Miền ổn định của hệ động lực liên tục miền ổn định của hệ động lực liên tục miền ổn định của hệ động lực liên tục

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N◊I
TRƯONG Đ�I HQC KHOA HQC Tlj NHIÊN
——————–o0o——————–

PH�M HONG QUÂN

MIEN ON �NH
C A H Đ NG LljC LIÊN T C

LU�N VĂN TH�C SĨ TOÁN HQC

Hà N9i 2020


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N◊I
TRƯONG Đ�I HQC KHOA HQC Tlj NHIÊN
——————–o0o——————–

PH�M HONG QUÂN

MIEN ON �NH
C A H Đ NG LljC LIÊN T C
Chuyên ngành:
Toán
ung d1_ng Mã s6: 84
60112. 01

LU�N VĂN TH�C SĨ TỐN HQC

Ngưoi hưong d§n: PGS. TSKH Vũ Hoàng
Linh Chu ttch h9i đ6ng:

GS. TS
Nguy�n Hii'u Dư


M1_c l1_c
Loi cam ơn

iii

Danh sách hình ve

iv

M đ u

1

Chương 1.
Ki�n thuc chui:n bt
3
1.1 H� đ9ng lvc phi tuyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2 Tính 6n đinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Lý thuyet hàm Lyapunov.................................................................12

1.4

Lý thuyet hàm năng lưQng..............................................................15
1.4.1

Hàm năng lưQng.....................................................................15

1.4.2

Hàm năng lưQng cho h� đ9ng lvc c[tp hai..........................18

Chương 2. Mi�n 6n đtnh và tlja 6n đtnh cua h� đ9ng
lljc liên
t1_c
23
2.1 Điem cân bang trên biên 6n đinh....................................................23
2.2

Đ�c trưng cua biên 6n đinh..............................................................31

2.3

Mi@n tva 6n đinh và đ�c trưng cua biên tva 6n đinh.....................35

2.4

Thu t toán xác đinh biên 6n đinh..............................................39

Chương 3.Ưoc lưt1_c

46
3.1 T p mUc và đ�c trưng cua điem cân bang không 6n đinh g§n
nh[tt...................................................................................................... 46
3.2

Mi@n tva 6n đinh và hàm năng lưQng..............................................50

i


3.3 Ưac lưQng mi@n 6n đinh theo hàm năng lưQng đia phương...........52
K�t lu n
62
Tài li�u tham khao

62

ii


Loi cam ơn
Lu n văn này đưQc thvc hi�n t0i Trưang Đ0i h9c Khoa h9c Tv nhiên,
Đ0i h9c Qu6c gia Hà N9i và đưQc hoàn thành dưai sv hưang dan cua
PGS. TSKH Vũ Hồng Linh. Tơi xin đưQc bày to lịng biet ơn sâu
siic và chân thành tai th§y giáo hưang dan khoa h9c cua mình, ngưai đã đ �t
nhfrng v[tn đ@ nghiên cUu, dành nhi@u tâm huyet, thai gian hưang dan và t
n tình giai đáp nhfrng thiic miic cua tơi trong su6t q trình làm lu n văn
này.
Tơi cũng xin trân tr9ng cam ơn Ban Giám hi�u Trưang Đ0i h9c Khoa
h9c Tv nhiên, Lãnh đ0o Khoa Toán - Cơ - Tin h9c, B9 mơn Tốn h9c tính

tốn và Toán Ung d1,ng, cùng các giang viên đã tham gia giang d0y, đã t0o
m9i đi@u ki�n t6t nh[tt đe tôi h9c t p và nghiên cUu. Đong thai, tôi cũng xin
g11i lai cam ơn tai t p the lap cao h9c Tốn h9c (khóa 2018-2020), cam ơn gia
đình, b0n bè và cơ quan chu quan đã đ9ng viên, giúp đa tơi r[tt nhi@u trong
q trình h9c t p t0i đây.
Hà N9i, ngày 10 tháng 11 năm 2020.
H9c viên

Ph0m Hong Quân


Danh sách hình ve
1.1

Minh h9a đinh nghĩa 6n đinh Lyapunov. . . . . . . . . . . .

