Lý thuyết đồ thị với các bài toán phổ thông

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
———–

NGUYEN TH± MINH THƯƠNG

LÝ THUYET ĐO TH±
VéI CÁC BÀI TON PHO THễNG

LUắN VN THAC S KHOA HOC

H NđI 2015


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
———–

NGUYEN TH± MINH THƯƠNG

LÝ THUYET ĐO TH±
VéI CÁC BÀI TỐN PHO THƠNG

Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cap
Mã so: 60.46.01.13

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Ngưài hưáng dan khoa

HQC:

GS.TS Đ¾ng Huy Ruắn

H NđI 2015


Mnc lnc
Lài nói đau

3

1 Đai cương ve đo th%
1.1 Đ%nh nghĩa đo th% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 M®t so dang đo th% đ¾c bi¾t
. . . . . . . . . . . . . .
. .
1.3 B¾c cna đinh đo th% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 B¾c cna đinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Nua b¾c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 M®t so tính chat . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Xích, chu trình, đưịng, vịng . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Xích, chu trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Đưòng, vòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 M®t so tính chat . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Đo th% liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Đ%nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Tính chat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 So őn đ%nh trong, so őn đ%nh ngoài . . . . . . . . . . .
.
1.6.1 So őn đ%nh trong . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.2 So őn đ%nh ngoài. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Các thu¾t tốn tìm so őn đ%nh trong, so őn đ%nh
ngoài. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Nhân cna đo th% và úng dung vào trò chơi . . . . . . . .
1.7.1 Đ%nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Tính chat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Trò chơi Nim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.4 Trò chơi boc các v¾t . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Cây và bui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Đ%nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Đ¾c điem cna cây và bui . . . . . . . . . . . . . .

4
4
6

1

8
8
8
9
13
13
14
15
16
16
17
18

18
19
20
21
21
22
23
24
29
29
30


2 M®t so bài tốn đo th% cơ ban
33
2.1 Bài tốn ve đưịng đi.............................................................33
2.1.1 Đưịng đi Euler - Chu trình Euler...............................33
2.1.2 Đưịng đi Hamilton - Chu trình Hamilton................40
2.2 Bài tốn tơ màu đo th%........................................................ 43
2.2.1 Đ%nh nghĩa............................................................... 43
2.2.2 M®t so tính chat........................................................ 43
2.2.3 Thu¾t tốn tơ màu đinh............................................ 53
3 Úng dnng lý thuyet đo th% vào giai tốn pho thơng.
54
3.1 Quy trình giai bài tốn bang phương pháp đo th%...............54
3.1.1 Xây dnng đo th% G mơ ta các quan h¾....................54
3.1.2 Dna vào các ket qua cna lý thuyet đo th% ho¾c lý
lu¾n trnc tiep suy ra đáp án cna bài toán D.............54
3.2 Bài toán ve đinh - canh cna đo th%......................................55
3.3 Bài tốn ve xích, chu trình, đưịng, vịng và tính liên thơng

cna đo th%............................................................................58
3.4 Bài tốn ve tơ màu đo th%.................................................... 63
3.5 Bài toán liên quan đen so őn đ%nh trong, so őn đ%nh ngồi.
74
3.6 Bài tốn liên quan đen đưịng đi...........................................76
3.6.1 Bài tốn tìm đưịng đi trong mê cung........................76
3.6.2 Bài tốn liên quan đen đưịng và chu trình Euler . 80
3.6.3 Bài tốn liên quan đen đưịng và chu trình Hamilton 82
3.7 Bài tốn liên quan đen cây.................................................... 84
Ket lu¾n

89

Tài li¾u tham khao

90


LèI NĨI ĐAU
Lý thuyet đo th% là m®t trong nhung ngành khoa HQc ra địi khá sóm.
Lý thuyet đo th% giúp mơ ta hình HQc và giai quyet nhieu bài tốn thnc
te phúc tap.
Khái ni¾m lý thuyet đo th% đưoc nhieu nh khoa HQc đc lắp nghiờn
cỳu v cú nhieu đóng góp trong lĩnh vnc tốn HQc úng dung.
Năm 2001, B® Giáo Duc và Đào Tao có quy đ%nh các chuyên đe
boi dưõng HQc sinh gioi thong nhat trên toàn quoc, trong đó có
chuyên đe lý thuyet đo th%. Như v¾y, vi¾c HQc chun đe Lý Thuyet Đo
Th% đoi vói HQc sinh khá và gioi đang là nhu cau thnc te trong day HQc
tốn o phő thơng. Tuy nhiên, vi¾c day HQc chun đe này cịn ton tai
m®t so khó khăn vì nhung lý do khác nhau. M®t trong các lý do đó là

sn mói me, đ®c đáo và khó cna chn đe kien thúc này.
Lu¾n văn "Lý thuyet đo th% vói các bài tốn phő thơng" đưa đen sn
sáng tao trong cách nhìn nh¾n bài tốn và l¾p lu¾n cách giai dưói
con mat cna lý thuyet đo th%.
Ngồi phan mo đau và ket lu¾n lu¾n văn gom 3
chương: Chương 1 Đai cương ve đo th%.
Chương 2 M®t so bài toán đo th% cơ ban.
Chương 3 Úng dung lý thuyet đo th% vào giai tốn phő thơng.
Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan, giúp đõ t¾n tình cna
GS.TS Đ¾ng Huy Ru¾n, tác gia xin bày to sn kính TRQNG và lịng biet ơn
sâu sac tói thay.
Tác gia cũng xin gui lòi cam ơn chân thành đen Ban giám hi¾u cùng các
thay cơ giáo khoa Tốn - Cơ - Tin, Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên
- Đai HQc Quoc Gia H Nđi ó tao ieu kiắn, day bao và dìu dat tác gia
trong nhung năm HQc vùa qua.
Xin chân thành cam ơn sn giúp đõ cna ban bè, ngưịi thân trong thịi
gian HQc t¾p và làm lu¾n văn.
Do kha năng nh¾n thúc cna ban thân tác gia, lu¾n văn cịn nhieu han
che, thieu sót. Tác gia kính mong các ý kien chi bao cna quý thay cô
cùng sn đóng góp cna các ban ĐQc.
Tác gia xin chân thành cam ơn!
Hà N®i, tháng 6 năm 2015


Chương 1
Đai cương ve đo th%
1.1

Đ%nh nghĩa đo th%

T¾p hop X ƒ= ∅ các đoi tưong và b® E các c¾p sap thú tn và
khơng sap thú tn các phan tu cna X đưoc GQI là m®t đo th%, đong thịi
đưoc ký hi¾u bang G(X, E) (ho¾c G = (X, E) ho¾c G(X)).

