Lý thuyết đồ thị với các bài toán phổ thông luận án ths toán học 60 46 01 13

Đai HQC Quoc gia Hà N®i
Trưàng Đai HQC Khoa HQC TE nhiên

Lê Th% Thu Hien

LÝ THUYET ĐO TH± VéI CÁC BÀI TỐN
PHO THƠNG

Chun ngành : Phương pháp tốn sơ cap
Mã so : 60.46.01.13

Ngi hỏng dan khoa

HQC:

GS.TS. ắng Huy Ruắn
H Nđi- 2013


Mnc lnc
Ma đau

4

1 Lý thuyet đo th%
5
1.1 Các khái ni¾m cơ ban..............................................................................5
1.2 B¾c cna đo th%..............................................................................................9
1.3 Xích, chu trình, đưịng, vịng..................................................................14
1.4 Đo th% liên thơng...................................................................................16
1.5 Sac so và đo th% tơ màu........................................................................17

1.6 So őn đ%nh trong, so őn đ%nh ngồi..........................................................19
1.7 Nhân cna đo th% và úng dung vào trò chơi...........................................21
1.8 Cây..........................................................................................................26
2 Khai thác lý thuyet đo th% vào giai toán trung HQC pho thơng
30
2.1 Quy trình chuyen đői tù bài tốn thơng thưịng sang ngơn ngu lý thuyet
đo th%............................................................................................................30
2.2 Bài tốn liên quan đen đo th% có hưóng...............................................33
2.3 Bài tốn liên quan đen đo th% màu.......................................................35
2.4 Bài tốn có liên quan đen b¾c và canh cna đo th%...............................47
2.5 Bài tốn liên quan đen đưịng đi............................................................51
2.6 Bài tốn liên quan đen đo th% liên thơng...............................................55
2.7 Bài tốn liên quan đen cây.....................................................................57
2.8 Tőng hop.................................................................................................60
Ket lu¾n

72

Tài li¾u tham khao

73

2


Ma đau
Phương pháp lý thuyet đo th% là môn khoa HQc có tính khái qt cao giúp nghiên
cúu và toi ưu các moi liên h¾ giua các đinh, nút, canh ho¾c cung đe chuyen thành
phương pháp giai bài tốn. Đ¾c bi¾t là đoi vói trung HQc phő thơng phương pháp đo th
% giai đưoc nhieu bài toán hay và bő ích. V¾n dung lý thuyet đo th% vào giai bài t¾p

cho HQc sinh se giúp rèn luy¾n năng lnc h¾ thong hóa kien thúc và thúc đay q trình
sáng tao cũng như quá trình tn HQc nghiên cúu trong moi HQc sinh. Qua các bài toán sơ
cap logic, lý thuyet đo th% giúp phân tích các yeu to, cau trúc, đưa ra cách cHQN lna
hop lý cho tùng trưòng hop và bài toán.
Lý thuyet đo th% phát trien trong khoang hơn 1 the ki trưóc. Đánh dau sn xuat
hi¾n cna lý thuyet đo th% chính là ket qua úng dung cna nó vào năm 1736 trong bài
báo cna Leonhard Euler ve “Bay cây cau Euler”. Cho đen ngày nay nó mang lai nhieu
úng dung quan TRQNG trong khoa hQc, kĩ thu¾t như : Tin HQc, v¾t lý, hóa HQc, mang
lưói giao thơng, đieu khien HQc, cau trúc máy tính,. . . .
Đe hieu sâu hơn ve lý thuyet đo th% và phương pháp này, trưóc het can nam
bat đưoc tính chat cơ ban cna đo th% :
Đo th% là m®t t¾p các đoi tưong đưoc GQI là các đinh (ho¾c nút) noi vói nhau boi
các canh (ho¾c cung). Canh có the có hưóng ho¾c vơ hưóng. Đo th% thưịng đưoc ve
dúi dang mđt tắp cỏc iem (cỏc inh noi vúi nhau bang các đoan thang (các canh).
Đo th% bieu dien đưoc rat nhieu cau trúc. Nhieu bài toán thnc te có the bieu dien
bang đo th%. Do v¾y, sn phát trien cna các thu¾t tốn xu lý đo th% là m®t trong các
moi quan tâm chính cna phương pháp đo th%. Ngồi ra, Cau trúc đo th% có the đưoc
mo r®ng bang cách gán TRQNG so cho moi canh. Có the su dung đo th% có TRQNG so đe
bieu dien nhieu khái ni¾m khác nhau.
Lu¾n văn : “Lý thuyet đo th% vói các bài tốn trung HQc phő thơng” nghiên cúu
cau trúc bài toán đưoc bieu dien bang đo th%, đưa ra các phương pháp nh¾n dang bài
tốn và phát trien năng lnc v¾n dung lý thuyet đo th% vào giai bài t¾p tốn. Đong
thịi làm női b¾t các ưu the cna lý thuyet đo th% qua bài toán úng dung thnc te.
Cau trúc lu¾n văn
Lu¾n văn gom phan mo au v ba chng.
Chng 1 : Giúi thiắu nđi dung cna lý thuyet đo th%, các khái ni¾m, đ%nh lý,
tính chat h¾ qua đưoc chúng minh.
Chương 2 : T¾p trung khai thác lý thuyet đo th% vào giai toán trung HQc phő

thơng qua các dang bài tốn cu the. Đưa ra phương pháp giai dang toán liên quan
đen đo th%, đo th% tơ màu, đo th% liên thơng, cây, b¾c, đưịng đi cùng bài tốn
tőng hop.
Chương 3 : Hưóng dan giai m®t so bài tốn có the quy ve phương pháp o th
%, v mđt so bi toỏn ỏp dung.
Luắn vn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan khoa HQc cna GS.TS. Đ¾ng Huy
Ru¾n, trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, ai HQc Quoc gia H Nđi, ngũi Thay ó
tắn tỡnh giúp đõ tác gia trong quá trình nguyên cúu và soan thao lu¾n văn này. Tác
gia xin bày to lịng biet ơn chân thành và kính TRQNG sâu sac tói Giáo sư.
Hà N®i, tháng 9 năm
2013 Tác gia
Lê Th% Thu Hien


Chương 1

Lý thuyet đo th%
1.1

Các khái ni¾m cơ ban.

1. Đ%nh nghĩa đo th% và các yeu to liên quan.
+ T¾p hop X ƒ= ∅ các đoi tưong tùy ý và bđ E cỏc cắp oc sap thỳ tn v khụng
oc sap thú tn các phan tu cna X đưoc GQI l mđt o th%, ong thũi oc kớ hiắu
hoắc bang G(X, E) ho¾c bang G = (X, E) ho¾c bang G(X). Các phan tu cna t¾p X
đưoc GQi là các đinh cịn các phan tu cna t¾p E đưoc gQI là các canh cna đo th% G.
Hình anh ve đo th%:

Trong (H1) có:
T¾p đinh là X = {2, 3, 5, 6, 7, 10}

T¾p canh là E = {(2, 3), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (3, 10), (6, 5), (6, 7), (7, 5), (7,
10)}

+ C¾p đinh khơng sap thú tn a = (x, y) đưoc GQi là canh hay canh vơ hưóng, cịn
x, y đưoc GQI là các đinh đau cna canh a; c¾p đinh đưoc sap thú tn b = (u, v) đưoc GQI
là canh có hưóng hay cung. Đinh u đưoc GQI là đinh đau, còn đinh v đưoc GQI là đinh
cuoi cna cung b. Ngưòi ta còn nói rang: cung b đi tù đinh u đen đinh v.