5

1.2

Minh h9a đinh nghĩa 6n đinh ti�m c n. . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Mô ta đa t0p 6n đinh đia phương và đa t0p không 6n đinh đia
phương cua m9t điem cân bang. . . . . . . . . . . . . . . . .
8

1.4

Quan h� gifra không gian con 6n đinh và không gian con không
6n đinh vai đa t0p 6n đinh và đa t0p không 6n đinh t0i điem
cân bang hyperbolic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5

Đa t0p 6n đinh và không 6n đinh cua (0, 0); các không gian
riêng 6n đinh và không 6n đinh tương Ung.....................................12

1.6

Minh h9a quan h� gifra hình c§u ma và hình c§u đóng trong
chUng minh Đinh lý 1.11....................................................................13

2.1

Giao gifra đa t0p không 6n đinh cua x1 và đa t0p 6n đinh cua
x2 không thoa mãn đi@u ki�n hoành...............................................29

2.2

Mi@n 6n đinh cua điem cân bang 6n đinh (0, 0) trong Ví d1, 2.1 35

2.3

Minh h9a sv khác nhau gifra mi@n 6n đinh và mi@n tva 6n đinh. 38

2.4

Đưang cong A và B là giai h0n mi@n 6n đinh xác đinh bai các
phương pháp khác. Đưang cong C là biên 6n đinh thu đưQc
bang phương pháp hi�n t0i...............................................................42

2.5

BUc tranh pha cua h� (2.3) và biên 6n đinh...................................43

2.6

BUc tranh pha cua h� đ9ng lvc trong Ví d1, 2.3. Biên 6n đinh
là đưang in đ m màu đo.............................................................45

3.1

M6i quan h� gifra m�t mUc năng lưQng S(r) t0i các giá tri
mUc khác nhau và mi@n 6n đinh A(xs)..........................................48

3.2

C[tu trúc m�t mUc năng lưQng khi tăng giá tri mUc......................51


3.3

Mi@n 6n đinh ưac lưQng theo m�t năng lưQng hang......................55

3.4

BUc tranh pha cua h� trong Ví d1, 3.1. So sánh gifra biên ưac
lưQng và biên 6n đinh đinh chính xác...............................................56

3.5

Mi@n 6n đinh chính xác và mi@n 6n đinh ưac lưQng trong Ví
d1, 3.2...................................................................................................59

3.6

Mi@n 6n đinh ưac lưQng trong Ví d1, 3.3..........................................60

3.7

Mi@n 6n đinh ưac lưQng và biên 6n đinh chính xác trong Ví
d1, 3.3...................................................................................................61


M đ u
TU nhi@u the ky trưac, vi�c nghiên cUu tính 6n đinh cua h� đ9ng
lvc đã đưQc xem là m9t bài tốn khó và h[tp dan đ6i vai con ngưai, bai nó
xu[tt hi�n trong nhi@u lĩnh vvc khác nhau như kinh te, cơ h9c, v t lý, ky
thu t. Cũng vì đây là m9t chu đ@ r[tt r9ng nên khái ni�m đ9 6n đinh có the
đưQc hình thành theo nhi@u cách khác nhau tùy thu9c vào m1,c đích nghiên
cUu tính 6n đinh. Trong đó, m9t trong nhfrng chu đ@ quan tr9ng liên quan
ch�t che đen 6n đinh là mi@n 6n đinh cua h� đ9ng lvc phi tuyen.
Trong thvc te, nhi@u h� th6ng v t lý và ky thu t đưQc thiet ke đe ho0t
đ9ng a m9t tr0ng thái cân bang. Nói cách khác, nó đưQc c[tu t0o đe v n hành

t0i m9t điem cân bang ho�c xung quanh m9t điem cân bang nào đó và
đưQc mơ ta q trình v n hành bai m9t h� đ9ng lvc phi tuyen. u c§u quan
tr9ng nh[tt đe v n hành thành cơng các h� th6ng này là duy trì sv 6n đinh
cua tr0ng thái cân bang này. Tính 6n đinh địi hoi sv chiic chiin cua điem cân
bang đ6i vai nhieu nho do các tác đ9ng a trong và bên ngoài h� th6ng gây
ra. Nói cách khác, tr0ng thái cua h� th6ng se d§n v@ điem cân bang dưai
nhfrng nhieu nho nh[tt đinh. Tuy nhiên, h§u het các h� th6ng v t lý và ky thu
t đ@u khơng 6n đinh tồn c1,c. Có the hieu rang các h� th6ng này chi có the
quay tra l0i tr0ng thái cân bang dưai m9t kích thưac có giai h0n cua nhieu.
M�c dù v[tn đ@ này khá quen thu9c nhưng bài toán đ�t a đây là làm the
nào đe tính các mi@n 6n đinh xung quanh m9t điem cân bang cua h� đ9ng
lvc cho trưac. TU đó, chúng ta cho phép ho�c h0n che các nhieu nho chi
dao đ9ng bên trong mi@n 6n đinh đã đưQc tính tốn. Cho đen nay, có m9t s6
phương pháp đưQc dùng tính tốn và x[tp xi mi@n 6n đinh cua m9t h�
đ9ng lvc phi tuyen cho trưac nhưng h§u het các phương pháp này đ@u dva
trên hàm năng lưQng ho�c hàm Lyapunov, [4], [5], [9], [12]. Tuy nhiên,
m9t trong nhfrng cách tiep
1


