Kiến thức và bài tập trắc nghiệm hệ thức lượng trong tam giác

C hương
CHUYỂN ĐÈ 3
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

$3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A. TOM TAT LY THUYET.

1. Dinh li césin: Trong tam giac ABC

voi BC =a, AC =b

a? = bh? + 2 —2bc.cosA
b? =

A

+a’ —2ca.cosB

eC =a’? +b? —2ab.cosC

Hệ quả:

cos A Ta
=
2

cosB =

2

_

va AB =c.Taco:

b

c

2

C+ oe

b?

Oa
2
2

—

cos = ote

BR

a

2

2ab

2. Dinh li sin : Trong tam giac ABC

C

Hinh 2.6

voi BC = a, AC =b,

AB =c vaR là bán kính đường trịn

ngoại tiếp. Ta có:
b
snA

sinB

sind

3. Độ dài trung tuyến: Cho tam giác AC
Ta có :

m? — 3Ù

3

2\ —
-+c)—a

với TH, TH, THỰ lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C.

2

4

2\ — n2
mề = 348 2 +c°)—b

4

me — 24 2 — 2)

22C

4. Dién tich tam giac

Với tam giác 4 BƠ taki hiéu h,, h,, h, 1a độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA,
AB; R,r
x

.

- Á

.

4

.

b

lân lượt là bán kính đường trịn ngoại tiêp, nội tiêp tam giác; pø —= a

.

.

la nua chu vi tam giac; S 1a

điện tích tam giác. Khi đó ta có:
S= “ah,
2

=

bh,
2

=

oh,
2

= d bssin A = 1 sesin Ð = 1 qbsinm Ợ
2
2
2

_ abe
AR
= A|Đ(p — a)(p — b)(p — e)_ (công thức Hê-rông)

Trang 1/9


Cau 1.

Cho AABC c6 b=6,c=8,A=60°.

A. 213.

Dé dai canh a 1a:

B. 3V12.

C. 22/37.
Lời giải

Chọn A.

D. J20.

Ta c6: a? =b* +c? —2bccos A= 36+ 64—2.6.8.cos60" = 52> a= 213.
Cau 2.

Cho

AABC cé S=84,a=13,b=14,c=15.

Độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp R của tam

giác trên là:

A. 8,125.

B. 130.

C. 8.
Lời giải

Chọn A.
Ta có:
Cau 3.

Cho
A.

S

AABC

abc

abc

=——<>R-

AR

=

4S

13.14.15

484

48.

B.

24.

Œ. 12.

Cho AABC

_ g+b+c
p=
2

S = J P(p —a)(p—b)\(p-—c)= 4122- 6)(12—8)12-—10) = 24.

B. B=60°.

C. B=45°.
Loi giai

C.

Ta co: 2cosB = V2 ScosB -

Cho AABC vng

2=

D. B=75°.

B=45°.

tại Ø và có C= 25. Số đo của góc A là:

A. A=65".

B. A=60°.

Chon A.

C. A=155°.
Loi giai

D. A=75".

Ta c6: Trong AABC A+B+C=180° > A=180° — B—C =180° — 90° — 25° = 65°,
Cho AABC cé6 B=60°,a=8,c=5.
D6 dai canh b bang:
A. 7.

B. 129.

Chọn A.
Ta có:

Cau 7.

30.

thỏa mãn : 2cos B= V2. Khi do:

A. B=30°.
Chon

D.

Lời giải

Ap dụng công thức Hé-rong:

Cau 6.

8

AABC c6 a=6,b =8,c =10. Dién tich § cla tam giác trên là:

Ta co: Nua chu vi AABC:

Cau 5.

65

=—.

Chọn B.

Cau 4.

D. 8,5.

b =a^ +7

C. 49.
Lời giải

D. 4/129.

- 2aecosB =8“ +5“ - 2.8.5.cos600 =49—>b=7.