Hình 1.1: Ví di ve mơ hình đo th%

Các phan tu cna X đưoc GQI là các đinh. C¾p đinh khơng sap thú tn
đưoc GQI là canh, c¾p đinh sap thú tn đưoc GQI là canh có hưóng hay
cung.
Đo th% chi chúa các canh đưoc GQI là đo th% vơ hưóng, cịn đo th% chi
chúa các cung đưoc GQI là đo th% có hưóng. Neu đo th% chúa ca canh lan
cung thì nó đưoc HQI là đo th% hon hop hay o th% hon tap.
Mđt cắp inh cú the đưoc noi vói nhau bang hai ho¾c nhieu hơn hai
canh (hai hoắc nhieu hn hai cung cựng mđt húng). Các canh (cung)
này đưoc GQI là các canh (cung) b®i.
M®t cung (hay m®t canh) có the bat đau và ket thúc tai cùng m®t
đinh. Cung (canh) loai này đưoc GQI là khun hay nút.
C¾p đinh x,y đưoc noi vói nhau bang canh (cung) a và a đưoc GQI là
canh (cung) thu®c đinh x, đinh y.


Neu cung b xuat phát tù đinh u và đi vào đinh v thì u đưoc GQI là
đinh đau, v đưoc GQI là đinh cuoi cna cung b.
C¾p đinh x, y đưoc GQI là hai đinh ke nhau neu x ƒ= y và là hai
đau cna cùng m®t canh hay mđt cung.
+
banginh
ớt nhat
mđtD(x)
canh;

chi tắp
inhinh
m moi
inhnoi
oivúi
vúix MQI
x dựng
e Dchi(x)
tắpeinh,
m moi
ny

oc ny tù x có cung đi tói; D (x) đe chi t¾p đinh mà moi đinh này có
cung
đi tói x.
Hai canh (cung) a,b đưoc GQI là ke nhau, neu:
i) Chúng khác nhau.
ii) Chúng có đinh chung (neu a, b là cung, thì khơng phu thu®c vào
đinh chung đó là đinh đau hay đinh cuoi cna cung a, đinh đau hay đinh
cuoi cna cung b).
Ví dn 1.1. Cho đo th% hőn hap có khun G(X, E) vái t¾p đsnh

t¾p canh và cung

X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7},

E = {x1, x2; x2, x3; x4, x6; x5, x6; x3, x3; x1, x6; x5, x5}
= {a1

a2

a3

a4

a5

b1

b2},

trong đó a1, a2, a3, a4, a5 là các canh; b1, b2 là các cung.

Hình 1.2


1.2

Mđt so dang o th% ắc biắt

Trong nhung trũng hop khơng can phân bi¾t giua canh và cung ta
quy ưóc dùng canh thay cho ca cung.
Đo th% G = (X, E) khơng có khun và moi c¾p đinh đưoc noi
vói nhau bang khơng q m®t canh, đưoc GQI là đo th% đơn hay đơn đo
th% và thơng thưịng đưoc GQI là đo th%.
Đo th% G = (X, E) khơng có khuyờn v cú ớt nhat mđt cắp inh oc
noi vúi nhau bang tù hai canh tro lên đưoc GQI là đa đo th%.
Đo th% G = (X, E) đưoc GQI là vơ hưóng neu các canh trong
E là khơng đ%nh hưóng.
Đo th% G = (X, E) đưoc GQI là có hưóng neu các canh trong E là có

đ%nh hưóng.

Hình 1.3

Đo th% vơ hưóng (có hưóng) G = (X, E) đưoc GQI là đo th% đay
đn neu moi c¾p đinh đưoc noi vói nhau bang đúng m®t canh (m®t cung
vói chieu tùy ý).

Hình 1.4: Đo th% đay đi

Đa đo th% vơ hưóng (có hưóng) G = (X, E) đưoc GQI là đo th% k-đay
đn neu moi c¾p đinh đưoc noi vói nhau bang đúng k canh (k cung vói


chieu tùy ý).
X cna nó đưoc
t¾p con
X1 ,
X2 neu
(X1 t¾pXđinh
X2 phân
= ∅) thành
và moihaicanh
đeu rịi
có nhau
m®t đau
2 = X và X1
thu®c
Đo th% (đa đo th%) G = (X, E) đưoc gQI là đo th% (đa đo th%) hai
SX

mang
1 còn đau kia thu®c X2 .Khi đó G = (X, E) cịn đưoc ký
hi¾u bang
G = (X1 , X2, E).
T

Hình 1.5: Đo th% hai mang

Đo th% (đa đo th%) G = (X, E) đưoc gQI là đo th% (đa đo th%) phang,
neu nó có ít nhat m®t dang bieu dien hình HQc trai trờn mđt mắt phang
no ú, m cỏc canh cna đo th% chi cat nhau o đinh.
Đo th% (đa đo th%) G = (X, E) đưoc GQI là huu han, neu so đinh cna
nó huu han, túc t¾p X có lnc lưong huu han.
Đo th% (đa đo th%) G = (X, E) đưoc GQI là vô han, neu so đinh cna
nó là vơ han.
Đo th% (đa đo th%) vói so canh thu®c moi đinh đeu huu han đưoc GQI
là đo th% (đa đo th%) huu han đ%a phương.
M®t
đo X,
th%Y hay
đaH
đo⊆th%
huu
phương.
Cho
Y⊆
ƒ= ∅;
E, huu
F = han
E ∩ thì