c n không dva trên hàm Lyapunov đã đưQc xem xét và trình bày trong [5].
Phương pháp này cho phép chúng ta tìm mi@n 6n đinh chính xác cua m9t h�
đ9ng lvc phi tuyen cho trưac. M9t cách tiep c n khác dva trên các phương
pháp m�t mUc §n và t p mUc đưQc nghiên cUu trong [7], [11].
Trong lu n văn này, chúng tơi se trình bày v@ “Mi€n 6n đjnh
cua h¢ đ(jng l,tc liên tv,c”. C1, the hơn, chúng tơi se trình bày lý thuyet
v@ mi@n 6n đinh và cách tìm mi@n 6n đinh bang các phương pháp s6. Lu n
văn này đưQc chia thành ba chương như sau.
• Chương 1: Kien thitc chudn bi. Trong chương này, chúng tôi se nhiic l0i
m9t s6 khái ni�m v@ 6n đinh và các tính ch[tt liên quan. Ngồi ra, các

lý thuyet v@ hàm năng lưQng, hàm Lyapunov cũng đưQc đ@ c p đen.
Các lý thuyet này đưQc s11 d1,ng đe ưac lưQng mi@n 6n đinh cua các h�
đ9ng lvc phi tuyen có s6 chi@u lan.
• Chương 2: Mi n n đinh và t a như n đinh c a h đ ng l c liên t c.
Chương này se t p trung chu yeu vào trình bày đ�c trưng cua biên
6n đinh và biên tva 6n đinh cua các h� đ9ng lvc. 0 cu6i chương, chúng
tôi se đưa ra m9t thu t toán đe xác đinh m9t biên 6n đinh m9t cách
hồn chinh.
• Chương 3: Ưdc tính mi n n đinh c a h đ ng l c liên t c. Trong chương
cu6i, chúng tôi se t p trung vào các phương pháp ưac lưQng mi@n 6n
đinh cua m9t h� đ9ng lvc cho trưac dva trên hàm năng lưQng và t p
mUc. Bên c0nh đó, m9t s6 th11 nghi�m s6 đưQc thvc hi�n cho m9t s6
h� đ9ng lvc phi tuyen tiên t1,c có s6 chi@u th[tp cũng đưQc đưa ra.
Các tài li�u chính đưQc s11 d1,ng trong lu n văn này bao gom m9t s6 sách
và bài báo cua các tác gia Hsiao-Dong Chiang và Luís Fernando Costa
Alberto, [2], [4], [5], [12]. Ket qua cua lu n văn đưQc báo cáo t0i seminar B9
mơn Tốn h9c tính tốn và Tốn Ung d1,ng, Khoa Toán - Cơ - Tin h9c và
đưQc trình bày t0i H9i thao M9t s6 bài tốn ch9n l9c trong phương trình vi
phân và đi@u khien do Vi�n Nghiên cUu cao c[tp v@ Tốn t6 chUc t0i
Tu§n Châu, Quang Ninh, ngày 05-07/11/2020.


Chương 1
Ki�n thuc chui:n bt
Trong chương thU nh[tt này, chúng tơi se nhiic l0i các đinh nghĩa và
tính ch[tt v@ tính 6n đinh và h� đ9ng lvc. Bên c0nh đó, lý thuyet v@
hàm Lyapunov, hàm năng lưQng đ6i vai h� đ9ng lvc và Ung d1,ng cua nó cũng
đưQc trình bày trong m1,c cu6i cua chương này. Đây là các kien thUc cơ sa
cho n9i dung các chương sau. Ph§n lan các n9i dung a chương này đưQc trình
bày dva trên các tài li�u [1], [2], [4] và [5].

