Ước lượng và tính xác suất thiệt hại trong một số mô hình bảo hiểm (tt)

1

MỞ ĐẦU
Trong những năm gần ñây các công ty bảo hiểm ñược mở ra nhiều nơi nhằm mục ñích chịu
trách nhiệm và chia sẻ một phần trách nhiệm cho các chủ thể rủi ro, nhưng ngay chính hoạt ñộng
bảo hiểm cũng là một hoạt ñộng ñầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa ñựng sự rủi ro. Việc
ñánh giá mức ñộ rủi ro và thời ñiểm rủi ro là nhu cầu cấp thiết ñòi hỏi cần ñược nghiên cứu và giải
quyết ñể hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra. Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) ñã ñược nghiên cứu
rộng rãi trong thời gian gần ñây, ñặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo hiểm, tài chính.
Một trong những vấn ñề trọng tâm ñược nhiều nhà nghiên cứu quan tâm về lý thuyết này, là bài
toán ước lượng xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với thời gian liên tục và rời rạc.
Trong công trình của Lundberg (1903), với luận án tiến sỹ nổi tiếng của ông ở Đại học Uppsala
(Thủy ñiển),công trình này ñã ñưa ñến việc sáng lập ra lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm. Sau ñó,
Carmer, H. và trường phái Stockholm ñã phát triển các ý tưởng của Lundberg và ñóng góp vào việc
hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học. Với các kết quả ñó
Cramer ñã ñóng góp một cách ñáng kể vào cả lý thuyết bảo hiểm, tài chính lẫn cả lý thuyết xác suất
và thống kê toán học. Mô hình cơ bản ñầu tiên trong số những ñóng góp ñó là mô hình Cramer –
Lunberg.
Trong mô hình rủi ro cổ ñiển, bài toán thường ñược nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới
dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập. Chẳng hạn, như trong kết quả Cramer – Lundberg về ước lượng xác
suất thiệt hại với thời gian liên tục, dãy số tiền chi trả bảo hiểm, cũng như dãy thời gian giữa hai lần
ñòi trả liên tiếp, ñều giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập, cùng phân phối. Có nhiều
công trình nghiên cứu của các nhà toán học có tên tuổi về vấn ñề này như: Asmussen (2000),
Buhlma, H. (1970), Embrechts, P. (1997), Kluppelberg, C. (1998), Grandell, J. (1992), Hipp, C.
(2004), Schmidli, H. (2004), Musiela, M. (1997), Nyrhinen, H. (2001), Paulsel, J. (2002), Schmidt,
K. D. (1995), … Các công trình trên ñều cho ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại có dạng hàm
mũ.
Bên cạnh ñó một loạt công trình sử dụng phương pháp Martingale ñể chứng minh các công thức
ước lượng xác suất thiệt hại cho mô hình rủi ro mở rộng có tác ñộng của yếu tố lãi suất như: Cai, J
(2002), Cai and Dickson, D. C. M. (2003), Gaier, J. (2004), Kluppelberg, C. and Stadtmuller

(1998), Konstantinide, D.G. and Tang, Q. H. and Tsitsiashvili, G. S. (2002), Sundt, B. and Teugels,
J. L. (1995, 1997), Tang, Q. (2004, 2005), Yang, H. (1999), Yang, H. and Zhang, L. H. (2003,
2006), …
Tuy nhiên, thực tế các sản phẩm bảo hiểm và tái bảo hiểm cũng như ñối tượng tham gia bảo
hiểm ngày càng lớn và càng phức tạp nên ñòi hỏi các mô hình có cấu trúc phụ thuộc. Do ñó, ñể phù
hợp với thực tế hơn, một hướng nghiên cứu ñã và ñang ñược nhiều nhà toán học quan tâm, ñó là các
mô hình với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc. Một loạt các công trình có giá trị của các nhà toán học,
xét mô hình bảo hiểm với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu
nhiên ñộc lập, còn dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa hồi quy hoặc xích Markov như Arbrecher, H.

2

(1998), Cai, J. (2002), Cai, J. and Dickson, D. C M. (2003, 2004), Gerber, H. U. (1979), Muller, A.
and Pfug, G. (2001), Promisslow, S.D. (1991), Valdez, E. A. (2002), Xu, L. and Wang. R. (2006),
Yang, H. (1999), Yang, H. and Zhang, L. H. (2003), …
Các công trình của Bùi Khởi Đàm và Nguyễn Huy Hoàng (2008), Nguyễn Huy Hoàng (2009)
ñã xây dựng ñược các ước lượng cho xác suất thiệt hại của các mô hình rủi ro với giả thiết dãy tiền
thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên m - phụ thuộc.
Bên cạnh các bài toán ước lượng xác suất thiệt hại thì bài toán tính chính xác xác suất thiệt hại
ñối với các mô hình bảo hiểm gắn liền với các tình huống thực tế hơn. Một số công trình ñã tiếp cận
theo hướng này với giả thiết dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị nguyên dương như Caude
Lefèvre (2008), Rullière, D. and Loisel, St. (2004), De Vylder, F. E (1997, 1999), De Vylder and
Goovaerts, M. J. (1998, 1999), Ignatov, Z. G. and Kaishev, V. K. (2001, 2004), Pircard, Ph. and
Lefèvre,Cl. (1997).
Công trình của Hong, N.T.T. (2013) ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt
hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm:
1 1
t t
t i i
i i

U u X Y
= =
= + −
∑ ∑
, với dãy tiền thu bảo hiểm
{
}
1
i
i
X
≥
, dãy tiền chi trả bảo hiểm
{
}
1
i
i
Y
≥
, thời gian t nhận giá trị nguyên dương. Công trình của tác
giả Hong, N.T.T. (2013) ñã mở ra hướng mới có ý nghĩa quan trọng cả về lý thuyết lẫn thực hành
ñể tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của các mô hình bảo hiểm.
Với những lý do trên, chúng tôi xác ñịnh ñối tượng nghiên cứu là của luận án là các mô hình
toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm, cụ thể là các mô hình bảo hiểm rời rạc có tác ñộng
của lãi suất. Luận án tập trung vào các bài toán: ước lượng xác suất thiệt hại trong một số mô hình
bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov, tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình
bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất. Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược công bố trong
các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] (xem danh mục các công trình của tác giả).
Luận án ñã thu ñược các kết quả mới sau ñây:

a. Trong mô hình tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần nhất.
Sử dụng phương pháp ñệ quy, phương pháp Martingale luận án ñã thiết lập ñược các bất
ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại ñối với mô hình bảo hiểm tổng
quát có tác ñộng của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo
hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng
phân phối.
b. Đối với mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất, luận án mở rộng kết quả của Hong,
N.T.T. (2013), luận án ñã mở rộng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại cho mô hình
bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo
hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, còn dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập

3

hữu hạn. Các công thức ñược xây dựng cho dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối, ñộc
lập không cùng phân phối, phụ thuộc Markov.
Qua việc hoàn thành luận án, chúng tôi cũng hy vọng ñược góp phần khiêm tốn vào việc nghiên
cứu và phát triển lý thuyết các mô hình toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm.
Nội dung của luận án gồm 3 chương.
Chương 1. Một số khái niệm và kết quả cơ bản
Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số nội dung cơ bản và các kết quả về bài toán
thiệt hại trong bảo hiểm, tổng quan về xích Markov thuần nhất, quá trình Martingale.
Chương 2. Ước lượng xác suất thiệt hại trong bài toán bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên
phụ thuộc Markov
Trong chương này, chúng tôi ñã sử dụng phương pháp ñệ quy, phương pháp Martingale ñể xây
dựng ñược các bất ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại ñối với mô hình
bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi
trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập.
Chương 3. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong bài toán bảo hiểm
Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của Hong, N.T.T. (2013) cho mô hình bảo hiểm
có tác ñộng của lãi suất hằng, luận án ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại

(không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu
và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, còn dãy lãi suất nhận giá trị
không âm trong tập hữu hạn.
Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược báo cáo tại
- Semina “Ứng dụng toán học”, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà nội.
- Hội thảo khoa học Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại thương (2010-2014).
- Semina của Phòng xác suất và thống kê toán, Viện Toán học- Viện KH & CN Việt Nam
Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược ñăng trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6],
[7](xem danh mục các công trình của tác giả luận án).