(Y nó
× cũng
Y ) và
V =han
(X đ%a
× X)/E.
G1đo
(Y,th%
F )G(X,
đưocE).
GQI là đo th% con, cịn G2 (X, H) l o th%
bđ o
phắnth%cna
o th% GJ (X, V ) đưoc gQI là đo th% bù cna đo th% G(X, E).
Đo th% có hưóng G(X, E) đưoc GQi là đo th% đoi xúng neu
∀x, y ∈ X, (x, y) ∈ E ⇒ (y, x) ∈ E
Trong đo th% đoi xúng tùy ý, hai đinh ke nhau luôn luôn đưoc noi
bang hai cung ngưoc chieu nhau. Đe đơn gian, trong trưịng hop này
ngưịi ta quy ưóc thay hai cung nói trên bang m®t canh noi giua x và y.
Đo th% có hưóng G(X, E) đưoc GQi là đo th% phan đoi xúng neu
∀x, y ∈ X, (x, y) ∈ E ⇒ (y, x) ∈/ E


1.3
1.3.1

B¾c cua đinh đo th%
B¾c cua đinh

Gia su G = (X, E) là m®t đo th% hay đa đo th% cú húng hoắc khụng

cú húng. So canh v cung thuđc đinh x đưoc GQI là b¾c cna đinh x và
ký hi¾u bang m(x).
Đinh có b¾c bang 0 đưoc GQI là đinh bi¾t l¾p.
Đinh có b¾c bang 1 đưoc GQI là đinh treo.
Canh (cung) có ít nhat m®t đau là đinh treo đưoc GQI là canh (cung)
treo.

Hình 1.6

Ví dn 1.2. Trong hình 1.6 ta có:
m(1) = 2, m(2) = 2, m(3) = 3, m(4) = 3, m(5) = 3, m(6) = 1, m(7) = 0
Đsnh 6 là đsnh treo, đsnh 7 là đsnh cơ l¾p, g là canh treo.
1.3.2

NEa b¾c

Gia su G = (X, E) là m®t đo th% hay đa đo th% có hưóng. So cung đi
vào đinh x đưoc GQI là nua b¾c vào cna đinh x và ký hi¾u bang
mJ (x) ho¾c m− (x). So cung đi ra khoi đinh x đưoc GQI là nua b¾c ra
cna đinh
x và ký hi¾u bang mJJ(x) ho¾c m+(x).
bang
E+(x).
Kýđinh
hi¾u t¾p cung đi vàox đinh x bang E−(x),
cịn t¾p cung ra khoi


Hình 1.7

Ví dn 1.3. Trong hình 1.7 ta có:
J
J
J
J
J
J
JJ
JJ
JJ
JJ
m
1;2;
mJJ(1)
(1) =
= 1,
1, m
mJJ(2)
(2)=
=2,
1,m
m(3)
(3)==2,1,mm(4)
(4)==0,1,mm(5)
(5)==1,1,mm(6)
(6)==
E−(4) = {∅}, E+(4) = {g};

E − (6) = {f }, E + (6) = {e, d}.
1.3.3

M®t so tính chat

Đ%nh lí 1.3.1. Trong đo th% hay đa đo th% tùy ý, tőng so b¾c cua tat ca
các đsnh bao già cũng gap đơi so canh.
Chúng minh.
Th¾t v¾y, khi tính b¾c cna các đinh moi canh vơ hưóng h¾c có
hưóng đeu đưoc tính moi đau đúng m®t lan, do đó tőng so b¾c cna
tat ca các đinh bao giị cũng gap đơi so canh.
Đ%nh lí 1.3.2. Trong đo th% hay đa đo th% tùy ý, so đsnh b¾c lé ln luôn
là so chan.
Chúng minh.
Gia su đo th% (đa đo th%) G = (X, E) có n đinh, m canh
X = {x1, x2, ..., xk, xk+1, ..., xn−1, xn},

Các đinh x1, x2, ..., xk b¾c le và xk+1, ..., xn−1, xn b¾c chan.


Theo đ%nh lý 1.1 có đang thúc:
m(x1) + m(x2) + ... + m(xk) + m(xk+1) + ... + m(xn−1) + m(xn) = 2m
s
˛A¸
x s
˛B¸
x
Vì B là tőng cna các so chan nên B là so chan.
Do đó, A = 2m − B phai là so chan.
So chan A là tőng cna k so le, nên k phai chan.
Boi v¾y, so đinh b¾c le trong đo th% (đa đo th%) bat kỳ phai là m®t
so chan.

Đ%nh lí 1.3.3. Trong m®t đo th% vái n đsnh (n ≥ 2) có ít nhat hai đsnh
cùng b¾c.
Chúng minh.
Gia su G = (X, E) là đo th% tùy ý vói |X| = n ≥ 2. Xét hai kha
năng sau:
1) Neu đo th% có đinh b¾c 0 thì trong đo th% khơng có đinh nào ke
vói đinh này, nên moi đinh cna đo th% có b¾c là m®t trong n − 1 so
nguyên: 0, 1, 2, ..., n − 3, n − 2.
2) Neu đo th% có đinh b¾c n − 1 thì đo th% khơng cú inh bắc 0.
Boi vắy, bắc cna moi inh thuđc đo th% là m®t trong n − 1 so
nguyên: 1, 2, ..., n − 2, n − 1.
Tù ket qua trên ta nh¾n thay, đo th% G = (X, E) vói n đinh (n ≥ 2),
nhưng chi có khơng q n − 1 loai b¾c. Do đó, phai có ít nhat hai
đinh cùng b¾c.
Khang đ%nh đưoc chúng minh.
Đ%nh lí 1.3.4. Neu đo th% vái n đsnh (n ≥ 2) có đúng hai đsnh cùng b¾c,
thì hai đsnh này khơng the đong thài có b¾c 0 ho¾c b¾c n − 1.
Chúng minh.
Gia su x,y là hai đinh cùng b¾c cna đo th% G = (X, E) và đeu có
b¾c 0 ho¾c b¾c n − 1. Loai x, y và tat ca các canh thu®c chúng khoi
đo th%
G, ta đưoc đo th% con G1 có n − 2 đinh. Theo đ%nh lý 1.3 trong G1 có
hai đinh cùng b¾c, chang han u,v.
1) Neu x, y cùng b¾c 0, thì u,v trong G khơng ke vói x,y nên u,v
trong G đong thịi là hai đinh cùng b¾c. Như v¾y, đo th% G phai có ít
nhat hai c¾p đinh cùng b¾c.