1.1 H� đ9ng lljc phi tuy�n
Trong chương này, chúng ta luôn xét h� đ9ng lvc phi tuyen (ô tô
nôm) sau đây

x˙ = f (x),

(1.1)

trong đó x ∈ Rn là m9t bien véctơ và hàm f : Rn → Rn thoa mãn đi@u ki�n
đam bao bài tốn giá tri ban đ§u đ6i vai (1.1) ton t0i và duy nh[tt nghi�m.
Trong lu n văn này, chúng ta luôn gia thiet hàm f kha vi r l§n và các đ0o
hàm này liên t1,c. Đi@u ki�n này đam bao rang vai moi giá tri ban đ§u x0,
ton t0i m9t khoang cvc đ0i I = (w−, w+) ⊂ R, 0 ∈ I và ton t0i duy
nh[tt hàm kha vi liên t1,c x(t) : I → Rn là m9t nghi�m cua phương trình
(1.1) sao cho x(0) = x0.
Đtnh lý 1.1 ([5]). Cho x(t) là m t nghi m c a phương trình (1.1) và [0,
w+]
là m t khoang c c đ9i t6n t9i nghi m này. Khi đó, neu t6n t9i m t t?p
compact


K ⊂ Rn sao cho x(t) ∈ K vdi m9i t ∈ [0, w+] thì w+ = +∞, titc là
nghi m t6n t9i và xác đinh vdi m9i t ≥ 0.
Sau đây, ta se trình bày m9t s6 khái ni�m c§n thiet cho các ket qua
v@ sau. Đưang cong nghi�m cua phương trình (1.1) xu[tt phát tU x0 t0i
thai điem t = 0 đưQc g9i là m9t quy đ0o nghi�m xu[tt phát tU x0 và đưQc
ký hi�u là φ(., x0). Hơn nfra, quy đ0o nghi�m xu[tt phát tU x0 là m9t hàm
theo thai gian. Vi�c tham s6 hóa t → φ(t, x0) sinh ra m9t đưang cong trong
Rn, đưQc g9i là m9t quy đ0o nghi�m cua (1.1) đi qua x0. Quy đ0o đi qua x0

đưQc ký hi�u là φt(x0) và đưQc xác đinh bai φt(x0) = {φ(t, x0) ∈ Rn, t

∈ R}. Trong m9t s6 trưang hQp, ta ký hi�u t p {φ(t, x) ∈ Rn, x ∈ A}
bai φ(t, A), A ⊂ Rn.
Điem x ∈ Rn đưQc g9i là m9t đii!m cân bMng cua (1.1) neu f (x) =
0,
tUc là điem cân bang là m9t nghi �m đ �c bi �t khơng thay đ6i theo thai gian.
Do đó, điem cân bang là m9t quy đao nghi �m không dich chuyen. T p t[tt ca
các điem cân bang cua (1.1) đưQc ký hi�u là E = {x ∈ Rn : f (x) =
0}. M9t
d0ng quan tr9ng khác cua quy đ0o nghi�m đó là quy đ9o đóng. M9t quy đ0o
nghi�m γ là m9t quy đ0o đóng neu γ khơng phai là m9t điem cân bang
và vai b[tt kỳ x ∈ γ, ton t0i T > 0 sao cho φ(T, x) = x. Điem cân bang
và quy đ0o đóng có the 6n đinh ho�c không 6n đinh. T p M ⊂ Rn đưQc
g9i là m9t t p b[tt bien cua (1.1) neu m9i quy đ0o nghi�m cua h� (1.1) xu[tt
phát tU M luôn nam trong M vai m9i t. HQp và giao cua các t p b[tt bien
cũng là t p b[tt bien. T p M ⊂ Rn đưQc g9i là t p b[tt bien dương (âm)
cua (1.1) neu m9i quy đ0o nghi�m cua (1.1) xu[tt phát tU M van nam M
vai m9i t ≥ 0 (t ≤ 0).
M9t điem p nam trong t p w-giai h0n cua x neu Ung vai moi ε >
0 và T > 0, ton t0i t > T sao cho |φ(t, x) − p| < ε. Điem p nam trong
t p α-giai h0n cua x neu Ung vai moi ε > 0 và T < 0, ton t0i t < T
sao cho
|φ(t, x) − p| < ε. Nói cách khác, p đưQc g9i là nam trong t p w-giai
h0n (t p α-giai h0n) cua x neu vai moi ε > 0, ton t0i m9t dãy {ti} ∈ R
sao cho φ(ti, x) → p khi ti → +∞ (ti → −∞).


Đtnh lý 1.2 ([5]). Các t?p w-gidi h9n và t?p α-gidi h9n c a m t quy
đ9o

nghi m φ(t, x) c a h (1.1) là các t?p đóng, bat bien. Ngồi ra, neu quy đ9o
nghi m φ(t, x) c a (1.1) bi ch n vdi t ≥ 0 (t ≤ 0) thì t?p w-gidi h9n (t?p
α-gidi h9n) khác r ng, compact và liên thông. Hơn n a, d(φ(t, x), w(x)) →
0 khi t → ∞.
Như ta có the th[ty rang điem cân bang 6n đinh ti�m c n là lo0i
đơn gian nh[tt cua t p giai h0n. Tuy nhiên, t p giai h0n vô cùng phUc t0p;
nó có the là điem cân bang, quy đ0o đóng hay m9t d0ng khác.