4

CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN
Trong chương 1, chúng tôi ñã giới thiệu một số khái niệm và kết quả ñã có liên quan trực tiếp ñến
nội dung, phương pháp chứng minh của luận án như : bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm, một
số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, bất ñẳng thức ước lượng cận trên cho xác
suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập và mô hình bảo hiểm có
tác ñộng của lãi suất với dãy lãi suất là xích Markov rời rạc và thuần nhất. Đồng thời, chương 1 của
luận án cũng giới thiệu các khái niệm và kết quả cơ bản của quá trình Markov, quá trình Martingale.
CHƯƠNG 2. ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM VỚI
DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MARKOV
Trong chương này, chúng tôi xây dựng bất ñẳng thức ñể ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình
bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Cụ
thể, chúng ta xét các mô hình sau ñây:
- Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với vốn của kỳ trước ñược ñem ñầu tư với lãi
suất là dãy biến ngẫu nhiên
{ }
0
i
i

I I
≥
=
. Khi ñó, vốn ở thời kỳ
t
ñược xác ñịnh như sau:

1
(1 ) , 1, 2, ,
t t t t t
U U I X Y t
−
= + + − =
(2.1)

.
o
U u
=

- Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất không những vốn của kỳ trước mà cả tiền thu
bảo hiểm ở kỳ hiện tại cũng ñược tính lãi suất là dãy
{ }
0
i
i
I I
≥
= . Khi ñó, vốn ở thời kỳ
t

ñược xác
ñịnh như sau

1
( )(1 ) , 1, 2, ,
t t t t t
U U X I Y t
−
= + + − =
(2.2)

.
o
U u
=

trong ñó
u
là vốn ban ñầu của công ty bảo hiểm, dãy tiền thu bảo hiểm
{ }
0
i
i
X X
≥
=
, dãy tiền chi trả
bảo hiểm
{
}

0
j
j
Y Y
≥
=
, dãy lãi suất
{ }
0
k
k
I I
≥
=
và các dãy biến ngẫu nhiên
, ,
X Y I
là ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i
nhau.
Tr
ướ
c h
ế
t, ta có mô hình (2.1) và (2.2) l
ầ

n l
ượ
t
ñượ
c vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng sau
( )
1
1 1
1 1
t t
t
t k k k j
k
k j k
U u. ( I ) X Y ( I ),
=
= = +
= + + − +
∑
∏ ∏
(2.3)

[ ]
1

1 1
1 1 1
t t
t
t k k k k j
k
k j k
U u. ( I ) X ( I ) Y ( I )
=
= = +
= + + + − +
∑
∏ ∏
. (2.4)
Ở

ñ
ây, ta quy
ướ
c
1
b
t
t a
z
=
=
∏
và
0

b
t
t a
z
=
=
∑
n
ế
u
a b
>
.
Trong ch
ươ
ng này chúng ta xét các gi
ả
thi
ế
t sau:

5

Giả thiết 2.1.
v
ố
n ban
ñầ
u
0

o
U u
= >
.
Giả thiết 2.2.
Dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{
}
0
n
n
X X
≥
=
là xích Markov thu
ầ
n nh
ấ
t nh
ậ
n giá tr
ị
không âm
trong

{
}
1 2
, , ,
X M
E x x x
=
v
ớ
i
o i X
X x E
= ∈
,
1
, ( ); ,
ij m j m i i j X
p P X x X x m N x x E
+
 
= = = ∈ ∈
 
th
ỏ
a mãn
1
0 1; 1.
M
ij ij
j

p p
=
≤ ≤ =
∑

Giả thiết 2.3.
Dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
{
}
0
n
n
Y Y
≥
=
là xích Markov thu
ầ
n nh
ấ
t nh
ậ
n giá tr

ị
không
âm trong
{
}
1 2
, , ,
Y K
E y y y
=
v
ớ
i
o r Y
Y y E
= ∈
,
1
,( ); ,
rs m s m r r s Y
q P Y y Y y m N y y E
+
 
= = = ∈ ∈
 
th
ỏ
a mãn
1
0 1, 1

K
rs rs
s
q q
=
≤ ≤ =
∑
.
Giả thiết 2.4.
Dãy lãi su
ấ
t
{
}
0
n
n
I I
≥
=
là dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên liên t
ụ
c nh
ậ
n giá tr
ị

không âm,
ñộ
c
l
ậ
p, cùng phân ph
ố
i v
ớ
i hàm phân ph
ố
i
(
)
( )
o
F t P I t
= ≤
.
Giả thiết 2.5.

, ,
X Y I
là
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i nhau.

Khi
ñ
ó, xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i c
ủ
a mô hình (2.1)
ñế
n th
ờ
i k
ỳ

t
và th
ờ
i
ñ
i
ể
m vô h
ạ
n v
ớ
i các gi
ả

thi
ế
t 2.1-
2.5
ñượ
c xác
ñị
nh t
ươ
ng
ứ
ng nh
ư
sau
(1)
( , , ) ( )
t i r u
u x y P T t
ψ
= ≤
1
( 0) , ,
t
k o o i o r
k
P U U u X x Y y
=
 
= < = = =
 

 
∪
,
(1) (1)
( , , ) ( ) lim ( , , )
i r u t i r
t
u x y P T u x y
ψ ψ
→∞
= < +∞ =
1
( 0) , ,
k o o i o r
k
P U U u X x Y y
+∞
=
 
= < = = =
 
 
∪
.
Xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ

i c
ủ
a mô hình (2.2)
ñế
n th
ờ
i k
ỳ

t
và th
ờ
i
ñ
i
ể
m vô h
ạ
n v
ớ
i các gi
ả
thi
ế
t 2.1-2.5
ñượ
c
xác
ñị
nh t

ươ
ng
ứ
ng nh
ư
sau
(2)
( , , ) ( )
t i r u
u x y P T t
ψ
= ≤
1
( 0) , ,
t
k o o i o r
k
P U U u X x Y y
=
 
= < = = =
 
 
∪
,
(2) (2)
( , , ) ( ) lim ( , , )
i r u t i r
t
u x y P T u x y

ψ ψ
→∞
= < +∞ =
1
( 0) , ,
k o o i o r
k
P U U u X x Y y
+∞
=
 
= < = = =
 
 
∪
.
Các k
ế
t qu
ả
chính c
ủ
a ch
ươ
ng 2 g
ồ
m.
2.1. Ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp ñệ quy
Định lý 2.1.
N

ế
u mô hình (2.1) th
ỏ
a mãn các gi
ả
thi
ế
t 2.1- 2.5 thì
v
ớ
i m
ỗ
i t = 1, 2, …
(1)
1
( , , )
t i r
u x y
ψ
+
=


6

( )
(1)
1 1
(1 ) , , ( ) .
s j

M K
s j
ij rs t j s j s
j s
y x u
u
y x u
p q F u x x y x y dF x
u
ψ
+∞
= =
− −
 
− −
 
 
+ + + −
 
 
 
 
 
∑∑
∫
(2.5)
Đặ
c bi
ệ
t

(1)
1 1
( , , ) .
M K
s j
i r ij rs
j s
y x u
u x y p q F
u
ψ
= =
− −
 
=
 
 
∑∑
(2.6)
Đồ
ng th
ờ
i
(1)
( , , )
i r
u x y
ψ
=

( )
(1)
1 1
(1 ) , , ( )
s j
M K
s j
ij rs j s j s
j s
y x u
u
y x u
p q F u x x y x y dF x
u
ψ
+∞
= =
− −
 
− −
 
 
+ + + −
 
 
 
 
 
∑∑
∫

. (2.7)
V
ớ
i quy
ướ
c
0
( ) 0, ( ) 0
z
F z dF x
= =
∫
và
0
( ) ( ) ( ) ( )
z
g x dF x g x dF x
+∞ +∞
=
∫ ∫
n
ế
u
0.
z
<

Để
xây d
ự

ng
ñượ
c b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ướ
c l
ượ
ng xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i, c
ầ
n s
ử
d
ụ
ng b
ổ

ñề
sau
Bổ ñề 2.1.

Cho mô hình
(2.1)
v
ớ
i các gi
ả
thi
ế
t 2.1- 2.5. N
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i
,
i X r Y
x G y G
∈ ∈
, thì

(
)
( )
1 1
1 1
( )
,
( ) 0 , 0

o r o i
o i o r
E Y Y y E X X x
P Y X X x Y y

= < =


− > = = >


(2.8)
thì t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t h
ằ
ng s
ố

0
ir
R
>
th
ỏ
a mãn ph

ươ
ng trình
(
)
1 1
( )
, 1.
ir
R Y X
o i o r
E e X x Y y
−
= = =
(2.9)
Ký hi
ệ
u:
(
)
{
}
1 1
( )
min 0 : , 1;( , )
ir
R Y X
o ir o i o r i X r Y
R R E e X x Y y x G y G
−
= > = = = ∈ ∈

. (2.10)
S
ử
d
ụ
ng k
ế
t qu
ả
c
ủ
a b
ổ

ñề
2.1 và
ñị
nh lý 2.1, ta thu
ñượ
c b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ướ
c l
ượ
ng cho xác su

ấ
t thi
ệ
t
h
ạ
i
(1)
( , , )
i r
u x y
ψ
c
ủ
a mô hình (2.1) v
ớ
i các gi
ả
thi
ế
t 2.1 – 2.5 nh
ư
sau
Định lý 2.2.

