Độ đo xác suất trên không gian hàm và không gian hilbert

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN HÀ N®I
———————————–

NGUYEN THE LÂM

Đ® ĐO XÁC SUAT TRÊN KHÔNG GIAN HÀM
VÀ KHÔNG GIAN HILBERT
Chuyên ngành: Lý thuyet xác suat và thong kê
tốn hoc
Mã so: 60.46.15

LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC
TỐN HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC

GS.TSKH. Đ¾ng Hùng Thang

Hà N®i - 2013

i


Mnc lnc
Mnc lnc

ii

1 Đ® đo xác suat trên khơng gian Metric

1

1.1 Tính chính quy................................................................................. 1
1.2 Giá cna m®t đ® đo..........................................................................2
1.3 Tớnh chat Radon...............................................................................3
1.4 đ o hon hao...............................................................................4
1.5 Liờn hắ giua phiem hàm tuyen tính và đ® đo.................................6
1.6 Tơpơ yeu trong khơng gian các đ® đo.............................................12
1.7 Sn h®i tu cna phân phoi mau..........................................................19
2 Đ® đo xác suat trên khơng gian Hilbert

21

2.1 Giúi thiắu.........................................................................................21
2.2 Hm ắc trng v tiờu chuan compact...........................................21
2.3 Mđt ưóc lưong cna phương sai.......................................................30
2.4 Phân phoi chia vơ han......................................................................34
2.5 Tiờu chuan compact.........................................................................40
2.6 Luắt ket hop....................................................................................46
3 đ o xỏc suat trờn C[0,1]

51

3.1 Giúi thiắu.........................................................................................51
3.2 Cỏc đ o xỏc suat trờn C [0, 1]...........................................................52
3.3 Mđt ieu kiắn cho sn ton tai m®t q trình ngau nhiên vói quy đao
trong C[0, 1].............................................................................................55
3.4 Sn h®i tu tói chuyen đ®ng Brownian...............................................56
3.5 Phân bo cna bien ngau nhiờn liờn hắ vúi chuyen đng Brownian. 60
Ti li¾u tham khao................................................................................... 65

ii


Lài ma đau
Đ® đo xác suat trên khơng gian metric là m®t lĩnh vnc quan

cna xác suat

TRQNG

thong kê. Đe giúp đ®c gia hieu rõ hơn ve đ® đo, các tính chat cna đ® đo, vai trị
cna đ® đo cũng như moi liờn hắ cna đ o vúi cỏc lnh vnc tốn

HQc

khác, tơi đã

hồn thành lu¾n văn này.
Lu¾n văn đưoc chia thành 3 chương cùng vói phan mo đau, ket lu¾n, danh
muc tài li¾u tham khao và phu luc.
Chương 1: Trình bày ve đ® đo xác suat trên khơng gian metric.
Chương 2: Trình bày ve đ® đo xác suat trên khơng gian Hilbert.
Chương 3: Trình bày ve đ® đo xác suat trên C[0,1].
Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan khoa
Hùng Thang thu®c khoa Tốn - Cơ - Tin trưịng Đai

HQc

HQ c

cna GS.TSKH.Đ¾ng

Khoa

HQ c

Tn nhiên -

ĐHQGHN. Tơi xin bày to lòng biet ơn chân thành đen thay ve sn giúp đõ khoa
HQ c

mà thay đã dành cho tôi và đã tao nhung đieu ki¾n thu¾n loi nhat đe tơi hồn

thành lu¾n văn.
Nhân d%p này, tơi cũng xin bày to lịng biet ơn sâu sac đen các thay phan bi¾n,
nhung ngưịi đã đQc và đóng góp ý kien cho tơi đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n hơn.
Qua đây tơi cũng xin gui lịi cam ơn tói các thay cơ trưịng Đai
nhiên, ai

HQ c

HQc

Khoa

HQc

Tn

Quoc gia H nđi ó tắn tỡnh giang day, cung cap kien thỳc e tụi

ngy mđt hon thiắn hn ve chun mơn. Cuoi cùng tơi xin gui lịi cam ơn tói gia
đình và ngưịi thân đã tao đieu ki¾n tot nhat cho tơi trong thịi gian làm lu¾n văn.
M¾c dù đã het súc co gang, song lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót.
Em rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna thay cơ và các ban đe luắn vn cna em oc
hon thiắn hn.
H Nđi, thỏng 9 năm 2013

iii


Danh mnc các ký hi¾u
1. C (X): Khơng gian các hàm liên tuc và b% ch¾n trên X;
2. C [0, 1]: Không gian các hàm liên tuc trên [0, 1];
3. Cµ: Giá cna µ;
4. d (x, A) = inf d (x, y);
yA

5. à l đ o xỏc %nh boi : µ¯ (A) = µ (−A);
6. µ (A): Đ® đo cna tắp
2

A; 7. |à| := à à;
8. à (y): Hm ắc trng cna à;
9. à à: à hđi tu yeu túi à;
10.à : Tớch chắp cna à v ν;
11.M (X): Khơng gian các đ® đo xác suat trên X;
12.f|A : f han che trên A;
13.W: Đ® đo wiener.

Chương 1
Đ® đo xác suat trên khơng gian
Metric
1.1

Tính chính quy

Chúng ta hieu mđt đ o à trờn mđt khụng gian Metric l mđt hm tắp khụng
õm, cđng tớnh em oc µ trên lóp các t¾p Borel BX thoa mãn µ(X) = 1.
%nh ngha 1.1. Cho à l mđt đ o trờn khụng gian Metric X. Mđt tắp Borel
A X đưac GQI là µ−chính quy neu
.
µ (A) = sup µ (C) : C ⊆ A, C đóng
.
Σ
= inf µΣ(U ) : A U, U mỏ .
Neu

MQI

tắp Borel l àchớnh quy ta nói rang µ là chính quy.

