Điểm osculation của sóng rayleigh trong một số mô hình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------

DỖN THU HƢƠNG

ĐIỂM OSCULATION CỦA SĨNG RAYLEIGH
TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------

DỖN THU HƢƠNG

ĐIỂM OSCULATION CỦA SĨNG RAYLEIGH
TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH

Mã số: 60 44 01 07
Chun ngành: Cơ học vật thể rắn

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN THANH TUẤN

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo hướng dẫn
TS. Trần Thanh Tuấn, người đã giao đề tài và quan tâm, tận tình hướng dẫn em
trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới nhóm Seminar tại bộ mơn Cơ
học do PGS. TS Phạm Chí Vĩnh chủ trì, cùng tồn thể các thầy cơ giáo trong khoa
Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà
Nội đãdạy bảo, cung cấp kiến thức bổ ích cho em trong suốt q trình học tập và
nghiên cứu tại khoa.
Em xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên - Đại Học QuốcGia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi trong
quá trình thực hiện luận văn.
Nhân dịp này, em cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên, tạo điều kiện
cho em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.

Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2015
Học viên

Doãn Thu Hƣơng


Mục Lục

Mục Lục....................................................................................................................4
Lời mở đầu................................................................................................................5
Chương 1: Phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh truyền trong tấm đàn hồi
trực hướng.................................................................................................................7

1.1. Các phương trình truyền sóng cơ bản.............................................................7
1.2. Trường hợp tấm có hai mặt tự do....................................................................9
1.3. Trường hợp tấm có mặt trên tự do, mặt dưới bị ngàm...................................10
Chương 2. Các công thức xác định điểm tiếp xúc....................................................13
2.1. Trường hợp tấm có hai mặt tự do..................................................................13
2.2. Trường hợp tấm có mặt đáy bị ngàm.............................................................15
Trường hợp: C 2 − A 2
Trường hợp C 2

=0⇒ C2=A2

................................................................17

= 1 ≠ A 2...................................................................................................... 20

2.3. Tính trơn của đường cong phổ vận tốc tại điểm tiếp xúc...............................23
Chương 3. Trường hợp đẳng hướng và ví dụ minh họa số.......................................31
3.1. Tấm có hai biên tự do....................................................................................31
3.2. Trường hợp tấm có mặt trên tự do, mặt đáy ngàm.........................................33
3.3. Ví dụ minh họa số các tập nghiệm điểm tiếp
xúc

S 1, S

và

S................................... 35

2

3

Kết luận................................................................................................................... 39
Tài liệu tham khảo................................................................................................... 40
Các cơng trình khoa học đã công bố........................................................................41


Lời mở đầu
Phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh trong các mơ hình khác nhau
thường dẫn về một phương trình siêu việt dạng ẩn phụ thuộc vào hai biến là vận tốc
truyền sóng và tần số sóng cùng với các tham số vật liệu của mơ hình. Trong việc
giải số tìm nghiệm của phương trình tán sắc này, tần số sóng thường được cho trước
và vận tốc truyền sóng sẽ được tìm bằng các phương pháp số khác nhau. Nói chung,
với một giá trị tần số sóng, sẽ có nhiều nghiệm của vận tốc và các nghiệm vận tốc
này sẽ ứng với các mode truyền sóng khác nhau của sóng mặt Rayleigh. Khi các
nghiệm vận tốc truyền sóng được tìm với các giá trị khác nhau của tần số sóng thì
bức tranh miêu tả sự phụ thuộc của chúng được gọi là các đường cong phổ của các
mode truyền sóng. Thơng thường các đường cong phổ này nằm xen kẽ nhau. Tuy
nhiên trong một số trường hợp đặc biệt của giá trị tham số mơ hình, tồn tại các cặp
đường cong (ứng với các mode khác nhau) có vẻ như là tiến gần về nhau và “tiếp
xúc” với nhau. Các điểm tiếp xúc này là những điểm thuộc hai mode khác nhau của
bài tốn truyền sóng Rayleigh và chúng là những điểm tương ứng với các nghiệm
bội của phương trình tán sắc. Có nhiều thuật ngữ tiếng Anh cho điểm đặc biệt này
như là “osculation points” hay “avoided crossing points” và luận văn sẽ sử dụng
thuật ngữ “điểm tiếp xúc”.
Những điểm tiếp xúc như trên không những chỉ xuất hiện trong bài tốn
truyền sóng Rayleigh mà cịn xuất hiện trong nhiều bài toán thuộc các lĩnh vực khác
nhau như trong vật lý lượng tử, vật lý chất rắn, cơ học,... cùng với nhiều thuật ngữ
khác nhau (xem Kausel cùng các cộng sự, 2015, cùng với các tài liệu tham khảo của
bài báo). Nói chung những điểm tiếp xúc này là những nghiệm bội của bài toán giá