Cho mô hình
(2.1)
th
ỏ
a mãn các gi

ả
thi
ế
t 2.1-2.5 và các gi
ả
thi
ế
t c
ủ
a b
ổ

ñề
2.1. V
ớ
i
0
u
>
,
i X
x E
∈
và
r Y
y E
∈
ta có
1
(1 )

(1)
1
( , , ) .
o
R u I
i r
u x y E e
ψ β
− +
 
≤
 
, (2.11)
trong
ñ
ó
1
0
1 1
0
0
( )
inf ,0 1.
( )
o o
z
R uz R ut
z
u
e e dF t

F z
β β
−
−
>
≥
= ≤ ≤
∫
(2.12)

7

Định lý 2.3.
N
ế
u mô hình (2.2) th
ỏ
a mãn các gi
ả
thi
ế
t 2.1- 2.5 thì
v
ớ
i m
ỗ
i t = 1, 2, … ,ta có
(2)
1
( , , )

t i r
u x y
ψ
+
=

( )
(2)
1 1
( )
( )
( )(1 ) , , ( )
s j
j
M K
s j
ij rs t j s j s
j s
y u x
j
u x
y u x
p q F u x x y x y dF x
u x
ψ
+∞
= =
− +
+
 

 
 
− +
 
+ + + −
 
 
 
+
 
 
 
 
∑∑
∫
. (2.13)
Đặ
c bi
ệ
t
(2)
1
1 1
( )
( , , )
M K
s j
i r ij rs
j s
j

y u x
u x y p q F
u x
ψ
= =
 
− +
=
 
 
+
 
∑∑
. (2.14)
Đồ
ng th
ờ
i
(2)
( , , )
i r
u x y
ψ
=

( )
(2)
1 1
( )
( )

( )(1 ) , , ( )
s j
j
M K
s j
ij rs j s j s
j s
y u x
j
u x
y u x
p q F u x x y x y dF x
u x
ψ
+∞
= =
− +
+
 
 
 
− +
 
+ + + −
 
 
 
+
 
 

 
 
∑∑
∫
. (2.15)
Để
thu
ñượ
c b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ñ
ánh giá
ướ
c l
ượ
ng cho xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i
(2)
( , , )
i r

u x y
ψ
c
ủ
a mô hình
(2.2), ta xây d
ự
ng b
ổ

ñề
sau
Bổ ñề 2.2.
Cho mô hình (2.2) th
ỏ
a mãn các gi
ả
thi
ế
t 2.1- 2.5 và
1
( ) ( 1,2).
k
E I k< +∞ = N
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i

i X
x G
∈
,
r Y
y G
∈
thì
(
)
( )
1 1 1
1 1 1
(1 ) , 0
(1 ) 0 , 0
o i o r
o i o r
E Y X I X x Y y
P Y X I X x Y y

− + = = <


− + > = = >


, (2.16)
thì t
ồ
n t

ạ
i duy nh
ấ
t h
ằ
ng s
ố

0
ir
R
>
th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình
[ ]
(
)
1 1 1
(1 )
, 1.
ir
R Y X I
o i o r
E e X x Y y
− +
= = =
(2.17)

Ký hi
ệ
u:
[ ]
(
)
{
}
1 1 1
(1 )
min 0 : , 1( , )
ir
R Y X I
o
ir o i o r i X r Y
R R E e X x Y y x G y G
− +
= > = = = ∈ ∈
. (2.18)
S
ử
d
ụ
ng k
ế
t qu
ả
c
ủ
a b

ổ

ñề
2.2 và
ñị
nh lý 2.3, ta thu
ñượ
c b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ướ
c l
ượ
ng xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i
(2)
( , , )
i r
u x y
ψ
c

ủ
a mô hình (2.2) v
ớ
i các gi
ả
thi
ế
t 2.1 – 2.5
Định lý 2.4.
Cho mô hình (2.2) th
ỏ
a mãn các gi
ả
thi
ế
t 2.1-2.5 và các gi
ả
thi
ế
t c
ủ
a b
ổ

ñề
2.2. V
ớ
i
0
u

>
,
i X
x E
∈
và
r Y
y E
∈
ta có

8

1 1 1
( )(1 )(2)
2
( , , )
o o
R Y R u X I
i r o r o i
u x y E e Y y E e X x
ψ β
− + +
   
≤ = =
   
, (2.19)
trong
ñ
ó

1
0
2 2
0
0
( )
inf ,0 1.
( )
o o
z
R uz R ut
z
u
e e dF t
F z
β β
−
−
>
≥
= ≤ ≤
∫
(2.20)
Nhận xét 2.1.
Xét mô hình (2.1) và (2.2) khi thay mi
ề
n giá tr
ị

,

X Y
G G
là t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n b
ở
i t
ậ
p vô h
ạ
n
ñế
m
ñượ
c:
{
}
1 2
, , , ,
X m
G x x x=
,
{
}
1 2
, , , , .

Y n
G y y y=
Khi
ñ
ó các
ñị
nh lý 2.1
ñế
n
ñị
nh lý 2.4
ñượ
c t
ổ
ng quát trong k
ế
t qu
ả
[6] (xem danh m
ụ
c các công trình c
ủ
a tác gi
ả
lu
ậ
n án).
Nhận xét 2.2.
Xét mô hình (2.1) và (2.2) v
ớ

i gi
ả
thi
ế
t dãy chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m và dãy lãi su
ấ
t ph
ụ
thu
ộ
c
Markov còn dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m là
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph
ố
i, s

ử
d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp Martingale
chúng ta c
ũ
ng xây d
ự
ng
ñượ
c b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ướ
c l
ượ
ng xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i cho các mô hình
ñ

ó. K
ế
t
qu
ả

ñ
ó
ñă
ng t
ả
i
ở
công trình [2] (xem danh m
ụ
c công trình c
ủ
a tác gi
ả
lu
ậ
n án).
Nhận xét 2.3.
Xét mô hình (2.1) và (2.2) v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t dãy ti

ề
n thu b
ả
o hi
ể
m và dãy lãi su
ấ
t ph
ụ

thu
ộ
c Markov còn dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m là
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph
ố
i, s
ử
d
ụ

ng ph
ươ
ng pháp
ñệ

quy chúng ta c
ũ
ng xây d
ự
ng
ñượ
c b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ướ
c l
ượ
ng xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i cho các mô hình
ñ
ó.

K
ế
t qu
ả

ñ
ó
ñă
ng t
ả
i
ở
công trình [7] (xem danh m
ụ
c công trình c
ủ
a tác gi
ả
lu
ậ
n án).

2.2. Ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp Martingale
Để
thi
ế
t l
ậ
p b
ấ

t
ñẳ
ng th
ứ
c
ướ
c l
ượ
ng cho các xác su
ấ
t
(1)
( , , )
n i r
u x y
ψ
và
(1)
( , , )
i r
u x y
ψ
b
ằ
ng ph
ươ
ng
pháp Martingale, tr
ướ
c h

ế
t ta có b
ổ

ñề
sau
Bổ ñề 2.3.
Gi
ả
s
ử
mô hình (2.1) th
ỏ
a mãn các gi
ả
thi
ế
t 2.1 – 2.5. N
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i ,
i X r Y
x G y G
∈ ∈
,
(
)

(
)
1 1
o r o i
E Y Y y E X X x
= < =

và
(
)
1
1 1 1
( )(1 ) 0 , 0
o i o r
P Y X I X x Y y
−
− + > = = >
, (2.21)
thì t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t h
ằ
ng s
ố
d
ươ

ng
ir
R
th
ỏ
a mãn
(
)
1
1 1 1
( )(1 )
, 1.
ir
R Y X I
o i o r
E e X x Y y
−
− +
= = =
(2.22)
Đặ
t:
(
)
{
}
1
1 1 1
( )(1 )
min 0 : , 1, , .

ir
R Y X I
o ir o i o r i X r Y
R R E e X x Y y x G y G
−
− +
= > = = = ∈ ∈

Dùng b
ổ

ñề
2.3 ta thu
ñượ
c các b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ướ
c l
ượ
ng cho xác su
ấ
t
(1)
( , , )
i r

u x y
ψ
b
ằ
ng ph
ươ
ng
pháp Martingale.

9

Định lý 2.5.
Cho mô hình (2.1) th
ỏ
a mãn các gi
ả
thi
ế
t 2.1 – 2.5 và các gi
ả
thi
ế
t c
ủ
a b
ổ

ñề
2.5. N
ế

u
v
ớ
i m
ỗ
i
0
u
>
,
,
i X r Y
x E y E
∈ ∈
, ta có
(1)
( , , )
o
R u
i r
u x i e
ψ
−
≤
. (2.23)
Để
thi
ế
t l
ậ

p b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ướ
c l
ượ
ng cho các xác su
ấ
t
(2)
( , , )
t i r
u x y
ψ
và
(2)
( , , )
i r
u x y
ψ
b
ằ
ng
ph
ươ
ng pháp Martingale, tr

ướ
c h
ế
t ta có b
ổ

ñề
sau
Bổ ñề 2.4.
Gi
ả
s
ử
mô hình (2.2) th
ỏ
a mãn các gi
ả
thi
ế
t 2.1 - 2.5. N
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i ,
i X r Y
x G y G
∈ ∈
, n

ế
u
1 1
( )
o r o i
E Y Y y E X X x
 = < =
 
và
(
)
1
1 1 1
(1 ) 0 , 0,
o i o r
P Y I X X x Y y
−
+ − > = = >
(2.24)
thì t
ồ
n t
ạ
i h
ằ
ng s
ố
d
ươ
ng

ir
R
duy nh
ấ
t th
ỏ
a mãn
1
1 1 1
(1 )
, 1.
ir
R Y I X
o i o r
E e X x Y y
−
 
+ −
 
 
= = =
 
 
(2.25)
Đặ
t:
(
)
{
}

1
1 1 1
( (1 ) )
min 0 : , 1, ,
ir
R Y I X
o
ir o i o r i X r Y
R R E e X x Y y x G y G
−
+ −
= > = = = ∈ ∈ .
Dùng k
ế
t qu
ả
c
ủ
a b
ổ

ñề
2.4 và ph
ươ
ng pháp ch
ứ
ng minh t
ươ
ng t
ự

ñị
nh lý 2.5 ta thu
ñượ
c b
ấ
t
ñẳ
ng
th
ứ
c
ướ
c l
ượ
ng cho xác su
ấ
t
(2)
( , , )
i r
u x y
ψ
b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp Martingale.
Định lý 2.6.
Cho mô hình (2.2) th

ỏ
a mãn các gi
ả
thi
ế
t 2.1- 2.5 và các gi
ả
thi
ế
t c
ủ
a b
ổ

ñề
2.5. V
ớ
i
m
ọ
i
0
u
>
, ,
i X r Y
x E y E
∈ ∈
, ta có
(2)

