CONG THUC LUONG GIAC ver3

I – CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Các hằng đẳng thức lượng giác.
a) Công thức lượng giác cơ bản.
sin x
tan x 
cos x

cot x 

cos x
sin x

1
sin x  cos x 1
cos 2 x
b) Công thức lượng giác của các cung có liên quan đặc biêt.
sin( x)  sin x
cos( x) cos x
2

2

1  tan 2 x 

tan x.cot x 1
1
1  cot 2 x  2
sin x
(sin đối)

sin(  x) sin x

cos(  x)  cos x

(cos bù)



sin   x  cos x
2




cos   x  sin x
2


(phụ chéo)



sin   x  cos x
2

sin(  x)  sin x



cos   x   sin x
2


cos(  x)  cos x


(hơn kém cung 2 )
(hơn kém cung  )

2. Công thức cộng.
cos(x  y) cos x.cos y  sin x.sin y
sin(x  y) sin x.cos y  cos x.sin y
tan x  tan y
tan(x  y) 
1  tan x.tan y
3. Cơng thức lượng giác của góc bội.
a) Công thức nhân đôi.
sin 2x 2sin x.cos x
cos 2x cos 2 x  sin 2 x
1  2sin 2 x
2 cos 2 x  1
2 tan x
tan 2x 
1  tan 2 x
4. Công thức hạ bậc.
1  cos 2x
sin 2 x 
2
1  cos 2x
cos 2 x 
2
5. Cơng thức biến đổi tổng thành tích.

xy
x y
sin x  sin y 2sin
.cos
2
2
a)
xy
x y
cos x  cos y 2 cos
cos
2
2
sin(x  y)
tan x  tan y 
cos x.cos y




sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x  
4
4


b)
1
2
tan x  cot x 


sin x.cos x sin 2x

cos(x  y) cos x.cos y  sin x.sin y
sin(x  y) sin x.cos y  cos x.sin y
tan x  tan y
tan(x  y) 
1  tan x.tan y
b) Công thức nhân ba.
sin 3x 3sin x  4sin 3 x
cos 3x 4 cos3 x  3cos x

tan 3x 

3tan x  tan 3 x
1  3 tan 2 x

3sin x  sin 3x
4
3cos x  cos 3x
cos3 x 
4

sin 3 x 

x y
xy
.cos
2
2
xy

x y
cos x  cos y  2sin
sin
2
2
sin(x  y)
tan x  tan y 
cos x.cos y




sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x  
4
4


sin x  sin y 2sin


6. Cơng thức biến đổi tích thành tổng.
1
1
sin x.sin y  [ cos(x  y)  cos(x  y)]
cos x.cos y  [ cos(x  y)  cos(x  y)]
2
2
1
sin x.cos y  [ sin(x  y)  sin(x  y)]
2

7. Công thức lượng giác biểu diễn hàm tan của góc chia đơi.
x
t tan
2.
Đặt
2t
1 t2
2t
sin x 
;
cos
x

; tan x 
2
2
1 t
1 t
1 t2 .
Khi đó:
8. Vịng trịn lượng giác (hình vẽ).

Bảng giá trị của hàm số lượng giác của một số góc (cung) đặc biệt
(độ)
0
30
45
60
90
120

135




2
3
(radian)
0
6
4
3
2
3
4
1
2
3
3
2
sinx
0
1
2
2
2
2
2
1
1

2
3
2
cosx
1
0
2
–2
2
2
– 2
1
tanx
0
1
||
–1
3
– 3
3
1
1
cotx
||
1
0
–1
3
3
– 3

150
5
6
1
2
3
– 2
1
– 3
– 3

180


0
–1
0
||


2
1
1
3


2
3 ; || không xác định.
2; 3

Lưu ý:
II – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Hàm số y sin x , y cos x .

y cos x

y sin x
TXĐ: D 
TGT: T [ 1;1]

TXĐ: D 
TGT: T [ 1;1]

Là hàm số lẻ
Tuần hồn với chu kì 2

 

   k2;  k2 
2

Đồng biến trên  2

Là hàm số chẵn
Tuần hoàn với chu kì 2

3


  k2;  k2 

2

Nghịch biến trên  2
Đồ thị có dạng hình sin:
2. Hàm số y tan x , y cot x .
y tan x