Đ%nh lý 1.1. Cho X l mđt khụng gian Metric v à l mđt đ o trong X. Khi
ú mđt tắp A BX là µ−chính quy khi và chs khi vái MQI ε > 0 ton tai t¾p má
Uε và t¾p đóng Cε sao cho:
(i) Cε ⊆ A ⊆ Uε ;
(ii) µ(Uε − Cε) < ε.
Đ%nh lý 1.2. Cho X là m®t khụng gian Metric v à l đ o bat kỡ trờn X. Khi ú

à l chớnh quy.
Chỳng minh. Kớ hiắu B = {A ⊂ X : A−µ chính quy}
⇒ B ⊂ BX.

1


Boi vì φ, X vùa là t¾p đóng, vùa là t¾p mo ⇒ φ ∈ B, X ∈ B. B là đóng đoi
vói phép lay phan bù. Th¾t v¾y , cho A ∈ B và ε > 0. Khi đó ton tai t¾p mo
Uε ⊇ A và t¾p đóng Cε ⊆ A sao cho µ(Uε − Cε) < ε. Ta có
UεJ ⊆ AJ ⊆ CεJ , CεJ − UεJ = Uε
− Cε µ(CεJ − UεJ ) = µ(Uε −
Cε ) < ε
⇒ AJ ∈ B.
V¾y B đóng đoi vói phép lay phan bù . Ta chúng minh B đóng đoi vói phép hop
S
đem đưoc. Th¾t v¾y, cho A1, A2, ... ∈ B, ∞
Ai. Cho ε > 0 co đ%nh nhưng tùy
A=
i=1
ý. Do An ∈ B nên ton tai t¾p mo Un,ε và t¾p đóng Cn,ε sao cho Cn,ε ⊆ An ⊆ Un,ε
S
S
∞
và
−Cn,ε) ε . Đ¾t Uε =
Un,ε, C = Cn,ε . Do à l mđt đ o nờn ta
à(Un,
n=1
n

<3n
k
S

cú the cHQN mđt so k n lún e à(C


Cn,) < .Đ¾t
2
n=1 C =
ε
là t¾p mo, Cε− là t¾p đóng, Cε ⊆ A ⊆ Uε và

k
S

Cn,ε. Khi đó Uε−

n=1

µ(Uε − Cε) ≤
ε − C) + µ(C − Cε)
Σµ(U
∞
≤
µ (Un,ε − C
)+
ε
n,ε

n=1

2

Σε
ε
+ = .
<
2
3n

Suy ra A B. Vắy B l mđt σ- đai so. Tiep theo ta chúng minh B chúa tat ca
các t¾p đóng. Cho C ⊂ X là t¾p đóng và ε > 0 ⇒ C là m®t Gσ . Do đó
∞

ton tai các

T
t¾p mo U1, U2, ..., U1 ⊇ U2 ⊇ ... sao cho C =
Un . Do µ(Un) → µ(C) ⇒ ∃n0 :
n=1
µ(Un0 − C) < ε. Lay Cε = C, Uε = Un0 ⇒ µ(Uε − Cε) < ε
⇒ C ∈ B.

1.2

Giá cua m®t đ® đo

Đ%nh lý 2.1. Cho X là m®t khơng gian Metric tách ac v à l mđt đ o trờn
X. Khi ú ton tai duy nhat mđt tắp úng Cà thúa món:

i) µ(Cµ) = 1,
6


ii) Neu D là t¾p đóng nào đó sao cho µ(D) = 1 thì Cµ ⊆ D. Hơn nua Cµ là t¾p
tat ca các điem x ∈ X sao cho µ(U ) > 0 vái MQI t¾p má U chúa x.

7


Chỳng minh. ắt U = {U:U mo,à (U) = 0 }
. Boi vì X là tách đưoc ⇒ có nhieu
S
S
S
đem
đưoc
các
t¾p
mo
U
U
{U
:
U
∈
U}.
Kí
hi¾u
Un

1, U 2, ... sao cho
n =
= Uà. ắt
n
Sn

Cà = X − Uµ. Boi vì µ(Uµ) = µ( Un) ≤
µ(Un) = 0 à(Cà) = 1. Hn nua,
neu D l tắp đóng thoa mãn µ(D) = 1 ⇒ µ(X − D) = 0 ⇒ X − D ∈ U và do
đó X − D ⊆ Uµ túc là Cµ ⊆ D. Tính duy nhat cna Cµ là hien nhiên. Đe chúng
minh khang đ%nh cuoi cùng chú ý rang vói x ∈ X Cà , Uà l mđt tắp mo
chỳa x và µ(Uµ) = 0. Trái lai, neu x ∈ Cµ v U l mđt tắp mo chỳa x à(U ) >
0, neu khơng thì U ⊆ Uµ (theo đ%nh ngha cna Uà ).
%nh ngha 2.1. Tắp úng Cà trong %nh lớ 2.1 ac

GQI

l giỏ cua à .

Hắ qua 2.1. Cho X l mđt khụng gian Metric v à l m®t đ® đo trên X sao cho
vái E ⊆ X, E l tắp Borel tỏch ac, à(X E) = 0. Khi ú à cú mđt giỏ tỏch
ac v Cà ⊆ E.