Trong hình (H2) có:
T¾p canh là (3, 5), (5, 7), (7, 10)
Cung là (3,10), trong đó 3 là đinh đau, 10 là đinh cuoi.
+ Đo th% chi chúa các canh đưoc GQI là đo th% vơ hưóng. Đo th% chi chúa các cung
GQI là đo th% có hưóng. Neu đo th% chúa ca canh lan cung, thì GQI là đo th% hon hop
hay o th% hon tap.

+ Mđt cắp inh có the đưoc noi vói nhau bang hai ho¾c nhieu hơn hai canh (
hai ho¾c nhieu hơn hai cung cùng m®t hưóng). Các canh (cung) này đưoc GQI là canh
(cung) b®i.
+ M®t canh (hay m®t cung) có the bat đau và ket thúc tai m®t đinh. Canh (cung)
loai này đưoc GQI là khuyên hay nút (có hưóng).


Trong hình (H4) có:
Canh b®i là canh (3, 5).
Cung b®i là cung (3, 10).
Khuyên là (7, 7).
Nút là (5, 5).
+ C¾p đinh x, y đưoc GQI là hai đinh ke nhau, neu x ƒ= y và là hai đau cna
cùng m®t canh hay cùng m®t cung.

+ Đoi vói moi đinh x dùng D(x) đe kí hi¾u t¾p đinh, mà moi đinh này đưoc noi
vói x bang ít nhat m®t canh. D+(x) đe chi t¾p đinh, mà moi đinh này tù x có cung
đi tói. D−(x) đe chi t¾p đinh, mà moi đinh này có cung đi tói x.
Trong hình (H4) có:
D(3) = {5, 7}; D+(3) = {10}; D−(3) = ∅
+ Hai canh (cung) a, b đưoc GQi là ke nhau, neu:

1. Chúng khác nhau.
2. Chúng có đinh chung (neu a, b thì khơng phu thu®c vào đinh chung đó là
đinh đau hay đinh cuoi cna cung a, đinh đau hay đinh cuoi cna cung b ).
2. Bieu dien đo th% bang hình HQC.
Đo th% có nhieu cách đe bieu dien nhưng trong phan này chi trình bày cách bieu
dien bang hình HQc.
Gia su có đo th% G = (X, E).
Đe có dang bieu dien hình HQc cna G ta can bieu dien đinh và canh.
Bieu dien đsnh: Lay các điem trên m¾t phang hay trong khơng gian tương úng
vói các phan tu cna t¾p X và dùng ngay kí hi¾u các phan tu này đe ghi trên các
điem tương úng.
Bieu dien canh: Neu canh a vói hai đinh đau là x, y thì nó đưoc bieu dien bang
m®t đoan thang hay m®t đoan cong noi giua hai điem x, y và không đi qua các
điem tương úng chung gian khác.
Bieu dien cung: Cung b có đinh đau là u, đinh cuoi là v, thì nó đưoc bieu dien
bang m®t đoan thang hay m®t đoan cong đưoc đ%nh hưóng tù u sang v và không
đi qua các điem tương úng chung gian khác.
Hình nh¾n đưoc GQI là dang bieu dien hình HQc cna đo th% G = (X, E). Đơi khi
ngưịi ta cũng GQI dang bieu dien hình HQc là đo th%.
Ví dn. Gia su đo th% G có t¾p đinh X = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 } và t¾p
canh E gom các canh a1 = (x1 , x2 ), a2 = (x2 , x3 ), a3 = (x4 , x5 ), a4 = (x5 , x6 ),
khun vơ hưóng a5 = (x7 , x7 ), khuyên có hưóng (x6 , x6 ) và cung b1 = (x1 , x8 ). Khi
đó đo th% G = (X, E) có dang bieu dien hình HQc sau:

3. Mđt so dang o th% ắc biắt.
Trong nhung trũng hop khơng can phân bi¾t canh và cung ta quy ưóc dùng
canh thay cho ca cung.
+ Đo th% G = (X, E) khơng có khun và moi c¾p đinh đưoc noi vói nhau bang
khơng q m®t canh, đưoc GQI là đo th% đơn hay đơn đo th% và thơng thưịng GQI là
đo th%.
Hình anh ve đơn đo th%.

+ Đo th% G = (X, E) khơng có khun và có ít nhat mđt cắp inh oc noi vúi
nhau bang tự hai canh tro lên đưoc GQI là đa đo th%.
Hình anh ve đa đo th%.

+ Đo th% vơ hưóng (có hưóng) G = (X, E) đưoc GQI là đo th% đay đn neu moi c¾p
đinh đưoc noi vói nhau bang đúng m®t canh (m®t cung vói chieu tùy ý).
+ Đo th% (đa đo th%) G = (X, E) đưoc GQI là huu han, neu so đinh cna nó là huu
han, túc t¾p X có lnc lưong huu han.
+ Đo th% G đưoc GQI là gia đo th% neu trong G ton tai m®t canh noi m®t đinh


vói chính nó. Canh này đưoc GQI là khun.
+ Cho Y ⊆ X, Y ƒ= ∅, H ⊆ E, F = E ∩ (Y × Y )
Đo th% G1 = (Y, F ) đưoc GQi là đo th% con, còn G2 = (X, H) l o th% bđ phắn
cna o th% G = (X, E).
+ Đo th% (đa đo th%) G = (X, E) đưoc GQI là đo th% (đa đo th%) hai mang, neu
t¾p đinh X đưoc phân thành hai t¾p con rịi nhau X1 , X2 , (X1 ∪ X2 = X và X1 ∩ X2
= ∅) và moi canh đeu có m®t đau thu®c X1 , cịn đau kia thu®c X2 . Khi đó G = (X,
E) cịn đưoc kí hi¾u bang G = (X1 , X2 ; E).
Hình anh cna đo th% hai mang.

1.2

B¾c cua đo th%.

Đe đ%nh lưong so canh thu®c moi đinh đo th% ngưịi ta đưa ra khái ni¾m b¾c
cna đinh. Đoi vói đo th% và đa đo th% có hưóng đe đ%nh lưong so cung đi vào và
so cung đi ra tai moi đinh cịn có khái ni¾m nua b¾c vào và nua b¾c ra.
1. B¾c cua đinh đo th%.
Gia su G = (X, E) là m®t đo th% hay đa đo th% có hưóng ho¾c là khơng có hưóng.
So canh và cung thuđc inh x oc GQI l bắc cna inh x và kí hi¾u bang m(x). Neu
canh là khun thì đưoc tính là 2.


Trong đo th% hình (H9) có:
m(X1)
m(X3)
m(X4)
m(X6)
m(X7)

=
=
=
=
=

3; m(X2) = 5
m(X5) = 2
5

1
0

+ Đinh có b¾c 0 đưoc GQI là đinh bi¾t l¾p.
+ Đinh có b¾c 1 đưoc GQI là đinh treo.
+ Canh (cung) có ít nhat m®t đau là đinh treo đưoc GQI là canh (cung) treo.
Trong đo th% hình (H9) có:
X7 là đinh bi¾t l¾p.
X6 là đinh treo.
(X4, X6) là cung treo.
2. NEa b¾c.
Gia su G = (X, E) là đo th% ho¾c đa đo th% có hưóng.
So cung đi vào đinh x đưoc GQI là nua b¾c vào cna đinh x và kí hi¾u bang mJ (x)
ho¾c m−(x).
So cung đi ra khoi đinh x đưoc GQI là nua b¾c ra cna đinh x và kí hi¾u bang
JJ
m (x) ho¾c m+ (x).
Kí hi¾u t¾p cung đi vào đinh x bang E−(x), cịn t¾p cung đi ra khoi đinh x bang
E+(x).