1.2 Tính 6n đtnh
Tiep theo, ta nhiic l0i đinh nghĩa 6n đinh Lyapunov và ti�m c n 6n
đinh.
Đtnh nghĩa 1.3. Đii!m cân bMng x ∈ Rn c a h (1.1) đư c g9i là n
đinh Lyapunov neu vdi m i lân c?n mo U of x ∈ Rn, t6n t9i m t lân c?n
mo V c a x ∈ Rn sao cho φ(t, x) ∈ U vdi m9i x ∈ V và vdi m9i t > 0.
Ngư c l9i, x đư c g9i là không n đinh.

x

φ(t, x)

V

U

x¯

Hình 1.1: Minh h9a đinh nghĩa 6n đinh Lyapunov.

M9t cách trvc quan, m9t điem cân bang đưQc g9i là 6n đinh neu các
quy đ0o xu[tt phát tU lân c n cua điem cân bang van cịn nam g§n vai điem
cân bang sau m9t khoang thai gian b[tt kỳ. M�c dù v y, trong nhi@u bài
tốn thì u c§u v@ quy đ0o nam g§n vai quy đ0o là chưa đu. Thay vào đó,
ngưai ta đưa ra m9t u c§u m0nh hơn là các quy đ0o g§n vai điem cân
bang và h9i t1, v@ điem cân bang.


Đtnh nghĩa 1.4.
(i) Đii!m cân bMng x ∈ Rn c a h (1.1) đư c g9i là n đinh ti m c?n neu
nó n đinh và t6n t9i m t lân c?n mo U c a x sao cho m9i quy đ9o
φ(t, x) xuat phát tu lân c?n U đ u h i t v đii!m cân bMng x khi t → ∞
hay lim \φ(t, x) − x\ = 0 vdi m9i x ∈ U .
t→∞
(ii) Đii!m
cân bMng x ∈ Rn c a h (1.1) đư c g9i là n đinh ti m c?n tồn
c c neu nó n đinh và vdi m9i x0 ∈ Rn, φ(t, x0) → x khi t → ∞.

x¯

x

U

φ(t, x)

Hình 1.2: Minh h9a đinh nghĩa 6n đinh ti�m c n.

Đtnh nghĩa 1.5.
(i) M t t?p đóng, bat bien γ đư c g9i là n đinh Lyapunov neu vdi m i lân

c?n mo U c a γ, t6n t9i m t lân c?n mo V c a γ sao cho φ(t, x) ∈
U vdi m9i x ∈ V và vdi m9i t > 0. Ngư c l9i, γ đư c g9i là không n
đinh.
(ii) M t t?p đóng, bat bien γ đư c g9i là n đinh ti m c?n neu nó n đinh
và t6n t9i m t lân c?n V c a γ sao cho t?p w-gidi h9n c a m9i đii!m
trong V chita trong γ.
(iii) M t t?p đóng, bat bien γ ⊂ Rn đư c g9i là m t t?p hút neu t6n t9i lân
c?n mo U c a γ sao cho vdi m9i x0 ∈ U , φ(t, x0) ∈ U vdi m9i t
≥ 0 và φ(t, x) → γ khi t → ∞.
Thvc te, t p 6n đinh và t p hút là m9t t p b[tt bien 6n đinh ti�m c n.
Nói cách khác, m9t t p γ là t p hút neu m9i quy đ0o nghi�m trong lân c
n γ đu g§n vai γ và h9i t1, v@ γ khi t → ∞.


Đe xác đinh tính 6n đinh cua m9t điem cân bang x, ta c§n m9t s6 cơng
c1, đe mơ ta dáng đi�u cua quy đ0o nghi�m, ít nh[tt là v@ m�t đinh tính
quy đ0o nghi�m xung quanh điem cân bang x. Đ6i vai h� đ9ng lvc tuyen
tính

x˙ = Ax, vi�c kiem tra có the thvc hi�n bang cách tính các giá tri riêng
và
véctơ riêng tương Ung cua ma tr n A. Do đó, dáng đi�u đ9ng lvc đia
phương cua bài tốn phi tuyen có the đưQc nghiên cUu th6ng qua bài
tốn tuyen tính hóa. Bây gia, ta gia thiet rang x ∈ Rn là m9t điem cân bang
cua (1.1). Bang cách đ6i bien x(t) = x + y(t) và s11 d1,ng khai trien Taylor
t0i x, ta có x˙ (t) = y˙(t) = f (x)+Df (x)y+O(\y\2 ), trong đó Df là
đ0o hàm cua trưang
2

véctơ f . Vì f (x) = 0 nên phương trình tra thành y˙ = Df (x)y +

O(\y\ ).
Do đó, đe nghiên cUu d0ng đi�u quy đ0o nghi�m, ta xét h� tuyen tính hóa

y˙(t) = Df (x)y.