1.3

Tính chat Radon

Bây giị ta se nghiên cúu m®t lóp nho hơn các đ® đo trên khơng gian Metric Cỏc đ o chắt. Cỏc đ o chắt oc xỏc đ%nh boi các giá tr% cna chúng đoi
vói các t¾p compact.
%nh ngha 3.1. Mđt đ o à trờn mđt khụng gian Metric X đưac GQI là ch¾t neu

∀ε > 0 ton tai mđt tắp compact K X sao cho µ(X − Kε) < ε.
Đ%nh lý 3.1. Cho X là mđt khụng gian Metric v à l mđt đ o chắt trờn X. Khi
ú à cú mđt giỏ tỏch ac và vái t¾p Borel bat kì E và ε > 0 no ú, cú mđt tắp
compact K E vỏi µ(E − Kε) < ε.
Chúng minh. Gia su Kn là mđt tắp compact sao cho à(X Kn) < 1n. Mđt tắp
S
compact trong mđt khụng gian metric l tỏch oc và do đó Kn là tách đưoc.
n
S
Neu E0 = Kn µ(E0) = 1. Do đó khang đ%nh thú nhat đưoc suy ra tù h¾ qua
n

⇒gia su E ∈ B X. Theo %nh lớ 1.2, ton tai mđt tắp úng C ⊆ E sao cho
2.1. Bây giị
µ(E −C ε ) <2ε . Vói N đn lón, µ(X −K N ) <
. Đ¾t Kε = Cε ∩K N . Boi vì Cε đóng ,
2
Kε compact . Hơn nua, Kε ⊆ Cε ⊆ E. µ(E−Kε ) ≤ µ(E−C ε )+µ(X−KN ) < ε.
Bo đe 3.1. Cho X là m®t khơng gian Metric đu và K ⊆ X, K- đóng . Gia su vái
Sk n
mői n, ton tai m®t so nguyên kn sao cho K ⊆
Snj , Snj là hình cau đóng bán
j=1

n

kính 1 trong X. Khi đó K là compact.


Đ%nh lý 3.2. Cho X là m®t khơng gian metric tách đưac thóa mãn ton tai m®t

khơng gian metric tách ac, u
sao cho X ac chỳa trong
nh mđt tắp con
X
X
tụpụ v X l mđt tắp con Borel cua . Khi ú MQI đ o à trờn X l chắt. ắc
X
biắt neu X là m®t khơng gian metric tách đưac, đay u thỡ MQI đ o trờn
X l chắt.
Chỳng minh. Gia su X ⊆ X∼ , X∼ là không gian metric tỏch oc, ay n v X l
mđt tắp con borel cna X . Cho trúc mđt đ o à trờn BX . Ta đ%nh nghĩa µ∼ trên
lóp B ∼ bang cỏch
X
ắt
à(A ) = à(A X), A B .
X
Boi vì X ∈ B ∼ ⇒ µ˜ .X − X = 0. Suy ra à l mđt đ o ch¾t trên X. Thnc
X

∼

∼

˜

v¾y, gia su đieu này đã đưoc thiet lắp. Boi vỡ X l mđt tắp borel trong X∼ ⇒
∀ε > 0, ∃Kε ⊂ X, Kε compact trong X∼ sao cho µ∼(X − Kε ) < ε (đ%nh lí 3.1).
Kε cũng là compact trong X boi vì X l mđt tắp con tụpụ cna X . Hn nua
à(X − Kε ) = µ∼(X − Kε ) < ε. ieu ny chi ra rang à l chắt. Do ú ta có
the gia đ%nh rang X là m®t khơng gian metric tách đưoc, đay đn. CHQN và co đ

%nh ε > 0.
Gia su d là khoang cách trong X. Vói so ngun n bat kì, hình cau bán
kính 1

n

bao

quanh moi iem thiet lắp mđt cỏi phn cna X. Boi vỡ X là tách đưoc, ta có the
S
S
tìm thay nhieu đem đưoc Sn1 , Sn2 , ... sao cho X = Snj . Rõ ràng X = Snj và
do đó
j
j
ton tai mđt so nguyờn kn sao cho
kn

[
à(
Snj


)1 n
2
.

Sk n
j=1
ắt Xn =

S , Xn là đóng. Đ¾t Kε =
j=1 nj
Σ

1.4

kn

T∞
Xn. Boi vì Kε ⊆
n

n
n 2

j=1
S

S
nj

, Kε là

= ε.

ε

Đ® đo hồn hao

Đ%nh nghĩa 4.1. Mđt khụng gian vỏi đ o (X, B, à) đưac GQI là hồn hao

neu vái hàm f nh¾n giá tr% thnc B- đo đưac bat kì và t¾p A bat kì trên


đưàng thang thnc sao cho f −1 (A) ∈B có các t¾p borel A1 và A2 trên đưàng
thang thnc sao cho A1 ⊆ A ⊆ A2 và µf −1 (A2 − A1 ) = 0.
Bo đe 4.1. Cho X là mđt khụng gian metric v à l mđt đ o trên X. Neu f là
hàm đo đưac borel bat kì trên X và ε > 0 tùy ý thì ton tai mđt tắp úng C sao
cho:


i)µ(X − Cε) ≤ ε;
ii)f|Cε là liên tnc.
Chúng minh. Cho {fn} là m®t dãy các hàm đơn gian h®i tu theo tùng điem tói
f. Cho trưóc ε > 0 , theo %nh lớ Egoroff ton tai mđt tắp borel E ⊆ X sao cho
µ(X − E) < ε2 và fn h®i tu đeu đen f trên E. Boi vì fn là đơn gian trên E, ta có the
Σ
S
kn
viet fn kn
aniχEni . e đó En1 , ..., Enkn là các t¾p borel rịi
Eni = E và
=
i=1
i=1
nhau,
χA là hàm đ¾c trưng cna A. Boi vì µ là chính quy nên ton tai tắp úng Cni Eni
S

kn
sao cho à(Eni Cni ) ≤4n.k . Đ¾t Cn =

Cni . Boi vì Cni là các t¾p đóng rịi
i=1

nhau và fn là hang so trên
Cni

⇒ fn| là liên tuc. Đ¾t Cε =

T
∞

Cn ⇒ Cε đóng.

n=1

Cn

Hơn nua
µ(X − Cε) = µ(X − E) + µ(E − Cε)
Σ
≤ µ(X − E) + µ(E − Cn)
ε Σ
<
+ k
n.
2
n

Ta có Cε ⊆ Cn vói

MQi

n

ε
4n .kn

< ε.