Trong đo th% hình (H10) có:
mJ (X1 ) = 0; mJJ (X1 ) = 3
mJ (X2 ) = 1; mJJ (X2 ) = 2


mJ (X3 ) = 2; mJJ (X3 ) = 1
mJ (X4 ) = 2; mJJ (X4 ) = 2
mJ (X5 ) = 2; mJJ (X5 ) = 0
mJ (X6 ) = 1; mJJ (X6 ) = 0
mJ (X7 ) = 0; mJJ (X7 ) = 0

E−(X1) = ∅, E+(X1) = {(X1, X2), (X1, X4), (X1, X5)}.
E−(X4) = {(X1, X4), (X2, X4)}, E+(X4) = {(X4, X3), (X4, X5)}.

3. M®t so tính chat.
Đ%nh lý 1.1. Trong m®t đo th% hay đa đo th% tùy ý tőng so b¾c cua tat ca các đsnh
ln ln gap đơi so canh.
Chúng minh. Th¾t v¾y, khi tính b¾c cna các đinh moi canh vơ hưóng ho¾c có
hưóng đeu đưoc tính moi đau đúng m®t lan, mà moi canh thu®c hai đinh nên ta có
đieu can chúng minh.
Đ%nh lý 1.2. Trong m®t đo th% hay đa đo th% tùy ý G = (X, U ) so đsnh bắc lộ luụn
luụn l mđt so chan.
Chỳng minh. Gia su đo th% có |X| = n; |U| = m và k đinh b¾c le là x1; x2; x3; ...; xk(k
≤

Σk
Σn
n).
Đ¾t
M
=
m(x
i), N =
j). Áp dung đ%nh lý 1.1 thì M + N = 2m.
Vì N là so chan i=
nên M chan, suyj=k+
ra k m(x
chan.
1

1

Đ%nh lý 1.3. Trong m®t đo th% vái n(n ≥ 2) đsnh có ít nhat 2 đsnh cùng b¾c.
Chúng minh. Gia su G = (X, E) là đo th% tùy ý vói |X| = n ≥ 2. Xét hai kha năng
sau:
1) Neu đo th% có đinh b¾c 0, thì trong đo th% khơng có m®t canh nào noi
đinh này vói tat ca các đinh cịn lai trong n đinh cna đo th%, do đó moi đinh cna
đo th% cú bắc l mđt trong n 1 so nguyờn 0, 1, 2,..., n − 3, n − 2.
2) Neu khơng có đinh b¾c 0 thì n đinh cna đo th% cú bắc l mđt trong n 1 so
1, 2, ..., n − 1.
Tù ket qua lý lu¾n trên khang đ%nh đưoc rang, đo th% G(X, E) vói n đinh,
nhưng chi có khơng q n − 1 loai b¾c. Boi v¾y phai có ít nhat hai đinh cùng b¾c.
Khang đ%nh đưoc chúng minh.
Đ%nh lý 1.4. Neu đo th% vái n(n > 2) đsnh có đúng 2 đsnh cùng b¾c, thì hai đsnh
này khơng the đong thài có b¾c 0 ho¾c n − 1.
Chúng minh. Gia su x, y là hai đinh cùng b¾c cna đo th% G(X, E) và đeu có b¾c
0 ho¾c b¾c n − 1. Loai x, y và tat ca các canh thu®c chúng khoi đo th% G, ta
đưoc đo th% con G1 có n − 2 đinh. Theo đ%nh lý 1.3 trong G1 có hai đinh cùng
b¾c, chang han u, v.
1) Neu x, y cùng b¾c 0 thì u, v trong G khơng ke vói x, y nên u, v đong thịi
hai đinh cùng b¾c trong đo th% G. Như v¾y, đo th% G phai có ít nhat hai c¾p
đinh cùng


b¾c.
2) Neu x, y đeu có b¾c n − 1. Khi đó moi đinh u, v đeu ke đong thịi vói x, y nên
trong đo th% G các đinh u, v cũng cùng b¾c. Như v¾y trong đo th% G phai có ít
nhat hai c¾p đinh cùng b¾c.
Ca hai trưịng hop đeu có the dan tói mau thuan vói tính chat: o th% G cú
duy nhat mđt cắp inh cựng b¾c, nên x, y khơng the cùng b¾c 0 ho¾c cùng b¾c
n − 1. Khang đ%nh đưoc chúng minh.

Đ%nh lý 1.5. So đsnh b¾c n − 1 trong đo th% G vái n(n ≥ 4) đsnh, mà 4 đsnh tùy ý
có ít nhat m®t đsnh ke vái 3 đsnh cịn lai, khơng nhó hơn n − 3.
Chúng minh. 1) Neu G đay đn, thì khang đ%nh là hien nhiên.
2) Neu G có c¾p đinh duy nhat khơng ke nhau khi đó G có n − 2 đinh b¾c n
− 1. Neu G có hai c¾p đinh khơng ke nhau thì chúng phai có đinh chung.
Th¾t v¾y,
gia su A, B và I, D là hai c¾p đinh khơng ke nhau. Neu hai c¾p đinh này khơng có
đinh chung thì trong bon đinh A, B, I, D khơng có đinh nào ke vói ba đinh cịn lai,
như v¾y mâu thuan vói gia thiet nên hai c¾p đinh A, B; I, D phai có hai đinh trùng
nhau, chang han B ≡ I .
Lay đinh C tùy ý khác vói A, B, D, trong b® bon A, B, C, D đinh C ke vói ca
ba đinh A, B, D. Loai D ra khoi b® bon trên và thay vào đó là đinh E tùy ý khác
vói A, B, C, D. Trong b® bon A, B, C, E ho¾c C ho¾c E phai ke vói ba đinh cịn
lai. Neu E ke vói ba đinh cịn lai thì C ke vói E. Do đó C ke vói ca ba đinh A, B, E .
Do E là đinh tùy ý trong n − 4 đinh còn lai (khác các đinh A, B, C ) nên C có
b¾c n − 1. C là đinh tùy ý trong n − 3 đinh khác A, B, D nên đo th% có khơng nho
hơn
n − 3 đinh b¾c n − 1.
Đ%nh lý 1.6. Vái MQI so tn nhiên n (n > 2) luôn ton tai đo th% n đsnh mà 3 đsnh
bat kì cua đo th% đeu khơng cùng b¾c.
Chúng minh. Neu n = 3 thỡ G3 gom mđt inh bắc 0 và hai đinh b¾c 1.
Gia su khang đ%nh đúng vói Gn có n đinh. Ta xây dnng đo th% Gn+1 có n + 1
đinh như sau:
a) Neu Gn có đinh b¾c n − 1 thì khơng có đinh nào b¾c 0, nên neu ta ghép
vào Gn đinh x b¾c 0 thì đưoc đo th% Gn+1 gom n + 1 đinh. Vi¾c ghép thêm đinh
x van bao tồn tính chat cna Gn: Ba đinh bat kì đeu khơng cùng b¾c và đo th%
Gn khơng có đinh b¾c 0 nên trong Gn+1 ba đinh bat kì đeu khơng cùng b¾c.
b) Neu Gn khơng có đinh b¾c n − 1 khi đó tat ca các đinh cna Gn đeu có b¾c
khơng vưot quá n − 2. Thêm vào Gn đinh x (không thu®c Gn) và noi x vói tùng đinh
cna Gn bang m®t canh ta đưoc đo th% Gn+1 có n + 1 đinh. Đinh x có b¾c bang n

cịn trong Gn+1 bắc cna moi inh thuđc Gn oc tng thờm mđt đơn v% nhưng đeu
không vưot quá n − 1 và trong b¾c mói ba đinh bat kì cna Gn van khơng cùng
b¾c. Khang đ%nh đưoc chúng minh.


