De thi chon HSG

A. MA TRẬN ĐỀ
Cấp độ
Chủ đề

Nhận
biết

Thông
hiểu

1. Số học.

Số câu
Số điểm-Tỉ lệ
%

Vận dụng được
hằng đẳng thức
để chứng minh
một đẳng thức, so
sánh hai số, phân
tích đa thức thành
nhân tử và tìm
cực trị của tam
thức bậc hai.
4(C2ab, C3ab)
8,0

2. Đại số

Số câu

Số điểm-Tỉ lệ
%
3. Hình học

Vận dụng
Cấp độ
Cấp độ
thấp
cao
- Vận dụng được
các tính chất chia
hết để chứng
minh một tổng
chia hết cho một
số.
- Áp dụng tính
chất lũy thừa để
chứng minh giá
trị của biểu thức
nhỏ hơn 1.
2(C1ab)
4,0

Hiểu
được các
dấu hiệu
nhận biết
về tứ giác
để chứng
minh một

tứ giác là
hình chữ
nhật, một

Cộng

2
4,0đ –20%

Vận dụng được
hằng đẳng thức
để chứng minh
một biểu thức.

1(C6)

5
1,0 9,0đ –45%

-Vận
dụng
được tính chât
quan hệ giữa
ba cạnh của
một tam giác
để chứng minh.
- Vận dụng
đường kẻ phụ
để chứng minh
một đẳng thức

1


Số câu
Số điểm-Tỉ lệ
%
Tổng số câu
Tổng số điểm
Tỉ lệ %

tứ giác là
hình thoi.
2(C5ab)
3,0
2

2(C4,C5c)
6

3,0
15%

3
12,0
60%

4
4,0 7,0đ - 35%
11

5,0
25%

20,0
100%

B. ĐỀ
Câu 1: (4,0 điểm ) Chứng minh rằng:
2


a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311 chia hết cho 40.

1 1 1
1



...

 1.
2
2
2
2
2
3
4
100
b) B =

Câu 2: (4,0 điểm )
a) Cho a + b + c = 0, chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc
b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) và D = 232.
Câu 3: (4,0 điểm )
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của E = 2x2 – 8x + 1.
Câu 4: (3,0 điểm) Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn
nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.
Câu 5: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
Qua I vẽ IM vng góc với AB tại M và IN vng góc với AC tại N.
a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật.
b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi.
1
DK  DC
3
c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng
Câu 6: (1,0 điểm)
2
2
2
2
2
Chứng minh rằng: a  b  c  d  e a (b  c  d  e)

“HẾT”

C. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
3

Câu 1: (4,0 điểm ) Chứng minh rằng:
a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311 chia hết cho 40.

1 1 1
1



...

 1.
2
2
2
2
2
3
4
100
b) B =
CÂU 1
a

b

ĐÁP ÁN
2

3

A = 1 + 3 + 3 + 3 + ...+ 3
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311)
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + 34. (1 + 3 + 32+ 33) + 38(1 + 3 + 32+ 33)
= 40 + 34. 40 + 38. 40
= 40. (1 + 34 + 38)  40
Vậy A  40
1 1 1
1
 2  2  ... 
2
2 3 4
1002
1
1
1
1



 ... 
2.2 3.3 4.4
100.100
1
1
1
1
1 1 1
1
1




 ... 
1     ...  
1.2 2.3 3.4
99.100
2 2 3
99 100
1
1 
1
100

0,5
0,5
0,5
0,5

B

Vậy B < 1

0,5
0,5
0,5
0,5

Câu 2: (4,0 điểm )
a) Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc

b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) và D = 232
CÂU 2
ĐÁP ÁN
a
Ta có:

ĐIỂM

a + b + c = 0 suy ra a + b = - c

0,5

Mặt khác: ( a + b )3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

0,5

Suy ra
b

ĐIỂM

11

(- c)3 = a3 + b3 + 3ab(-c)
a3 + b3 + c3 = 3abc(đpcm)
C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

0,5
0,5

(2-1)C = (2-1) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

0,25

C = (22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

0,25

C = (24-1)(24+1)(28+1)(216+1)

0,25

C = (28-1) (28+1)(216+1)

0,25

C = (216-1)(216+1)

0,25
4


C = 232-1

0,25

Vì 232 - 1 < 232 nên C < D.

