PTNK 1819

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
NĂM HỌC 2018 – 2019
MƠN TỐN ( KHƠNG CHUN)
Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1. (1 điểm) Biết 0  x  y và








x y

x y



2

 


x



2

 
 
y  2  x  2 y    x
 
x

y



y



x y





 5

x
x y  3

. Tính : y

x

y





Bài 2. (2 điểm)
2 x2  7  x 

a) Giải phương trình :

3 x

x  x  7 

 x  3  x  1  y  2   x  3

2
2
x

1
y

5
y

8


y

2





b) 
Bài 3. ( 2 điểm) Cho phương trình x2 – x + 3m – 11 = 0 (1)
a) Với giá trị nào của m thì phường trình (1) có nghiệm kép? Tính nghiệm đó.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho
2017 x1 + 2018x2 = 2019.
Bài 4 ( 2 điểm)
a) Đầu tháng 5 năm 2018 khi đang vào vụ thu hoạch giá dưa hấu bất ngờ giảm
mạnh.Nông dân A cho biết vì sợ dưa hỏng nên phải bán 30% số dưa hấu thu hoạch với giá
1500đ/kg. sau đó nhờ phong trào “ giải cứu dưa hấu” nên đã may mắn bán hết số dưa còn lại
với giá 3500đ/kg. Nếu trừ tiền đầu tư thì lãi được 9 triệu đồng( khơng kể cơng chăm sóc hai
tháng của cả nhà). Cũng theo ông nông dân A, mỗi sào dưa hấu đầu tư ( hạt giống, phân bón…)
hết 4 triệu đồng và thu hoạch được 2 tấn dưa hấu.Hỏi Ơng nơng dân A trồng bao nhiêu sào dưa
hấu?
b) Một khu đất hình chữ nhật ABCD ( AB < CD) có chu vi 240 mét được chia thành hai
phần gồm khu đất hình chữ nhật ABMN làm chuồng trại và phần cịn lại làm vườn thả để nuôi
gà ( M; N nằm trên các cạnh AD và BC). Theo quy hoạch trang trại ni được 2400 con gà,
bình qn mỗi con gà cần 1 mét vng của diện tích vườn thả và diện tích vườn thả gấp ba lần
diện tích chuồng trại. tính chu vi của khu đất là vườn thả.
0

Bài 5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (T( tâm O, bán kính R; CAD 45 , AC vng

góc với BD và cắt BD tại điểm I, AD > BC. Dựng CK vng góc với AD ( K thuộc AD) CK
cắt BD tại H và cắt (T) tại E ( E khác C).
a) Tính số đo góc COD. CHứng minh các điểm I; C; D và K cùng thuộc một đường tròn.
Và AC = BD.
b) Chứng minh A là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BHE. Tính IK theo R.
c) IK cắt AB tại F. Chứng minh O là trực tâm của tam giác AIK và CK. CB = CF. CD.


…………………… Hết ……………………
BÀI GIẢI THAM KHẢO
Bài 1. (1 điểm) Biết 0  x  y và
2
2

 
x y  x y

 
 x  y
x  y  2  x  2 y    x

 



 









y



x y





 5

x
x y  3

. Tính : y
x

y





Giải :









x y

x y



2

 


x



2

 
 
y  2  x  2 y    x
 

x

y



y



x y

 x  2 xy  y  x  2 xy  y   y y  x x

  

x

y

2
x

4
y

  xy x  y





2  x 
 
3 




x

y

 5

x y  3

x

y





 5

 3


3

     5  2  x  y     y  x   x  xy  y   5
 3
xy  x  y 
 x  y   3 3 x  y  

xy  y   5
   x  xy  y 1  x  xy  y  xy  x  2 xy  y 0


y
 2x  2 y  



 3x  3 y   xy




3







xy



2

x






3

xy

x
x  y  x  y  t  1
y

0 

Bài 2. (2 điểm)
2x2  7  x 
3 x

a) Giải phương trình :
2x2  7  x 
3 x

Giải : a) Giải phương trình :

2x2  7  x 
3 x

x  x  7  ;
x  x  7 

 x  3  x  1  y  2   x  3

2
2
x

1
y

5
y

8

y

2






b) 