Đ%nh lý 1.7. Đo th% hai mang G(Y ; Z, E) vái MQI đsnh y ∈ Y đeu có m(y) ≥ 1,
đong thài có tính chat: Bat kì hai c¾p đsnh y1 , y2 ∈ Y ; z1 , z2 ∈ Z nào cũng thóa
mãn đieu ki¾n: Neu y1 ke vái z1 , y2 ke vái z2 , thì trong hai c¾p đsnh y1 , z2 ; y2 , z1 cú
ớt nhat mđt cắp snh ke nhau. Khi ú trong tắp Z cú ớt nhat nhat mđt snh ke vỏi
tat ca cỏc snh thuđc Y .
Chỳng minh. Ký hiắu |Y | = m, |Z| = n. Xét ba kha năng có the sau:
Vói m = 1, do Y có phan tu duy nhat y, mà m(y) ≥ 1, trong t¾p Z có ít nhat
phan tu z ke vói y. Boi v¾y m(z) = 1 = |Y |.
Vói m > 1, n = 1, theo gia thiet vói MQI y ∈ Y đeu có m(y) ≥ 1, nên đinh z
duy nhat cna t¾p Z phai ke vói tat ca các đinh thu®c Y hay m(z) = |y|.
Vói m > 1, n > 1 GQI z là đinh có b¾c lón nhat trong t¾p Z :
+ Neu m(z) = |Y | khang đ%nh đưoc chúng minh.
+ Neu m(z) = |k| < m = |Y |, ký hi¾u y1, y2, ..., yk là các đinh ke vói z và
yk+1 phai ke vói đinh t ∈ Z và t ƒ= z. Xét hai c¾p đinh (z, yi), (t, yk+1) vói i = 1,
2, ..., k, ngồi ra t cịn ke vói yk+1, nên m(t) = k + 1 > k = m(z). Đieu này mâu
thuan vói gia thiet m(z) cnc đai.
Khang đ%nh đưoc chúng minh.
Đ%nh lý 1.8. Trong đo th% G(X, E) vái ít nhat kn + 1 đsnh, mői đsnh có b¾c khơng
nhó hơn (k − 1)n + 1 luôn ton tai đo th% con đay đu gom k + 1 đsnh.
Chúng minh. Khang đ%nh đưoc chúng minh bang quy nap theo k.
Vói k = 1 khang đ%nh hien nhiên đúng.
Vói k = 2 có the làm ch¾t hơn gia thiet: Đo th% 2n + 1 đinh, moi đinh có b¾c
khơng nho hơn n, thì ton tai đo th% con 3 đinh đay n. Thắt vắy, xột x bat k v y
l mđt trong các đinh ke vói x. Tőng các đinh ke vói x và y là 2n trong so 2n − 1
đinh cịn lai, nên tat phai có m®t đinh đưoc tính hai lan. Đinh này cùng vói x và y

tao thành m®t đo th% con 3 đinh đay đn.
Gia su khang đ%nh đúng vói k, ta chúng minh khang đ%nh đúng vói k + 1.
Theo gia thiet, trong đo th% G gom (k + 1)n + 1 đinh, so đinh ke vói x tùy ý
khơng nho hơn kn + 1 nên so đinh khơng ke vói x se khơng vưot q n. Boi v¾y,
moi đinh y ke vói x thì nó ke vói nhieu nhat n đinh khơng ke vói đinh x. Do đó đinh
y phai ke vói ít nhat kn + 1 − n = (k − 1)n + 1 đinh ke vói đinh x. Xét đo th%
con G1 gom các đinh ke vói x. Đo th% con G1 có ít nhat kn + 1 đinh và moi đinh
cna nó ke ít nhat (k − 1)n + 1 đinh thu®c G1, nên theo gia thiet quy nap, trong G1
có đo th% con đay đn G2 gom k + 1 đinh. Vì đinh x ke vói tùng đinh thu®c G2 nờn
inh x ket hop vúi cỏc inh thuđc G2 lắp thành m®t đo th% con đay đn gom k + 2
đinh trong đo th% G.


1.3

Xích, chu trình, đưàng, vịng

Đoi vói đo th% (đa đo th%) vơ hưóng có khái ni¾m xích (dây chuyen) và chu
trình, cịn đoi vói đo th% (đa đo th%) có hưóng ton tai khái ni¾m đưịng và vịng.
Tuy v¾y ta van thưịng dùng khái ni¾m đưịng cho ca đo th% và đa đo th% vơ
hưóng.
1. Xích, chu trình.
Gia su G(X, E) là m®t đo th% hay đa đo th% vơ hưóng, dãy α các đinh
cna G(X, E), α = [x1 , x2 , ..., xi , xi+1 , ..., xn−1 , xn ] đưoc GQi là m®t xích hay m®t
dây chuyen neu ∀i(1 ≤ i ≤ n − 1) c¾p đinh xi , xi+1 ke nhau.
Tőng so v% trí cna tat ca các canh xuat hi¾n trong xích α đưoc GQI là đ® dài cna
xích α, đong thịi đưoc kí hi¾u là |α|.
Các đinh x1 , xn đưoc GQI là hai đinh đau cna xích α. Ngồi ra cịn nói rang xích
α noi giua các đinh x1 và xn. Đe chi rõ đinh đau và đinh cuoi ta cịn kí hiắu bang
[x1, xn].

Mđt xớch cú hai au trựng nhau đưoc GQI là m®t chu trình.
Xích (chu trình) α, đưoc GQI là xích (chu trình) đơn (sơ cap hay cơ ban), neu nó
đi qua moi canh (moi đinh) khơng q m®t lan.

Trong hình (H11) có Y ZWXV UY là chu trình sơ cap đ® dài 6.

Trong hình (H12) có:
α = [x1, x2, x3, x7, x6, x5, x1] là chu trình đơn và sơ cap.
α = [x1, x4, x2, x6, x4, x5, x1] là chu trình đơn, nhưng khơng là chu trình sơ cap.


2. Đưàng, vòng.
Gia su G = (X, E) là đo th% hay đa đo th% có hưóng. Dãy đinh β cna
G = (X, E), β = [x1 , x2 , ..., xi , xi+1 , ..., xm−1 , xm ] đưoc GQI là m®t đưịng hay m®t
đưịng đi, neu ∀i(1 ≤ i ≤ m − 1) đinh xi là đinh đau, cịn xi+1 là đinh cuoi cna m®t
cung nào đó.
Tőng so v% trí cna tat ca các cung xuat hi¾n trong β đưoc GQI là đ® dài cna đưịng
β, đong thịi đưoc kí hi¾u bang |β|.
Đinh x1 đưoc GQI là đinh đau, còn xm là đinh cuoi cna đưòng β . Ngưịi ta nói
rang: Đưịng β xuat phát tù đinh x1 và đi tói đinh xm . Đưịng β cịn oc kớ hiắu
bang [x1 , xm ].
Mđt ũng cú inh đau và đinh cuoi trùng nhau đưoc GQI là m®t vòng.
Đưòng (vòng) đưoc GQI là đưòng (vòng) đơn (sơ cap hay cơ ban) neu nó đi qua
moi canh (moi đinh) khơng q m®t lan.

