De thi chon HSG

Dé 6n thi HSG 9

Tel: 0905.884.951 - 0929.484.951

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH

DE THI HOC SINH GIOI CAP TiNH _ Bang A
Năm học: 2006 — 2007

Đề chính thie

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đê)

Môn: TOÁN 9 _ Ngày thi: 18/05/2007

Bai 1. (5.0 diém) Chứng minh rằng nếu øz là số tự nhiên thỏa mãn

2

“——ˆ

là tích của hai số tự

nhiên liên tiếp thì ø là tổng bình phương của hai số nguyên liên tiếp.
Bài 9. (5.0 điểm) Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình: —
x —xyty

ủa biểu

Trường THCS Đào Duy Từ

GV: Lê Hồng Quốc

thức

= 3,
7

+»|I+z|*I+»[t+3]
x
Nó

" Đi rồi sẽ đến "

Trong đó

Năm học 2018 - 2019
Trang 1


Đề ôn thi HSG 9

Tel: 0905.884.951 - 0929.484.951
ĐÁP ÁN THAM

KHẢO

Bai 1. (5.0 diém) Chứng minh rằng nếu øz là số tự nhiên thỏa mãn

“——ˆ

là tích của hai số tự

nhiên liên tiếp thì ø là tổng bình phương của hai số ngun liên tiếp.
Lời giải.
Theo đề ta có: ^ —Í =m(m-+1)
Vi

m(m+1):2,

(m, n€ N)—+n* —1=3m(m +1)

suy ra ø là số tự nhiên lé. Dat n=2k+1

Thay vao (1), ta duge: 4k(k+1)=3m(m-+1)
Vì m, REN

nén từ (2) suyra m>k.

(1).

(REN).

(2).

Dat m=k-+a

(a€EN).

Thay vào (2) ta được: 4k(k+1)=3(k+4)(k-+a+1) = 4k’ +4k=3(k
+ 2ak+a° +k+a)

Dé phuong trinh (3) có

Dat 48a°+1=b°

(bed
2

A8q’ i

Bau
tiếp. Do đó, 4z
= 3Š

+

ién

lién

_

tiép

`

né

AG

ai sO tu nhién liên

a): ig

Tt n=2k4+1=2.6
Vậy

ø la tong bin

Bai 2. (5.0 diém) Tim moi nghiém nguyén cua phuong trinh: ay
#“—#y+

= 3,
7

Lời giải.

Tx 77" _x"

—xy+y

xˆ+2xy+y
ĐUY ra Ì „
5
x —xy+y =7k
Đặt &= 3z: ứn€Z, m0).

Khi đó: x+y =9m, 3xy =9.(3m) —7.3m = 81m? — 21m
— xy = 27m? —7m.
Theo định lí VI-ET, thì x và y là hai nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn ¿:

£? — 97m

-++ 27m” — 1mm =

(2).

Ta c6: A= 81m? —4(27m? —71m)= —27m? + 28m = m(28— 27m)>0—>0Vì

€ Z, r = 0, nên để phương trình (2) có nghiệm ngun, suy ra #= Ï.

Khi đó phương trình (2) trở thành: /—9/+20=0 ©¡í, =4, í; =5.
Do đó: x=4, y=5

Trường THCS Đào Duy Từ
GV: Lê Hồng Quốc

hoặc x=5, y=4.

" Đi rồi sẽ đến "

Năm học 2018 - 2019

Trang 2


Dé 6n thi HSG 9

Tel: 0905.884.951 - 0929.484.951

Bài 3. (5.0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p=(+z|[Lt5
#, y là các số dương thỏa mãn

I
I
1
1
Tao6: P=(I+s)[1+2|4(149)[L4
+)242) 4 a]
+2I>+ z]y

2x

Dau

+) y+z—>2

Dau "=" xay ra khi y=

y

+) *4 24352.
y
x

Dau

2y

x+»)+|Š+2]|

y

x

ta có các đánh giá sau:

+) v+aT—> 42,

x

Trong đó

x

x” + y7 =1.

Lời giải.
,

ÁP dụng BĐT CAUCHY,

++z|2]

}

"=" xay ra khi x =

"=" xay ra khi x= y.

+) (x +9) $2(x? +9?) —

Do d6 P>2+2V2 +2V2 —
Vay P dat gia tri nho
Bai 4. (5.0 điểm) Cho tứ giác 4BCD

tự trên các cạnh 4ð, 2Œ, CD, D4

nội tiếp được đường tròn. Lấy các điểm M, N, P, O theo thứ
MA
PD_ AD | a Ø4 _ NB_ AB

của tứ giác sao cho ——=——
MB
PC

BC` “OD

NC

CD

Chứng minh rằng Ä⁄P vng góc với WQ.

Lời giải.
Trường hợp 1. Tứ

Giả sử AB

CD.

Khi

_ PD

đó:

MA

§1

MB PC

AB, CD.

B

Ww

Mặt khác, "OD
244-48
_ 28
NC CD
Do đó MP

la trung truc cua

Trường hợp 2. Tứ giác

NOmVé

4BŒD

khơng phải

lã

hình thang (như hình).
Vé cac hinh binh hanh

MADR,

MBCS.

Co MR= AD, MR // AD, MS = BC, MS |/ BC,

DR = MA, DR |! AB, CS = MB, CS |! AB
———>R

Theo gia thiét,

MA_ PD
MB

Suy ra PRS?

CS

le trong,

PC’

DR // CS ).

=

ƒJ CS.

: 2)

PC

mặt khác

BC

—

A

N

.
—

RDP =SCP

y

-O

(so

Do d6 ADRP#ACSP (c— g—c)=> DPR=CPS.
Trường THCS Đào Duy Từ
GV: Lê Hồng Quốc

M

E

D\N.
" Đi rồi sẽ đến "

R

P

SZC
Năm học 2018 - 2019
Trang 3


Dé 6n thi HSG 9
Vì D, P,C

Tel: 0905.884.951 — 0929.484.951

thang hang nén suy ra ®, P, S thang hang.

Ta có: PR _ PD _ AD _ MK
PS

PC

BC

Suy ra MP

MS

la phan giac cua géc RMS

Chứng minh tương tự như trên, vẽ các hình bình hành

và ẨH _ OH (_ AB
_ NB
NK

QK\

CD

WNC

cua AMRS.

QHB4, QKCD,

. Đuy ra QN là phân giác của góc HQK

ta có H,N, K

thang hang

của AQOHK.

Goi F = ADN BC, E= ABNCD.
Vi DFC

vA RMS

la hai góc nhọn có cạnh tương ứng song song nên hai phân giác của chúng song

song.
Gọi Ƒx

là phân giác của góc CFD,

thi MP // Fx. Lap luan tương tự, HOK

va BEC

la hai góc nhọn

có cạnh tương ứng song song.

Nên hai phân giác của chúng song song, ta có QN / Hy. (Ey là phân giác của góc BEC).
Goi I= Fx N Ey, T = Fx NCD.
Ta có: 7, =F +BCD=—+ BCD

_ 360

— 00°.

4
Do đồ AE 77

Vay

MP
1. NO

vuôrfb

(DPC

Trường THCS Đào Duy Từ
GV: Lê Hồng Quốc

" Đi rồi sẽ đến "

Năm học 2018 - 2019

Trang 4