D  \   k 
2

TXĐ:
TGT: T 
Là hàm số lẻ
Tuần hồn theo chu kì 

 

   k;  k 
2

Đồng biến trên  2

Đồng biến trên (    k2; k2)
Nghịch biến trên (k2;   k2)
Đồ thị có dạng hình sin:

y cot x
TXĐ:

D  \  k

TGT: T 
Là hàm số lẻ
Tuần hoàn theo chu kì 
Nghịch biến trên (k;   k)


Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k làm một
x   k
2
Đồ thị nhận mỗi đường thẳng
làm một đường tiệm cận:
đường tiệm cận:
III – LIÊN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ CỦA MỘT TAM GIÁC
1. Định lí hàm số sin.
a
b
c


2R
sin A sin B sin C
R: bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
a
b
a
c
b
c




sin A sin C ;
sin B sin C ;
Hay: sin A sin B ;
a
b
c
2R
2R
2R
sin A
sin B
sin C
;
;
.
2. Định lí hàm số cosin.
a 2 b 2  c 2  2bc.cos A
b 2 a 2  c 2  2ac.cos B
c 2 a 2  b 2  2ab.cos C
3. Công thức diện tích.
1
1
1
1
1
1
S  ah a  bh b  ch c

S  ab.sin C  ac.sin B  bc.sin A
2
2
2
2
2
2
;
;


abc
S  p(p  a)(p  b)(p  c)
4R ;
.
r: bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC.
p: nửa chu vi tam giác ABC.
R: bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
4. Bán kính đường trịn nội tiếp, bàng tiếp.
B
C
A
C
A
B
a sin sin
b sin sin
csin sin
2
2 

2
2 
2
2
r
A
B
C
cos
cos
cos
2
2
2
;
B
C
A
C
A
B
a cos cos
b cos cos
c.cos cos
2
2
2
2
2
2

ra 
rb 
rc 
A
B
C
cos
cos
cos
2
2
2
;
;
.
5. Phân giác trong, phân giác ngoài.
A
B
C
2bc cos
2ac cos
2ab cos
2
2
2
lA 
lB 
lC 
b c ;
a c ;

a b ;
A
B
C
2bcsin
2ac sin
2absin
2
2
2
l'A 
l'B 
l'C 
b  c (nếu b > c);
a  c (nếu a > c);
a  b (nếu a > b).
S pr 

IV/ ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
(sin x) ' cos x
(cos x) '  sin x
1
(tan x) ' 1  tan 2 x  2
cos x
1
(cot x) '  (1  cot 2 x) 
sin 2 x

(sin u) ' u '.cos u
(cos u) '  u '.sin u

u'
cos 2 u
u'
(cot u) '  u '(1  cot 2 u) 
sin 2 u
(tan u) ' u '.(1  tan 2 u) 

Nhà cần một nền vững trãi, cây cần một gốc khỏe mạnh,…
Ai cũng có ước mơ bay cao, bay xa, các em cần một nền tảng vững
chắc nhất thì mới có thể bay cao, bay xa được.
Bất kỳ một giáo viên nào cũng muốn học sinh của mình có
thể học rộng, biết nhiều, học cao, học xa, nhưng để các em được
như thế thầy cô cần chuẩn bị cho các em một nên tảng, đó là những
kiến thức cơ bản, thầy cô bắt các em phải làm thật nhiều dù là làm
đi làm lại những bài đã biết, để làm gì? để nắm chắc, để rèn luyện
sự chính xác, để rèn luyện tốc độ, chỉ có thật chắc, thật nhuần
nhuyễn các em mới có thể làm bài thật nhanh mà khơng có sai sót,
chỉ có nền tảng thật chắc chắn mới có thể giúp các em nghiên cứu
những kiến thức mới, những kiến thức mở rộng khó hơn, cao hơn.


(độ)

180

(radian)



sinx

0

cosx

–1

tanx

0

cotx

||

210
7
6
1
–2

225
5
4
2
– 2

240
4
3

3
– 2

3
– 2
1
3

2
– 2

1
–2

1
1

3

270
3
2

300
5
3
3
– 2

315

7
4
2
– 2

330
11
6
1
–2

0

1
2

2
2

3

||

– 3

–1

3
2
1

– 3

1
3

0

1
– 3

–1

–1

– 3

360
2

0
1
0
||