Cho AABC có C=45”,B=75”. Số đo của góc A là:
A. A=65°.

B. A=70°

Chon C.

C. A=60°.
Loi giai

D. A=75°.

Tac6: A+B+C=180° > A=180° — B-C =180° — 75° — 45° = 60°.
Cau 8.

Cho

AABC

có S= 10/3 , nửa chu vi p =10. Do dài bán kính đường trịn nội tiếp r của tam

giác trên là:

A. 3.

B. 2.

C. 42.

Lời giải

Chọn D.
Ta có:

s=prr-Š.-103
Pp

10

D. 43.

- 8

Trang 2/9

Cau 9.

Cho

AABCc6

a=4,c=5, B=150°. Dién tich cla tam gidc là:

A. 53.

B. 5.

C. 10.

D. 1043.

Lời giải

Chọn B.
Ta có: SAApgc = 5 acsin 8 = 5 45.sin 50" =5.
Câu 10.

Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2cosA=1. Khi đó:

A. A=30°.

B. A=45°.

C.A=120°.
Loi giai

Chon D.
Ta có:

Cau 11.

2c0sÁ—I>eosÁ=

=> A= 60"

Cho tam gidc ABC c6 b=7;c=5,

a, 25

D. A=60°.

cosA ==

. Duong cao h, cua tam gidc ABC la

B. 8.

C.8V3.

D.80V3.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: aˆ=b“+c7—2becosA
=7? +52 ~215.5=32=a=442.
„v2
Mặt khác: sin“

2

A+cos“

2

A=l—>sin“

A=l—cos

Câu 12.

2

a

C

»

2

2
2
toa

2

4

a+b

ce

2

Tạ có:

5 _ v2
2

2,2
+€

m=?

2

2

+cC 2 be 2
2

D

Lời giải
a

4

4

›_ 2c +2b°

“

a’

4

„2 _ 2b 2 + 2c" 2_ -—a 2 .

4

Cho tam giác ABC. Tìm cơng thức sai:

A.—

sin A

—=2R.

B. sin A=-—,

C. bsin B=2R.

2R

Lời giải

Chon C.
Ta co:

<

snA

=

P

sinB

=

<

sinC

D. sinc
= S504.
a

=2R.

Chọn công thức đúng trong các đáp án sau:
A.

$ =< besin A.

B.

§ =
Chọn A.
Ta có: $ =1 pssin A =-Laesin B =!
2
2
2

Câu 15.

Aj2

B. m=

4

Chọn D.

Cau 14.

154

Cho tam giác ABC, chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

A. m=2

Cau 13.

9
16
.
4
và.
A=l=se=zsnA=e (Vì sinA>0).

HÀ -

Mà: S.ypc =-Lbe.sin A= ah, = h, =
2

2

C. $ =2 bcsin B.

D. S$ =
Lời giải
sinc.

Cho tam giác ABC có a=8,b=10, góc C bang 60° . Dé dai canh ‹ là ?
Trang 3/9

A. c=3V21.

B.c=742.

C. c=2VI11.
Loi giai

Chon D.
Cau 16.

Ta có: c? =a’ +b* —-2ab.cosC =8* +107 —2.8.10.cos60° = 84 => c= 2V21.
Cho tam gidéc ABC. Khang định nảo sau đây là đúng ?
A. SAApc = sabe

B.

Am...
.

D. mộ = 20°
+20" 7

2bc

Cau 17.

C.

=R.
4

B. AB? = AC’ — BC? +2AC.BCcosC.

AB’ = AC’ + BC’ —2AC.BCcosC.

D.

Lời giải

Chon C.
Cho tam giác ABC

=

Lời giải

Chọn D.
Cho tam giác ABC, chọn công thức đúng ?
A. AB? = AC’? + BC* —2AC.ABcosC.

Cau 18.

D. c=2V21.

AB? = AC’ + BC’ —2AC.BC

+cosC.

thoả mãn hệ thức b+c=2a. Trong các mệnh dé sau, mệnh dé nao dung ?