Trong hình (H13) có:
β1 = [x1, x2, x3, x6, x4, x5, x1] là vòng sơ cap.
β2 = [x1, x4, x2, x6, x4, x5, x1] là vòng đơn, nhưng không sơ cap.
β3 = [x1, x4, x2, x3, x6, x4, x2] là đưịng khơng đơn, khơng sơ cap.

3. M®t so tính chat.
Đ%nh lý 1.9. Trong m®t đo th% vơ hưáng vái n(n ≥ 3) đsnh và các đsnh đeu cú bắc
khụng nhú hn 2 luụn luụn ton tai mđt chu trình sơ cap.
Chúng minh. Vì đo th% là huu han, mà xích sơ cap qua m®t đinh khơng q m®t
lan, nên so xích sơ cap trong đo th% G = (X, E) l mđt so huu han. Boi vắy ln
ln xác đ%nh đưoc xích sơ cap có đ® dài cnc đai trong đo th% G = (X, E).
Gia su α = [x1, x2, ..., xk−1, xk] là m®t xích s cap cú đ di cnc ai. Do
bắc cna moi đinh khơng nho hơn 2, nên x1 phai ke vói m®t đinh y nào đó khác
vói x2.
Neu y khơng thu®c α, túc là khác vói các đinh xi (3 ≤ i ≤ k), thì xích sơ
cap αJ = [y, x1 , x2 , ..., xk−1 , xk ] có đ® dài |αJ | = |α| + 1 > |α|. Ta đã đi tói mâu
thuan vói tính chat đ® dài cnc ai cna . Boi vắy y phai thuđc , tỳc là y ≡ xi (3 ≤
i ≤ k) nên trong đo th% G = (X, E) có chu trình sơ cap β = [x1 , x2 , ..., xi , x1 ].
Đ%nh lý 1.10. Trong đo th% vô hưáng vái n(n ≥ 4) đsnh và các đsnh đeu có b¾c
khơng nhó hơn 3 ln ln ton tai m®t chu trình sơ cap có đ® dài chan.


Chúng minh. Gia su α là m®t trong nhung xích sơ cap có đ® dài cnc đai
α = [x1, x2, x3, ..., xi−1, xi, xi+1, ..., xj−1, xj, xj+1, ..., xk1, xk]
Vỡ cú đ di cnc ai, m bắc cna x1 không nho hơn 3, nên x1 phai ke vói
hai đinh khác thu®c α là xi(3 ≤ i ≤ k), xj(3 ≤ j ≤ k). Khi đó có hai chu trình sơ

cap:
α1 = [x1, x2, x3, ..., xi−1, xi, x1]
α2 = [x1, x2, x3, ..., xi−1, xi, x1, ..., xj−1, xj, x1]
Neu m®t trong hai chu trình α1, α2 có đ® dài chan, thì khang đ%nh đưoc

chúng minh.
Ngưoc lai, neu ca hai chu trình α1, α2 có đ® dài le. Khi đó xích α3 = [x1, x2, x3, ...,
xi−1, xi]

có đ® dài chan, cịn xích α4 = [xi, xi+1, ..., xj−1, xj, x1] có đ® dài le nên chu trình
α5 = [x1, xi, xi+1, ..., xj−1, xj, x1] có đ® dài chan. Khang đ%nh đưoc chúng minh.

1.4

Đo th% liên thông

1. Đ%nh nghĩa
Hai đinh x, y cna đo th% G = (X, E) đưoc GQI là c¾p đinh liên thơng, neu hoắc
giua x v y cú ớt nhat mđt xớch noi vúi nhau, hoắc ton tai ớt nhat mđt ũng đi tù x
sang y ho¾c tù y sang x.

Trong hình (H14) c¾p đinh A, B liên thơng.
Đo th% vơ hưóng G = (X, E) đưoc GQI là đo th% liên thơng, neu MQI c¾p đinh cna
nó đeu liên thơng.
Hình anh đo th% liên thơng:

Đo th% có hưóng G = (X, E) đưoc GQI là đo th% liên thông manh, neu MQI c¾p
đinh cna nó đeu liên thơng.
Hình anh đo th% liên thông manh:


Gia su a là đinh bat kì cna đo th% G = (X, E). Dùng Ca đe kí hi¾u t¾p con các
đinh cna G gom đinh a và tat ca các đinh liên thơng vói a trong đo th% G.
Đo th% con cna G có t¾p đinh là Ca đưoc GQI là m®t thành phan liên thơng cna
đo th% G.
Đinh x trong đo th% liên thông G đưoc GQI là điem khóp neu đo th% con G1 nh¾n
đưoc tù G bang cách bo đinh x là đo th% không liên thơng.
Điem khóp x mà nó đưoc noi vói moi thành phan liên thơng cna G1 bang đúng

m®t canh đưoc GQI là điem khóp đơn.
2. Tính chat
Đ%nh lý 1.11. Đo th% vô hưáng tùy ý vái n(n ≥ 2) đsnh, mà tőng b¾c cua hai đsnh
tùy ý khơng nhó hơn n, là đo th% liên thông.
Chúng minh. Gia su đo th% vơ hưóng G = (X, E) có n đinh (n ≥ 2). Vói MQI c¾p
đinh a, b cna đo th% đeu có m(a) + m(b) ≥ n (1) nhưng a, b khơng liên thơng. Khi
đó đo th% G ton tai hai thành phan liên thơng: G1 có chúa a và n1 đinh, G2 có
chúa b và n2 đinh. Vì G1 , G2 là các thành phan liên thông cna G nên n1 + n2 ≤ n.
Khi đó
m(a) + m(b) ≤ (n1 − 1) + (n2 − 1) = n1 + n2 − 2 ≤ n − 2 < n(2)

Như v¾y quan h¾ (1) và (2) mâu thuan nhau, nên đo th% G phai liên thơng. Khang
đ%nh đưoc chúng minh.
H¾ qua 2.1 Đo th%, mà b¾c cna moi đinh khơng nho hơn nua so đinh, là đo th
% liên thông.
Đ%nh lý 1.12. Neu đo th% có đúng hai đsnh b¾c lé thì, hai đsnh này phai liên thơng.
Chúng minh. Gia su đo th% G = (X, E) có đúng hai đinh b¾c le và hai đinh đó là a, b.
Gia su a, b khơng liên thơng vói nhau. Khi đó chúng phai thu®c hai thành phan
liên thơng khác nhau cna đo th% G. Chang han G1 chúa đinh a, còn G2 chúa đinh
b. B¾c cna đinh a trong G1 cũng là b¾c cna đinh a trong G, nên trong G1 đinh a
van là đinh b¾c le. Ta đi tói mâu thuan vói tính chat: So đinh b¾c le trong đo th% là
so chan. Boi v¾y a, b phai liên thơng.

1.5

Sac so và đo th% tơ màu

Trong phan này se trình bày ve các đo th% mà ho¾c t¾p đinh ho¾c t¾p canh cna
chúng đưoc tô bang tù hai màu tro lên.