trị riêng tương ứng với các lĩnh vực ở trên, do đó chúng có một số tính chất đặc biệt.
Trong lĩnh vực địa chấn, cụ thể là trong phương pháp tỷ số H/V-là một phương pháp
liên quan đến sóng mặt Rayleigh, một tính chất đặc biệt của đường cong tỷ số H/V
được phát hiện tại điểm tiếp xúc này. Đó là tại điểm tiếp xúc, đường cong này sẽ có
một điểm cực đại chuyển thành một điểm không (xem Trần Thanh Tuấn, 2009). Do
điểm cực đại và điểm không là hai điểm quan trọng trong phương pháp tỷ số H/V
nên điểm tiếp xúc của tập đường cong phổ vận tốc của sóng mặt Rayleigh cần được
nghiên cứu.
Trong lĩnh vực địa chấn, mặc dù điểm tiếp xúc đã được quan sát thấy từ khá
lâu (ví dụ như trong Sezawa và Kanai, 1935) nhưng những cơng trình nghiên cứu lý
thuyết về các điểm này vẫn cịn khá ít. Theo Kausel và các cộng sự (2015) thì có thể
nói rằng điểm tiếp xúc trong lĩnh vực địa chấn được đề cập rõ ràng đầu tiên trong
một cuốn sách của Levshin (1973) và sau đó được đề cập và nhắc đến trong một số


cơng trình như của Forbriger (2006) và của Liu và các cộng sự (2009). Gần đây,
một số kết quả giải tích về điểm tiếp xúc của sóng Rayleigh trong một tấm đàn hồi,
cụ thể là các công thức xác định điểm tiếp xúc, đã được công bố trong Trần Thanh
Tuấn (2009) và được bổ sung trong Kausel và các cộng sự (2015). Tuy nhiên các
công thức này mới chỉ được tìm cho trường hợp tấm đàn hồi là đẳng hướng. Nội
dung chính của luận văn cao học này là đi tìm các cơng thức của điểm tiếp xúc của
sóng Rayleigh trong tấm với các điều kiện biên khác nhau khi tấm được làm từ vật
liệu trực hướng. Hơn nữa, tính chất trơn của phổ đường cong vận tốc tại các điểm
tiếp xúc cũng được khảo sát.
Luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận thì có 3 chương. Nội dung của
chương 1 là đi tìm phương trình tán sắc của sóng Rayleigh truyền trong tấm trong
trường hợp tấm có hai biên tự do và trường hợp tấm có một biên tự do và một biên
ngàm. Chương 2 sẽ khảo sát các phương trình tán sắc tìm được để đi tìm các công
thức xác định điểm tiếp xúc và khảo sát tính trơn của phổ đường cong vận tốc tại
các điểm tiếp xúc. Chương 3 sẽ trình bày các kết quả nhận được trong trường hợp

đẳng hướng và minh họa một vài kết quả ví dụ số.


Chƣơng 1: Phƣơng trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh truyền
trong tấm đàn hồi trực hƣớng
Chương này sẽ sử dụng phương pháp truyền thống để đi tìm phương trình tán sắc
của sóng mặt Rayleigh truyền trong tấm trực hướng. Đầu tiên, các phương trình
trạng thái và các phương trình chuyển động được trình bày lại theo các sách chuyên
khảo. Sau đó, tùy vào điều kiện biên của tấm, các phương trình tán sắc của sóng
Rayleigh sẽ được thiết lập. Các phương trình tán sắc này sẽ được sử dụng trong việc
nghiên cứu điểm tiếp xúc trong chương tiếp theo.
1.1. Các phƣơng trình truyền sóng cơ bản
Xét bài tốn một tấm trực hướng có độ dày là h và các thơng số vật liệu là
c1 1 , c1 2 , c 2 2 , c 6 . Sóng mặt Rayleigh được truyền trong mặt phẳng của tấm theo trục
0 x1