(1.2)

Đtnh nghĩa 1.6. Đii!m cân bMng x c a h phi tuyen (1.1) đư c g9i là
hy- perbolic neu ma tr?n Jacobi tương itng Df (x) khơng có giá tri riêng có
philn th c bMng 0. Ngư c l9i, nó đư c g9i là đii!m cân bMng không
hyperbolic. Hơn n a, m t đii!m cân bMng hyperbolic đư c g9i là lo9i k neu k
giá tri riêng c a ma tr?n Jacobi Df (x) có philn th c dương và n − k giá
tri riêng có philn th c âm. Đ c bi t, neu Df (x) có đúng m t giá tri riêng
có philn th c dương, ta g9i x là đii!m cân bMng lo9i 1.
Nói chung, điem cân bang lo0i 1 đưQc xem là t6i quan tr9ng khi nghiên
cUu các đ�c trưng v@ biên 6n đinh và biên tva 6n đinh. Ta ký hi�u λ là
m9t giá tri riêng cua Df (x) và Eλ là không gian véctơ riêng suy r9ng Ung
vai giá tri riêng λ. Nhiic l0i rang Eλ là b[tt bien đ6i vai h� (1.2). Neu g6c
t9a đ9 là m9t điem cân bang hyperbolic thì ta có the viet như sau Rn = Es

⊕ Eu, trong đó Es = ⊕Eλ vai Re(λ) < 0 và Eu = ⊕Eλ vai Re(λ) >
0. Ngoài ra, neu điem hyperbolic là điem cân bang lo0i k thì Es và Eu l§n lưQt
có s6 chi@u là n − k và k.


Đtnh lý 1.7 (Hartman-Grobman [5]). Xét h phi tuyen t ng quát (1.1)
có đii!m cân bMng x. Neu Df (x) khơng có giá tri riêng 0 và khơng có
giá tri riêng thuiln ao, thì se có m t đ6ng phơi h, xác đinh trên m t lân c?
nU ca

x, bien quy đ9o φ(t, .) c a h đ ng l c phi tuyen (1.1) thành nghi m c a h
tuyen tính hóa c a (1.2) có d9ng etDf(x) . Phép đ6ng phơi bao tồn các tính
chat c a các quy đ9o nghi m và cách ch9n tham s6 hóa theo thoi gian.
Đinh lý sau đây đưa ra đi@u ki�n đu cho m9t điem cân bang cua h �
(1.1) là 6n đinh ti�m c n.
Đtnh lý 1.8 (Tính 6n đinh ti�m c n, [5]). Gia sU rMng m9i giá tri
riêng c a ma tr?n Jacobi Df (x) trong h tuyen tính tương itng (1.2) đ u có
philn th c âm. Khi đó, nghi m cân bMng x = x c a h phi tuyen (1.1) là n
đinh ti m c?n.
Vai x là m9t điem cân bang và U ⊂ Rn là m9t lân c n cua x. Ta se
đinh nghĩa đa t0p 6n đinh đia phương và đa t0p không 6n đinh đia phương
như sau
s

Wlo (x) := {x ∈ U : φ(t, x) → x khi t → +∞},
c

W u (x) := {x ∈ U : φ(t, x) → x khi t → −∞}.
s

lo
c

u
Chú ý rang Wlo (x¯) và W
(x¯) l§n lưQt theo thU tv là các t p b[tt bien
lo
c
c

dương
và b[tt bien âm. Hình 1.3 dưai đây mơ ta các đa t0p đia phương này.

Wu
loc(x¯)

W slocx¯

x¯

Hình 1.3: Mơ ta đa t0p 6n đinh đia phương và đa t0p không 6n đinh đia phương cua
m9t điem cân bang.