n, fn|Cε là liên tuc vói

MQI

n và f|Cε cũng liên

tuc boi vì fn ⇒ f trên Cε .
Bo đe 4.2. Cho X là không gian metric bat kỡ v à l mđt đ o chắt trờn X. Neu
f l mđt hm o ac v > 0 thỡ ton tai mđt tắp compact K sao cho:
i) µ(X − Kε) ™ ε;
ii) f|Kε là liên tnc.
Đ%nh lý 4.1. Cho X là không gian metric bat kỡ v à l mđt đ o chắt trờn X.
Khi ú (X, BX , à) l mđt khụng gian vỏi đ® đo hồn hao.
Chúng minh. Cho f là hàm đo đưoc nh¾n giá tr% thnc bat kì. Th¾t là đn đe chúng
minh rang vói t¾p bat kì A ⊂ R1 sao cho f −1 (A) ∈ BX se ton tai mđt tắp borel
A1 A vúi à(f 1 (A A1 )) = 0, sau đó A2 có the đưoc xỏc %nh nh mđt tắp borel
sao cho AJ2 AJ và µ (f −1 (AJ − AJ 2 )) = 0. Thắt vắy, gia su A R1 l mđt t¾p
sao cho E = f −1 (A) ∈ BX . Cho { Cn } ,n = 1,2,... và { Kn } ,n = 1,2,... là hai
dãy các t¾p hop sao cho
i) K1 ⊆ K2 ⊆ ..., Kn − compact, f|Kn liên tuc và µ(X − Kn) → 0,
ii) C1 ⊆ C2 ⊆ ... ⊆ E, Cn là đóng , µ(E − Cn) → 0. Đ¾t

∼

=K
Kn ∩ Cn ⇒ K∼ ⊆ K∼ ⊆ ... ⊆ E, K∼ −compact
n

1

2

n


f.

∼
liên tuc và µ(E − ∼Kn) → 0 (n → ∞). Neu Bn = f (K
1 là m®t
n) ⇒ Bn ⊂
R
t¾. p compact boi vì f là liên tuc và do ú A1 = S Bn l mđt tắp borel. Boi vì
n
∼

Kn

∼

f[

S

.Kn

K∼ n] = A 1 ⇒

S

n

Boi vì µ(E −

S

K.n∼ ⊆ f −1 (A
). Rõ ràng1 A ⊆ A và f −11(A ) ⊆ f −1 (A) = E.
1
1

K∼ ) = 0, µ(E − f −1 (A )) = 0.

n

1.5

Liên hắ giEa phiem hm tuyen tớnh v đ o

e õy ta se nghiên cúu moi liên h¾ giua phiem hàm tuyen tính và đ® đo. Cho X
là m®t khơng gian metric và C(X) là không gian các hàm thnc liên tuc và b%
ch¾n trên X. Vói f ∈ C(X), ta kí hi¾u ǁf ǁ = Sup |f (x)| ⇒ (C(X), ǁ.ǁ)

−khơng gian
Banach.

x∈X

Đ%nh nghĩa 5.1. M®t phiem hàm tuyen tính ∧ trên C(X) là m®t ánh xa
∧ : C(X) → R
f ›→ ∧(f )
sao cho ∧(αf + βg) = α ∧ (f ) + β ∧ (g) vái MQI hang so α, β, vái MQI f, g ∈
C(X)
M®t phiem hàm tuyen tính ∧ đưac GQI là dương neu ∧(f ) “ 0 ∀f “ 0.
Chú ý rang neu ∧ là m®t phiem hàm tuyen tính dương thì ∧(f ) ™ ∧(g),
∀f ™ g.
Kí hi¾u 1 là hàm nh¾n giá tr% 1 MQI ni. Cho trúc đ o à bat kỡ trờn X , mđt

phiem hm à : g gdà de thay là m®t phiem hàm tuyen tính dương trên
C(X) vói ∧µ (1) = 1. Trong phan này ta se chúng minh rang khi X là compact

MQI

phiem hàm tuyen tính dương có the đưoc tao ra theo nghĩa này. Tù giị tro đi ta
se xét m®t phiem hàm tuyen tính dương co đ%nh ∧ trên C(X) vói ∧(1) = 1. X
là m®t khơng gian metric . F0 : lóp tat ca các t¾p con đóng cna X, G0 : lóp tat ca
các t¾p con mo cna X.
Vói t¾p bat kì C ∈ F0 , đ¾t λ(C) = inf{∧(f ) : f “ χC }


Vói χC là hàm đ¾c trưng cna C. Xun suot phan này ta se kí hi¾u C là t¾p
đóng và G l tắp mo .
%nh lý 5.1. l mđt hàm đưac đ%nh nghĩa tot trên F0 và có các tính chat sau:

i) 0 ™ λ(C) ™ 1 ∀C ∈ F0;
ii) neu C1 ⊆ C2 ⇒ λ(C1) ™ λ(C2);


iii) neu C1 ∩ C2 = ∅ ⇒ λ(C1 ∪ C2) = λ(C1) +
λ(C2); iv) λ(C1 ∪ C2) ™ λ(C1) + λ(C2) ∀C1, C2;
v) λ(∅) = 0, λ(X) = 1.
Chúng minh. Boi vì 1 “ χC vói C là t¾p bat kì ⇒ 1 = ∧(1) “ λ(C) . Hơn nua,
neu f “ χC thì f “ 0 và do đó ∧(f ) “ 0 ⇒ λ(C) “ 0.
V¾y 0 ™ λ(C) ™ 1;
ii) Hien nhiên.
Chúng minh iv).
Neu f1 “ χC1 , f2 “ χC2 sao cho:∧(f1 ) ™ λ(C1 ) + ε và ∧(f2 ) ™ λ(C2 ) + ε thì
∧(f1 + f2) ™ λ(C1) + λ(C2) + 2ε. Boi vì f1 + f2 “ χC1∪C2 ⇒ λ(C1 ∪ C2) ™
∧(f1 + f2) ™ λ(C1) + λ(C2) + 2ε
Cho ε → 0 ⇒ iv)
Chúng minh iii) Ta chúng minh: λ(C1 ∪ C2) “ λ(C1) + λ(C2) neu C1 ∩ C2 = ∅
Theo Đ%nh lí 1 ( Phu luc ) ⇒ Ton tai m®t hàm h ∈ C(X) sao cho