trùng với một hướng chính của tấm và tắt dần theo trục 0 x 2 vng góc với mặt
phẳng tấm. Trục O x nằm ở đáy tấm có phương trình x = 0 và do đó mặt trên của
1

tấm có phương trình x 2

2

= h

. Do bài tốn truyền sóng Rayleigh là biến dạng phẳng

nên trường chuyển dịch có dạng
u = u ( x , x , t ), ( i = 1, 2 ),

i

i

1

u 3( x ,1 x , t2 ) = 0 ,

2

(1.1)

trong đó t là thời gian. Mối liên hệ giữa ứng suất và chuyển dịch được cho bởi (ví
dụ xem Ting, 1996)
ο 1 1 = c1 1 u1 ,1 + c 1u2

2,2

σ 2 2 = c 1 2 u 1 ,1 + c u2 2 2 , 2

(1.2)

σ 1 2 = c 6 6 ( u1 , 2 + u 2 ,1

trong đó dấu phẩy chỉ đạo hàm theo biến không gian. Trong trường hợp không xét
đến trọng lực thì phương trình chuyển động của sóng Rayleigh có dạng
ο 1 1 ,1 +

12,2

ο 1 2 ,1 +

22,2

Giả sử sóng lan truyền theo phương

0 x1

= ρ
u1 ,

(1.3)

= ρ
u2 .

với vận tốc c và số sóng k , khi đó

các hàm chuyển dịch có thể được biểu diễn dưới dạng
u i= U ( xi ) e2 ik
2 ).

(1.4)
( x1  ct )

, (i = 1,


Thay dạng của các hàm chuyển dịch này vào phương trình chuyển động (1.3) sau
khi đã sử dụng phương trình trạng thái (1.2), ta thu được một hệ phương trình vi

phân chuyển động đối với U ( x ) . Giải hệ này ta có nghiệm tổng quát của các hàm
i

2

chuyển dịch có dạng (xem Phạm Chí Vĩnh và Ogden, 2004)
= B e k b1 x 2

u

1



1
4

u = α B e k b1 x 2 −
2

trong đó

B i(i = 1, 4 )

1

α



− kb 1 x 2

B 2e

kb 3 x 2

B 3e



− kb 3 x 2

Be

1

1

Be

− kb1 x 2

2

(1.5)

B e kb x −
3

+α

3

α

2

3

Be
3

− kb3 x 2

4

là các hằng số tích phân và b , b là nghiệm của phương trình
1

c 2 2 c 6 6 b 4 +  ( c1 2 + c 6 6 ) 2 + c

(
X
22

3

− c 6 6 )  b 2 + ( c1 1 − X )( c 6 6 − X ) = 0 (1.6)


−c)+c(X
11
6

6

với X = ρ c 2 . Chú ý rằng đây là một phương trình trùng phương của b và nói
chung là nó có bốn nghiệm phức ± b
1

2

2

3

b ,b

1

và ± b . b và b có thể thực hoặc phức và

3

1

3

là các căn chính của chúng. Nghĩa là, trong trường hợp

b 2 (i = 1, 3)

là phức,

i

b

i

được chọn là số phức có phần thực dương. Nếu b 2 là
số thực dương, b cũng
là số
i
i
thực dương và nếu b 2
i

là các số thuần ảo có phần ảo dương. Trong

là số thực âm,
b
i

phương trình (1.5), ta ký hiệu

=−i

k

β

α

= (U

k

2

(1.7)

/ U 1)k

với
b(c
k

12

βk = c
X

c )
66

k

− X c b

11

=
+

b2− c

22

c

66

66k

+ c

(c
12

2

)b
66

,(k

= 1, 3 ).

(1.8)

k

Sử dụng các đại lượng không thứ nguyên
e=
1

c1 1

c 66

,e
2

c 22
= c ,
66

e=
3

c1 2

,x=
c 66

X

(1.9)
c 66

khi đó phương trình (1.6) có dạng
e 2 b 4 +  ( e3 + 1) 2 + e 2 ( x − e1 ) + ( x − 1)  b 2 + ( e1 − x )(1 − x ) = 0



và (1.8) có dạng
b ( e + 1)

e − x −b2

(1.10)


k

3

β k = e b 2 − 1 + x=
2

k

1

k

( e + 1) b , ( k
3

k

= 1, 2 ).