2) Neu x, y đeu b¾c n− 1. Khi đó, moi đinh u, v đeu ke đong thịi
vói x, y nên trong đo th% G các đinh u, v cũng cùng b¾c. Như v¾y, đo

th% G phai có ít nhat hai c¾p đinh cùng b¾c.
Ca hai trưịng hop có the đeu dan tói mâu thuan vói tính chat: Đo th
% G cú duy nhat mđt cắp inh cựng bắc, nờn x, y khơng the cùng
b¾c 0 h¾c cùng b¾c n − 1 .
Khang đ%nh đưoc chúng minh.
Đ%nh lí 1.3.5. So đsnh b¾c n − 1 trong đo th% G vái n đsnh (n ≥ 4), mà
bon đsnh tùy ý có ít nhat m®t đsnh ke vái ba đsnh cịn lai, khơng nhó hơn
n − 3.
Chúng minh.
1) Neu G là đo th% đay đn, thì khang đ%nh là hien nhiên.
2) Neu G có c¾p đinh duy nhat khơng ke nhau. Khi đó, trong G có
n − 2 đinh b¾c n − 1
3) Neu G có hai c¾p đinh khơng ke nhau, thì chúng phai có đinh
chung.
Th¾t v¾y, giai su A, B; I, D là hai c¾p đinh khơng ke nhau. Neu hai
c¾p đinh này khơng có đinh chung, thì trong 4 đinh A, B, I, D khơng có
đinh nào ke vói ba đinh cịn lai.
Như v¾y, mâu thuan vói gia thiet, nên hai c¾p đinh A, B; I, D phai
có hai đinh trùng nhau, chang han B ≡ I.
Lay đinh C tùy ý khác vói A, B, D. Trong b® bon A, B, C, D đinh C
là đinh ke vói ca ba đinh A, B, D.
Loai D ra khoi b® bon và thay vào đó là đinh E tùy ý khác vói A, B,
C, D. Trong b® bon A, B, C, E ho¾c C ho¾c E phai ke vói ba đinh cịn
lai. Neu E ke vói ba đinh cịn lai, thì E cũng ke vói C. Do đó C ke vói
tat ca ba đinh A, B, E.
Do E là đinh tùy ý trong n − 4 đinh cịn lai (khác vói A, B, C) nên
C có b¾c n − 1
C là đinh tùy ý trong n − 3 đinh b¾c n − 1
Khang đ%nh đưoc chúng minh.
Đ%nh lí 1.3.6. Vái MQI so tn nhiên n (n > 2) luôn luôn ton tai đo th% n

đsnh, mà ba đsnh tùy ý cua đo th% đeu khơng cùng b¾c.
Chúng minh.

1) Vói n = 3 o th% G3 gom mđt inh bắc 0 v hai đinh b¾c 1.


2) Gia su khang đ%nh đúng vói đo th% Gn có n đinh. Đo th% Gn+1 có
n + 1 đinh đưoc xây dnng như sau:
n đinh x b¾c 0 và đưoc đo th% Gn+1 gom n + 1 đinh. Vi¾c
ghépvào
a. G
Neu
Gn có đinh b¾c n − 1, thì khơng có đinh b¾c 0, nên ta
ghép thêm đinh
x van bao tồn tính chat cna Gn (túc là, ba đinh bat
kỳ
đeu
khơng cùng b¾c). M¾t khác, đo th% Gn khơng có đinh b¾c 0, nên trong
Gn+1 ba đinh bat kỳ đeu không cùng b¾c.
b. Neu Gn khơng có đinh b¾c n − 1. Khi ú, tat ca cỏc inh cna Gn
v
vúi tựng
bangbắc
mđtcna
canh
oc
th% GGn+1trong
gom
n +noi
1 xinh.

inhinh
x cúthuđc
bắc G
n,n cũn
moi
inhothuđc
n
Gn+1 eu cú bắc khụng vot q n− 2. Thêm vào Gn đinh x (khơng
thu®c Gn)
đưoc tăng lên m®t đơn v%, nhưng đeu khơng vưot q n− 1 và trong b¾c
mói ba đinh bat kỳ cna Gn van khơng cùng b¾c.
Khang đ%nh đưoc chúng minh.
Đ%nh lí 1.3.7. Trong đo th% G = (X, E) vái ít nhat kn + 1 đsnh, mői
đsnh có b¾c khơng nhó hơn (k − 1)n + 1 luôn ton tai đo th% con đay đu
gom k + 1 đsnh.
Chúng minh.
Ta se chúng minh đ%nh lý bang phương pháp quy nap theo k.
1) Vói k = 1 khang đ%nh hien nhiên đúng.
2) Vói k = 2 có the làm ch¾t che hơn gia thiet. Neu đo th% 2n + 1
đinh mà moi đinh có b¾c khơng nho hơn n, thì nó có đo th% con 3
đinh đay đn.
Th¾t v¾y, xét đinh x tùy ý, cịn y là m®t trong các đinh ke vói x.
Tőng so đinh ke vói x và y khơng nho hơn 2n, nhưng so đinh khác x và
y chi là 2n − 1. Boi v¾y, phai có ít nhat m®t đinh z đưoc tính hai lan.
Khi đó, x, y, z tao thành m®t đo th% con đay đn ba đinh.
3) Gia su khang đ%nh trên đúng vói k. Can suy ra tính đúng đan
cna khang đ%nh đoi vói k + 1.
Theo gia thiet, thông đo th% G gom (k + 1)n + 1 đinh, so đinh ke
vói đinh x tùy ý không nho hơn kn + 1, nên so đinh khơng ke vói x
se khơng vưot q n. Boi v¾y, moi đinh y ke vói x thì nó ke vói nhieu