( đk: x ≤ 3)

x  x  7   2 x 2  7  x  x  x  7  3  x

 2 x 2  7  x   x  x  7  3  x 0
 2 x 2  7  x   x  7  x  3  x 0





 x  7  x  2  3  x 0
 x 0
 x  7  x  0 Vì :2  3  x  0  
 x 7





x = 7 ( loại) vậy phương trình có nghiệm S = { 0 };


 x  3  x  1  y  2   x  3

2
x  1 y 2  5 y  8  y  2 




b)

 1
 2

từ (2) điều kiện x – 1  0  x 1
từ (1) (x + 3)(x – 1) = (y – 2)(x + 3) (x + 3)(x – 1) – (y – 2)(x + 3) = 0
 (x + 3) [(x – 1) – (y – 2)] = 0 => x = – 3(loại) hoặc x – 1 = y – 2.
+ Với: x – 1 = y – 2 , ta được :

 x  1 y
  y  2

2

2

 5 y  8  y  2    y  2  y 2  5 y  8  y  2 

2

2

y 2  5 y  8   y  2  0   y  2  ( y 2  5 y  8  ( y  2)) 0

 y 2
  2
 y  5 y  8  y  2

+ Với y = 2 => x = 1 ( thỏa điều kiện)
+ Với :

y 2  5 y  8  y  2  y 2  5 y  8  y 2  4 y  4  y 4
+ Với : y = 4 => x = 3. Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (1;2); (5;4)
Bài 3. ( 2 điểm) Cho phương trình x2 – x + 3m – 11 = 0 (1)

a) Với giá trị nào của m thì phường trình (1) có nghiệm kép? Tính nghiệm đó.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho
2017 x1 + 2018x2 = 2019.
Giải :
a) Xét phương trình x2 – x + 3m – 11 = 0 (1)
Ta có:  = b2 – 4ac = (– 1)2 – 4.1.(3m – 11) = 1 – 12m + 44 = 45 – 12m
Để phương trình có nghiệm kép thì  = 0  45 – 12m = 0  m = 15/4.
Khi đó nghiệm kép của phương trình là: x1 = x2 = ½ .
b) Trong trường hợp phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì  > 0  m < 15/4
theo định lý Vi – et, ta được : x1 + x2 = 1 và x1.x2 = 3m – 11
theo đề: 2017x1 + 2018 x2 = 2019  2017(x1 + x2) + x2 = 2019
 2017.1 + x2 = 2019  x2 = 2. Vậy phương trình có 1 nghiệm bằng 2
Suy ra: 22 – 2 + 3m – 11 = 0  3m = 9  m = 3 ( thỏa điều kiện m < 15/4)
Vậy m = 3.
Bài 4 ( 2 điểm)

a) Đầu tháng 5 năm 2018 khi đang vào vụ thu hoạch giá dưa hấu bất ngờ giảm
mạnh.Nơng dân A cho biết vì sợ dưa hỏng nên phải bán 30% số dưa hấu thu hoạch với giá
1500đ/kg. sau đó nhờ phong trào “giải cứu dưa hấu” nên đã may mắn bán hết số dưa còn lại với
giá 3500đ/kg. Nếu trừ tiền đầu tư thì lãi được 9 triệu đồng( khơng kể cơng chăm sóc hai tháng
của cả nhà). Cũng theo ông nông dân A, mỗi sào dưa hấu đầu tư ( hạt giống, phân bón…) hết 4
triệu đồng và thu hoạch được 2 tấn dưa hấu. Hỏi Ông nông dân A trồng bao nhiêu sào dưa hấu?

b) Một khu đất hình chữ nhật ABCD ( AB < CD) có chu vi 240 mét được chia thành hai
phần gồm khu đất hình chữ nhật ABMN làm chuồng trại và phần cịn lại làm vườn thả để ni
gà ( M; N nằm trên các cạnh AD và BC). Theo quy hoạch trang trại ni được 2400 con gà,
bình quân mỗi con gà cần 1 mét vuông của diện tích vườn thả và diện tích vườn thả gấp ba lần
diện tích chuồng trại. tính chu vi của khu đất là vườn thả.
Giải :a) Gọi số sào của nông dân A trồng dưa hấu là x ( sào) đk: x > 0)
Số dưa hấu thu hoạch là: 2000x( kg)
Số tiền bán dưa với giá 1500 / kg là: 30%.2000x.1500 = 900 000x ( đồng)
Số tiền bán dưa với giá 3500 / kg là: 70%.2000x.3500 = 4 900 000x ( đồng)
Số tiền đầu tư là: 4 000 000x ( đồng)
ta được phương trình: 900 000x + 4 900 000x – 4 000 000x = 9 000 000
 1 800 000 x = 9 000 000  x = 5(thỏa diều kiện)
Đáp số : Nông dân A trồng 5 sào dưa hấu.
b)