1, x ∈ C
0 ™ h ™ 1 và h(x) =
1
 0, x ∈ C
2
Neu f ∈ C(X) và f “ χC1∪C2 ⇒ fh “ χC1 và f (1 − h) “ χC2 . Ta có ∧(f ) =
∧(fh) + ∧(f (1 − h)) “ λ(C1) + λ(C2) ⇒ λ(C1 ∪ C2) ≥ λ(C1) + λ(C2). v)
là hien nhiên.
Bây giò ta đ%nh nghĩa cho t¾p mo bat kì G
τ (G) = Sup{λ(C) : G ⊇ C ∈ F0} .
Đ%nh lý 5.2. τ là m®t hàm đưac đ%nh nghĩa tot trên G0 và có các tính chat sau:

i) 0 ™ τ (G) ™ 1 ∀G ∈ G0;
ii) τ (G1) ™ τ (G2) neu G1 ⊆ G2;
S
Σ
N
iii) τ N
Gi )
τ (Gi);
(i=1
1
™
iv) τ (∅) = 0, τ (X) = 1.
Chúng minh. Boi vì 0 ™ λ(C) ™ 1 ∀C ∈ F0 ⇒ τ là đưoc đ%nh nghĩa tot và
0 ™ τ (G) ™ 1 ∀G ⇒ i) . ii) và iv) là hien nhiên (tam thưòng).
Chúng minh iii) : Ta chi can chúng minh vói N = 2
Cho GDo
1 , G2 là hai t¾p mo và C ⊆ G1 ∪ G2 ⇒ C − G1 và C − G2 là các t¾p đóng
rịi nhau.
đó ton tai các t¾p mo G1 và∼ ∼G rịi nhau sao cho C − G
⊂ G∼ ,
2

1

1


C − G2 ⊂ G∼ . Đ¾t C1 = C − G∼ , C2 = C thì C , C ∈ F , C = C ∪ C , C ⊆
1
2

0
1
2
1
− G∼
2

1

2

G1, C2 ⊆ G2.
⇒ λ(C) ™ λ(C1) + λ(C2) ™ τ (G1) + τ (G2). Boi vì C ⊆ G1 G2 l mđt tắp
úng tựy ý (G1 ∪ G2) ™ τ (G1) + τ (G2).
Bây giò ta đ%nh nghĩa cho t¾p A ⊆ X bat kì, µ∗(A) = inf{ τ (G):A ⊆ G } .
Đ%nh lý 5.3. à l mđt hm ac %nh ngha tot trờn láp tat ca các t¾p con cua
X và có các tính chat sau:
i) µ∗ (∅) = 0, µ∗ (X) = 1;
ii) µ∗(G) = τ (G);
iii) µ∗(A) ™ µ∗(B) neu A ⊆ B;
N
N
S
Σ
∗
µ∗ (Aj );
iv) µ ( Aj)
1 ™
j=1
v) µ∗(G) ™ λ(C) neu G ⊆ C.

Chúng minh. i), ii) và iii) là tam thưòng
iv) : CHQN Gj ⊇ Aj sao cho τ (Gj ) ™ µ∗ (Aj ) +N ε .

Do

N
S
1

Aj ⊆

S

N

S

N

1

Gj ⇒ µ∗(

N
S
Aj) ™ τ ( Gj)
1 ™

N
Σ

1

1

τ (Gj)
™

N
Σ

µ∗ (Aj ) + ε .

j=1

Cho ε → 0 ⇒ iv).
v) Neu C1 ⊆ G ⇒ C1 ⊆ C và λ(C1) ™
λ(C). Do ú à(G) = Sup(C1)
(C).
%nh lý 5.4. Vỏi tắp đóng bat kì C ta có λ(C) = µ∗ (C).
Chúng minh. Theo đ%nh nghĩa cna τ ta có λ(C) ™ τ (G) neu C ⊆ G. Do đó
λ(C) ™ µ∗(C) neu C ∈ F0. Bây giò ta se chúng minh : λ(C) “ µ∗(C).
Cho trưóc ε > 0 ⇒ ton tai f ∈ C(X) sao cho f ≥ χC và ∧(f ) ™ λ(C)
+ε.
2
Vói so γ bat kì thoa mãn 0 < γ < 1, kí hi¾u Gγ = { x:f(x) > γ}
và Cγ = { x:f(x) “ γ} . Boi vì Gγ ⊆ Cγ ⇒ µ∗ (Gγ ) ™ λ(Cγ ). Nhưng f /γ “ χCγ ⇒
∧(f/γ) “ λ(Cγ).
Ta có µ∗ (Gγ ) ™ λ(Cγ ) ™

∧(f )

γ

™ (λ(C) + ε ). 1 . CHQN γ đn gan 1 ta có the gia đ%nh
2

γ

rang (λ(C) + 2ε ).γ 1 ™ λ(C) + ε. Cho ε → 0 ⇒ µ∗(C) (C)
Vắy (C) = à(C).
%nh lý 5.5. Neu G l t¾p má bat kì thì vái t¾p A ⊆ X bat kì,
µ∗ (A) “ µ∗ (G ∩ A) + µ∗ (GJ ∩ A).


Chúng minh. Cho G1 là t¾p mo bat kì sao cho A ⊆ G1. Cho t¾p đóng C1 ⊆
G∩G 1 sao cho λ(C1) “ τ (G ∩ G1) − ε v cho C2 l mđt tắp con úng cna G1
C1 sao cho λ(C2) “ τ (G1 − C1) − ε. Boi vì C1 và C2 rịi nhau
⇒ λ(C1 ∪ C2) = λ(C1) + λ(C2) “ τ (G ∩ G1) − ε + τ (G1 − C1) − ε
“ µ∗ (G ∩ G1 ) + µ∗ (GJ ∩ G1 ) − 2ε.

