơng Thuỵ, Sách nhà xuất bản giáo dục
III. Nội dung
A.Lí thuyết
I. Số nguyên tố, hợp số:
1. Định nghĩa
- Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ớc số là 1 và
chính nó. Ví dụ 2,3,5,7,11,...
Lu ý: Chỉ có duy nhất một số nguyên tố chẳn là số 2.
Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n+1 hoặc 4n+3 (n

N)
Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6n+1 hoặc 6n+5 (n

N)
( Ngợc lại không đúng)
- Hợp số là những số tự nhiên có từ 3 ớc số trở lên(một hợp số có ít nhất hai ớc
số lớn hơn 1)
Lu ý:
- Số 0 và số 1 không phải là hợp số và cũng không phải là số nguyên tố
- Bất kì số tự nhiên nào lớn hơn 1 cũng có ít nhất là một ớc nguyên tố(thuật

toán phân tích các số ra thừa số nguyên tố)
2. Một số tính chất
- Dãy số nguyên tố là vô hạn
- Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q thì p = q
- Nếu tích a.b.c chia hết cho số nguyên tố p thì có ít nhất một thừa số trong
tích chia hết cho p ( nếu abc

p thì a

p hoặc b

p hoặc c

p)
- Nếu a

p và b

p thì ab

p
- Muốn nhận biết một số a>2 có phải là số nguyên tố hay không ta chia lần l-
ợt cho các số từ 1 đến phần nguyên của
2
a
. Nếu có phép chia hết thì a
không phai là số nguyên tố ,ngợc lại thì a là số nguyên tố.
( Hoặc xét các số từ 2 đến
a
nếu tồn tại một số là ớc của a thì a không phải

là số nguyên tố)
- Số ớc nguyên tố của số A = a

b

...c

với a,b,c là các số nguyên tố,

,,
là các số nguyên dơng là
)1)...(1)(1(
+++

3. Hai số nguyên tố cùng nhau
+ (a,b) =1

a và b là hai số nguyên tố cùng nhau
+ (n,n+1) =1 (

n

N)
+ Hai số nguyên tố luôn nguyên tố cùng nhau
+ a,b,c nguyên tố cùng nhau

(a,b,c) =1
+ a,b,c gọi là nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau
a ,b,c nguyên tố sánh đôi

(a,b) = (a,c) = (b,c) =1
+ 3 số nguyên tố sánh đôi thì chúng nguyên tố cùng nhau, ngợc lại không
đúng.
4. Một số định lý đặc biệt
a. Định lý Dirichlet:
Nếu a và b nguyên tố cùng thì tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng:
p = an + b, (n

N)
b. Định lý Tchebycheff:
Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n, có ít nhất một số
nguyên tố
c. Định lý Vinogradov:
15
Mọi số lẽ lớn hơn 3
3

là tổng của 3 số nguyên tố
II. Số chính phơng, số luỹ thừa.
1.Số chính phơng
- Số chính phơng là số tự nhiên bằng bình phơng đúng của một số tự nhiên
khác
- Một số chính có chữ số hàng đơn vị là một trong các số sau: 0;1;4;5;6;9
- Không có số chính phơng nào có chữ số tận cùng là 2;3;7;8
- Một số chính phơng có một trong các dạng sau:4n, 4n+1 hoặc 3n,3n+1 ( điều
ngợc lại không đúng)
- Không có số chính phơng nào có dạng 4n+2 hoặc 4n+3 hoặc 3n+2
B.Bài tập
I/ Số nguyên tố, hợp số
1. Tìm các số nguyên tố thoả mãn điều kiện nào đó

Ví dụ1: Tìm hai số nguyên tố p, q sao cho p
2
= 8q+1
Giải
Ta có p
2
=8q+1

(p-1)(p+1) = 8q
Do 8q+1 là số lẽ p
2
là số lẽ nên đặt p =2k+1(k

N)
p
2
=(2k+1)
2
=4k
2
+4k+1 = 8q+1

4k
2
+4k =8q

k(k+1)=2q
k(k+1)

2 (tích hai số tự nhiên liên tiếp)

q=
2
)1(
+
kk
vì q nguyên tố nên k(k+1)

2
+ Nếu k>2và k chẳn đặt k=2t(t>1)

2
)1(
+
kk
=t(2t+1) là hợp số (vô lí)
+ Nếu k>2 và k lẽđặt k=2t+1(t>1)
2
)1(
+
kk
= (2t+1)t là hợp số (vôlí)
+ Nếu k=1 thì q =1 không nguyên tố
+ Nếu k=2 thì q = 3 và khi đó ta có p =5 thoả mãn
Vậy q=3 và p=5 thoả mãn điều kiên bài ra
Ví dụ2 :Tìm số nguyên tố a sao cho a+10, a+14 đều là số nguyên tố
Giải
C1 : Xét số nguyên a : a có một trong các dạng sau : 3k,3k+1,3k+2(k