(1.11)


Theo cơng thức Viet ta có:
( e + 1) 2 + e ( x − e ) + ( x − 1)

S ( x ) = b1 + b 3
2

(1.12)

2

2

1

,

e2

( e − x )(1 − x )

P(x)=b2⋅b2=
1

3

= −

1

3

.

e2

Các số hạng trong công thức của các hàm chuyển dịch trong (1.5) tương ứng
với bốn thành phần của sóng gồm hai sóng đi lên và hai sóng đi xuống của sóng qP
và qSV trong tấm.
Phương trình tán sắc để xác định vận tốc truyền sóng c phụ thuộc vào tần số sẽ
được xác định từ các điều kiện biên. Trong phần tiếp theo của chương này, hai
trường hợp biên của tấm sẽ được xem xét. Đó là trường hợp tấm có hai mặt biên tự
do và trường hợp tấm có mặt trên tự do và mặt dưới bị ngàm. Hai trường hợp này là
các trường hợp tới hạn của mơ hình tấm đặt trên bán không gian. Trường hợp đầu là
trường hợp tới hạn khi bán khơng gian có độ cứng rất nhỏ, và trường hợp sau là
trường hợp khi bán không gian có độ cứng rất lớn so với độ cứng của tấm.
1.2. Trƣờng hợp tấm có hai mặt tự do
Từ điều kiện tự do ứng suất tại mặt trên và mặt dưới của tấm ta có
ο
ο

(0)=σ
12
2

2

(h)= σ
12
2

2

(0)= 0

(1.13)

(h) =
0

Sử dụng các công thức của chuyển dịch (1.5) và ứng suất (1.2) vào các điều kiện
biên trên chúng ta thu được một hệ các phương trình đại số đối với các hằng số tích
phân B , B , B , B dưới dạng ma trận như sau:
(1.14)
1

2

3

4

M 1⋅ [B , 1B , B
, B3 ]T =4 0

2

trong đó ma trận M có dạng
1



c 6 6 b1



c α b

1
b1

22

 c



c 66
b3

α b

α b



c 6 6 b3



c α b

c

c
= 

M

c 66
b1

1 1

b eε
66

cα
22

1

be
b1

1 1

22

cbe
66

ε

1 1


− ε b1
1

cαbe
22

1 1

−ε
b1

22

3

3

3

3

3

ε b3
3

(1.15)

3

66 3

cαbe
22

3

c b e   b3 

cbe

b6 6

22

cαbe
22

3

− ε b3
3





với ε = kh . Để hệ phương trình trên có nghiệm khơng tầm thường thì định thức
tương ứng của ma trận phải bằng 0. Từ đó ta thu được phương trình tán sắc của
sóng mặt Rayleigh như sau
2

B2 +B
0
co sh ( ε b ) co sh ( ε b ) − 0
s in h ( ε b ) s in h ( ε ) = 1
b
1

3

1

2 B 0B 0

(1.16)

3

trong đó
0

2

B = b  ( S e + 2 e + x )(1 − x ) + e xb 
3 
2
3
2 

(1.17)

1

0

B = b1  ( S 2e + 2 e 3+ x )(1 − x ) + e xb2 



2
3

với S được biểu diễn trong (1.12).
Khi được biểu diễn thơng qua các tham số của tấm, phương trình tán sắc (1.16) có
dạng
co sh (ε b 1) co sh ( ε
b

)− B
3

s in h (ε b ) s in h (ε b )
1
3
=1
b1

(1.18)

b3

với
( S e + 2 e + x ) 2 (1 − x ) 2 S + e 2 x 2 P S + 4 e x ( S e + 2 e
B =

2

3

2
2

2

+ x )(1 − x ) P

2

3

( S e + 2 e + x ) 2 (1 − x ) 2 + e 2 x P + e x S ( S e + 2 e + x )(1 − x )
2

3

2

2

2

(1.19)

3

trong đó P và S được cho bởi phương trình (1.12).
1.3. Trƣờng hợp tấm có mặt trên tự do, mặt dƣới bị ngàm
Từ điều kiện tự do ứng suất tại mặt trên của tấm và điều kiện ngàm của mặt
dưới tấm ta có
u(0)=u(0)=0,
1

ο

(1.20)

2

(h)= σ
12

2

(h)= 0.