Do C1 ∪ C2 ⊆ G1 ⇒ τ (G1 ) “ λ(C1 ∪ C2 ) “ µ∗ (G ∩ G1 ) + µ∗ (GJ ∩ G1 ) − 2ε.
Vì µ∗ (A) = inf τ (G1 ) và µ∗ (G∩G1 ) “ µ∗ (G∩A), µ∗ (GJ ∩G1 ) “ µ∗ (GJ ∩A) ⇒
µ∗ (A) “ µ∗ (G ∩ A) + µ∗ (GJ ∩ A) − 2ε. Cho ε → 0 ⇒ µ∗ (A) “ µ∗ (G ∩ A) +
µ∗ (GJ ∩ A).
Đ%nh lý 5.6. Cho AX là đai so (không là σ đai so) đưac sinh ra bái láp G0- láp
tat ca các t¾p con má cua X. Khi đó µ∗ là m®t đ® đo chính quy c®ng tính huu
han trên A X .
Vói đ® đo c®ng tính huu han bat kì µ (µ(X) = 1) trên AX ta đ%nh nghĩa
tính kha tích và tích phân cna m®t hàm đúng như trong trưịng hop cna m®t đ® đo

thơng thưịng. Ta xét sn phân hoach cna tồn b® khơng gian thành cỏc tắp
thuđc vo AX v thiet lắp cỏc tng Darboux trên và dưói. Neu infimum cna tat
ca các tőng Darboux trên bang Supremum cna tat ca các tőng Darboux dưói thì
hàm đưoc

GQI

là kha tích. Moi hàm nh¾n giá tr% thnc, b% ch¾n thoa mãn f −1 ((a,

b]) ∈ AX ∀(a, b] có the đưoc xem là kha tích. Đ¾c bi¾t các hàm liên tuc, b%
ch¾n là kha tích. Tích phân cna ftheo à oc kớ hiắu : f dà
%nh lý sau cho ta các tính chat cna tích phân:
Đ%nh lý 5.7.
i) Neu α và β là các hang so và f, g là các hàm kha tích thì αf + βg là kha tích và
∫
∫
∫
(αf + βg)dµ = α
fd µ + β gdµ ;
∫
ii) f dµ “ 0 neu f “
iii ∫ 1dµ =
0;
)
1;
∫
iv) . fd µ ™ ǁfǁ.
Đ%nh
. lý 5.8. Cho X là m®t khơng gian metric và C(X) là khơng gian các hàm
thnc liên tnc b% ch¾n. Cho ∧ là m®t phiem hàm tuyen tính khơng âm trên C(X)

sao cho ∧(1) = 1. Khi đó ton tai duy nhat mđt đ o à chớnh quy, cđng tớnh , huu
han trên AX (Đai so sinh bái tat ca các t¾p con má cua X) sao cho
∧(f ) = ∫ fd µ , f ∈ C(X).



Ngac lai, neu à l mđt đ o cđng tớnh, huu han trên AX thì ánh xa ∧ : f → fdµ
là khơng âm, tuyen tính và ∧(1) = 1.
Chúng minh. Cho à l đ o cđng tớnh huu han đat đưoc bang cách han che
µ∗ trên AX , µ∗ đưoc đ%nh nghĩa như trong đ%nh lí 5.3. Cho f l hm bat kỡ
lắp (f ) f dà.
trong C(X) sao cho 0 ™ f ™ 1. Trưóc het ta se thiet
∧
Đe hoàn
X

thành đieu này ta cho n là so ngun bat kì và đ¾t Gi = { x:f(x) > ni } . Khi
đó G0 ⊇ G1 ⊇ ... ⊇ Gn = ∅. Cho φi là hàm liên tuc trên khoang đơn v% [0,

 0, 0 ™ t ™
1]
i−1
sao cho φi(t)
n và φi tuyen tính o giua. Đ¾t fi(x) = φi(f (x)),
=
 i
1,
™t
n
1

1
i = 1, 2, ..., n.™Vì
1 (φ1(t) + ... + φn(t)) ≡ t. Ta có .(f1 + ... + fn) = f .
Do đó
n
n
Σ
1
và do đó∧(fi) “ µ(Gi).
∧(f )n= (
∧(f
i

Ta
)). có
f “ χi

i

G

1 Σ

Λ (f ) = .
Λ (f )Σ
i
n
1 Σ
≥ .
µ (G

n i
.
)Σ
Σ
− i
=
n
i=1

i

Σ
i −
1
n

n−
Σ
1

i

µ
(G n

=

µ (Gi)

− Gi+1)

i

=

i=1
Σ
n− i + 1
1

) − 1 µ (G )

µ (G

−G
i=1
n−1

≥

Σ
∫

G1

≥

i

fdµ −

i=1

=

n
∫

∫

X

Gi−Gi+1

i+1

1
n

fdµ −1µ (G1 )
n
fdµ − 1µ (G0 ) .
n

n

µ (G1)

1

Cho n ∫

ta có (f ) “ f dµ. Neu f là hàm khơng âm bat kì trong
→ ∞∧
X
C(X) ta có the tìm thay m®t hang so dương c sao cho 0 ™ cf ™ 1. Do đó ∧(f ) =
c

c

1

∧ (cf ) “

X

1

∫

cf dµ =

∫

f d µ.


Neu f là hàm bat kì trên C(X) ta có the tìm thay m®t hang so c´ sao cho f +
c´ “ 0, và do đó
∫

∧(f ) = ∧(f + c´) −
c´ “

(f + c´)dµ − c´ = ∫ f dµ.