N)
+ Nếu a=3k+1 =>a+14 =3k+13 3 không phải nguyên tố (vô lí)

+ Nếu a=3k+2 =>a+10 = 3k+12 3 không phảI nguyên tố (vô lí)
+ Do đó a có thể có dạng 3k, mà a ngyên tố nên a=3
Khi a =3 ta có: a+10 =13 nguyên tố
A+14 =17 nguyên tố
Vậy với a=3 là số nguyên tố thoả mãn điều kiện bài ra
C2: Thử với a=2 =>a+12=12 không nguyên tố (thoả mãn)
a=3 => a+10 và a+14 đều nguyên tố (không thoả mãn)
Với a>3,a nguyên tố ta xét các dạng của a là: 6n+1 hoặc 6n+5 khi đó
a+14 hoặc a+10 không là nguyên tố
Vậy a=3 thoả mãn điều kiện bài ra.
Ví dụ4: Tìm số nguyên tố b sao cho b+6,b+14,b+12,b+8 đều là những số
nguyên tố
(HD: giải tơng tự ví dụ3)
Ví dụ5: Tìm số nguyên tố a sao cho 2a+1 là một lập phơng
Giải
C1 :Đặt 2a+1 = t
3
(t

N,t>1)
ta có : 2a+1 =t
3
2a = t
3
-1 <=> 2a =(t-1)(t
2
+t+1)
Do t
2
+t+1 >2, t-1>1 và a nguyên tố a>3 nên ta có t-1 =2 và t

2
+t+1 =a
=> t=3 và a =13
Thử lại : 2.13+1=27 =3
3
(đúng)
Vậy với số nguyên tố a=13 thì 2a+1 là một lập phơng.
C2: Từ 2a =(t-1)(t
2
+t+1) ta xét tất cả các hệ phơng trình sau đó kết luận(cách
này dài không tận dụng đợc giả thiết và các điều kiện của bài ra)
C3: Từ 2a = (t-1)(t
2
+t+1)
Vì t lẽ nên đặt t=2k+1 (k>0)
=> a= k(4k
2
+6k+1)
+ Nếu k=1=>a=13 thoả mãn
+ Nếu k>1 thì a là hợp số (không thoả mãn)
Vậy a=13 thoả mãn yêu cầu bài ra.
Ví dụ6: Tìm tất cả các số nguyên tố p để tổng các ớc của p
4
là một số chính
phơng.
Giải
Ta cần xác định p để 1+p+p
2
+p
3

+p
4
= a
2
(1)
=> 4+4p+4p
2
+4p
3
+4p
4
=(2a)
2
Ta có [p(2p+1)]
2
< (2a)
2
< [p(2p+1)+2]
2
=>(2a)
2
=[p(2p+1)+1]
2
(2)
Từ (1) và (2) suy ra p=3
2. Chứng minh
Ví dụ1: Cho p và 2p+1 là hai số nguyên tố , p>3
Chứng minh rằng 4p+1 là hợp số
Giải
P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng 6n+1 hoặc 6n+5 (n

N,n

1)
+ Nếu p = 6n+1 => 2p+1 =12n +3 chia hết cho 3 (trái với gt nguyên tố)
+ Vậy p = 6n+5=> 2p+1 = 12n+11 nguyên tố (thoả mãn)
Xét 4p+1 = 24n -3 3
Vậy p và 2p+1 là hai số nguyên tố , p>3 thì 4p+1 là hợp số.
Ví dụ2: Chứng minh rằng nếu số
abc
nguyên tố thì b
2
- 4ac không phảI là số
chính phơng.
Giải
Giả sử b
2
- 4ac là số chính phơng
Đặt k
2
= b
2
- 4ac (k N) => b>k
Ta có 4a() =400a
2
+40b+4ac
= (20a+b)
2
- (b
2

-4ac)
=(20a+b)
2
- k
2
=(20a+b+k)(20a+b-k)
Do (20a+b+k)(20a+b-k)


abc
mà
abc
nguyên tố nên ta có 20a+b+k


abc
hoặc 20a+b-k


abc
Mà
abc
= 100a +10b +c > 20a+2b> 20a+b+k ( do b>k) do đó 20a+b+k

abc
là vô lí
Tơng thự ta có
abc
= 100a +10b +c > 20a+b> 20a+b- k ( do b>k) do đó
20a+b-k

abc
là vô lí
Vậy nếu
abc
là nguyên tố thì b
2
-4ac không phải là số chính phơng.
Ví dụ3: Chứng minh rằng nếu m
2
- n
2
nguyên tố thì m,n là hai số tự nhiên liên
tiếp
Giải
Ta có m
2
-n
2
=(m-n)(m+n) với m,n