( , , )
o
R u
i r
u x y e
ψ
−
≤ . ` (2.26)

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2

Ch
ươ
ng 2 c
ủ
a lu
ậ
n án, xét mô hình t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t v
ớ
i dãy bi
ế
n ng

ẫ
u nhiên là
xích Markov thu
ầ
n nh
ấ
t. Lu
ậ
n án s
ử
d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp
ñệ
quy và ph
ươ
ng pháp Martingale
ñ
ã xây
d
ự
ng
ñượ
c các b
ấ
t
ñẳ
ng th

ứ
c
ướ
c l
ượ
ng xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i d
ướ
i d
ạ
ng hàm m
ũ
cho mô hình b
ả
o hi
ể
m
t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ

t trong tr
ườ
ng h
ợ
p: dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{ }
0
i
i
X X
≥
=
và dãy ti
ề
n
chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
{
}

0
j
j
Y Y
≥
=
là các xích Markov thu
ầ
n nh
ấ
t còn dãy lãi su
ấ
t
{ }
0
k
k
I I
≥
=
là dãy bi
ế
n
ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph

ố
i.
Các công trình
ñ
ã công b
ố
tr
ướ
c
ñ
ây ch
ỉ
d
ừ
ng l
ạ
i xét các dãy
{ }
0
i
i
X X
≥
= và
{ }
0
i
i
Y Y
≥

= là dãy
bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p ho
ặ
c ph
ụ
thu
ộ
c h
ồ
i quy.
Đ
ây là l
ầ
n
ñầ
u tiên xây d
ự
ng
ñượ
c các b
ấ
t

ñẳ
ng
th
ứ
c
ướ
c l
ượ
ng Lundberg t
ổ
ng quát cho mô hình b
ả
o hi
ể
m t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t v
ớ
i gi
ả


10

thi
ế
t dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{ }
0
i
i
X X
≥
= và dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
{ }
0
i
i
Y Y
≥

= là các xích Markov
thu
ầ
n nh
ấ
t còn dãy lãi su
ấ
t là dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph
ố
i.
Các k
ế
t qu
ả
chính c
ủ
a ch
ươ
ng 2 là các
ñị
nh lý 2.1
ñế

n
ñị
nh lý 2.6. K
ế
t qu
ả
s
ố
minh h
ọ
a cho
ướ
c
l
ượ
ng ch
ặ
n trên c
ủ
a xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i cho mô hình t
ổ
ng quát v
ớ
i dãy bi

ế
n ng
ẫ
u nhiên là xích
Markov thu
ầ
n nh
ấ
t c
ũ
ng
ñượ
c
ñư
a ra trong ch
ươ
ng 2.
CHƯƠNG 3. TÍNH CHÍNH XÁC XÁC SUẤT THIỆT HẠI
TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM

Trong công trình c
ủ
a Hong, N.T.T. (2013), tác gi
ả

ñ
ã xây d
ự
ng
ñượ

c công th
ứ
c tính chính xác xác
su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i) c
ủ
a mô hình
1 1
t t
t i i
i i
U u X Y
= =
= + −
∑ ∑

V
ớ
i gi
ả
thi

ế
t:
i i
u,t,X ,Y
nh
ậ
n giá tr
ị
nguyên d
ươ
ng (dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{ }
1
i
i
X X
≥
=
, dãy ti
ề
n chi
tr
ả
b

ả
o hi
ể
m
{
}
1
j
j
Y Y
≥
=
).

Trong ch
ươ
ng này, chúng tôi m
ở
r
ộ
ng k
ế
t qu
ả
c
ủ
a Hong, N.T.T. (2013), lu
ậ
n án xây d
ự

ng công
th
ứ
c tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i) trong mô hình t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi
su
ấ
t v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t dãy ti
ề

n thu b
ả
o hi
ể
m, dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m và dãy lãi su
ấ
t
ñộ
c l
ậ
p cùng phân
ph
ố
i ho
ặ
c không cùng phân ph
ố
i ho
ặ
c ph
ụ
thu

ộ
c Markov. C
ụ
th
ể
, chúng ta xét các mô hình sau
ñ
ây
-Mô hình b
ả
o hi
ể
m t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t (v
ớ
i lãi su
ấ
t là h
ằ
ng s
ố
) v
ớ

i v
ố
n c
ủ
a công ty
b
ả
o hi
ể
m
ở
th
ờ
i k
ỳ

t
là:
1
1 1
(1 ) (1 ) (1 ) ,
t t
t t i t i
t i i
i i
U u r X r Y r
− + −
= =
= + + + − +
∑ ∑

(3.1)
trong
ñ
ó
0
o
U u
= >
,
u
là v
ố
n ban
ñầ
u c
ủ
a hãng b
ả
o hi
ể
m,
0
r
>
là lãi g
ộ
p và là h
ằ
ng s
ố

, dãy ti
ề
n
thu b
ả
o hi
ể
m
{ }
1
i
i
X X
≥
= , dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
{
}
1
j
j
Y Y
≥

=
và các dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
,
X Y
là
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i nhau.
-Mô hình b
ả
o hi
ể
m t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t, v
ố
n c

ủ
a k
ỳ
tr
ướ
c
ñượ
c
ñ
em
ñầ
u t
ư
v
ớ
i lãi
su
ấ
t là dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
{ }
1
i
i
I I
≥
= . Khi

ñ
ó, v
ố
n
ở
th
ờ
i k
ỳ

t

ñượ
c xác
ñị
nh nh
ư
sau

1
(1 ) ; 1,2,
t t t t t
U U I X Y t
−
= + + − =
(3.2)

11

trong

ñ
ó
0
o
U u
= >
,
u
là v
ố
n ban
ñầ
u c
ủ
a hãng b
ả
o hi
ể
m, dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{ }
1
i
i
X X

≥
= , dãy
ti
ề
n
ñ
òi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
{
}
1
j
j
Y Y
≥
=
, dãy lãi su
ấ
t
{ }
1
k
k
I I
≥

= và các dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
, ,
X Y I
là
ñộ
c
l
ậ
p v
ớ
i nhau.
-Mô hình b
ả
o hi
ể
m t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t, không nh
ữ
ng v

ố
n c
ủ
a k
ỳ
tr
ướ
c mà c
ả
ti
ề
n thu
b
ả
o hi
ể
m
ở
k
ỳ
hi
ệ
n t
ạ
i c
ũ
ng
ñượ
c tính lãi su
ấ

t là dãy
{ }
1
i
i
I I
≥
=
. Khi
ñ
ó, v
ố
n
ở
th
ờ
i k
ỳ

t

ñượ
c xác
ñị
nh nh
ư
sau

1
( )(1 ) ; 1, 2,

t t t t t
U U X I Y t
−
= + + − =
(3.3)
trong
ñ
ó
0
o
U u
= >
,
u
là v
ố
n ban
ñầ
u c
ủ
a hãng b
ả
o hi
ể
m, dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể

m
{ }
1
i
i
X X
≥
= , dãy
ti
ề
n
ñ
òi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
{
}
1
j
j
Y Y
≥
=
, dãy lãi su
ấ
t

{ }
1
k
k
I I
≥
= và các dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
, ,
X Y I
là
ñộ
c
l
ậ
p v
ớ
i nhau.
K
ế
t qu
ả
m
ở
r
ộ
ng cho mô hình (3.1)

ñượ
c công b
ố
trong công trình [4] (xem danh m
ụ
c các công
trình c
ủ
a tác gi
ả
lu
ậ
n án). Trong ch
ươ
ng này, lu
ậ
n án ch
ỉ
trình bày các k
ế
t qu
ả
m
ở
r
ộ
ng cho mô
hình (3.2) và (3.3).
Để
xây d

ự
ng công th
ứ
c, chúng ta xét các gi
ả
thi
ế
t sau
Giả thiết 3.1.
v
ố
n ban
ñầ
u
o
U u
=
, th
ờ
i gian
t
nh
ậ
n giá tr
ị
nguyên d
ươ
ng.
Giả thiết 3.2.
Dãy ti

ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{ }
1
i
i
X X
≥
= nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng trong
{
}
1 2 1 2
, , , ,(0 ),
X M M
G x x x x x x
= < < < <

X
là xích Markov thu
ầ

n nh
ấ
t v
ớ
i ma tr
ậ
n xác su
ấ
t
chuy
ể
n sau 1 b
ướ
c:
ij
MxM
P p
 
=
 



(
)
1
( 1,2, )
ij n j n i
p P X x X x n
+

= = = ∀ =
;
1
0 1; , : 1
M
ij i j X ij
j
p x x G p
=
≤ ≤ ∀ ∈ =
∑
.
Phân ph
ố
i ban
ñầ
u:
1
1
( ) ( ),0 1, 1
M
i i i X i i
i
P X x p x G p p
=
= = ∈ ≤ ≤ =
∑
.

Giả thiết 3.3.

Dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
{ }
1
i
i
Y Y
≥
= nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng trong
{
}
1 2 1 2
, , , , (0 ),
Y N N
G y y y y y y
= < < < <

Y
là xích Markov thu
ầ
n nh
ấ
t v
ớ
i ma tr
ậ
n xác su
ấ
t
chuy
ể
n sau 1 b
ướ
c:
ij
NxN
Q q
 
=
 



(
)
1
( 1,2, )

ij n j n i
q P Y y Y y n
+
= = = ∀ = ;
1
0 1; , : 1
N
ij i j Y ij
j
q y y G q
=
≤ ≤ ∀ ∈ =
∑
.
Phân ph
ố
i ban
ñầ
u:
1
1
( ) ( ), 0 1, 1
N
i i i Y i i
i
P Y y q y G q q
=
= = ∈ ≤ ≤ =
∑
.