X

Do đó vói f ∈ C(X) bat kì ta có ∧(f ) “
∫∫
∫
⇒ ∧(f ) ™
f dµ
f d . Do đó ∧(f ) =

∫

f dµ. Thay f boi -f ta có ∧(−f ) “ −

f d .µ

Bây giị ta gia su rang ν là đ® đo c®ng tính , huu han chính quy khác trong AX
∫
∫
∫
sao cho ∧(f ) = f dν . Khi đó ta có f dµ = f dν ∀f ∈ C(X). Cho C là t¾p
đóng bat kì . Vì µ và ν là chính quy, ta có the tìm thay hai dãy Gn và Hn các t¾p
mo sao cho G1 ⊇ G2 ⊇ ... và H1 ⊇ H2 ⊇ ..., C đưoc chúa trong tat ca Gi v Hi
v
lim à(Gn) = à(C),
n

lim (Hn) = (C)

n

Neu ắt Un = Gn ∩ Hn thì rõ ràng
lim µ(Un) = µ(C)

n→∞

lim ν(Un) = ν(C)

n→∞

Theo đ%nh lí 1 (Phu luc) , ta có the xây dnng m®t hàm liên tuc fn sao cho
™ 1,
 1, x ∈ C
(x) = 
fn
 0, x ∈ X − Un.
0 ™ fn
∫
∫
Khi đó ta có : fndµ = fndν ∀n.
fndµ = ν(C)
+
Vì fn = 0 trên X − Un, ta có µ(C)
Un∫−
+
∫

C

nhưng
Un−C

f nd ν
Un∫−

C

∫
fndµ ™ µ(Un − C) = µ(Un) − µ(C),

fndν ™ ν(Un − C) = ν(Un) −

Un−C

ν(C).
Cho n → ∞, ta đưoc µ(C) = (C). Vỡ C l mđt tắp úng tựy ý và µ và ν là
chính quy ⇒ µ = ν. Phan cuoi cna đ%nh lí de dàng chúng minh đưoc tù tính
chat cna tích phân đã đưoc đe c¾p.


Đ%nh lý 5.9. Cho X là m®t khơng gian metric compact và ∧ là m®t phiem hàm
tuyen tính khơng âm trên C(X) vái (1)
∧ = 1. Khi đó ton tai duy nhat m®t đ® đo
∫
trên BX sao cho ∧(f ) = fd µ , f ∈ C(X).

Chúng minh. Th¾t là đn đe chúng minh rang hàm tắp à cna %nh lớ 5.3 l
mđt đ o ngoi . Khi đó đ%nh lí se suy ra tù đ%nh lí 5.5. Do đó ta chi phai
chi ra rang
S
Σ
S
Σ
µ∗ ( ∞ Ai ) ™ ∞ µ∗ (Ai ). Đieu này dan túi viắc chi ra rang à ( Gj ) à (Gj ).
1
1
1
1

S
S

vúi cỏc tắp mo tựy ý G1, G2, ..., túc là τ ( ∞ Gj)
Gj,
∞ τ (Gj ). Neu
1
C ⊆
™
1
N
tính compact cna C chi ra rang C ⊆ S
N
S
τ ( Gj)
™
1

1

N
Σ

τ (Gj)
j=1 ™

Gj vói N nào đó . Khi đó ta có λ(C) ™

τ (Gj). Do đó τ Gj) = Sup ∞
Σ
S™
S
C⊆
(∞
j

1

G

Σ

λ(C)

j

τ (Gj) .

j

1

Đieu này hon thnh chỳng minh vỡ lúp cỏc tắp à o đưoc là m®t σ đai so
và theo đ%nh lí 5.5 cỏc tắp mo l à o oc.


Tự chỳng minh cna đ%nh lý 5.7, rõ ràng neu µ và ν là 2 đ o v
fdà =
fd
vúi MQI f C (X) thỡ à = .
%nh lý 5.10. Cho X l mđt không gian metric, U(X) là không gian các hàm
∫
∫
liên tnc eu, nhắn giỏ tr% thnc v b% chắn v à v l hai đ o sao cho fd à
fd ν

=
∀f ∈ U (X). Khi đó µ = ν.
.
Chúng minh. Cho C là t¾p đóng bat kì và Gn = x : d (x, c) <
n

1

Σ

⇒ Gn là mo

n

(Đ%nh lí 2-Phu luc) và

inf
x∈C,y∈GJ
n

sao cho
fn

T

∞ Gn = C. C và GJ là các t¾p đóng rịi nhau sao cho
1

d(x, y) “ n1 . Boi v¾y theo đ%nh lí 1(Phu luc), ton tai m®t hàm fn ∈ U (X)
.
(x)
=
GJn

0, x ∈
1, x ∈
C

và 0 ™
fn

(x) ™ 1. Lay tích phân
fn

theo µ và ν, ta

G
n

∫
∫
∫
đưoc µ(C) ™ fndµ = fndν= fndν ™ ν(Gn). Cho n → ∞, ta có µ(C) ™ ν(C).
Đői cho µ và ν trong khang đ%nh o trên ta đưoc ν(C) ™ µ(C). Do đó µ(C) = ν(C)


vúi

MQI

1.6

tắp úng. Tớnh chớnh quy cna đ o chi ra rang à = .