nhat n đinh khơng ke vói đinh x. Do đó, đinh y phai ke vói ít nhat
kn
1 − ke
n =vói
(k −
1 đinh
x. kn
Xét+đo
th% con
G1 gom
các+ đinh
x. 1)n
Đo +th%
con ke
G vói
có đinh
ít nhat
1 đinh
và moi
đinh
cna nó ke vói ít nhat (k − 1)n + 11 đinh thu®c G1, nên theo gia thiet
quy nap,


trong
G1 có đo
đay
2 gom k + 1 đinh. Vì đinh x ke vói tùng
đinh thu®c
G2,th%

nêncon
đinh
x đn
ket Ghop
vói các đinh thu®c G lắp thnh
mđt o th% con ay n gom k + 2 đinh thong đo th% G. 2
Khang đ%nh đưoc chúng minh.

1.4
1.4.1

Xích, chu trình, đưàng, vịng
Xích, chu trình

Gia su G(X, E) là m®t đo th% hay đa đo th% vơ hưóng:
Dãy α các đinh cna G(X, E):
α = [x1, x2, ..., xi, xi+1, ..., xn−1, xn]
đưoc

GQI

là m®t xích hay m®t dây chuyen, neu ∀i(1 ≤ i ≤ n − 1) c¾p

đinh xi, xi+1 ke nhau.
so v%
tríα,cna
ca |α|.
các canh xuat hi¾n trong xớch oc GQI l
đTng
di cna

xớch
ký tat
hiắu
inh cuoi
x1 , xnta đưoc
GQI là hai đinh đau cna xích α. Đe chi rừ inh
auCỏc
v inh
cũn ký
hiắu bang [x1, xn ].
Mđt xích có hai đau trùng nhau đưoc GQI là m®t chu trình.
Xích (chu trình) α đưoc GQI là xích (chu trình) đơn (sơ cap hay cơ
ban), neu nó đi qua moi canh (moi đinh) khơng q m®t lan.
Ví dn 1.4. Cho đo th%

Hình 1.8


α1 = [5, 1, 4, 2, 1] là m®t dây chuyen không sơ cap.
α2 = [1, 2, 3, 4] là m®t dây chuyen sơ cap.
α3 = [1, 5, 1] và α4 = [1, 2, 3, 4, 1] là các chu trình đơn và sơ cap.

α5 = [1, 2, 4, 3, 2, 1] là chu trình đơn nhưng khơng sơ cap.
1.4.2

Đưàng, vịng

Gia su G(X, E) là m®t đo th% hay đa đo th% có hưóng. Dãy đinh β
cna G(X, E) :

đưoc

GQI

β = [x1, x2, ..., xi, xi+1, ..., xm−1, xm]
là m®t đưịng hay m®t đưịng đi neu ∀i(1 ≤ i ≤ m − 1), đinh

xi là đinh đau, còn đinh xi+1 là đinh cuoi cna m®t cung nào đó.
so v% trí
tat ca|β|.
các cung xuat hi¾n trong β đưoc GQI là đo
dàiTőng
cna đưịng
β, cna
ký hi¾u:
x1 rang,
đưoc GQI
là đinh
đau phát
cịn xtù
m là đinh cuoi cna đưịng β. Ngưịi
ta Đinh
cịn nói
đưịng
β xuat
đinh x1 và đi tói xm . Đưịng β
cịn đưoc ký hi¾u bang β[x1, xm].
M®t đưịng có đinh đau và đinh cuoi trùng nhau đưoc GQI là m®t vịng.
Đưịng (vịng) β đưoc GQI là đưịng (vịng) đơn (sơ cap hay cơ ban),
neu nó đi qua moi canh (moi đinh) khơng q m®t lan.

Ví dn 1.5. Cho đo th% có hưáng (hình 1.9):
β1 = [1, 2, 4, 3, 5, 1] là m®t vịng đơn và sơ cap.
β2 = [1, 4, 3, 5] là m®t đưàng đơn và sơ cap.
β3 = [1, 4, 2, 5] không phai là đưàng.
β4 = [1, 2, 4, 3, 2, 5] là m®t đưàng đơn nhưng khơng sơ cap.
β
5 = [1, 4, 2, 5, 1, 2, 5] không phai là đưàng đơn và cũng không phai là
đưàng
sơ cap.

β6 = [1, 2, 4, 3, 2, 5, 1] là m®t vịng đơn nhưng khơng là vịng sơ cap.


Hình 1.9

1.4.3

M®t so tính chat

Đ%nh lí 1.4.1. Trong m®t đo th% vô hưáng vái n đsnh (n ≥ 3) và các
đsnh đeu có b¾c khơng nhó hơn 2 ln ton tai chu trình sơ cap.
Chúng minh.
Vì đo th% huu han, mà xích sơ cap qua tùng đinh khơng q m®t
lan nên so xích sơ cap trong đo th% G = (X, E) l mđt so huu han. Boi
vắy, luụn xỏc đ%nh đưoc xích sơ cap có đ® dài cnc đai trong đo th%
G = (X, E).
α=
1, x2, ..., xk−1, xk] l mđt trong nhung xớch s cap cú đ
diGia
cncsu

ai.
Do[xbắc
cna moi đinh khơng nho hơn 2, nên x1 phai ke vói
m®t
đinh
y
nào
đó
khác
vóixx,2.(3 ≤ i ≤ k), thì xích sơ cap
Neu y ∈/ α, túc là y ƒ=
i

α
= mâu
[y, x1thuan
, x2, ...,vói
xk−1
, xk ]chat
cú đ
di cnc
|J | ai
= cna
|| +
> vắy,
||. Ta
i túi
tớnh
đ dài
α.1Boi

y ∈đã
α
túc
y ≡ x , (3 ≤ i ≤ k), nên trong đo th% G = (X, E) có chu trình sơ cap
J

i

β = [x1, x2, ..., xi, x1]
Khang đ%nh đưoc chúng minh.
Đ%nh lí 1.4.2. Trong m®t đo th% vơ hưáng vái n đsnh (n ≥ 4) và các
đsnh đeu có b¾c khơng nhó hơn 3 ln ton tai chu trình sơ cap đ® dài
chan.