1. Đ%nh nghĩa
Sac so cna đo th% là so màu ít nhat can dùng đe tô trên các đinh cna đo th%
(moi đinh m®t màu), sao cho hai đinh ke nhau (có canh noi vói nhau) tùy ý đưoc tơ
bang hai màu khác nhau.
Sac lóp là so màu ít nhat can dùng đe tô trên các canh cna đo th% (moi canh
m®t màu), sao cho hai canh ke nhau (có đinh chung) tùy ý đeu có màu khác nhau.
2. M®t so tính chat
Đ%nh lý 1.13. M®t chu trình đ® dài lé ln ln có sac so bang 3.
Chúng minh. Gia su a là m®t chu trình có đ® dài le tùy ý. Khi đó ton tai so tn nhiên
n đe |a| = 2n + 1.
Kí hi¾u các đinh cna a m®t cách trnc tiep bang x1, x2, ..., x2n, x2n+1. Ta se
chúng minh khang đ%nh trên bang quy nap theo n.
Vói n = 1 chu trình a gom 3 đinh x1, x2, x3. Do moi đinh xi(1 ≤ i ≤ 3) đeu ke
vói hai đinh cịn lai, nên ta phai dùng đúng 3 màu khác nhau thì mói đn tơ trên moi
đinh m®t màu đe hai đinh ke nhau tùy ý đeu có màu khác nhau.
Gia su khang đ%nh đã đúng vói n ≤ k, nghĩa là đoi vói chu trình a1 tùy ý vói đ®
dài 2n + 1(1 ≤ n ≤ k) đeu có sac so bang 3. Can phai chi ra rang vói n = k + 1
khang đ%nh van đúng, nghĩa là chu trình a tùy ý vói đ® dài 2(k + 1) + 1 cũng có
sac so bang 3.
Gia su a là chu trình đ® dài le tùy ý có đ® dài bang 2(k + 1) + 1 và có t¾p
đinh đưoc đánh so liên tiep là x1, x2, ..., xk, xk+1, x2k+2, x2k+3.

Noi đinh x1 vói đinh x2k+1 ta đưoc chu trình a1 vói đ® dài 2k + 1. Theo gia thiet
quy nap sac so cna a1 bang 3 đong thịi x1 và x2k+1 có màu khác nhau. Chang han
x1 đưoc tô màu M1 và x2k+1 đưoc tơ màu M2. Khi đó đe tơ màu đinh x2k+2 ta có the
dùng lai màu M1 và tơ đinh x2k+3 ta dùng lai màu M2. Nghĩa là không phai thêm màu
mói. V¾y sac so a bang 3 và khang đ%nh đưoc chúng minh.
3. Láp đo th% có chu trình tam giác cùng màu
Đe phuc vu cho vi¾c giai quyet m®t so bài tốn nào đó can xét nhung dãy so

đ¾c bi¾t và đưa ra nhung khang đ%nh thích hop, chang han, đe xây dnng lóp đo
th% có chu trình tam giác cùng màu ngưịi ta đưa ra các dãy so nguyên dương.

18


a1 = 2; a2 = 5; ...; an+1 = (n + 1)an + 1
u1 = 3; u2 = 6; ...; un+1 = (un − 1)n + 2

và có đ%nh lý sau:
Đ%nh lý 1.14. a) M®t đo th% đay đu vơ hưáng vái an + 1 đsnh, các canh đưac tô bang
n màu ln ln có chu trình tam giác cùng màu.
b) M®t đo th% đay đu vơ hưáng vái un+1 đsnh, các canh đưac tơ bang n màu ln
ln có chu trình tam giác cùng màu.
Chúng minh. a) Bang quy nap theo chi so n.
Vói n = 1 đo th% đay đn tương úng gom a1 + 1 = 2 + 1 = 3 inh lắp thnh
mđt chu trỡnh tam giác. Các canh cna đo th% này đưoc tô bang mđt mu nờn chu
trỡnh tam giỏc lắp nờn G1 cựng màu.
Gia su khang đ%nh đúng vói n = k, nghĩa là đo th% đay đn bat kì Gk gom ak + 1
đinh vói các canh đưoc tơ bang k màu đã có chu trình tam giác cùng màu. Can
chúng to khang đ%nh cũng đúng vói n = k + 1.
Xét đo th% đay đn tùy ý Gk+1 vói ak+1 + 1 đinh và các canh đưoc tô bang k + 1
màu.
Gia su P là m®t đinh tùy ý cna Gk+1 . Khi đó P đưoc noi vói ak+1 = (k + 1)ak
+ 1 đinh bang các canh đưoc tô boi không quá k + 1 màu, nên xuat phát tù P
phai có ít nhat ak + 1 canh đưoc tơ bang cùng m®t màu. Gia su màu này là màu
đo và các canh PA 1 , PA 2 , ..., PA a k , PA ak +1 đưoc tô bang màu đo. Có hai kha
năng xay ra:
Neu m®t trong các canh noi giua các đinh Ai, Aj(1 ≤ i, j ≤ ak + 1) đưoc tô màu
đo, chang han canh (A1, A2) màu đo. Khi đó chu trình tam giác A 1 PA 2 màu đo nên

đo th% Gk+1 có chu trình tam giác màu đo.
Neu khơng có canh nào trong các canh Ai, Aj(1 ≤ i, j ≤ ak + 1) đưoc tơ màu
đo, thì khi đó đo th% con đay đn Gk vói t¾p đinh A1, A2, ..., Aak , Aak+1 có các canh
đưoc tơ bang k màu, nên theo gia thiet quy nap đo th% Gk có chu trình tam giác
cùng màu. Boi v¾y đo th% Gk+1 có chu trình tam giác cùng màu.
Khang đ%nh đưoc chúng minh. b) Chúng minh tương tn.

1.6

So on đ%nh trong, so on đ%nh ngồi

1. So on đ%nh trong
+ Đ%nh nghĩa t¾p őn đ%nh trong.
Gia su có đo th% G = (X, E). T¾p con A ⊆ X các đinh cna đo th% G đưoc GQI là
t¾p őn đ%nh trong, neu MQI đinh thu®c A đeu khơng ke nhau (khơng có canh ho¾c
cung noi vói nhau).
T¾p con B ⊆ X các đinh cna đo th% G đưoc gQI là t¾p őn đ%nh trong cnc đai, neu
B là t¾p őn đ%nh trong và neu thêm vào B m®t đinh tùy ý x ∈ X , thì t¾p con nh¾n
đưoc B ∪ {x} se không őn đ%nh trong.

19


+ Tính chat t¾p őn đ%nh trong.
Neu A là t¾p őn đ%nh trong, thì MQI t¾p con cna A đeu phai őn đ%nh trong.
+ So őn đ%nh trong.
So phan tu cna mđt trong nhung tắp n %nh trong cú lnc lưong lón nhat đưoc
GQI là so őn đ%nh trong cna đo th% G, đong thịi đưoc kí hi¾u là α(G).

Trong hình (H18) có:

a) Các t¾p őn đ%nh trong.
- Vì đo th% khụng cú khuyờn, nờn moi inh lắp thnh mđt t¾p őn đ%nh trong:
M1 = {x1}, M2 = {x2}, M3 = {x3}, M4 = {x4}, M5 = {x5}, M6 = {x6}, M7 = {x7}.
- Các t¾p őn đ%nh trong bao gom hai đinh: M8 = {x1, x3}, M9 = {x1, x4}, M10 =
{x1, x6}, M11 = {x2, x5}, M12 = {x2, x7}, M13 = {x3, x5}, M14 = {x3, x6}, M15 = {x3,
x7}, M16 =
{x4, x7}, M17 = {x5, x6}.
- Các t¾p őn đ%nh trong gom ba đinh: M18 = {x1, x3, x6}. Đây cũng là t¾p

őn đ%nh có lnc lưong lón nhat, nên so phan tu cna nó chính là so őn đ%nh
trong.
b) So őn đ%nh trong α(G) = |{x1, x3, x6}| = 3.
2. So on đ%nh ngoài
+ Đ%nh nghĩa t¾p őn đ%nh ngồi.
T¾p con B ⊆ X các đinh cna đo th% G đưoc GQI là t¾p őn %nh ngoi, neu vúi MQI
inh x thuđc tắp (X B) đeu ton tai đinh y ∈ B đe ho¾c tù x sang y có cung
ho¾c c¾p đinh x, y oc noi bang mđt canh.
+ Tớnh chat cua tắp n đ%nh ngồi.
Neu B là t¾p őn đ%nh ngồi, thì MQI t¾p chúa B đeu őn đ%nh ngồi.
+ So őn đ%nh ngoi.
So phan tu cna mđt trong nhung tắp n %nh ngồi có lnc lưong bé nhat đưoc
GQI là so őn đ%nh ngồi cna đo th% G đong thịi kí hi¾u bang β(B).
Trong hình H18 có:
- Các t¾p őn đ%nh ngồi gom 1 đinh: Khơng có.
- T¾p őn đ%nh ngồi gom 2 đinh chang han N = {x1, x4}.


