De thi chon HSG

UBND THÀNH PHỐ MĨNG CÁI
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011-2012

MƠN: TỐN
Ngày thi: 14/4/2012
Thời gian làm bài: 150 phút
(khơng kể thời gian giao đề)
(Đề thi này có 01 trang)

Họ, tên và chữ ký của
Giám thị số 1:
.........................................................................

........................................................................

 x 2  2x
 1 2 
2x 2
M  2

1  2 
2
3 
2x

8
8


4x

2x

x
x x 



Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức:

a) Rút gọn M.
b) Tìm x ngun để M có giá trị là số nguyên dương.
c) Tìm x để M  3 .
Bài 2. (6,0 điểm)
2010
2010
2011
2011
2012
2012
a) Cho x, y là hai số dương và x  y x  y x  y . Tính giá
2020
2020
trị của biểu thức S  x  y .

x  2015 x  2007 x  2006 x  2018




2012
2011
2013 .
b) Giải phương trình 2010

c) Tìm x và y thỏa mãn:

y 2  2  x 2  1 =2y  x  1 .

Bài 3. (4,0 điểm)
bc ac ab
  a  b  c
a
b c
a) Chứng minh
với mọi số dương a, b, c.
4
3
2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức L x  4x  7x  12x  20.

Bài 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A  AC  AB  . Vẽ đường cao AH  H  BC  .
Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song
song với AH, cắt đường thẳng AC tại P.
a) Chứng minh: Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC.
b) Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: tam giác BHQ đồng dạng với
tam giác BPC.
AH BC


=1
c) Tia AQ cắt BC tại I. Chứng minh: HB IB
________________Hết________________

Họ và tên học sinh:....................................................................................................SBD:..............


UBND THÀNH PHỐ MĨNG CÁI
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Bài

HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011-2012
MƠN: TỐN

Cho
điểm

Sơ lược lời giải
2 x 2  8 2  x 2  4  0; 8  4 x  2 x 2  x 3  2  x   x 2  4  0

1a
(1,5) xác định  x 2; x 0.
 x2  2x
 x2  x  2
2x2
M 

.

 2  x2  4  2  x   x 2  4 
x2



x


2

 2x   2  x   4 x2

2  2  x   x2  4

.

và x 0 M

 x  1  x  2 

0,5

x2

 x  x2  4
x  1  x  2 

 x  1  x  2   x  1
 x3  4 x


.

.
x2
x2
2x
2  2  x   x2  4
2  2  x   x2  4

Với x 2; x 0 , M có giá trị nguyên dương 
dương

 2M 

M

0,5

x 1
2 x có giá trị nguyên

2x  2
1
1 
2x
x nguyên dương.

1b x  Z ; 2 M  Z  1 x  Z  x là ước của 1  x 1. ( Thỏa mãn điều kiện)
(1,5)
x 1

M
2 x có giá trị bằng 1 ( Thỏa mãn)
Thử lại: Với x 1 ta có
x 1
M
2 x có giá trị bằng 0 ( Khơng thỏa mãn)
Với x  1 ta có
Vậy x 1
1c
x 1
x 2; x 0;
 3.
(1,0) M  3 
2x
x 1
x 1
7 x 1
 3 
 3 0 
0
2x
2x
2x
7 x  1 0

2 x 0
Ta có 
hoặc

0,5

7 x  1 0

2 x 0
Giải được x 0 hoặc x  1 7

0,5
0,5

0,5
0,25
0,25

0,25


 x 0

x 2
Kết hợp với điều kiện ta có M  3  
hoặc x  1 7

Có

x 2012 +y2012  x 2011 +y2011   x  y    x 2010 +y 2010  xy

.

2010
 y 2010  x 2011  y 2011  x 2012  y 2012 .