Chúng minh.
Gia su α là m®t trong nhung xích sơ cap có đ® dài cnc đai
α = [x1, x2, ..., xi−1, xi, xi+1, ..., xj−1, xj, xj+1, ..., xk−1, xk]
có đinh
đ® dài
cncthu®c
đai, mà
cna x1 khơng nho hơn 3, nên x1 phai
ke Vì
vóiαhai
khác
α: xb¾c
i, (3 ≤ i ≤ k), xj, (3 ≤ j ≤ k). Khi đó có
hai chu trình sơ cap:
α1 = [x1, x2, ..., xi−1, xi, x1]

α2 = [x1, x2, ..., xi−1, xi, xi+1, ..., xj−1, xj, x1]
1) đưoc
Neu m®t
trong
hai chu trình α1, α2 có đ® dài chan thì khang đ
%nh
chúng
minh.
ngưoc
lai,, xca, ...,
haixchu
trình α1, α2 đe có đ® dài le.
Khi2)đóNeu
xích:
α3 = [x
1
2
i−1, xi] có đ® dài chan,
cịn xích α4 = [xi, xi+1, ..., xj−1, xj, x1] có đ® dài le,
nên chu trình α5 = [x1, xi, xi+1, ..., xj−1, xj, x1] có đ® dài chan.
Khang đ%nh đưoc chúng minh.

1.5
1.5.1

Đo th% liên thông
Đ%nh nghĩa

Hai đinh x, y cna đo th% G = (X, E) đưoc GQI là c¾p đinh liên thụng
neu hoắc giua x v y cú ớt nhat mđt xớch noi vúi nhau , hoắc ton tai ớt

nhat mđt đưịng đi tù x sang y ho¾c tù y sang x.

Hình 1.10

Trong hình 1.10 c¾p đinh x,y là liên thơng
Đo th% vơ hưóng G = (X, E) đưoc GQI là đo th% liên thơng, neu MQI
c¾p đinh cna nó đeu liên thơng.
Đo th% có hưóng G = (X, E) đưoc GQI là đo th% liên thơng manh, neu
MQI c¾p đinh cna nó đeu liên thơng.


Gia su a là đinh bat kỳ cna đo th% G = (X, E). Dùng Ca đe ký hi¾u
t¾p con cna các đinh thu®c G, gom đinh a và tat ca các đinh liên
thơng vói a trong đo th% G.
Đo th% con cna G có t¾p đinh Ca đưoc GQI là m®t thành phan liên
thơng cna đo th% G
Các
con
thơng
3, G4
Ví dn đo
1.6. th%
Cho đo
th% G
G1,có G
bon
thành là
phanliên
liên thơng:
Đo th% con G2 liên thơng manh

Hình 1.11

1.5.2

Tính chat

Đ%nh lí 1.5.1. Đo th% vô hưáng tùy ý vái n đsnh (n ≥ 2), mà tőng b¾c
cua hai đsnh tùy ý khơng nhó hơn n là đo th% liên thông.
Chúng minh.
Gia su đo th% vơ hưóng G(X, E) có n đinh (n ≥ 2). Vói
a, b cna đo th% ta đeu có:
m(a) + m(b) ≥ n

MQI

c¾p đinh

(1)

Nhưng a, b khơng liên thơng. Khi đó trong đo th% G ton tai hai thành
phan liên thông:
G1 chúa a và có n1 đinh, cịn G2 chúa b và có n2 đinh.


đó

Vì G1, G2 là các thành phan liên thơng cna G nên n1 + n2 ≤ n Khi

m(a) + m(b) ≤ (n1 − 1) + (n2 − 1) = n1 + n2 − 2 ≤ n − 2 < n (2)

Như v¾y, (1) và (2) mâu thuan nhau, nên đo th% G phai liên thông.
Khang đ%nh đưoc chúng minh.
Tù đ%nh lý trên suy ra h¾ qua sau:
H¾ qua 1.5.1. Đo th%, mà b¾c cua mői đsnh khơng nhó hơn nua so đsnh,
là đo th% liên thơng.
Đ%nh lí 1.5.2. Neu đo th% có đúng hai đsnh b¾c lé, thì hai đsnh này phai
liên thơng.
Chúng minh.
Gia su đo th% G(X, E) có đúng hai đinh b¾c le và hai đinh đó là a và
b.
Gia su a, b khơng liên thơng vói nhau.
th%
G.chúng
Chang
han
G1 hai
chỳa
inh
a, liờn
cũn G2 khỏc
chỳa inhcna
b. o
KhiBắc
ú
phai
thuđc
thnh
phan
cna inh
a trong

G1 cng
chớnh
l bắcthụng
cna a trongnhau
G, nên trong
G
van thơng.
có b¾c le. Đieu này mâu thuan vói đ%nh lý 1.2. Boi v¾y
a,1bđinh
phaialiên
Khang đ%nh đưoc chúng minh.