- So őn đ%nh ngoài β(G) = |{x1, x4}| = 2.

1.7

Nhân cua đo th% và Éng dnng vào trò chơi

1. Đ%nh nghĩa
Gia su có đo th% G = (X, U ). T¾p đinh S ⊆ X đưoc GQI là nhân cna đo th% G
neu nó vùa là t¾p őn đ%nh trong lai vùa là t¾p őn đ%nh ngồi.

Trong hình (H19) có hai nhân {A1, A3} và {A2, A4}.
Trong hình (H20) khơng có nhân vì t¾p őn đ%nh trong chi gom 1 đinh, cịn các
t¾p őn đ%nh ngồi phai gom ít nhat hai đinh.
2. Tính chat
Đ%nh lý 1.15. Neu đo th% có so őn đ%nh trong nhó hơn so őn đ%nh ngồi thì nó khơng
có nhân.
Chúng minh. Gia su đo th% G = (X, U ) có α(G) < β(G)(1) nhưng G lai có nhân và S
là m®t trong nhung nhân cna G. Khi đó theo đ%nh nghĩa ta có:
α(G) = max{|A|, A ∈ H(G)} ≥ min{|B|, B ∈ K(G)} = β(G) (2)
Trong đó H(G) là t¾p gom các t¾p đinh őn đ%nh trong, cịn K(G) là t¾p gom
các t¾p őn đ%nh ngoài cna đo th% G.
So sánh (1) và (2) đi tói mâu thuan nên G khơng the có nhân. Đ%nh lý đưoc
chúng minh.
Đ%nh lý 1.16. Neu S là nhân cua đo th% G = (X, U ), thì nó cũng là t¾p őn đ%nh
trong cnc đai.
Chúng minh. Gia su S là nhân cna đo th% G và x là inh tựy ý khụng phu thuđc vo
S. Xột tắp S ∪ {x}, vì S là nhân và x ƒ∈ S nên ∃y ∈ S đe x, y đưoc noi vói nhau
bang mđt canh hoắc tự x sang y cú cung. Boi v¾y t¾p S ∪ {x} khơng őn đ%nh
trong nên S là t¾p őn đ%nh cnc đai.
Đ%nh lý 1.17. Trong đo th% vơ hưáng khơng có khun MQI t¾p őn đ%nh trong cnc đai
đeu là nhân.

Chúng minh. Gia su t¾p B là t¾p őn đ%nh trong cnc đai cna đo th% vơ hưóng G
= (X, E). Khi đó ∀x ∈ (X − B) đeu ∃y ∈ B đe x, y có canh noi vói nhau nên đong
thịi B cũng là t¾p őn đ%nh ngồi. Đ%nh lý đưoc chúng minh.
H¾ qua 2.1 MQI đo th% vơ hưóng khơng có khun đeu có nhân.
Chúng minh. Th¾t v¾y, gia su đo th% G = (X, U ) là đo th% vơ hưóng khơng có
khun. Khi đó moi đinh eu lắp thnh mđt tắp n %nh trong. Xuat phỏt tù đinh
tùy ý x0 , đ¾t S0 = {x0 }, sau đó cHQN đinh tùy ý x1 ƒ∈ D(x0 ) và đ¾t S1 = S0 ∪ {x1 }
= {x0 , x1 }. Tiep theo, cHQN đinh tùy ý x2 ƒ∈ D(S1 ) và thnc hi¾n tương tn như
trên. Vì đo th% G là huu han nên sóm mu®n q trình trên se dùng lai, túc là có
n so tn nhiên đe D(Sn ) = X − Sn . Vói cách cHQN này Sn là t¾p őn đ%nh trong cnc
đai nên nó là nhân cna đo th% G.
3. Trị chơi Nim
Giua hai đoi thn, đưoc kí hi¾u là A và B, có m®t đo th% G = (X, E) cho phép
xác đ%nh m®t trị chơi nào đó. Trong trị chơi này moi the là m®t đinh cna đo th%.
Khoi đau là x0 đưoc cHQN bang cách gap thăm và các đau thn lan lưot đi: Đau
tiên đoi thn A cHQN đinh x1 trong t¾p D(x0 ) ∪ D+ (x0 ), sau đó đau thn B cHQN đinh x2
trong t¾p D(x1 )∪D+ (x1 ), tiep theo đau thn A cHQN đinh x3 trong tắp D(x2 )D+ (x2 ),...
Neu mđt trong hai au thn cHQN đưoc đinh xk mà D(xk ) ∪ D+ (xk ) = ∅ thì ván đó ket
thúc. Đau thn nào cHQN đưoc đinh cuoi cùng thì thang cu®c và đau thn kia thua cu®c.
Đ%nh lý 1.18. Neu đo th% G = (X, E) có nhân S và neu m®t đau thu đã CHQN
đưac m®t đsnh trong nhân S thì vi¾c CHQN này đam bao cho đau thu đó thang ho¾c
hịa.
Chúng minh. Th¾t v¾y, neu đau thn A cHQN đưoc đinh x1 ∈ S , thì ho¾c
D(x0 ) ∪ D+ (x0 ) = ∅. Khi đó A thang cu®c. Neu D(x1 ) ∪ D+ (x1 ) ƒ= ∅, thì đoi
phương B bu®c phai cHQN đinh x2 ∈ (S − X). Khi đó đoi thn A lai có the cHQN x3
∈ S và cú như the mãi.
Vì đo th% G có huu han đinh, nên đen m®t lúc nào đó m®t trong hai đau thn bang
cách cHQN đưoc đinh xk ∈ S , mà D(xk ) ∪ D+ (xk ) = ∅. Theo cách cHQN trên đau thn A
đen lưot cHQN xk , nên chính A là ngưịi thang cu®c.
4. Trị chi boc cỏc vắt

A. Trũ chi.
Trờn bn cú mđt ong gom m v¾t. Hai đoi thn A và B thnc hi¾n trị boc các v¾t
theo ngun tac:
1) Ngưịi đi đau xác đ%nh ngau nhiên (bang cách boc thăm ho¾c gieo đong tien).
2) Vói k(1 ≤ k < m) moi ngưịi en lot mỡnh phai boc ớt nhat mđt vắt v
khụng đưoc boc q k v¾t.
3) Ngưịi boc đưoc v¾t cuoi cùng thang (thua) cu®c.