A. cosB+cosC
= 2cos A.

B.sinB+sinC =2sin A.

C. sin B+sinC =—sin A,

D. sinB+cosC =2sin A.

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

b+c

g_

Cau 19.

0P __€

sinA sinB sinC

sp

2 -_?

__€

sinA sinB sinC

Cho tam giác ABC. Đăng thức nào sai 2
A.sin(A + B— 2C) = sin3C.

B.

Œ. sin(A+ B) =sinC.

1C __

ІC

cos PTE

sin =.

——ìnB+sinC=2sinA.

2sinA sinð+sinC

D. cos AtBt2C

= sin

.

Lời giải

Chọn D.
Ta có:

A+B+C=Is00„ 2+5+2Œ€
Cau 20.

=900 + € — cos
2

B+C

= cos

909 +€
2

<> cos

B+C
2

=-sinC,
2

Gọi S=m2+mp 2 +m? là tơng bình phương độ dài ba trung tun của tam giác ABC. Trong các
mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?
A.

$= S002 + b2 +c?),

B. S=a7+b* +c’.

C. ¬....`

Loi giai

Chon A.
Taco:
Cau 21.

D. S=3(a7
+b? +c’).

S=m? +m); +m? =

Pee
@
gee
cif ,o
ee

2

4

2

b
gtk
7 8

4

2

c2 3
— —=~(4?+Ð? +c?).

4

4

Độ dài trung tuyến m„ ứng với cạnh c của AABC bằng biêu thức nảo sau đây
bˆ+a

2

c7

¬

B

Ộ

bˆ+a `

c

2

4

Trang 4/9


C

1

(22”+2a?)-c”.

`2

2

Ta có: mm ="

_e
2

2

2

2

——=m,=
4

pra
2

2

2

1

—~& == (2b? +20’) —c?.
4
2

Tam gidc ABC c6 cosB bang biéu thtrc nao sau day?
+00 —
a, ote
7a
2

2

B. V1-sin’; B.

2

2bc

C. cos(A+C).

p, @te+00 78—

2

Ta c6: b* =a’ +c” —2accos B=

Cho tam giác ABC có

2,2

2

2

2ac

Lời giải

Chọn D.

Cau 23.

.

Lời giải

Chon C.

Cau 22.

b+a-c
1

D.

„2

cosB _a1c TP.
2ac

a“+b“-c” >0. Khi đó :

A. Goce C>90°

B. Góc C <90°

C. Góc C=90°

D. Khơng thể kết luận được gì về góc C.
Lời giải

Chọn B.

2,2 _ 2
Ta có: cosC = 4 1D TC,
2ab

Cau 24.

Ma: a* +b* —c* >0 suy ra: cosC>0>C
< 90°.
Chọn đáp án sai : Một tam giác giải được nêu biét :

A. Độ dài 3 cạnh
B. Độ dài 2 cạnh và 1 góc bất kỳ
Œ. Sơ đo 3 góc
D. Độ dài 1 cạnh và 2 góc bât kỳ

Lời giải

Chon C.

Cau 25.

Ta có: Một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố
độ dài (tức là yếu tố góc khơng được q 2).

Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15. Diện tích tam giác bằng bao nhiêu 2

A. 84.

B. V84.

Chọn A.
Ta có: p=

a+b+c_ 13+14+152
20

C. 42.

Lời giải

D. V168.

21.

Suy ra: S =,/ p(p—a)(p—b)(p—c) =J21(21-13)(21-14)(21-15) =84.
Cau 26.

Một tam giác có ba cạnh là 26,28,30. Bán kính đường trịn nội tiếp l:
A. 16.

B. Đ.

C. 4.
Li gii

Chn B.
Ta cú:

pa

tbe

2

_ 204 28430

P

Cau 27.

1.

2



$~pra.JPP=4=é((p=â)

D. 4/2.

—

_

Jj42 —
42(42

a26)(42
— 28)(42 — 3.