2

Tương tự như trường hợp hai biên tự do, sử dụng các công thức của chuyển dịch
(1.5) và ứng suất (1.2) vào các điều kiện biên trên chúng ta thu được một hệ các
phương trình đại số đối với các hằng số tích phân B , B , B , B dưới dạng ma trận
1

như sau:

4

2

3


(1.21)

M ⋅2 [B , 1B , B2 , B3 ]T =4 0

trong đó ma trận M có
dạng

2


1
1
1
1



α

−α

α

−
 α
M
= 

1
1
3
3

.
2

cb

 bc be
e

b

(1.
22
)
c
b
e



b
3




cα

66 1
66 1
66 3
663

c−
bα
bε

eε eb
b

cαε
be

cα− ε b3
be

1

1


22
22
22



K
hi đó
phươ
ng
trình
tán
sắc
của
sóng
mặt

Rayle
igh
trong
trườn
g hợp

22 1
1 1
3 3
3 3


tấm có đáy ngàm có
dạng

vật liệu của tấm,
phương trình tán
sắc (1.23) có dạng

A
co
sh
(ε
b)
co
sh
(ε
b)
−
C

s
in
h(

(
1
.1
2
3
)

1

3

3

s in h (ε b3 ) s in h (

1

(1.2
6)

A) − C
co1 sh (
3
=1

ε

b)
s
in
h(

ε

b)
=
1

trong đó ta sử dụng
các ký hiệu
A2+A

2

C2+C

2

(1
.2
4)

=
2
C0
C0

V

A = b2e + e +x,
C = b
b2e + e −e x ,

)

(
(1.25)

0
3
3
0
3
1
3

b1
b3

3

A = b2e + e +x,
b e + e −e x
2

C

).

Khi biểu diễn
thông qua các tham số

=0 b

(

1
3

2

3

0

1

3

2

3


với
A=A=

e2(S2−2P)+2e(e+x)S+2(e+x)2
2

2

3

3

2  e2P + e S(e + x) + (e + x)2
2

2
3
3

C=Cbb
1

e 2 P S + e 2 (1 − x ) 2 S + 4 e e (1 − x ) P
3

(1.27)

2
3
2 3
= 2  e 2 P + e e (1 − x ) S + e 2 (1 − x ) 2 
2

2
3
3



trong đó P và S được biểu diễn bởi (1.12).
Chú ý rằng, khi được biểu diễn dưới dạng (1.26), vế trái của phương trình tán
sắc sẽ ln ln có giá trị thực.


Chƣơng 2. Các công thức xác định điểm tiếp xúc
Phương trình tán sắc (1.16) và (1.23) của sóng Rayleigh truyền trong tấm là
phương trình dạng ẩn để xác định vận tốc như là một hàm của tần số. Về nguyên
tắc, để đi xác định điểm tiếp xúc ta cần tìm các giá trị của tần số sao cho các
phương trình trên có nghiệm kép. Trong luận văn này, một phương pháp tìm điểm
tiếp xúc dựa theo lý thuyết tia được trình bày trong bài báo của Tolstoy và Usdin
(1953) sẽ được áp dụng. Đầu tiên, các phương trình tán sắc (1.16) và (1.23) sẽ được
tách thành hai phương trình con biểu diễn các mode đối xứng và phản đối xứng
(theo thuật ngữ dùng trong bài báo của Tolstoy và Usdin, 1953) bằng một phép đổi
biến. Các điểm tiếp xúc sẽ được tìm bằng cách cho hai loại mode này có điểm
chung.
2.1. Trƣờng hợp tấm có hai mặt tự do
Đặt
εb

t1 = ta n h (

1

)vàt

= ta n h (
.

3

2

εb

3

(2.1)

)

2

Ta có các đẳng thức liên hệ của các hàm lượng giác sau
co sh ( ε b ) =
1
2

1+ t2
, co sh ( ε b ) =
1−t

1

3

,

3
2

1+ t2
2t
s in h ( ε b ) = 1 ,
s in h ( ε b ) = 3 .
1
3
1−t
1−t
2

1

3

1

2t

(2.2)

1−t

2

3

Thay các biểu thức này vào phương trình tán sắc (1.16) ta có
1+t21+t2

4tt

1
3
1 3
1 − t 2 1 − t 2 − B (1 − t 2 )(1 − t 2 ) = 1
1

3

1

(2.3)

3

trong đó ta ký hiệu
2

B2+B
B =

0

0

2 B 0B 0

(2.4)

.