Đtnh lý 1.9 (Đa t0p 6n đinh và không 6n đinh, [5]). Gia sU h đ ng l c
phi
tuyen liên t c (1.1) có m t đii!m cân bMng hyperbolic x. Các t?p Wlos (x) và
c
Wlou (x) đư c g9i là đa t9p n đinh đia phương và đa t9p khơng n đinh đia
c
phương. Khi đó, các đa t9p này liln lư t có chi u ns, nu gi6ng như các không
gian véctơ riêng Es, Eu c a h tuyen tính hóa (1.2). Hơn n a, các đa t9p
này cũng tiep xúc vdi các không gian riêng Es, Eu t9i x; Wlos (x) và Wlou (x)
c
c
trơn gi6ng như f (x) of (1.1). Đây là các t?p bat bien c a h phi tuyen (1.1)
và các quy đ9o nghi m c a h phi tuyen trên các đa t9p này có tính chat ti
m c?n như nghi m c a h tuyen tính hóa trong khơng gian véctơ riêng tương
itng.
Hình 1.4 minh h9a đinh lý đa t0p vUa trình bày.

Eu

x¯

W u(x¯)

Es
W s (x
¯)

Hình 1.4: Quan h� gifra khơng gian con 6n đinh và không gian con không 6n đinh vai
đa t0p 6n đinh và đa t0p không 6n đinh t0i điem cân bang hyperbolic.

Chú ý 1.10 ([4]).
(1) Điem cân bang x là t p w-giai h0n cua m9i điem trong W s (x) và là t p
α-giai h0n cua m9i điem Wu(x). Vai điem cân bang hyperbolic, chi@u
cua W s (x) bang s6 giá tri riêng cua Df (x) có ph§n thvc âm. T6ng s6
chi@u W s (x¯) và W u (x¯) bang s6 chi@u cua không gian pha.


(2) Sv ton t0i và duy nh[tt nghi�m đam bao rang ca W s (x) và W u (x)
không the tv giao vai chính nó nhưng W s (x) và W u (x) có the giao
vai nhau.


(3) Đa t0p 6n đinh và đa t0p không 6n đinh là các t p b[tt bien. M9i quy
đ0o nghi�m trên W s (x¯) h9i t1, v@ x¯ khi t → +∞, trong khi m9i quy
đ0o nghi�m trên W u (x¯) h9i t1, v@ x¯ khi t → −∞.
Ví d1_ 1.1. Ta xét h� dao đ9ng Duffing như sau
x˙ = y

y˙ = x − x3 − εy, ε > 0.
Bang cách giai f (x, y) = 0, ta thu đưQc ba điem cân bang là (±1, 0),

(0, 0). Trong đó, (0, 0) là điem cân bang lo0i 1 và các điem còn l0i là
điem cân bang 6n đinh. Th t v y, sau khi tính tốn ma tr n Jacobi Df (x), ta
có h� tuyen tính hóa xung quanh điem cân bang (0, 0) là
x˙ = y
√
y˙ = x − εy.
ε + ε2 + 4
−
,
0
l
2
TU ma tr n

1
1
−ε

, ta thu đưQc hai giá tri riêng λ1
=

√
ε
ε2 + 4
—
−
. TU đó, ta có khơng gian riêng 6n đinh và khơng 6n

λ2
2
=
đinh tương Ung
f(x, y) : y
s
(
x\ ,
√
=
E
2
−ε − ε + 4
=
2
(
√
u
−ε
+
ε 2 x\ .
E =
+4
f(x, y) : y =
2
Các đa t0p 6n đinh và không 6n đinh tiep xúc vai không gian riêng 6n đinh,
không 6n đinh Es, Eu t0i điem cân bang hyperbolic (0, 0).
Ví d1_ 1.2. Xét h� như x˙ = x
sau
y˙ = −y + x2.

Giai f (x, y) = 0, ta có điem cân bang hyperbolic (x, y) = (0, 0). Khi đó,
h� tuyen tính hóa tương Ung
x˙

=x

y˙ = −y,

có các giá tri riêng là −1 và 1 Ung vai không gian véc tơ riêng 6n đinh và
không 6n đinh là

Es = {(x, y) ∈ R2 : x = 0}, Eu = {(x, y) ∈ R2 : y = 0}.
Đe tìm Wlou (0, 0), ta th[ty rang
c

y˙
dy
=
x˙

=
x.