12

Giả thiết 3.4.
Dãy lãi su
ấ
t
{
}
1
n
n
I I
≥
= là nh
ậ
n giá tr
ị
không âm trong t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n
{
}
1 2 1 2
, , , (0 ),

I R R
G i i i i i i I
= ≤ < < < là xích Markov thu
ầ
n nh
ấ
t v
ớ
i ma tr
ậ
n xác su
ấ
t chuy
ể
n sau 1
b
ướ
c:
kj
RxR
H r
 
=
 



(
)
1

( 1,2, )
kj n j n k
r P I i I i n
+
= = = ∀ =
;
1
0 1; , : 1
R
kj j k I kj
j
r i i G r
=
≤ ≤ ∀ ∈ =
∑
.
Phân ph
ố
i ban
ñầ
u:
1
1
( ) ( ), 0 1, 1
R
k k k I k k
k
P Y i r i G r r
=
= = ∈ ≤ ≤ =

∑
.

Giả thiết 3.5.

, ,
X Y I
là
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i nhau.
Các gi
ả
thi
ế
t 3.6-3.10 chính là xét các gi
ả
thi
ế
t 3.1-3.5 trong tr
ườ
ng h
ợ
p thay dãy bi
ế
n ng
ẫ

u nhiên
ph
ụ
thu
ộ
c Markov b
ở
i dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p không cùng phân ph
ố
i. Còn các gi
ả
thi
ế
t 3.11-
3.15 chính là xét các gi
ả
thi
ế
t 3.1-3.5 trong tr
ườ
ng h
ợ

p thay dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên ph
ụ
thu
ộ
c Markov
b
ở
i dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p.
Khi
ñ
ó, xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i, không thi
ệ

t h
ạ
i c
ủ
a mô hình (3.2)
ñế
n th
ờ
i
ñ
i
ể
m
t
l
ầ
n l
ượ
t
ñượ
c xác
ñị
nh
nh
ư
sau

(1)
1
( ) ( ) ( 0)

t
t u j
j
u P T t P U
ψ
=
 
= ≤ = <
 
 
∪
,

(1) (1)
1
( ) 1 ( ) ( 1) ( 0)
t
t t u j
j
u u P T t P U
ϕ ψ
=
 
= − = ≥ + = ≥
 
 
∩
.
Xác su
ấ

t thi
ệ
t h
ạ
i c
ủ
a mô hình (3.3)
ñế
n th
ờ
i
ñ
i
ể
m
t

l
ầ
n l
ượ
t xác
ñị
nh nh
ư
sau

(2)
1
( ) ( ) ( 0)

t
t u j
j
u P T t P U
ψ
=
 
= ≤ = <
 
 
∪
,
(2) (2)
1
( ) 1 ( ) ( 1) ( 0)
t
t t u j
j
u u P T t P U
ϕ ψ
=
 
= − = ≥ + = ≥
 
 
∩
.
Các k
ế
t qu

ả
c
ủ
a ch
ươ
ng 3 là các B
ổ

ñề
,
ñị
nh lý và h
ệ
qu
ả
sau.
Bổ ñề 3.1.
Cho s
ố
d
ươ
ng
u
, các dãy s
ố
d
ươ
ng
{ } { }
1 1

,
t t
i i
i i
x y
= =
và dãy s
ố
không âm
{
}
1
t
j
j
i
=
.
N
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i
p
nguyên d
ươ
ng mà
(1 1)

p t
≤ ≤ −
th
ỏ
a mãn
1
1
1 1
(1 ) ( ) (1 ) ,
p p
p
p k k k j p
k
k j k
y u i x y i x
−
=
= = +
≤ + + − + +
∑
∏ ∏
(3.4)
thì
1 1
1
1
1 1
(1 ) ( ) (1 ) 0.
p p
p

k k k j p
k
k j k
u i x y i x
+ +
+
=
= = +
+ + − + + >
∑
∏ ∏
(3.5)

13

Định lý 3.1.
N
ế
u mô hình (3.2) th
ỏ
a mãn các gi
ả
thi
ế
t 3.1 – 3.5 thì xác su
ấ
t không thi
ệ
t h
ạ

i
ñế
n th
ờ
i
ñ
i
ể
m
t

ñượ
c tính theo công th
ứ
c
1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
1 2 1 2 1 1 2 2
(1)
, , , 1 , , , 1 1 1 1
( ) ,
t t t t t t
t t t t
R M
t c c c c c m m m m m n n n n n
c c c x x x n g n g n g
u r r r p p p q q q
ϕ
− − −
= = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
 

=
 
 
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
(3.6)

trong
ñ
ó
1 1
1
1 1
1
ax : min (1 ) ,
k
n c m N
k
g m n y u i x y
=
 
 
= ≤ + +
  
 
 
∏
,
2 2
2 2
1

2 2
1
1 1
ax : min (1 ) ( ) (1 ) ,
k k k j
n c m n c m N
k
k j k
g m n y u i x y i x y
=
= = +
 
 
  
= ≤ + + − + +
  
 
 
 
 
∑
∏ ∏
,

1
1
1 1
ax : min (1 ) ( ) (1 ) , .
t k k k j t
t t

t
t t n c m m c m N
k
k j k
g m n y u i x y i x y
−
=
= = +
 
 
  
= ≤ + + − + +
  
 
 
 
 
∑
∏ ∏

Hệ quả 3.1.
Xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i
ñế
n th

ờ
i
ñ
i
ể
m
t
c
ủ
a mô hình (3.2) v
ớ
i các gi
ả
thi
ế
t 3.1-3.5 là:
(1) (1)
( ) 1 ( )
t t
u u
ψ ϕ
= − =

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
1 2 1 2 1 1 2 2
, , , 1 , , , 1 1 1 1
1 .
t t t t t t
t t t t
R M

c c c c c m m m m m n n n n n
c c c m m m n g n g n g
r r r p p p q q q
− − −
= = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
 
−
 
 
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
(3.7)
Bồ ñề 3.2.
Cho s
ố
d
ươ
ng
u
, các dãy s
ố
d
ươ
ng
{ } { }
1 1
,
t t
i i
i i
x y

= =
và dãy s
ố
không âm
{
}
1
t
j
j
i
=
.
N
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i
p
nguyên d
ươ
ng mà
(1 1)
p t
≤ ≤ −
th
ỏ
a mãn

1
1
1 1
(1 ) ( (1 ) ) (1 ) (1 ),
p pp
p k k k k j p p
k
k j k
y u i x i y i x i
−
=
= = +
≤ + + + − + + +
∑
∏ ∏
(3.8)
thì
1
1 1
1
1 1
(1 ) ( (1 ) ) (1 ) (1 ) 0.
p pp
k k k k j p p
k
k j k
u i x i y i x i
+
+ +
=

= = +
+ + + − + + + >
∑
∏ ∏
(3.9)
Định lý 3.2.
N
ế
u mô hình (3.3) th
ỏ
a mãn các gi
ả
thi
ế
t 3.1- 3.5 thì xác su
ấ
t không thi
ệ
t h
ạ
i
ñế
n th
ờ
i
ñ
i
ể
m
t

ñượ
c tính theo công th
ứ
c

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
1 2 1 2 1 1 2 2
(2)
, , , 1 , , , 1 1 1 1
( ) ( ).( ) ,
t t t t t t
t t t t
R M
t c c c c c m mm m m n n n n n
c c c m m m n g n g n g
u r r r p p p q q q
ϕ
− − −
= = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
 
=
 
 
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
(3.10)
trong
ñ
ó,

14

1 1 1
1
1 1
1
max : min (1 ) (1 ),
k
n c m c N
k
g n y u i x i y
=
 
 
= ≤ + + +
  
 
 
∏
,
2 2 2
2 2
1
2 2
1
1 1
ax : min (1 ) ( (1 ) ) (1 ) (1 ), ,
k k k k j
n c m c n c m c N
k

k j k
g m n y u i x i y i x i y
=
= = +
 
 
  
= ≤ + + + − + + +
  
 
 
 
 
∑
∏ ∏


1
1
1 1
max : min (1 ) ( (1 ) ) (1 ) (1 ), .
t k k k k j t t
t t
t
t t n c m c n c m c N
k
k j k
g n y u i x i y i x i y
−
=

= = +
 
 
  
= ≤ + + + − + + +
  
 
 
 
 
∑
∏ ∏

Hệ quả 3.2.
Xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i
ñế
n th
ờ
i
ñ
i
ể
m
t

c
ủ
a mô hình (3.3) v
ớ
i các gi
ả
thi
ế
t 3.1-3.5 là:
(2) (2)
( ) 1 ( )
t t
u u
ψ ϕ
= − =

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
1 2 1 2 1 1 2 2
, , , 1 , , , 1 1 1 1
1 ( ).( ) .
t t t t t t
t t t t
R M
c c c c c m mm m m n nn n n
c c c m m m n g n g n g
r r r p p p q q q
− − −
= = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
 
= −

 
 
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
(3.11)
T
ừ
các
ñị
nh lý 3.1 và
ñị
nh lý 3.2 suy ra các công th
ứ
c tính chính xác xác su
ấ
t không thi
ệ
t h
ạ
i (thi
ệ
t
h
ạ
i) c
ủ
a mô hình (3.2) và (3.3) v
ớ
i dãy bi
ế
n ng

ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph
ố
i và
ñộ
c l
ậ
p không
cùng phân ph
ố
i.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Trong ch
ươ
ng 3 c
ủ
a lu
ậ
n án, chúng tôi
ñ
ã xây d
ự
ng
ñượ
c công th
ứ

c tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i
(không thi
ệ
t h
ạ
i) cho mô hình t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
tv
ớ
i dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{
}

n
X X
=
, dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m
{
}
n
Y Y
=
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng trong t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n, dãy lãi su

ấ
t
{
}
n
I I
=
nh
ậ
n giá tr
ị
không âm trong t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n, các dãy
X ,Y ,I
là
ñộ
c l
ậ
p. Các công th
ứ
c này
c
ũ
ng
ñượ

c m
ở
r
ộ
ng
ñố
i v
ớ
i dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph
ố
i ho
ặ
c
ñộ
c l
ậ
p không cùng
phân ph
ố
i, ho
ặ
c ph

ụ
thu
ộ
c Markov. Các k
ế
t qu
ả
s
ố
c
ũ
ng
ñượ
c
ñư
a ra
ñể
minh h
ọ
a cho công th
ứ
c lý
thuy
ế
t. K
ế
t qu
ả
c
ủ

a ch
ươ
ng 3 c
ủ
a lu
ậ
n án có nh
ữ
ng
ñ
i
ể
m m
ớ
i so v
ớ
i các công trình
ñ
ã công b
ố
v
ề

tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi

ệ
t h
ạ
i), th
ể
hi
ệ
n
ở
nh
ữ
ng
ñ
i
ể
m sau
ñ
ây:
1) Các mô hình lu
ậ
n án xét g
ồ
m mô hình (3.1), (3.2), (3.3)
ñề
u là các mô hình b
ả
o hi
ể
m có tác
ñộ

ng
c
ủ
a lãi su
ấ
t tái
ñầ
u t
ư
tín d
ụ
ng.
Đ
ây là tình hu
ố
ng th
ườ
ng g
ặ
p trong th
ự
c t
ế
. Các công trình tr
ướ
c
ñ
ây
ñ
ã công b

ố
ch
ư
a xét t
ớ
i các mô hình b
ả
o hi
ể
m có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t nh
ư
mô hình (3.1), (3.2)
và (3.3).
Đ
ây c
ũ
ng là l
ầ
n
ñầ
u tiên xây d
ự
ng công th
ứ

c tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (xác su
ấ
t
không thi
ệ
t h
ạ
i) cho mô hình b
ả
o hi
ể
m t
ổ
ng quát (3.1), (3.2), (3.3).
2)
Để
thi
ế
t l
ậ
p
ñượ
c công th
ứ

c tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i) cho các mô hình
(3.2) và (3.3) c
ầ
n ph
ả
i s
ử
d
ụ
ng k
ế
t qu
ả
c
ủ
a B
ổ

ñề
3.1 và B

ổ

ñề
3.2.

15

3) Các công trình
ñ
ã công b
ố
ch
ỉ
d
ừ
ng l
ạ
i
ở
vi
ệ
c xét mô hình không có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t tái
ñầ
u

t
ư
tín d
ụ
ng v
ớ
i dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên nh
ậ
n giá tr
ị
nguyên không âm. Lu
ậ
n án
ñ
ã xây d
ự
ng
ñượ
c các
công th
ứ
c tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h

ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i) c
ủ
a mô hình (3.2), (3.3) có tác
ñộ
ng c
ủ
a
lãi su
ấ
t m
ở
r
ộ
ng cho dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng tùy ý trong t
ậ

p h
ữ
u h
ạ
n. K
ế
t qu
ả
này
t
ạ
o c
ơ
s
ở
lý thuy
ế
t
ñể
m
ở
r
ộ
ng công th
ứ
c tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h

ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i) c
ủ
a các
mô hình (3.2) và (3.3) cho dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên liên t
ụ
c nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng trong t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n.
4) V
ề
ch

ứ
ng minh k
ế
t qu
ả
chính c
ủ
a ch
ươ
ng 3 c
ủ
a lu
ậ
n án.
a) Xét mô hình t
ổ
ng quát không có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t (xem [33])
1 1
t t
t i i
i i
U u X Y
= =
= + −

∑ ∑
(3.12)
V
ớ
i
{
}
i
X
là dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m,
{
}
i
Y
là dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m l
ầ

n l
ượ
t là các dãy
ñộ
c l
ậ
p
cùng phân ph
ố
i.
Đồ
ng th
ờ
i, các dãy
{
}
{
}
,
i i
X Y
nh
ậ
n giá tr
ị
nguyên t
ừ

0

ñế
n
M
;
,
u t
nh
ậ
n giá tr
ị

nguyên d
ươ
ng và
1 1
( ) ; ( ) ( 0, ).
k k
P X k p P Y k q i M
= = = = =

Khi
ñ
ó, xác su
ấ
t không thi
ệ
t h
ạ
i
ñế

n th
ờ
i k
ỳ

t
c
ủ
a mô hình (3.12)
ñượ
c tính theo công th
ứ
c

1 2 1 1 1 2
1 1 1
1 2 2
1
0 0
0
1
0

0
( ) .
t t t
i i
o
t t
H

t k k k k k i i i
k k M i k u
i i k u
i t
k
i i k u
u q q q p p p
ψ
−
−
− −
≤ − ≤ ≤ < +
≤ + < +
≤ ≤
=
≤ + + < +
=
∑ ∑
(3.14)
Cách chứng minh công thức (3. 47) (theo Hong, N.T.T. [33])
Trước hết, xác suất không thiệt hại ñến thời kỳ
t
của mô hình (3.12)

1
( ) ( ) ( 0)
t
H
t i
i

u P A P U
ψ
=
 
= = ≥
 
 
∩
.
Đặt các tổng
1 1
; .
t t
t i t i t t t
i i
V X S Y U u V S
= =
= =
⇒
= + −
∑ ∑
Khi ñó
1 2 1 1 2 2
( 0) ( 0) ( 0) ( ) ( ) ( )
t t t
A U U U u V S u V S u V S
= ≥ ∩ ≥ ∩ ∩ ≥ = + > ∩ + > ∩ ∩ + ≥

Mấu chốt chứng minh ở ñây là do dãy
i

X
nhận giá trị nguyên từ
0
ñến
M
nên
i
V
nhận giá trị
nguyên dương từ 0 ñến
iM
. Do vậy
i
V
gán nhận giá trị bằng
i
k
(
i
k
ñi từ 0 ñến
iM
). Khi ñó

1 2 2
2
1 1 2 2 2
0 0 0
( ) ( ) ( ).
M M tM

t
k k k
A u k S u k S u k S
= = =
= + > ∩ + > ∩ ∩ + >
∪ ∪ ∪
(3.15)
Sau ñó cũng do giả thiết
i
Y
nhận giá trị nguyên từ
0
ñến
M
nên
i
S
ñược gán nhận giá trị bằng
i
h

(
i
h
ñi từ
0
ñến
iM
). Cuối cùng, sẽ xây dựng ñược công thức (3.14).
b) Xét mô hình t

ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t h
ằ
ng s
ố
(xem [4])
1
1 1
(1 ) (1 ) (1 )
t t
t t i t i
t i i
i i
U u r X r Y r
− + −
= =
= + + + − +
∑ ∑
(3.16)

16

Với giả thiết
, , ,

i i
u t X Y

nhận giá trị nguyên dương,
r
lãi suất nhận giá trị dương và
1 1
( ) ( 1, ); ( ) ( 1, ).
k k
P X k p k M P Y k q k N
= = = = = =

Khi ñó, xác suất không thiệt hại ñến thời kỳ
t
ñược tính theo công thức

1 2 1 2
1 2
, , 1
1 ( 1, )
( ) ,
t t
t
i i
M
Q
t x x x y y y
x x x
y g i t
u p p p p p p

ψ
=
≤ ≤ =
=
∑ ∑
(3.17)
Trong ñó,
[
]
{
}
1 1
min (1 ) (1 ) ,
g u r x r N
= + + + ,
2 1
2 3 2
2
1 1
min (1 ) (1 ) (1 ) ,
k k
k k
k k
g u r x r y r N
− −
= =
 
 
= + + + − +
 

 
 
 
∑ ∑
, (3.18)
…
1
1
1 1
min (1 ) (1 ) (1 ) ,
t t
t t k t k
t k k
k k
g u r x r y r N
−
+ − −
= =
 
 
= + + + − +
 
 
 
 
∑ ∑
,
[
]
1

(1 ) (1 )
u r x r
+ + +
là phần nguyên của
1
(1 ) (1 )
u r x r
+ + +
.
Bây giờ dùng cách ñặt tổng như chứng minh của Hong, N.T.T. [33] ñể chứng minh hoặc xây dựng
công thức tính xác suất không thiệt hại cho mô hình (2.49).
Nếu với cách ñặt
1
1 1
(1 ) ; (1 ) (1 ) .
t t
t i t i t
t i t i t t t
i i
V X r S Y r U u r V S
− + −
= =
= + = +
⇒
= + + −
∑ ∑

Khi ñó

[ ]

1 2
2
1 1 2 2
( 0) ( 0) ( 0)
(1 ) (1 ) (1 ) .
t
t
t t
A U U U
u r V S u r V S u r V S
= ≥ ∩ ≥ ∩ ∩ ≥
   