Từ (2.3) ta có
(1 + t 2 )(1 + t 2 ) − 4 B t t = (1 − t 2 )(1 − t 2 )
1

3

1 3

⇒ t 2  (1 + t 2 ) + (1 − t 2 )  − 4


1
3
3
1
Bt t
⇒t2−(2Bt)t+t2
1

3

1

3

=0.

1

3

3

+  (1 + 3t 2 ) − (1 −3 t 2 ) 


= 0

(2.5)


Đây là một phương trình bậc hai đối với biến t 1và hai nghiệm của phương trình là
'
t 1= B t ± 3

(2.6)

với
∆ ' = B 2t 2 − t 2
3

3

= ( B 2 − 1)t
.

(2.7)

2
3

Dấu (+) trong phương trình (2.6)tương ứng với mode đối xứng, dấu (–) tương ứng
với mode phản đối xứng. Hai thuật ngữ này bắt nguồn từ thực tế rằng nghiệm của
nhánh (+) có chuyển dịch của chất điểm tại hai bề mặt của tấm đối xứng nhau, và
nghiệm của nhánh (-) có chuyển dịch phản đối xứng.
Những điểm tiếp xúc là những điểm mà tại đó hai mode đối xứng và phản đối
xứng gặp nhau. Từ điều kiện này và từ cách đặt ở trên ta có phương trình xác định
điểm tiếp xúc là
B2=1
 2
 3 = 0
t

∆ =0⇒
'

(2.8)

Với trường hợp t 23 = 0 . Đây là một trường hợp khơng có ý nghĩa vật lý nên ta
không xét đến.
Ta xét trường hợp B = 1 . Nghĩa là, hoặc
2

B=−1.

hoặc

B=1

Xét trường hợp B = 1 , ta có
B2+B
0

2

0

0

0

(2.9)

=B.

=2BB⇒B
0

0

Điều này dẫn đến phương trình tán sắc (1.16) có dạng

(2.10)

c o sh (ε b1 ) c o sh ( ε b3 ) − s in h ( ε b1 ) s in h ( ε b3 ) = 1 .

Từ đó suy ra b =1 b . Điều
này khơng có ý nghĩa vật lý do phương trình đặc trưng
3
của sóng truyền trong mơi trường tấm bị suy biến.
Xét trường hợp B = − 1 , tương tự như trên ta có :
B2+B
0

2
0

=−B.

=−2BB⇒B
0

0

0

0

(2.11)


Từ đó suy ra
(1 − x )  e3 2 − e2( e 1 − x )  + x




(2.12)

=0.

e(1
 x )( e  x 1)
2

Đây chính là phương trình tán sắc sóng Rayleigh truyền trong bán khơng gian có
tính chất vật liệu giống như của tấm (xem Pham Chi Vinh và Ogden, 2004).Phương
trình này ln có một nghiệm thực của x và đó là vận tốc sóng Rayleigh truyền
R

trong bán không gian và

xR < 1 .

trong tấm luôn luôn lớn hơn
nghiệm thực khác

xR

xR

Tuy nhiên, vận tốc truyền sóng của sóng Rayleigh
. Do đó nếu điểm tiếp xúc tồn tại thì nó sẽ là một

của phương trình (2.12), nếu tồn tại. Điều kiện của các tham

số của tấm để phương trình Rayleigh (2.12) tồn tại nhiều hơn một nghiệm thực là
phức tạp và có thể xem trong Phạm Chí Vĩnh và Ogden (2004).
Giả sử ta đã tìm được vận tốc truyền sóng x của
điểm tiếp xúc (nếu tồn tại).
a
Để tìm tần số tại điểm tiếp xúc ta sử dụng phương trình (2.6) và có t = − t .
1

này dẫn đến
iε b
iε b
1
2
tan (
) + tan (
)=0⇒
2
2
2

với

b−b=
1

iε b
2

iε b
1

− =kπ

2kπ
i ( b b )
1

và được lấy giá trị

S  2P

⇒ε=

2

x=x.

Điều

3

( k ∈ Z ) (2.13)

2

Chú ý rằng để nhận được

2

a

phương trình trên ta đã sử dụng đẳng thức tan h ( x ) = − i tan ( ix ).
2.2. Trƣờng hợp tấm có mặt đáy bị ngàm
Sử dụng các biểu thức trong (2.1) và (2.2), phương trình tán sắc (1.23) khi đó
được biểu diễn dưới dạng
A (1 + t 2 )(1 + t 2 ) − C ( 2 t )( 2 t ) = (1 − t 2 )(1 − t 2 )
1

3
3

1

3

1

(2.14)

⇒ t 2  1A (1 + t 2 )3 + (1 − t 2 )3  − 2 ( 2 C t3 ) t1 +  A (1 +3 t 2 ) − (1 −3 t 2 )  = 0 .





Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với t . Biệt thức ∆ '
này là

1

của phương trình


∆'= 4C2t2−
2
+2t2
 A 2 (1 + t 2 ) A

C2−
2
− (1 − t 2 ) 2 


)

(

=t4 1 −

(2

A2−1

) + (1 −


A2

) . (2.15)

3

3

3

3

3


Hai nghiệm t của
phương trình tán sắc này ứng với hai nhánh đối xứng và phản đối
1
xứng.
Phương trình tán sắc của nhánh đối xứng là:
2 Ct +  '
1

(2.16)

t = 3
A (1 + t3 2 ) + (1 − t 32 )

hoặc dưới dạng ẩn nó có dạng
 A (1 + t 2 ) + (1 − t 2 )  − 2 C t −'



3
3
3

= 0

(2.17)

hay
F(x,ε)− '(x,)

=0,

(2.18)

trong đó
F ( x , ε ) =  A ( x )(1 + t3 2 ) + (1 − t 32 )  1

 − 2 C ( x ) t3 .
t

Chú ý rằng các hàm t và
1
t

(2.19)

là các hàm phụ thuộc vào cả biến x và ε .
3

Phương trình tán sắc của nhánh phản đối xứng là
2 Ct −  '
1

t = 3
A (1 + t3 2 ) + (1 − t 32 )

(2.20)

hoặc được biểu diễn dưới dạng ẩn có dạng:
F (ε , x ) +  (  , x )

=0.

(2.21)

Đối với các tham số vật liệu của tấm (ei) được cho trước, các đường cong
nghiệm x (ε ) của phương trình tán sắc (1.23) là hợp của các đường cong nghiệm của
phương trình của hai nhánh đối xứng và phản đối xứng. Thông thường các đường
cong nghiệm của hai nhánh là không giao nhau. Trong một số giá trị đặc biệt của
tham số vật liệu của tấm, chúng có thể giao nhau và điều kiện cần để chúng gặp
nhau là
∆ ′(ε , x ) = 0

(2.22)


với

∆ ′( ε , x )

được xác định từ (2.15). Đây là phương trình bậc hai đối với t 2 có biệt
3

t

A =
A4
2

1

−2

(

C

1

)

)−

22
−

(

(2.

23
)

2

1

)
(
C
2

−

1
−

Tx và ε
ù mà
y, biệt
e

thức
trên có
giá trị
dương
, âm
hay
v bằng
à

o
i

t
h
u
ộ
c

g
i
á
t
r
ị
c
ủ
a
không
tương
ứng với
các
trường
hợp sau


đâ
y.

n

à
y
Tr
ư ,
ờ
n k
g h
h ơ
ợ n
p
g
1:
ph
ư c
ơn ó
g
trì đ
nh i
(2
ể
.2
2) m

đối xứng và mode phản đối xứng với mọi giá trị của tần
số sóng. Nghĩa là, điểm tiếp xúc khơng tồn tại.

kh
ơn
g
có

ng
hi
ệ
m.

Khi đó phương trình xác định điểm tiếp xúc (2.22) trở thành:

3

T
r
o
n
g
t
r
ư
ờ
n
g
h
ợ
p

g
i
a
o

Trường hợp 2: phương trình (2.22) có nghiệm kép.

Trong trường hợp∆này biệt thức
(2.23) bằng 0. Nghĩa là

′ của

1

(C

2

−1

)

(C

2

phương trình

(2.24)

− A
2

)=

0.

Ta xét các trường hợp sau:
Trƣờng hợp:

=0
⇒

C2−A2

C2=A2

(

∆ ′(ε , x ) = 1 −

)(t
−1) 2
A2

2

(2
.2
5)

=
0.