P

Một tam giác có ba cạnh là 52,56,60. Bán kính đường trịn ngoại tiếp là:

A,
Chon C.

B. 40,

C. 32,5,

D.—.

Lời giải

Trang 5/9


Ta có: p=

at+tb+c _52+56+60 |
2

2

84.

Suy ra: S =.[p(p—a)(p—b)(p—o) = J84(84 —52)(84
— 56)(84 — 60) = 1344 .
abc

Ma S$
Cau 28.

——

4R

=>

R

abc

_>—

=

4S

52.56.60
4.1344

—=

65

—,

2

Tam giác với ba cạnh là 3,4,5. Có bán kính đường trịn nội tiêp tam giác đó băng bao nhiêu 2

A. 1.

B. V2.

c.V3.

Loi giai

Chon A.
Ta có:

pas tbte

_ 34445

2

D. 2.

6

2

—
— c) _ xj6(6 — — —4)(6—
Suy ra: s=pr->r-Š.~ \PỨ — a)(p—b)(p
(6 yo
P
P

Cau 29.

Tam giác ABC

có a=6,b= 4/2,c=2.

M

là điểm trên canh BC

sao cho BM =3 . Dé dai doan

AM băng bao nhiêu 2

A. V9.

B. 9.

C. 3.

Lời giải
Chon C.
Ta có: Trong tam giác ABCcó a=6—BC=6 ma BM =3 suyra M
2,,2
„2
Suy ra: AM? =m 2_P TC T-®C =9 —AM =3,
2
4
Cau 30.

D. = vi08

latrung diém BC.

———>

Cho AABC, biét đ= AB =(a,;a,) và b= AC=(b,;b,). Để tính diện tích § của AABC. Một

học sinh làm như sau:
(7)

Tinh cosA=

(1)

Tinh sin A=~¥1-cos’A =

(ab)
(al Jal’)

UI) S= = ABACsinA = 5 ViÏ by —(ab)y
dV)

S= sa
S= 2
S=

+ 4;)(b + b;)- (aD, + a,b, y

(a, + a,b, y

1

2

—Ayb,)

Học sinh đó đã làm sai bắt đàu từ bước nào?

A.(D

B. (II)

Chọn A.
Taco:

Cau 31.

cosA=

C. (HD

D. (IV)

Lời giải

ap

—T-Tlal.lol

Cau nao sau day 1a phuong tich cua diém M(1;2) d6i v6i dudng trdn (C) . tam /(-2;I)
kinh R=2:
A. 6.
B. 8.
C. 0.
D. -5.
Lời giải

, bán

Chọn A.

Trang 6/9


Ta có:

Mĩ =(-3;:)=>M =^]0.

Phương tích của điểm ⁄ đối với đường tròn (C) tâm 7 là:
MI? — R? -(
Cau 32.

2

2-9? +027}

~4=6,.

Khoảng cách từ A đến B khéng thé do truc tiép duoc vi phai qua mét dam lay. Nguoi ta
xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và Ø dưới một góc 78°24'. Biết
CA =250m,CB =120m.

A. 266m.

Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ?
B. 255m.

C. 166m.

Lời giải

Chọn B.
Cau 33.

D. 298m.

Ta có: AB” = CA” + CB” ~ 2CB.CA.cosC = 250 + 120” ~ 2.250.120.cos78”24'= 64835 = AB = 255.

Hai chiệc tàu thuỷ cùng xuat phat tt vi tri A, di thang theo hai hướng tạo với nhau một góc

60°. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30&/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ 40w/h. Hỏi sau 2
giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km?

A. 13.

B. 1513.

C. 10V13.
Lời giải

D. 15.

Chọn
Khơng có đáp án.
Ta có: Sau 2; quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: 5¡ =30.2= 60kø.
Sau 27 quãng đường tàu thứ hai chạy được la: S, = 40.2 = 80km.
Vậy: sau 27 hai tàu cách nhau là: S = \SỬ +›ˆ —25,.5;.cos600 = 20x13.