0,5

Câu 3: (4,0 điểm )
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của E = 2x2 – 8x + 1.
CÂU 3
a

b

ĐÁP ÁN
x + 2019x + 2018x + 2019
4

ĐIỂM

2

= x4 + (x2 + 2018x2 )+ 2018x +( 2018 + 1) + x3 – x3

0,5

= (x4 + x3 + x2 )+ (2018x2 + 2018x +2018) – (x3 - 1)

0,5

= x2(x2 + x + 1) + 2018(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1)

0,5

= (x2 + x + 1)(x2 + 2018 – x + 1)

0,25

= (x2 + x + 1)(x2– x + 2019)
E = 2x2 – 8x + 1

0,25

= 2x2 – 8x + 8 - 7

0,5

= 2(x2 – 4x + 4) – 7

0,5

= 2(x – 2)2 – 7  - 7

0,5

Vậy giá trị nhỏ nhất của E = - 7 khi x = 2

0,5

Câu 4: (3,0 điểm)
Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi
nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.
ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD.
Đặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.
Xét  AOB, ta có: OA + OB > AB (Quan hệ giữa ba cạnh của tam giác).

0,25

Xét  COD, ta có: OC + OD > CD (Quan hệ giữa ba cạnh của tam giác).

0,25
5


Suy ra: OA + OB + OC + OD > AB + CD
 AC + BD > AB + CD
 AC + BD > a + c

0,25
(1)

Chứng minh tương tự:

0,25

AC + BD > AD + BC
 AC + BD > d + b

(2)

0,25

Từ (1) và (2) suy ra 2(AC + BD) > a + c + d + b


AC + BD >

0,25
0,25

a  c  d  b
(*)
2

Xét  ABC, ta có: AC < a + b
Xét  ADC, ta có: AC < d + c
Suy ra:

0,25

2AC < a +b + c + d


AC <

Chứng minh tương tự:

a  c  d  b
2

BD <

a  c  d  b
(**)
2

0,25
(3)
0,25
(4)

Từ (3) và (4) suy ra: AC + BD < a +b + c +d.

0,25

a  c  d  b
< AC + BD  a + b + c + d
2
Từ (*) và (**) suy ra

0,25
(đpcm)

Câu 5: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
Qua I vẽ IM vng góc với AB tại M và IN vng góc với AC tại N.
a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật.
b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi.
1
DK  DC.
3
c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng

CÂ
U

ĐÁP ÁN

ĐIỂM
6


a

b

Xét tứ giác AMIN có:
MAN = 900 (vì tam giác ABC vng ở A)

0,25

AMI = 900 (vì IM vng góc với AB)

0,25

ANI = 900 (vì IN vng góc với AC)

0,25

Vậy tứ giác AMIN là hình chữ nhật (Vì có 3 góc vng)

0,25
0,5

1
AI IC  BC
ABC vng tại A, có AI là trung tuyến nên
2
Do đó AIC cân tại I, có đường cao IN đồng thời là trung tuyến

0.5

 NA NC

0,5

Mặt khác: NI = ND (tính chất đối xứng) nên ADCI là hình bình hành
(1)

0,5

Mà AC  ID
c

(2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ADCI là hình thoi.
Kẻ qua I đường thẳng IH song song với BK cắt CD tại H

0,25

 IH là đường trung bình BKC

 H là trung điểm của CK hay KH = HC

(3)

0,25

Xét DIH có N là trung điểm của DI, NK // IH (IH // BK)
Do đó K là trung điểm của DH hay DK = KH
1
 DK  DC
3
Từ (3) và (4) suy ra DK = KH = HC
Câu 6:(1,0 điểm)

(4) 0,25
0,25

2
2
2
2
2
Chứng minh rằng: a  b  c  d  e a (b  c  d  e)

ĐÁP ÁN

ĐIỂM
7

Ta có :
2

1
 a
2

1

b  0  a 2  b2 ab (1)
4


1
 a
2

1

c  0  a 2  c 2 ac (2)
4


2

0,25

2

1 2

1

2
 a  d  0  a  d ad (3)
2
4


1
 a
2

2

1

e  0  a 2  e2 ae (4)
4


0,25

Ta cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được :
1
4. a 2  b 2  c 2  d 2  e2 ab  ac  ad  ae
4
 a 2  b 2  c 2  d 2  e2 a (b  c  d  e)

0,25
0,25

 Lưu ý :
- Mọi cách giải khác của học sinh có kết quả đúng đều ghi điểm tối đa.
- Riêng câu 4 và câu 5 nếu học sinh khơng vẽ hình mà làm đúng thì cho ½
tổng số điểm của câu đó.
(Đề thi gồm có 08 trang)

8