−y

+
x2

C

x

dx
+ , trong đó C
Bang cách giai phương trình trên, ta thu đưQc y(x)
3
x
=
là m9t hang s6. Vì Wlou (0, 0) có the bieu dien như là m9t hàm s6 vai bien
c
x
nên ta có y = h(x) vai h(0) = h1 (0) = 0. Do đó, suy ra
x
2
2 .
(x,
y)
∈
R
:
y
=
u
Wlo (0, 0)
=c
3
M�t khác, m9i quy đ0o nghi�m xu[tt phát tU (0, y) vai y ∈ R, nam trên
tr1,c

Oy và tien đen (0, 0) khi t → ∞. Ngoài ra, không gian riêng con không 6n
đinh Eu là tr1,c Ox, ta có the suy ra rang W slo là tr1,c Oy (xem Hình 1.5).
c

1

Ý tưang v@ “đi@u ki�n hồnh ” là cơ sa đe nghiên cUu h� đ9ng lvc
h9c và đưQc giai thi�u bai Palis, 1969; Palis và de Melo, 1981 và Smale, 1967,
[4]. Trưac het, ta nhiic l0i m9t s6 khái ni�m c§n thiet cho vi�c trình bày đi@u
ki�n này. Cho M là m9t đa t0p trơn có biên ho�c khơng có biên. M9t đa t0p
con dìm2 cua M là m9t t p con A ⊆ M cam sinh m9t c[tu trúc tơpơ (khơng c§n
khơng gian con tơpơ) tương Ung tU đa t0p tơpơ (khơng có biên), và m9t c[tu
trúc trơn trong đó A '→ M là m9t phép dìm trơn, [8]. Bây gia, ta gia s11 A


và B là các đa t0p con dìm thvc sv cua M , ta nói rang chúng thoa mãn đi@u
ki�n “hoành” neu m9t trong hai đi@u ki�n sau đây đưQc thoa mãn.
1

Tài li�u ti@ng Anh: transversality condition
immersed manifold

2


y
Ws(0, 0)

y

Wu(0, 0)

Es

x

Eu

x

Hình 1.5: Đa t0p 6n đinh và khơng 6n đinh cua (0, 0); các không gian riêng 6n đinh và
không 6n đinh tương Ung.

(i) T0i moi giao điem x ∈ A ∩ B, không gian véctơ tiep xúc cua A và B
sinh ra không gian véctơ tiep xúc cua M t0i x. TUc là,
Tx(A) + Tx(B) = Tx(M ), x ∈ A ∩ B.
(ii) Chúng hồn tồn khơng giao nhau.
M9t trong nhfrng đ�c trưng quan tr9ng nh[tt cua điem cân bang hyperbolic

x¯ đó là các đa t0p 6n đinh và đa t0p không 6n đinh cua điem cân
bang
hyperbolic giao hoành t0i x¯. Điem giao hoành này r[tt quan tr9ng vì nó bao
tồn dưai các nhieu đ9ng cua trưang véctơ.

1.3 Lý thuy�t hàm Lyapunov
Trong ph§n này, chúng tơi trình bày t6ng quan v@ hàm
Lyapunov. Trưac het, ta s11 d1,ng ký hi�u sau đây như là đ0o hàm theo thai
gian cua hàm V (x)

V˙ (x(t)) =

∂V
(x(t))T .x˙ (t)
∂x
∂V (x)T
=
.f (x).


∂x


Đtnh lý 1.11 ([5]). Gia sU xˆ là m t đii!m cân bMng c a x˙ = f
(x), trong đó
f : Rn → Rn. Cho V : U → R là m t hàm liên t c xác đinh trong m t lân
c?n U c a xˆ, kha vi trên U sao cho
(a) V (xˆ) = 0 và V (x) > 0 neu x /= xˆ và x ∈ U ,
(b ˙
V (x) ≤ 0 trong U \ {xˆ}.
)
Khi đó, xˆ là n đinh. Hơn n a, cũng neu
(c
)

V˙ (x) < 0 trong U \ {xˆ} thì xˆ là n đinh ti m c?n.

U

Bδ (xˆ)

U1

Hình 1.6: Minh h9a quan h� gifra hình c§u ma và hình c§u đóng trong chUng minh
Đinh lý 1.11.

Chitng minh. Gia s11 rang vai δ > 0 đu nho sao cho hình c§u Bδ (xˆ) =

{x ∈
Rn : \x − xˆ\ < δ} nam tr9n v n trong U . Ký hi�u ∂Bδ (xˆ) :=
{x ∈ Rn :
\x − xˆ\ = δ} là biên cua hình c§u Bδ (xˆ). Đ�t α = min V (x), x
∈ ∂Bδ (xˆ). Vì V (x) là m9t hàm liên t1,c và V (x) > 0 nên cách xác
đinh α như a trên là đinh nghĩa t6t và α là m9t s6 dương.
Đ�t U1 := {x ∈ Bδ (xˆ) : V (x) < α}. Bây gia, ta xét
x(0) ∈ U1 b[tt kỳ. Ta có ngay V (x(0)) < α. Ký hi�u x(t) là quy
đ0o nghi�m thu đưQc