DE DONG NAI NAI 2015

BÀI GIẢI ĐỀ THI HSG ĐỒNG NAI NĂM 2015
BÀI 1.1: Giải phương trình : (x2 – 4x +3)(x2 - 6x + 8) = 3
 x 2 – 4x  3  x 2  6x  8  3
 ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4) 3
 x 2  5 x  4 x 2  5 x  6 3







2

5 9
9

t  x  5 x  4  x     t 
2 4
4

 t (t  2) 3  t 1(n); t  3(l )
2

 x 2  5 x  4 1  x 

1.2) Chứng minh :

5  13
2

x 4  5 x3  11x 2  12 x  6  0; x

VT  x 2  ax  b   x 2  cx  d  x 4  (a  c) x 3  (b  ac  d ) x 2  (ad  bc) x  bd

Đặt
Đồng nhất hệ số:

 a  c  5
b  ac  d 11

 
 a  2; b 2; c  3; d 3
ad

bc

12


bd 6
 VT  x 2  2 x  2



x

2

 3x  3



2

x 2  2 x  2  x  1  1  0; x
2

3
3

x  3x  3  x     0; x
2
4

 VT  0; x
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 3x2 + 5y2 = 255
2

3x 2  5y 2  255  5y 2  255-3x 2   85 x  85; do x    -9 x 9 (1)
Mặt khác : vì
5 y 2  5, 225 5  3 x 2  5  x 2  5  x  5

(2)

(1) & (2)  x    5; 05
x  5  y 6( n)
x 0  y 2 51(l )
Vậy (x;y) = (-5;6),(-5;-6),(5;6),(5;-6)
Bài 3.1: cho hai số thực a,b ,a 0,3a b . Chứng minh :



3a  b 

a



x 5  y 6( n)



3a  b  3 a 2 a (a  b)  b

Đặt : u  3a  b ; v  a  u 0; v 0




3a  b 

a





3a  b  3 a  u  v   u  3v  u 2  2uv  3v 2

3a  b  2 a (3a  b)  3a 2 a (3a  b)  b

6 x  xy  2 0

2 ( x  2)(3 x  y )  y  6
3.2 : Giải hệ phương trình : 

1


(1)
6 x  xy  2 0
; y  6

 2 ( x  2)(3 x  y )  y  6 (2)
(2)  12 x 2  4(6  y) x  y 2  20 y  36 0
 =  4 y  24 

2

y 2

 x  2  y 2 x  2
 
 x   y  18  y  6 x  18

12
 x  1  2  y  4  2 2(n )
 y 2 x  2  (1)
 x 2  2 x  1 0  
 x  1  2  y  4  2 2(l )

1
 33

x  y
(l )

4
2
(1)
2
y  6 x  18   8 x  6 x  1 0  
 x   1  y  15(l )

2



 S   1  2;  4  2 2



Bài 4 : Trong mặt phẳng ,cho 10 đường tròn thỏa :
i)với 2 đường trịn bất kì ln cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
ii)khơng có 3 đường trịn nào cùng đi qua một điệm
Hỏi 10 đ.tròn đã chia mf thành bao nhiêu phần .
Gọi n là số đường tròn
Un là số phần của mặt phẳng mà n đường trịn chia ra ( khơng kể phần mặt phẳng nằm ngồi các đường
trịn)
Ta có : U1 = 1
U2 = 3 = 1 + 2

U3 = 7 = 1 + 2 + 4
U4 = 13 = 1+ 2 + 4 + 6
………………………………..
U10 = 1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 = 91
Kể cả phần mặt phẳng nằm ngồi các đường trịn thì 10 đ,trịn đã chia mf thành 92 phần
Bài 5: Cho ABC nhọn. Hai đường cao AD,BE cắt nhau tại H .Gọi M,N tương ứng là trung điểm của
AB và DE . CM cắt đường tròn ngoại tiếp  CDE tại P khác C . CN cắt đường tròn ngoại tiếp  ABC
tại Q khác C.
1) Chứng minh : MD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp  CDE
CD PD

2) Chứng minh CE PE

3) Xác định đường trung trực của QP.
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp  CDE
0


 I cũng là tâm đ.tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE (do HDC  HEC 180 )



MAD
Ta có : MDA
(DM là đường trung tuyến của tam giác vng ADB)



MAD
ICD

(Cùng phụ với góc ABC)
IDC ICD


(IC,ID là bán kính của (I))







 MDA
IDC
 MDA
 HDI
IDC
 HDI


 MDI
HDC
900

 MD là tiếp tuyến của (I)
2


A

Q

E

M
P

H

O

N

I
B

D

C

5.2)Ta có :
CD DM


(1)



CDM DPM (CMD chung và MCD MDP (cùng chắn cung PD) PD PM

Chứng minh tương tự câu 1, ta cũng có ME là tiếp tuyến của (I)
CE EM


(2)



CEM EPM (CME chung và MCE
MEP
(cùng chắn cung PE) PE PM

Mà DM = EM (cùng bẳng AB:2) (3)


CD CE
CD PD



PD PE
CE PE

Từ (1),(2) và (3)
3)chưa nghỉ ra …….

3


4