1.6
1.6.1

So on đ%nh trong, so on đ%nh ngoài
So on đ%nh trong

1. T¾p on đ%nh trong
Gia su có đo th% G(X, E). T¾p con A ⊆ X các đinh cna đo th% G
đưoc GQI là t¾p őn đ%nh trong, neu MQI cắp inh thuđc A eu khụng ke
nhau (khụng cú canh ho¾c cung noi vói nhau).
T¾p con B ⊆ X các đinh cna đo th% G đưoc GQI là t¾p őn đ%nh trong
cnc đai, neu B là t¾p őn đ%nh trong và neu thêm vào B m®t đinh tùy ý
x ∈ X, thì t¾p con nh¾n đưoc B ∪ {x} se khơng őn đ%nh trong.
2. Tính chat
Neu A là t¾p őn đ%nh trong, thì MQI t¾p con cna A đeu phai őn đ%nh
trong.

3. So on đ%nh trong
So phan tu cna m®t trong nhung t¾p őn đ%nh trong có lnc lưong lón
nhat đưoc gQI là so őn đ%nh trong cna đo th% G, đong thịi đưoc ký hi¾u
bang α(G).
1.6.2

So on đ%nh ngồi

1. T¾p on đ%nh ngồi
Gia su có đo th% G(X, E). T¾p con B ⊆ X các đinh cna đo th
% G đưoc GQI là t¾p őn đ%nh ngồi, neu vói MQI inh x thuđc tắp
X\B eu ton tai inh y B, đe ho¾c tù x sang y có cung ho¾c cắp
inh x, y oc noi bang mđt canh.
2. Tớnh chat
Neu B là t¾p őn đ%nh ngồi, thì MQI t¾p chúa B đeu őn đ%nh ngoài.
3. So on đ%nh ngoài
So phan tu cna mđt trong nhung tắp n %nh ngoi cú lnc lưong bé
nhat đưoc gQI là so őn đ%nh ngoài cna đo th% G, đong thịi đưoc ký hi¾u
bang β(G).
Ví dn 1.7. Cho đo th% G như hình 1.12. Hãy tìm tat ca các t¾p őn đ%nh
trong,so őn đ%nh trong và so őn đ%nh ngồi cua đo th% G.
Các t¾p on đ%nh trong

Hình 1.12


- Vì đo th% khơng có khun, nên mői đsnh lắp thnh mđt tắp n %nh
trong:
M1 },
= {x

M2 },
= {x
2}, M3 = {x3}, M4 = {x4}, M5 =
M61},
=
M
5
6
7 = {x7}.
-{xCác
t¾p
őn{x
đ%nh
trong
gom 2 đsnh:
M8 = {x1, x3}, M9 = {x1, x4}, M10 = {x1, x6}, M11 = {x2, x5},
M},
12 = {x2, x7}, M13 = {x3, x5}, M14 = {x3, x6}, M15 = {x3,
Mt¾p
16 = {x4, x7}, M17 = {x5, x6}.
-x7Các
őn đ%nh trong gom 3 đsnh:
M18 = {x1, x3, x6}, M19 = {x3, x6, x5}.
So on đ%nh trong
Tatrong.
nh¾n Túc
thay M
18 = {x1, x3, x6}, M19 = {x3, x6, x5} là các t¾p őn đ
%nh
là,

α(G) = |{x1, x3, x6}| = |{x3, x6, x5}| =
3. trong có lnc lưang lán nhat, nên so
phan tu cua nú chớnh l so n
%nh
on %nh
-Cỏc
Tắptắp
n %nh
ngoingoi
mđt snh khụng có.
- T¾p őn đ%nh ngồi gom 2 đsnh, chang han N1 = {x1, x2}, N2 =
{x1, x4}.
So on đ%nh ngoài
β(G) = |{x1, x2}| = 2.
1.6.3 Các thu¾t tốn tìm so on đ%nh trong, so on đ%nh ngồi.
1.6.3.1. Thu¾t tốn tìm so on đ%nh trong.

- Bưóc 1: Tìm các t¾p őn đ%nh trong có 2 phan tu bang cách xét
tat ca tő hop ch¾p 2 cna n phan tu (n so các đinh), kiem tra nhung t¾p
nào mà phan tu tương úng khơng ke nhau thì t¾p đó là őn đ%nh
trong;
- Bưóc 2: Duy¾t tùng t¾p có 2 phan tu và bő sung thêm phan tu
thú 3 và kiem tra tùng c¾p như bưóc 1, t¾p nào thoa mãn ta đưoc
t¾p őn đ%nh trong 3 phan tu.
.........
- Bưóc k: Gia su ta đã tìm đưoc m t¾p con őn đ%nh trong có k+1
phan tu
+ Duy¾t tùng t¾p và bő sung vào các t¾p đó thêm 1 phan tu.
+ Neu khơng có t¾p nào bő sung đưoc nua thì dùng.

1.6.3.2. Thu¾t tốn tìm so on đ%nh ngồi.

Xét G(X, E) vói X = {x1, x2, ..., xn}
Bưóc
1: Xác đ%nh các t¾p ∆(x ), i = 1, 2, ..., n
vói- ∆(x
i) = {xi và các đinh ke vói xii}
- Bưóc 2: Tù các t¾p ∆(x1), ∆(x2), ..., ∆(xn) ta tìm t¾p B = {xk1, xk2, ...,
xkm}
saoKhi
cho
∪ ∆(x
∪ ... ∪
∆(xkm
) = tieu.
X.
đó∆(x
B k1
là) t¾p
őnk2)đ%nh
ngồi
cnc

1.7
1.7.1

Nhân cua đo th% và Éng dnng vào trị chơi
Đ%nh nghĩa

Gia su có đo th% G(X, U ). T¾p đinh S ⊆ X đưoc GQI là nhân cna
đo th% G, neu nó vùa là t¾p őn đ%nh trong lai vùa là t¾p őn đ%nh ngồi.
Do S là t¾p őn đ%nh trong nên nó khơng chúa khun. M¾t khác S
őn đ%nh ngồi nên nó phai chúa tat ca các đinh bi¾t l¾p và các đinh
khơng có cung đi ra.
Ví dn 1.8. Cho hai đo th% như hình 1.13.
Đo th% hình 1.13(a) có hai nhân là {1, 4} và {2, 3}
Đo th% hình 1.13(b) khơng có nhân vì các t¾p őn đ%nh trong chs gom
1 đsnh, cịn các t¾p őn đ%nh ngồi phai gom ít nhat hai đsnh.