Do x,y là hai số dương và x
2010
 y 2010  x 2011  y 2011  x 2012  y 2012 m 0 .
Nên x

2a m m  x  y   mxy  1  x  y  xy   x  1  1  y  0
(2,5)
 x 1 hoặc y=1.
Với x 1  y

2010

0,25

0,5
0,25
0,5
0,25

 y 2011  y 0 ( Loại) hoặc y 1

2010
 x 2011  x 0 ( Loại) hoặc x 1
Với y 1  x

Vậy x 1; y 1  S  x

2020

 y 2020 2

x  2015 x  2007 x  2006 x  2018



2010
2012
2011
2013
 x  2015   x  2007   x  2006   x  2018 

 1  
 1 
 1  
 1
 2010
  2012
  2011
  2013

x 5 x 5 x 5 x 5
2b  2010  2012  2011  2013 0
(1,5)
1
1
1 
 1
  x  5 




 0
 2010 2012 2011 2013 
1
1
1
1
1
1
1
1

 0;

0 



0
2010 2012 2011 2013
Vì 2010 2011 2012 2013
Nên x  5 0  x 5

0,75
0,25

0,5

0,5

0,5

y 2  2  x 2  1 2 y  x  1  y 2  2 y  x  1  2  x 2  1 0

0,5

2
  y 2  2 y  x  1   x  1    x 2  2 x  1 0



0,5

2c
2
2
  y  x  1   x  1 0
(2,0)
 y  x  1 2 0
 x 1


2
 y 2
 x  1 0
3a Với mọi số dương a, b, c ta có:
(2,0) bc ac ab
(bc )2 (ac ) 2 (ab) 2
 
a  b  c 



a  b  c
a
b
c
abc
abc
abc
 (bc )2  (ac )2  ( ab)2 a 2bc  b 2 ac  c 2 ab

0,5

0,5

0,5
0,5


 2(bc ) 2  2( ac ) 2  2( ab) 2  2a 2bc  2b2 ac  2c 2 ab 0
  ( ac ) 2  2a 2bc  ( ab) 2    (bc ) 2  2b2 ac  ( ab) 2    ( ac ) 2  2c 2 ab  (bc ) 2  0
2

2

2

  ac  ab    bc  ab    ac  bc  0

B ĐT cuối luôn đúng nên ta có ĐPCM

L  x 4  4 x 3  7 x 2  12 x  20  x 4  4 x 3  4 x 2  3x 2  12 x  12  8
2
 x 2  x 2  4 x  4   3  x 2  4 x  4   8  x  2   x 2  3  8

3b
(2,0)

 x  2
Do

2

0 x;  x 2  3  0 x

nên

0,5
0,5
1,0
0,5

L 8 x

2

  x  2  0  x=2.

Đẳng thức xảy ra
trị nhỏ nhất của L là 8.

Vậy với x =2 thì L có giá trị nhỏ nhất. Giá

PK//AH  CKP và
CAB
đồng
dạng
CK
CA


CP
CB .
.Suy ra AKC và
BPC đồng dạng (c.g.c)
(1).

I
K

B

1

4a
(2,0)

H

Q

P

1

0, 5
1,0
1,0

C

A

0
0



AKH vuông cân tại H=> K1 45 . Từ (1)  K1  P1 45  BAP vuông

cân tại A  BP  AB 2 .
 BH
 AB
AB
BC .
C/m BHA và BAC đồng dạng

0,5
0,5

4b

 BH
 2 AB
 BH
 AB
 BH
 2 AB
AB
2 BC
(2,0)
2 BC
2 AB
2 BC
2 AB
 BH

4c
(2,0)

BP

BP

2 BC

 BH

BP

BQ

BC

 BP 2 BQ 

BH
BQ

BHQ và BPC có
BP
BC ; PBC
chung nên BHQ đồng dạng với
BPC ( C.G.C).
BAP vuông cân tại A, AQ là trung tuyến nên cũng là phân giác => AI là phân
ABC  IC  AC
2
IB
AB   .
giác ngoài của
AC
 AH
3
ABC đồng dạng với HBA 
AB
HB   Từ (2) và (3) ta có :
 AH
 IB  BC  AH
 1  BC  AH
IB
HB
IB

HB
IB
HB
 AH
 BC 1.
HB
IB

0,75
0,25
0,75
0,5

IC

0,75

Các chú ý khi chấm
- Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học
sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn chính xác mới cho điểm tối đa.
- Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất
điểm chi tiết nhưng không vượt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó.
- Đối với câu 4, khơng vẽ hình khơng chấm điểm.


- Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 nhưng phải thống nhất trong tổ chấm.
Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, khơng làm trịn.