Cau 34.

Từ một đỉnh tháp chiều cao CD =80m, người ta nhìn hai điểm A và Ø trên mặt đất dưới các

góc nhìn là 72?12' và 34?26'. Ba điểm A,B,D thang hàng. Tính khoảng cách A8?
A. 7lm.

B. 91m.

C. 79m.
Lời giải

Chọn B.
Ta có: Trong tam giác vng CDA:
Trong tam giác vng CDB:

D. 40m.

tan7212'= cP => AD=
c°
=
o
= 25,7.
AD
tan72°-12'
tan 72°12'

tan3426'= cP => BD=
=
=

a
~116,7.
BD
tan34°26'
tan34'26'

Suy ra: khoảng cách AB =116,7-— 25,7 =91m.

Cau 35.

Khoảng cách từ A đến B khơng thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
xác định được một điểm € mà từ đó có thể nhìn được A và 8 dưới một góc 56°16'. Biết
CA = 200m, CB=180m:. Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ?

A. 163m.

B. 224m.

C. 112m.

D. 168m.

Loi giai

Chon
Khơng có đáp án

Ta có: AB? = CA’ + CB’ — 2CB.CA.cosC = 2007 +1807 — 2.200.180.cos 56°16' ~ 32416 => AB ~ 180.
Cau 36.

Cho đường trịn (C) đường kính AB với A(-1;-2);
của điểm

A. 3.

Tacó:

(12) đối với đường trịn (C).

B. 4.

Chọn D.

B(2;1). Kêt quả nào sau đây là phương tích

C. —5.
Lời giải

D. 2.

AB=(:3)—=AB=32.

Trang 7/9


1

-l

2

Duong tron (C) dudng kinh AB c6 tam / s2]
R

_AB_
==3.42

Suy ra: phương tích của điểm M

Cau 37.

là trung điêm A8 và bán kính

d6i voi dudng tron (C) 1a: MI? — R? =2.

Cho các điểm A(;-2), B(-2:3),C(0:4).

Ae
2

Dién tich AABC bang bao nhiéu ?

B. 13.

C. 26.
Lời giải

Chọn A.

p. 2.

4

Ta có: AB=(-3:5)—=
AB= 34, AC =(-1;6)
> AC =V37, BC=(2:)
> BC=V5.
Mat khac

p

_ AB+AC+BC

_ ¥37+V344+5

2

2

1

Suy ra: S$ =[p(p— ABN p= ACK p— BO) ==.
Cau 38.

Cho tam giác ABC

A. 12.

có A(1;—1),B(3;-3),C(6;0). Diện tich AABC

B. 6.

là

C. 6v2.

Loi giai

Chon B.

D. 9.

Ta có: A8=(2:-2)—=
AB= 22, AC = (5:1) > AC =J26, BC =(3;3)
> BC =3V2.
Mặt khác AB.BC =0— AB L
BC.
SUY Tả: SAApgc = 5 ABBC = 6.
Cau 39.

Cho a=(2;-3) va. b=(5;m). Gid tri ca m dé a va b cing phuong 1a:
1
B. - 2,
2

A. -6.

C. -12.
Lời giải

Chọn D.

——

5

Taco: a,b cung phuong suy ra 33
Cau 40.

m

Cho các điểm A(;1),8(2;4),Cq0:-2).
A. 900,

1
D.-,
2

15

>m= —:

Góc BAC bằng bao nhiêu?

B. 60°.

C. 45.
Lời giải

Chọn A.

D. 30Ẻ.

Tac6: AB=(1;3), AC =(9;-3).
|AB.AC
Suy ra: cos BAC = ~——* = 0= BAC = 90°.

|Az|.|Ac]

Cau 41.