Hình 1.13


1.7.2

Tính chat

Đ%nh lí 1.7.1. Neu đo th% G(X, U ) có so őn đ%nh trong nhó hơn so őn đ
%nh ngồi thì nó khơng có nhân.
Chúng minh.
Gia su trong đo th% G(X, U ),
α(G) < β(G)

(1)

nhưng lai có nhân và S là m®t trong nhung nhân cna đo th% G. Khi
đó, theo đ%nh nghĩa:
α(G) = max{|A|A ∈ H(G)} ≥ |S| ≥ min{|B|B ∈ K(G)} = β(G)

(2)

trong đó, H(G) là t¾p gom các t¾p őn đ%nh trong, cịn K(G) là t¾p
gom các t¾p őn đ%nh ngồi cna đo th% G.
So sánh (1) và (2) đi tói mâu thuan, nên G khơng the có nhân. Đ
%nh lý đưoc chúng minh.
Đ%nh lí 1.7.2. Neu S là nhân cua đo th% G(X, U ), thì nó cũng là t¾p őn đ
%nh trong cnc đai.
Chúng minh.
Gia su S là nhân cna đo th% G(X, U ) và x là đinh tùy ý khơng thu®c
S. Xét t¾p S ∪ {x}. Vì S là nhân và x ∈/ S, nên ∃y ∈ S, đe x, y đưoc
noi bang mđt canh hoắc tự x sang y cú cung. Boi v¾y, t¾p S ∪ {x}
khơng őn đ%nh trong, nên S là t¾p őn đ%nh trong cnc đai.
Đ%nh lý đưoc chúng minh.
Đ%nh lí 1.7.3. Trong đo th% vơ hưáng khơng có khun
trong cnc đai đeu là nhân.

MQI

t¾p őn đ%nh

Chúng minh.
Gia su B l mđt tắp n %nh trong cnc ai cna đo th% vơ hưóng
G(X, E). Khi đó ∀x ∈ (X\B) đeu ∃y ∈ B đe x, y có canh noi vói nhau,
nên B đong thịi là t¾p őn đ%nh ngồi.
Đ%nh lý đưoc chúng minh.
moisu
đinh
có canh
noi⊆
vóiA ítX.nhat

m®t
đinh
A. Cịn
D+mà
(A) Gia
có này
đo th%
G(X, E)
v
Dựng
D(A)
ethuđc
ký hiắu
tắp
inh, l tắp inh m moi inh ny có ít nhat m®t đinh thu®c A có
cung đi tói
nó. D−(A) là t¾p đinh mà moi đinh này có cung đi tói ít nhat m®t đinh
thu®c A.


H¾ qua 1.7.1. MQI đo th% vơ hưáng khơng có khun đeu có nhân.
Chúng minh.
Th¾t v¾y, gia su đo th% vơ hưóng G(X, E) là đo th% vơ hưóng
khơng có khuyờn. Khi ú moi inh eu lắp thnh mđt tắp őn đ%nh
trong.
Xuat phát tù đinh tùy ý x0. Đ¾t S0 = {x0 }, sau đó cHQN đinh tùy ý
x1 ∈/ D(x0 ) và đ¾t S1 = S0 ∪ {x1 } = {x0 , x1 }.
Tiep theo, cHQN đinh tùy ý x2 ∈/ D(S1)... Vì đo th% G huu han, nên
sóm hay mu®n q trình phai dùng lai, túc là có so tn nhiên n đe
D(Sn ) = X\Sn . Vói cách cHQN này Sn là t¾p őn đ%nh trong cnc đai, nên

theo đ%nh lý 1.16, nó là nhân cna đo th% G.
H¾ qua đưoc chúng minh.
1.7.3

Trị chơi Nim

Giua hai đau thn, oc ký hiắu l A v B, cú mđt đo th% G(X, E)
cho phép xác đ%nh m®t trị chơi nào đó. Trong trị chơi này moi the là
m®t đinh cna đo th%.
khoitiên
đauđau
x0 đưoc
gap thăm
và các
đau
+ thn lan
lưotĐinh
đi: Đau
thn AcHQN
cHQNbang
đinhcách
x1 trong
t¾p
D(x
0 ) ∪ D (x0 ); sau
+
đó đau thn B cHQN đinh x2 trong t¾p +D(x
)
∪
D

(x
);
tiep
theo
đau thn
1
1
A cHQN đinh x3 trong tắp D(x2 ) +D (x2),...Neu
mđt
trong hai au thn
cHQN đưoc đinh xk , mà D(xk ) ∪ D (xk ) = ∅, thì ván đó ket thúc. Đau
thn nào cHQN đưoc đinh cuoi cùng thì thang cu®c và đau thn kia thua
cuđc.
e ky niắm trũ tiờu khien quen thuđc mà Nim đã tőng qt
hóa, ngưịi ta GQI trị chơi mơ ta o trên là trị chơi Nim và dùng ngay
đo th% G(X, E) xác đ%nh nó đe ký hi¾u cho trị chơi này.
Đ%nh lí 1.7.4. Neu đo th% G(X, E) có nhân S và neu m®t đau thu
đã CHQN ac mđt snh trong nhõn S, thỡ viắc CHQN ny bao đam
cho đau thu đó thang ho¾c hịa.
Chúng minh.
Th¾t v¾y, neu đau thn A chQn đưoc đinh x1 ∈ S, thì ho¾c
+
+
D(x
1 ) ∪ D (x1 ) = ∅ túc l A thang cuđc, hoắc D(x1 ) D (x1 ) ƒ= ∅,
thì đoi
phương B bu®c phai cHQN đinh x2 ∈ (X − S). Khi đó đen lưot
mình đau thn A lai có the cHQN x3 ∈ S và cú như the mãi.