N và m>n
Vì m
2
- n
2
nguyên tố và m+n>m-n => m-n =1 =>m=n+1
Hay m,n là hai số tự nhiên liên tiếp.
Ví dụ4: Cho m

N. Chứng minh m
4
+4 và m
4
+m
2
+1 đều là hợp số(m>1)
Giải
PP: Phân tích ra thừa số trong đó có ít nhất hai thừa số lớn hơn 1
+ Ta có m
4
+4 = (m
4
+4m
2
+4) 4m
2
=(m
2
+2)
2
-(2m)
2
=(m
2
+2+2m)(m
2
+2-2m) =[(m+1)
2

+1][(m-1)
2
+1] là hợp số
vì [(m+1)
2
+1] >1 và [(m-1)
2
+1] >1
+ m
4
+m
2
+1 =m
4
+2m
2
+1 m
2
= (m
2
+1)
2
-m
2
=(m
2
+1+m)(m
2
+1-m) là hợp số.
Ví dụ5 : Cho p và q là hai số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng :

p
q-1
+q
p-1
-1

pq
Giải
Ta có p
q-1
+q
p-1
-1 = (p
q-1
-1) +q
p-1
Trong đó p
q-1
-1

q(theo định lí fecma) và q
p-1


q
=>p
q-1
+q
p-1
-1

q
Tơng tự ta c/m đợc p
q-1
+q
p-1
-1

p
Vì (p,q)=1 =>p
q-1
+q
p-1
-1

pq(đpcm)
Ví dụ6 : Giả sữ a,b,c,d là các số tự nhiên tuỳ y khác 0 sao cho a.c=b.d
Chứng minh với mọi n

N thì A=a
n
+b
n
+c
n
+d
n
là hợp số
Giải
+ Nếu (c,b) =1 thì =

c
d
=k (k

N
*
)
=> a
n
/b
n
=d
n
/c
n
=k
n
Vậy A=a
n
+b
n
+c
n
+d
n
= b
n
+c
n
+k

n
(b
n
+c
n
) =(b
n
+c
n
)(k
n
+1) là hợp s
+ Nếu (c,b)=m ( m

N
*
) => c=mp, b=mq (p,q

N
*
) và (p,q)=1 Khi đó a.c=b.d
=>q.d=a.p với (p,q)=1
Xét tơng tự trờng hợp trên ta suy ra A là hợp số( đpcm)
Bài tập
Bài1 : Tìm số nguyên dơng n để n
4
+4 là số nguyên tố
Bài2 :Tìm số nguyên dơng n để n
3
-n

2
+n-1 là số nguyên tố
Bài3 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để n
4
+(n+1)
4
là hợp số
Bài4 :P là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng p
8n
+3.p
4n
- 4

5
Bài5 :Tìm tất cả các số nguyên tố p để 2
p
+p
2
cúng là số nguyên tố
II/ Số chính phơng,số luỹ thừa
Ví dụ1 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên k thì số A=1+9
2k
+77
2k
+1977
2k
không phải là số chính phơng.
Giải
Số chính phơng có dạng 3t hoặc 3t +1(t

N)
Ta có A=1+9
2k
+77
2k
+1977
2k
có dạng 3l+2 (với l

N)
=>A không phải là số chính phơng.
Ví dụ2 : Số A=1+9
2n
+80
2n
+1980
2n
có phải là số chính phơng không ?
Giải
Bất kì số chính phơng nào cũng có dạng 4n ;4n+1 (với n

N)
A có dạng 4q+2 (với q

N) => A không là số chính phơng.
Ví dụ3 : Tích của hai số tự nhiên liên tiếp, tích của hai số chẳn liên tiếp có thể
là số chính phơng không ?
Giải
+ Gọi n,n+1 là hai số tự nhiên liên tiếp (với n

N)
Xét tích n(n+1)
Ta có n
2
<n(n+1)<(n+1)
2
do đó n(n+ 1) không thể là số chính phơng.
+ Gọi 2 số chẳn liên tiếp là :2k,2k+2 (với k

N)
Xét tích 2k(2k+2)
Ta có 4k
2
<2k(2k+2)<4(k+1)
2
=>2k(2k+2) không phải là số chính phơng.