3

n

h
a
u
g
i
ữ
a
h
a
i
m
o
d
e

Do t 2 −
1≠0

∀ (ε
,x)

nên ta A 2 = 1 = C 2 . Từ biểu thức của A trong
có
(1.24), điều

kiện này trở thành
(A2+

2

2
A
)

A=A
A 22 − = 0 ⇒ 
A

=
4A2A
2
⇒

(2.2
6)

0
0

0

0
0
0
0
0

 A 0 = − A

0

1. Ta xét A = A suy ra b 2 e + e + x = b 2 e + e
+ x hay (b 2 − b 2 )e
0

0
1

1
2

2

3
2

2

2

=0.
3

Từ đó suy ra b 2 = b 2 . Đây là kết quả trong trường
hợp phương trình đặc
1

2

trưng (1.10) bị suy biến, do đó khơng có ý nghĩa vật lý.

2. Ta xét trường hợp A = − A , khi đó ta có
0

0


2

(2.27)

S e + 23 e + 2 x = 0 .

Từ biểu thức của
S trong (1.12), ta có
cơng thức xác định vận
tốc truyền sóng tại
điểm tiếp xúc có dạng
ee −e
a

1

=

x

e2

2

3

1

.

2

(2.28)
−1

Dphải lớn hơn không và từ điều
o kiện năng lượng đàn hồi xác

a

x

định dương nên

1

2

ta có e > 1.
Từ điều2
kiện C =1 ,
thay

x

=
x

vào ta có
( e−1) ( e
e − e 2 )2 ( e

a1
2
1 2
3
3

.
D
o
đó

3

−1)
=0

e=
1.

Như vậy ta đã tìm được
tập hợp điểm tiếp
xúc thứ
3

nhất xảy ra khi e = 1 tại
ee−1

. Tiếp theo ta sẽ đi
tìm giá trị của tần số sóng tại
tập điểm tiếp xúc thứ
=

x

a

1

2

−1

1

e2

nhất này.
Từ
phương
trình
(2.16)
hay
(2.20)
với

1
3

3

A (1 + t

2

∆
′=
0

ta có

) + (1 − t )
2

t2
.

(2.29)


Do
A=A
2

= −

A

C

⇒t t

2

(2.3
1
0).

=−
C.

⇒ A = 0=−1
⇒ t
0

0

t

1 3

2

− 2 A0

3

Do C 2 = 1 nên
t t
chỉ có thể nhận giá trị là 1
13
hoặc -1. Do định nghĩa của các biến
t 1và t trong
3

phương trình (2.1), chúng chỉ có thể nhận
giá trị thuần ảo. Vì vậy, b

1

và b 3cũng phải nhận các giá trị thuần ảo. Và do quy
ước chọn giá trị của b , b trình
bày trong Chương 1, ta có
b b < 0 . Vì vậy, với

e = và
1
x=

13

x,

ta có

1

3

a

1

b 1b 3 =

=

(2.31)

e1
1


 e 2 1 

P ( x a)
1

Trong luận văn này ta chỉ xét trường hợp e > 1 do nếu
ngược lại vật liệu có thể sẽ
1

có những tính chất đặc biệt như là hệ số Poisson âm
trong trường hợp đẳng hướng.

2


Do đó

b b = P ( x a)

e−1
1

= −

1

e

3

vào biểu thức của C ( x trong
)

. Thay giá trị x = x

1

a1

−1

phương trình (1.24) ta có

C

(

x

e −1

)

a

= −

Như

2

e1
vậy

1

⋅ P ( x a)

(2.32)

=1.

1

từ (2.30) ta có
−1

t t = − 1.

(2.33)

13

Do tan h ( x )

= − i tan ( ix ) ,

từ phương trình (2.33)
⇒ ta n
iε b
1
+

⇒

iε b

1

ta n

iε b

2

3

2

(2.34)

=1

iε b
π
=
+ m π ,2
22

3

m∈Z

hay
ε=

π+2mπ
i(b +b)
1

Từ (1.12) và thay
x=x

a1

3

ta có

b+b=

4

1

1 33

2 ix a
e2

1  e 1e2
e 2 ( e 2  1)

=

b22bbb2
1

(2.35)

,m∈Z.

1

(2.36)

=
.

3

Do đó

ε

a1

= −

π +2mπ
2x c
e2

=

e2
xc

(

π
2

+mπ)(m

= 0 ,1, 2 , ...).

(2.37)

Như vậy tập hợp nghiệm S của
điểm tiếp xúc là
1
S 13
: e  1, 

a1



e
2(
x2c

 m  ) ( m  0 ,1, 2 , ...), x

a1



ee1
1 2.
e 2 1

(2.38)