Khi tham gia cu®c chơi moi ngưịi đeu phai tìm cách thnc hi¾n đe chien thang.
Moi bưóc chơi đeu có vai trị quyet đ%nh cna nó. Song bưóc 1 có ý nghĩa
quyet đ%nh hơn ca.
Boi the ngưịi đi đau có phan chn đng hn. Neu ngũi i au cú thuắt tốn
chơi đúng, thì nhat đ%nh se chien thang. Boi v¾y can đưa ra thu¾t tốn đúng cho
ngưịi chơi đau.
B. Thu¾t toán chơi dEa vào nhân cua đo th%.
a. Trưàng hap boc ac vắt cuoi cựng thang cuđc.
1) Xõy dnng o th% xác đ%nh trò chơi: Can xác đ%nh đinh và cung cna đo th%.
Đsnh: Tương úng đinh lay m+1 điem vói so lưong v¾t the có the là 0, 1, 2, 3, ...,
m−
1, m. Dùng ngay so lưong v¾t đe ghi trên các điem tương úng.

Cung:
a) Đoi vói moi đinh x ≥ k có cung đi tói tùng đinh thu®c t¾p
D+(x) = {x − 1, x − 2, ..., x − k + 1, x − k}
b) Đoi vói moi đinh y(1 ≤ y ≤ k) có cung đi tói tựng inh thuđc tắp
D+(y) = {1, 2,. , y 1}

2) Xỏc %nh nhõn o th%.

m

Vỡ tựng cắp inh thuđc t¾p M = {0, k + 1, 2(k + 1), ...,
(k + 1)} khơng
k
+
Σ
i
1(k + 1), nên t¾p M là
ke nhau và moi đinh i ƒ∈ M đeu có cung đi tói đinh Σ
Σ
nhân
k+
1

đo th% G.
3) Thu¾t tốn.

Σ

Gia su A là ngưịi đưoc đi đau. Khi đó A boc m
cung .m, Σ

m

Σ(k + 1)Σ đe đat đinh Σ

m

m

Σ−

(k + 1) v¾t, túc đi theo
k+
1∈M.
Σ(k + 1)

+
k+
Đen lưotk mình,
Σgia suΣB boc t(1 ≤ 1t ≤ k) v¾t. T.iΣep theΣo A boc k +Σ1 − t vΣ¾t,
1
m
m
m
xuat phát tù đinh k + (k + 1) − t đi theo
k + (k + 1)
k + (k +
1)
− t,
Σ
Σ
cung
1
1
1
túc lΣà

∈
m

đe đen đinh k + 1 (k + 1) M
Cú tiep tuc như v¾y đau thn B chi có the đat đưoc đinh ngồi nhân M , còn đau
thn A lan lưot
Σ đat các
Σ đinh.Σ
Σ
m Σ
m
(k + 1),
− 1 (k + 1)....
k+
k+
1
Cuoi cùng A đat đinh 0, túc 1là A boc đưoc v¾t cuoi cùng nên thang cu®c.
Ví dn 4.1: Trên bàn có m®t đong bi gom 14 viên. Hai emA, B thnc hi¾n trị chơi

boc bi theo nguyên tac sau:
1) Ngưòi đi đau xác đ%nh bang gieo đong tien.
2) Moi ngưòi đen lưot phai boc ít nhat 1 viên và khơng boc q 3 viên.
3) Ai boc đưoc viên bi cuoi cùng thì ngưịi đó thang cu®c.


Neu A đưoc đi đau thì em phai có cách boc như the nào đe đam bao thang
cu®c, túc là boc đưoc viên bi cuoi cùng?
Giai
1) Xây dnng đo th% G xác đ%nh trị chơi.

T¾p M = {0, 4, 8, 12} l mđt trong nhung nhõn cna o th%.
1) Thuắt tốn:
Vói tư cách ngưịi đi đau, đe đam bao chien thang, thì A phai boc 2 viên bi, túc
xuat phát tù đinh 14 đi theo cung (14, 12) đe đat đinh 12 thu®c M .
Đen lưot mình, chang han B boc 3 viên, túc là xuat phát tù đinh 12 đi theo cung
(12, 9) đe đat đưoc đinh 9. Khi đó đen lưot mình, A boc 1 viên đe đat đưoc đinh 8
thu®c nhân M .
Đen lưot mình chang han B boc 2 viên, đe đat đinh 6, khi đó A boc 2 đe đat tói
đinh 4.
Đen lưot mình chang han B boc 1 viên đe đat tói đinh 3. Đen lưot mình A boc 3
viên và thang cu®c.
b. Trưàng hap boc ac vắt cuoi cựng thua cuđc.
oi vúi trũng hop boc oc vắt cuoi cựng thua cuđc van cú cách giai quyet


tương tn bang đo th%.
1) Xây dnng đo th% xác đ%nh trị chơi.
Đsnh : Lay m điem trên m¾t phang ho¾c trong khơng gian tương úng vói so
lưong v¾t có the là :0, 1, 2, ..., m − 1, m. Dùng ngay so lưong v¾t đe ghi các
điem tương úng.
Cung :
+ Đoi vói moi đinh x ≥ k có cung i túi tựng inh thuđc tắp
D+(x) = x 1, x − 2, ..., x − k + 1, x − k.
+ Đoi vói moi đinh y(1 ≤ y ≤ k) cú cung i túi tựng inh thuđc tắp
D+(y) = 0, 1, 2, ..., y − 1.
2) Xác đ%nh nhân o th%.

m

Vỡ tựng cắp inh thuđc tắp N = {1, k + 2, 2(k + 1) + 1, ...,

(k + 1) +
Σk + i
1 Σ
1} không ke nhau và moi đinh i ƒ∈ N đeu có cung đi tói đinh
Σ(k + 1) + 1,
nên t¾p N là
k+
nhân đo th% con khơng chúa đinh O.
3) Thu¾t tốn.

1

.Σ

Gia su A là ngưịi đưoc đi đau. Khi đó A boc m −
túc đi theo cung .m, Σ

m

m
km
+

Σ(k + 1) + 1Σ đe đat đinh Σ 1

Σ
Σ(k + 1) − 1 v¾t,
Σ(k + 1) + 1 ∈ N .

+ su B boc t(1 ≤ t ≤ k) v¾t.kTie

+ p theo A boc k + 1 − t v ¾t,
Đen lưot mìnhΣk, gia
Σ
Σ
Σ
1
1 . Σ
m
m
m
xuat phát tù đinh k + (k + 1)+ 1 −t đi theo
k + (k + 1)+ 1
k+ −
−t, (
cung
1
1
1
túcΣ là
m
1)(k + 1)Σ đe đen đinh .Σ k +Σ − 1Σ(k + 1) + 1 thu®c nhân N .
1 thn B chi có the đat đưoc đinh ngồi nhân N , cịn
Cú tiep tuc như v¾y đau
Σ
Σ
.Σ
Σ
m
m
Σ

đau thn A lan lưot đat các đinh
(k + 1) + 1,........
−1
k+
k+
(k + 1) + 1
Cuoi
cùng
A
1
1

đat đinh 1 thu®c N , túc sau khi đau thn A boc đưoc lan cuoi cùng trên bàn còn
đúng mđt vắt. Khi ú, en lot mỡnh au thn B phai boc vắt cuoi cựng, nờn thua
cuđc.
Vớ dn 4.2: Trờn bàn có m®t đong diêm gom 11 que, hai em A, B thnc hi¾n trị chơi
theo ngun tac sau:
a. Ngưịi đi đau xác đ%nh bang bóc thăm.
b. Moi ngưịi đen lưot phai boc ít nhat 1 que diêm và khơng đưoc boc quá 3
que diêm.
c. Ai phai boc que diêm cuoi cùng thì thua cu®c.
Neu A đưoc đi đau thì em phai boc diêm như the nào đe đam bao thang cu®c,
túc là khơng phai boc que diêm cuoi cùng.
Giai
1) Xây dnng đo th% G và xác đ%nh trò chơi.