Gọi chiều rộng và chiều dài của khu đất là x mét và y mét ( 0 < x < y)
Vì chu vi của khu đất bằng 240 mét, nên ta được : x + y = 120
Mỗi con gà chiếm 1m2 của vườn thả, nên 2400 con gà chiếm 2400m2
Diện tích vường thả gấp 3 lần diện tích chuồng trại, nên diện tích chuồng trại: 800 m2
Diện tích của khu đất là 3200 m2, ta được: xy = 3200.
Theo định lý Vi – et, x và y là nghiệm của phương trình: t2 – 120t + 3200 = 0.
Giải phương trình này ta được: x = 40 và y = 80.
Do diện tích vườn thả gấp 3 lần diện tích chuông trại
Nên DM = 3.AM
M
A
D
Mặt khác AD = 80m => MD = 60 mét.
Vậy chu vi của vường thả bằng: 2.(40 + 60) = 200 mét.

B

N

C

0

Bài 5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (T( tâm O, bán kính R; CAD 45 , AC vng
góc với BD và cắt BD tại điểm I, AD > BC. Dựng CK vuông góc với AD ( K thuộc AD) CK
cắt BD tại H và cắt (T) tại E ( E khác C).
a) Tính số đo góc COD. Chứng minh các điểm I; C; D và K cùng thuộc một đường tròn.
Và AC = BD.
b) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE. Tính IK theo R.
c) IK cắt AB tại F. Chứng minh O là trực tâm của tam giác AIK và CK. CB = CF. CD.
a) + Xét đường trịn (T) có tâm là O, ta có:
A


COD
= 2.CAD
2.450 900

O

B


E

I
K
D

H

0


+ Xét tứ giác DKIC, có: CKD = CID 90

C

Suy ra: tứ giác DKIC nội tiếp được 1 đường tròn (đlý)
+ Ta có: tam giác AID vng tại I có Â = 450
suy ra: AID vuông cân tại I => IA = ID.
Chứng minh tương tự: tam giác CIB vuông cân tại I
suy ra: IB = ID => IA + IC = IB + ID  AC = BD.
b) Chứng minh tương tự ta được tam giác AKC vuông cân tại K


 ACK
450  HCB
900
suy ra tam giác BCH vuông cân tại C, mà CI là đường cao suy ra: CI là đường trung trực
của HB, Chứng minh tương tự ta cũng được tam giác EDH vuông cân tại D và DK là đường
trung trực của EH. Suy ra A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE.
+ Do góc ECB vng nên BE là đường kính của đường trịn (T) => BE = 2R
+ Ta có: IK là đường trung bình của tam giác BHE => IK = ½ BE => KI = R.
c) + Do tam giác BAE vuông cân tại A => AO là trung trực của BE, suy ra: AO vng

góc với BE => AO vng góc IK( Do IK // BE).
+ Xét BHE, có: HI = IB (do AC là trung trực của BH) và OB = OE = R
suy ra: IO là đường trung bình của tam giác BHE => OI // HE
mà HE  AD => OI  AD hay OI  AK
+ Xét tam giác AKI có AO và OI là các đường cao, vậy O là trực tâm của tam giác AKI.
+ Xét đường trịn (T), có :



BAC
BDC

+ Do Tứ giác DKIC nội tiếp ( cmt) =>
+ Suy ra tứ giác AKCF nội tiếp =>
+ Ta có tứ giác ABCD nội tiếp =>
+ Xét  KDC và  BFC, có:



FKC
 BDC



DKC
 BFC


KDC
 FBC



DKC
BFC

và

( góc ngồi của tứ giác nội tiếp)
( góc ngồi của tứ giác nội tiếp)



KDC
FBC

KC DC

 KC.BC  KC .DC
FC BC

Suy ra:  KDC đồng dạng  FBC =>
( đpcm)
…………………… Hết ……………………
Đề tốn có thể có nhiều cách giải khác nhau, trên đây chỉ là bài giải tham khảo.