= + + ≥ ∩ + + ≥ ∩ ∩ + + ≥
   

Ký hiệu:
{
}
1
ax : 1, 2, ,
i
K m V i t
= =
{
}
2
ax : 1, 2, .
i
K m S i t
= =

Tuy nhiên do trong biểu thức của
( 1, 2, )
j
V j t
= mỗi số hạng có nhân tử
1
(1 )
j i
r
− +
+ nhân với
i
X

nên
j
V
nhận giá trị dương tùy ý trong khoảng
1
(0, ]
K
nên không thể gán ñược như cách làm ở mô
hình (3.12), trong biểu thức của
( 1, 2, , )
j
S j t
=
mỗi số hạng có nhân tử
(1 )

j i
r
−
+
nhân với
i
Y
nên
j
S
nhận giá trị dương tùy ý trong khoảng
2
(0, ]
K
nên không thể gán ñược như cách làm ở mô hình
(3.12). Như vậy cách ñặt tổng như chứng minh của Hong, N.T.T. [33] không sử dụng ñược cho mô
hình (3.16).
Chính vì vậy ñể khắc phục ñiều này nhằm chứng minh và xây dựng công thức (3.17), tác giả luận
án (xem [4] (danh mục các công trình của tác giả luận án) bắt buộc phải tách mô hình (3.16) dưới
dạng

1
1
1 1
(1 ) (1 ) (1 )
t t
t t i t i
t i i t
i i
U u r X r Y r Y

−
− + −
= =
= + + + − + −
∑ ∑

Khi ñó

17


( ) ( ) ( )
1 2
1
: ( 0) 0 0 0
t
j t
j
A U U U U
=
= ≥ = ≥ ∩ ≥ ∩ ∩ ≥
∩

(
)
1 1
(1 ) (1 )
Y u r X r
= ≤ + + + ∩

2 1
2 3 2
2
1 1
(1 ) (1 ) (1 )
k k
k k
k k
Y u r X r Y r
− −
= =
 
≤ + + + − + ∩
 
 
∑ ∑

3 2
3 4 3
3
1 1
(1 ) (1 ) (1 )
k k
k k
k k
Y u r X r Y r
− −
= =
 
≤ + + + − + ∩

 
 
∑ ∑

1
1
1 1
(1 ) (1 ) (1 ) .
t t
t t k t k
t k k
k k
Y u r X r Y r
−
+ − −
= =
 
∩ ≤ + + + − +
 
 
∑ ∑
(3.19)
Sau ñó mới sử dụng giả thiết
i
X
nguyên dương nhận giá trị từ
1
ñến
M
.Từ (3.19) ta suy ra ñiều

kiện của
i
Y
và ñồng thời
i
Y
nguyên dương nhận giá trị từ
1
ñến
N
. Do vậy,
1
Y
gán nhận giá trị
nguyên dương từ
1
ñến
1
g
,
2
Y
gán nhận giá trị nguyên dương từ 1 ñến
2
g
, ….,
t
Y
gán nhận giá trị
từ 1 ñến

t
g
(với
i
g
xác ñịnh ở công thức (3.18)).Từ ñó, xây dựng ñược công thức (3.17). Chi tiết
chứng minh ñược trình bày trong công trình [4] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án).
Kết quả của công trình [4] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án) có thể mở rộng cho
trường hợp
,
i i
X Y
nhận giá trị dương tùy ý trong tập hữu hạn.
c) Xét mô hình t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t (xem [1])
Chẳng hạn, xét mô hình
1
(1 ) ; 1,2,
t t t t t
U U I X Y t
−
= + + − =
(3.20)

Khi ñó, (3.20) ñược viết dưới dạng
1
1 1
. (1 ) ( ) (1 )
t t
t
t k k k j
k
k j k
U u I X Y I
=
= = +
 
= + + − +
 
 
∑
∏ ∏

Khi ñó, xác suất không thiệt hại của mô hình (3.20) với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần
nhất ñược cho ở công thức (3.9) của ñịnh lý 3.1 ở chương 3 của luận án.
Bây giờ dùng cách ñặt tổng như chứng minh của Hong, N.T.T [33] ñể chứng minh hoặc xây dựng
công thức tính xác suất không thiệt hại cho mô hình (3.20). Để sử dụng ñược tổng, chẳng hạn ta viết
1 1
1 1 1
. (1 ) (1 ) (1 )
t t t
t t
t k k j k j
k k

k j k j k
U u I X I Y I
= =
= = + = +
= + + + − +
∑ ∑
∏ ∏ ∏
,
t t t
V S P
= + −
(3.21)
ho
ặ
c
1 1
1 1 1
(1 ) (1 ) (1 )
t t t
t t
t k k j k j
k k
k j k j k
U u I X I Y I
= =
= = + = +
 
= + + + − +
 
 

∑ ∑
∏ ∏ ∏
.
t t
V P
= −
(3.22)

V
ớ
i cách
ñặ
t (3.21), ta có
( ) ( ) ( )
1 2
1
: ( 0) 0 0 0
t
j t
j
A U U U U
=
= ≥ = ≥ ∩ ≥ ∩ ∩ ≥
∩


18

(
)

1 1 1 2 2 2
( ) ( ) .
t t t
V S P V S P V S P
= + ≤ ∩ + ≤ ∩ + ≤

V
ớ
i cách
ñặ
t (3.22), ta có
( ) ( ) ( )
1 2
1
: ( 0) 0 0 0
t
j t
j
A U U U U
=
= ≥ = ≥ ∩ ≥ ∩ ∩ ≥
∩

(
)
1 1 2 2
( ) ( ) .
t t
V P V P V P
= ≤ ∩ ≤ ∩ ≤

Xét cách
ñặ
t (3.21), ký hi
ệ
u

{
}
1
ax 1, 2, ,
i
K m V i t
= =
{
}
2
ax : 1, 2, ,
i
K m S i t
= =
{
}
3
ax : 1, 2, .
i
K m P i t
= =

Vì

,
i i
X Y
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng và
i
I
nh
ậ
n giá tr
ị
không âm nên
i
V
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng tùy ý trong
kho
ả
ng
1

(0, ]
K
,
i
S
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng tùy ý trong kho
ả
ng
2
(0, ]
K
,
i
P
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng tùy ý trong
kho
ả
ng

3
(0, ]
K

nên không th
ể
s
ử
d
ụ
ng cách
ñặ
t t
ổ
ng nh
ư
ch
ứ
ng minh c
ủ
a

Hong, N.T.T [33]
ñượ
c .
T
ươ
ng t
ự
v

ớ
i cách
ñặ
t (3.55) ho
ặ
c các cách
ñặ
t t
ổ
ng khác
ñề
u không s
ử
d
ụ
ng
ñượ
c nh
ư
ch
ứ
ng minh
c
ủ
a

Hong, N.T.T [33].
Chính vì v
ậ
y, lu

ậ
n án kh
ắ
c ph
ụ
c b
ằ
ng cách tách mô hình (3.20) d
ướ
i d
ạ
ng sau
1
1
1 1
. (1 ) ( ) (1 )
t t
t
t k k k j t t
k
k j k
U u I X Y I X Y
−
=
= = +
 
= + + − + + −
 
 
∑

∏ ∏
(3.23)
Khi
ñ
ó:
1
: ( 0)
t
j
j
A U
=
= ≥
∩
1
1 1
1
(1 )
k
k
Y u I X
=
 
= ≤ + + ∩
 
 
∏

2 2
1

2 2
1
1 1
(1 ) ( ) (1 )
k k k j
k
k j k
Y u I X Y I X
=
= = +
 
≤ + + − + + ∩
 
 
∑
∏ ∏

3 3
2
3 3
1
1 1
(1 ) ( ) (1 )
k k k j
k
k j k
Y u I X Y I X
=
= = +
 

≤ + + − + + ∩
 
 
∑
∏ ∏

1
1
1 1
(1 ) ( ) (1 ) .
t t
t
t k k k j t
k
k j k
Y u I X Y I X
−
=
= = +
 
∩ ≤ + + − + +
 
 
∑
∏ ∏
(3.24)

Sau
ñ
ó m

ớ
i s
ử
d
ụ
ng gi
ả
thi
ế
t
i
I
nh
ậ
n giá tr
ị
không âm trong t
ậ
p
{
}
1 2
, , , ,
I R
G i i i
=
m
ớ
i gán
i

I
nh
ậ
n
giá tr
ị
t
ừ

1 2
, , , .
R
i i i
R
ồ
i do gi
ả
thi
ế
t
i
X
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng trong t
ậ

p
{
}
1 2
, , ,
X M
G x x x
=
m
ớ
i gán
i
X
nh
ậ
n giá tr
ị
t
ừ

1 2
, , , .
M
x x x
Cu
ố
i cùng t
ừ
công th
ứ

c (3.24) thu
ñượ
c các
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a
i
Y
và s
ử

d
ụ
ng
i
Y
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng trong t
ậ
p

{
}
1 2
, , ,
Y N
G y y y
=

ñể
cho
1
Y
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng t
ừ

1

ñế
n
1
g
,
2
Y

nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng t
ừ
1
ñế
n
2
g
, ….,
t
Y
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng t
ừ
1
ñế
n
t
g
(v

ớ
i
i
g
xác
ñị
nh trong
ñị
nh lý 3.1). T
ừ

ñ
ó, xây d
ự
ng
ñượ
c công th
ứ
c (3.9) c
ủ
a
ñị
nh lý 3.1. Chi ti
ế
t ch
ứ
ng minh
ñượ
c trình
bày trong

ñị
nh lý 3.1
ở
m
ụ
c 3.1 ch
ươ
ng 3 c
ủ
a lu
ậ
n án.