Tam giác với ba cạnh là 5:12;13 có bán kính đường trịn ngoại tiếp là 2

A. 6.

B. 8,

cB.2

Lời giải

Chon C.
1

Taco: 57 +127 =13° >R= =.
Cau 42.

huyền ).
Cho tam giác ABC

A. 9/15,

D. +,2

.

ek

TÀ

1

(Tam giác vng bán kính đường trịn ngoại tiép bang 2 cạnh

có a=4,b=6,c=8.

B. 3/15.

Khi đó diện tích của tam giác là:

C. 105.

Dp. $v.

Lời giải
Trang 8/9


Chon B.
Ta có: p=
Cau 43.

atb+c

4+6+8

2

2

|

0,

Suy ra: S =,/p(p—a)(p—b\(_p—o) =NWIS.

Tam gidc véi ba canh 14 5;12;13 c6 bán kính đường trịn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ?
A. 2.
B. 242.
C. 243.
D. 3.
Lời giải
Chọn A.

Ta có:

p-

Mặt khác
Cau 44.

12113

=15. Mà 52+122 =13ˆ2 =§=5.5.12=30

S=pr—r=S=2.
p

Tam giác với ba cạnh là 6;8;10 có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng bao nhiêu ?

A. 5.

B. 4/2.

C. 5/2.

D. 6.

Lời giải

Chọn A.

Taco: 67 +87 =10? >R= = =5. (Tam giác vng bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng >
canh huyén ).
Cau 45.

Cho tam giác ABC thoa man: b* +c’ —a’ = \3bc. Khi đó :

A, A=30°.

B. A=45°.

C. A=60°.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: cosA=
Cau 46.

bˆ+c7-a7

— !Äbc

_ v3

2bc

2

2bc

D. A=75°.

= A= 30°.

Tam giác ABC có a=16,8; B=56°13'; C=71”. Cạnh c băng bao nhiêu?
A. 29,9.
B. 14,1.
C. 17,5.
D. 19,9.

Lời giải
Chọn D.

Ta có: Trong tam giác A8C: A+B+C=1800 > A=180° —71° —56°13'
= 52°47".
Mặt khác

4

_

sinA

Cau 47.

P

_

sin#

€

—

sinC

a

_

sinA

.

€

sinC

Cho tam giác ABC, biết a=24,b=13,c=15.

A. 33934",

B. 117°49".

sin A

Tính góc A?

~19,9,

D. 58°24".

Lời giải

2,22
bˆ+c
ca “13 2 vIš 2_ -24 2A2 — 7 4 112040:
2bc
213.15

15
Tam giác ABC c6 A=68712', B=34°44', AB=117. Tinh AC?
A. 68.
B. 168.
C. 118.
Loi giai
Ta có:

0

sin 52047!

C. 28°37".

Chọn B.

Cau 48.

.

=o = en € _ 16,8.sin 7

cosA=

D. 200.

Chon A.

Ta có: Trong tam giác A8C: A+ B+C =1800 >C =1800 —68912— 34944'= 7794'.
Mặt khác

4
snA

Cau 49.

_

P
sinB

_

€

—

sinC

AC
sinB

Tam gidc ABC c6 a=8,c=3,B=60°.

A. 49.

Chon C.

B. V97

_

AB

=Ac=.3:sIn

sinC

. B _ 11/.sin . 34 Oy, 44

sin C

sin77°4'

Dé dai canh b bang bao nhiéu ?

C. 7.

Lời giải

~ 68.

D. X61.

Trang 9/9


Tac6: b* =a’? +c* —2accos B = 8" +3* —2.8.3.cos60" = 49 >b=7.
Cau 50.

Cho tam giac ABC, biét a=13,b=14,c=15.

A. 59°49".
Chon C.

B. 5307'.
2,2

Ta có: cosg=# TC

2ac

22

=P _l

2

i3

Tinh géc B ?

C. 59°29".
Lời giải
2

213.15

TIF

4,42

32p

65

D. 62°22,

so02o,,

Trang 10/9