19

V
ậ
y dùng ph
ươ
ng pháp ch
ứ
ng minh c
ủ
a lu
ậ
n án có th
ể
xây d
ự
ng và ch

ứ
ng minh
ñượ
c công th
ứ
c
tính xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i) cho mô hình t
ổ
ng quát (3.1), (3.2), (3.3).
Đồ
ng th
ờ
i c
ũ
ng suy
ra
ñượ
c công th
ứ
c tính xác su

ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i) cho mô hình (3.46). C
ụ
th
ể
cho r = 0
(trong [4]) ho
ặ
c I
n
= 0 (trong [1]) thì có ngay công th
ứ
c tính xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ

i) cho
mô hình (3.46). Tuy nhiên dùng cách
ñặ
t t
ổ
ng nh
ư
ch
ứ
ng minh c
ủ
a Hong, N.T.T [33] ch
ỉ
xây d
ự
ng
ñượ
c công th
ứ
c tính xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i) cho mô hình (3.46) mà không th

ể
xây d
ự
ng
ñượ
c công th
ứ
c tính xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (ko thi
ệ
t h
ạ
i) cho mô hình (3.1), (3.2) và (3.3).

20

KẾT LUẬN CHUNG


Trong lu
ậ
n án, chúng tôi
ñ
ã thu
ñượ

c các k
ế
t qu
ả
m
ớ
i ch
ủ
y
ế
u sau
ñ
ây:
1.
Trong ch
ươ
ng 2 c
ủ
a lu
ậ
n án, chúng tôi nghiên c
ứ
u mô hình b
ả
o hi
ể
m t
ổ
ng quát v
ớ

i dãy bi
ế
n ng
ẫ
u
nhiên là xích Markov thu
ầ
n nh
ấ
t. Các công trình tr
ướ
c
ñ
ây ch
ỉ
d
ừ
ng l
ạ
i xây d
ự
ng b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
Lundberg t
ổ

ng quát cho mô hình này v
ớ
i dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m và dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m là các
dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph
ố
i ho
ặ
c dãy bi

ế
n ng
ẫ
u nhiên ph
ụ
thu
ộ
c h
ồ
i quy. S
ử
d
ụ
ng
ph
ươ
ng pháp
ñệ
quy và ph
ươ
ng pháp Martingale, lu
ậ
n án l
ầ
n
ñầ
u tiên xây d
ự
ng
ñượ

c các b
ấ
t
ñẳ
ng
th
ứ
c
ướ
c l
ượ
ng xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i d
ướ
i d
ạ
ng hàm m
ũ
cho mô hình b
ả
o hi
ể
m t
ổ
ng quát có tác

ñộ
ng
c
ủ
a lãi su
ấ
t trong tr
ườ
ng h
ợ
p: dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{
}
n
X X
=
, dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể

m
{
}
n
Y Y
=

là các xích Markov thu
ầ
n nh
ấ
t không âm, còn dãy lãi su
ấ
t
{
}
n
I I
=
là dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên liên t
ụ
c
nh
ậ
n giá tr
ị

không âm,
ñộ
c l
ậ
p, cùng phân ph
ố
i, các dãy
X ,Y ,I

ñề
u
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i nhau. K
ế
t qu
ả
s
ố

minh h
ọ
a cho các
ướ
c l
ượ
ng ch

ặ
n trên cho các xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i c
ủ
a các mô hình
ñ
ó c
ũ
ng
ñượ
c gi
ớ
i
thi
ệ
u trong ch
ươ
ng này.
K
ế
t qu
ả
chính c
ủ
a ch

ươ
ng này là các
ñị
nh lý 2.1
ñế
n
ñị
nh lý 2.6.
2.
Trong ch
ươ
ng 3 c
ủ
a lu
ậ
n án, chúng tôi
ñ
ã m
ở
r
ộ
ng
ñượ
c các k
ế
t qu
ả
c
ủ
a Hong, N.T.T. [33], lu

ậ
n
án l
ầ
n
ñầ
u tiên xây d
ự
ng
ñượ
c công th
ứ
c tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i) cho mô
hình t
ổ
ng quát có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su

ấ
t b
ấ
t k
ỳ
v
ớ
i dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{
}
n
X X
=
, dãy ti
ề
n chi tr
ả

b
ả
o hi
ể
m
{

}
n
Y Y
=
nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng trong t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n, dãy lãi su
ấ
t
{
}
n
I I
=
nh
ậ
n giá tr
ị
không
âm trong t

ậ
p h
ữ
u h
ạ
n, các dãy
X ,Y ,I
là
ñộ
c l
ậ
p. Các công th
ứ
c tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i
(không thi
ệ
t h
ạ
i)
ñượ
c
ñư
a ra trong lu
ậ

n án
ñề
u xem xét
ñố
i v
ớ
i các tr
ườ
ng h
ợ
p: dãy bi
ế
n ng
ẫ
u
nhiên
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph
ố
i ho
ặ
c
ñộ
c l
ậ
p không cùng phân ph
ố
i, ho

ặ
c ph
ụ
thu
ộ
c Markov. Các mô
hình lu
ậ
n án xét g
ồ
m mô hình (3.1), (3.2), (3.3)
ñề
u là các mô hình b
ả
o hi
ể
m có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi
su
ấ
t tái
ñầ
u t
ư
tín d
ụ
ng.

Đ
ây là tình hu
ố
ng th
ườ
ng g
ặ
p trong th
ự
c t
ế
. Bên c
ạ
nh
ñ
ó, các công th
ứ
c
tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i) c
ủ

a mô hình (3.2), (3.3)
ñượ
c m
ở
r
ộ
ng cho dãy
bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng tùy ý trong t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n. K
ế
t qu
ả
này t
ạ
o c

ơ
s
ở
lý thuy
ế
t
ñể
m
ở

r
ộ
ng công th
ứ
c tính chính xác xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i (không thi
ệ
t h
ạ
i) c
ủ
a các mô hình
ñ
ó cho dãy bi
ế

n
ng
ẫ
u nhiên liên t
ụ
c nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng trong t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n.
Các k
ế
t qu
ả
s
ố
minh h
ọ
a cho công th
ứ
c tính chính xác xác su
ấ

t thi
ệ
t h
ạ
i cho các mô hình
ñ
ó c
ũ
ng
ñượ
c gi
ớ
i thi
ệ
u trong ch
ươ
ng này.

21

K
ế
t qu
ả
chính c
ủ
a ch
ươ
ng 3 là các
ñị

nh lý 3.1 và
ñị
nh lý 3.2, các k
ế
t qu
ả
này
ñ
ã xây d
ự
ng
ñượ
c
công th
ứ
c tính chính xác xác su
ấ
t không thi
ệ
t h
ạ
i (thi
ệ
t h
ạ
i) c
ủ
a mô hình (3.2) và (3.3) v
ớ
i dãy bi

ế
n
ng
ẫ
u nhiên ph
ụ
thu
ộ
c Markov v
ớ
i dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m và dãy ti
ề
n chi tr
ả
b
ả
o hi
ể
m nh
ậ
n giá tr
ị

d

ươ
ng trong t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n, còn dãy lãi su
ấ
t nh
ậ
n giá tr
ị
không âm trong t
ậ
p h
ữ
u h
ạ
n. T
ừ
các
ñị
nh lý
3.1 và
ñị
nh lý 3.2 suy ra các công th
ứ
c tính chính xác xác su
ấ

t không thi
ệ
t h
ạ
i (thi
ệ
t h
ạ
i) c
ủ
a mô
hình (3.2) và (3.3) v
ớ
i dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph
ố
i và
ñộ
c l
ậ
p không cùng phân
ph
ố

i.
Các k
ế
t qu
ả
chính cu
ả
lu
ậ
n án
ñ
ã
ñượ
c công b
ố
trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]
(xem danh m
ụ
c công trình c
ủ
a tác gi
ả
).
Lu
ậ
n án m
ở
ra m
ộ
t s

ố
v
ấ
n
ñề
có th
ể
ti
ế
p t
ụ
c nghiên c
ứ
u sau
ñ
ây:
a.
M
ở
r
ộ
ng các k
ế
t qu
ả
c
ủ
a ch
ươ
ng 3 cho dãy bi

ế
n ng
ẫ
u nhiên liên t
ụ
c nh
ậ
n giá tr
ị
d
ươ
ng.
b.
Trong bài toán
ướ
c l
ượ
ng xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i b
ằ
ng b
ấ
t
ñẳ
ng th

ứ
c: so sánh các
ướ
c l
ượ
ng b
ằ
ng
ph
ươ
ng pháp
ñệ
quy và ph
ươ
ng pháp Martingale. Xây d
ự
ng ví d
ụ
s
ố
cho các
ướ
c l
ượ
ng b
ấ
t
ñẳ
ng
th

ứ
c b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp Martingale.
c.

Ướ
c l
ượ
ng xác su
ấ
t cho m
ộ
t s
ố
mô hình b
ả
o hi
ể
m v
ớ
i các dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên ph
ụ
thu

ộ
c theo
ngh
ĩ
a mixing.
d.
Nghiên c
ứ
u
ướ
c l
ượ
ng xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i cho các bài toán tái b
ả
o hi
ể
m.