Tụpụ yeu trong khụng gian cỏc đ đo

Cho X là m®t khơng gian metric và M(X) là khơng gian các đ® đo trên BX .
M®t phan tu à M(X) l mđt hm tắp khụng õm, cđng tính đem đưoc, đưoc
xác đ%nh trên BX vói µ(X) = 1. C(X) là không gian các hàm thnc , liên tuc và b
% ch¾n trên X.
Xét HQ các t¾p có dang

∫
∫
Vµ (f1 , f2 , ..., fk ; ε1 , ..., εk ) = { ν:ν ∈ M(X), . fi dν − fi dµ. < εi ,i =
1,2,...,k} ,


vói f1 , f2 , ..., fk là các phan tu cna C(X) và ε1 , ε2 , ..., εk là các so dương.
Th¾t là de đe thu lai rang HQ các t¾p đat đưoc bang cách thay đői k, f1 , f2 , ...,
fk ,ε1 , ε2 , ..., εk thoa mãn các tiên đe cna m®t cơ so cho mđt tụpụ. Ta se e
cắp túi ieu ny nh tụpụ yeu trong M(X) .
Ta thay rang mđt lúi {à} các đ® đo h®i tu yeu tói m®t đ® đo µ neu và chi neu
∫
∫
f dµα → f dµ ∀f C(X), kớ hiắu à à. Trự khi oc phát bieu cách khác ,
M(X) se luôn đưoc xem như m®t khơng gian tơpơ vói tơpơ yeu.
Trưóc het ta se chúng minh m®t đ%nh lí mà cho ta vài đ%nh nghĩa tương
đương ve tơpơ yeu.
Đ%nh lý 6.1. Cho µα là m®t lưái trong M(X). Khi đó các khang đ%nh sau là tương
đương:
(a) µα ⇒ µ;
(b) lim ∫ gdµ = ∫ gdµ ∀g U (X), U(X) là khơng gian các hàm liờn tnc eu, nhắn


giỏ tr% thnc v b% chắn;
(c) limà(C) à(C), vỏi MQI tắp úng C;
(d) limà(G) à(G), vỏi MQI tắp mỏ G;
(e) lim à(A) = à(A), vỏi MQI tắp borel A m biờn cua A cú à đ® đo 0.
α

Chúng minh. Vì U (X) ⊆ C(X) nên a ⇒ b. Bây giò ta se chúng minh b ⇒ c.

Cho C là t¾p đóng bat kì và Gn = { x:d(x,C) < 1 } vói d(x, C) = inf d(x, y).
Khi

n

đó C và G n là các t¾p đóng rịi nhau sao choinf
J

x∈C,y∈GJ

d(x, y)

y∈C
“ n1 .

Do đó theo

n

đ%nh lí 1 (Phu luc), ton tai hàm fn ∈ U (X) sao cho 0 ™ fn ™ 1, fn(x) = 1
vói x ∈ C, fn(x) = 0 vói x ∈n Gc . Hơn nua G1 ⊇ G2 ⊇ ... và ∩ Gn = C. Do
∫
∫
đó limαµα(C) ™ limα fndµα = fndµ ™ µ(Gn).
Cho n → ∞ ⇒ limαµα(C) ™ µ(C). (c) ⇔ (d) là hien nhiên boi vì các t¾p mo là
phan bù cna các t¾p đóng và ngưoc lai, và tồn b® khơng gian có đ® đo là 1
vói
MQI đ® đo. Bây giị ta se chi ra rang (c) và (d) ⇒
(e) . Kí hi¾u A là bao đóng cna
0

0

A và A là phan trong cna A. Khi đó A ⊆ A
0

0

A. A là đóng và A là mo . Gia su

µ(A − A) = 0. Khi đó

limµα(C) ™ limµα(A) ™ µ(A) = µ(A)
α

α

0

0

limαµα(A) “ limαµα(A) “ µ(A) = µ(A).
Do đó lim µα(A) = µ(A).
α

Bây giị ta se hồn thành vi¾c chúng minh cna đ%nh lí bang cách chi ra rang


(e) ⇒ (a). Cho g là phan tu bat kì cna C(X) và lim µα (A) = µ(A) vói mQI tắp

0

borel A sao cho à(A A) = 0.
Kớ hiắu µg là đ® đo trên đưịng thang thnc xác đ%nh boi àg(E) = à{ x:g(x) E}
vúi tắp borel E bat kì trên đưịng thang thnc. Boi vì g là mđt hm b% chắn àg
tắp trung trong mđt khoang b% chắn(a,b). đ o àg cú the cú nhieu nhat mđt
so đem đưoc các chat điem. Do đó , cho trưóc ε > 0 ta có the tìm thay các so
t1, ..., tm sao cho
(i) a = t0 < t1 < ... < tm = b;
(ii) a < g(x) < b ∀ x ∈ X;
(iii) tj − tj−1 < ε ∀ j=1, ... , m;
(iv) µ({ x:g(x) = tj } ) = 0 ∀ j = 1, ..., m.
S−
Cho Aj = { x:tj 1 ™ g(x) < tj } . A1, A2, ..., Am là các t¾p borel rịi nhau vói Aj
=
j
0

S

0

A ⊆ { x:g(x) = tj− }
A ) = 0.
X. Hơn nua, jA −
{ x:g(x) = t j} . Boi vắy à(A
j

1

Do ú ta cú lim àj (Aj ) = µ(Aj ) j = 1, 2, ..., m. Đ¾t g =
tj−1 χAjj . Chú
α

j

ý
|grang
(x) − g(x)| < ε ∀x ∈
X. Ta có :
∗
∗
∗
∗
.∫ gdµα − ∫ gdµ. ™ { ∫ |g − g |dµα + ∫ |g − g |dµ + .∫ g dµα − ∫ g dµ. }
∗

Σ

m

™ 2εj=1
+
|µ (A ) −
∫
∫
µ(A
)| |t|
. gdµ

α−
j . ™
j 2ε.
j−1 Cho ε → 0 suy ra đieu phai chúng
Cho
α
→
∞
,
lim
gdµ
α
minh.
α
Vói moi iem x X , kớ hiắu px : đ đo suy bien tai x.
Bo đe 6.1. X đong phôi vái t¾p con D = { px:x ∈ X} .
∫
Chúng minh. Vói điem x bat kì và g ∈ C(X) ta có gdpx = g(x). Neu xα → x0
thì g(xα) → g(x0). Do đó pxα ⇒ px0 . Ngưoc lai cho pxα ⇒ px0 . Neu xα khơng
h®i tu tói x0, cú mđt tắp mo G v mđt lúi con xβ sao cho x0 ∈ G và xβ ∈ X
− G ∀β. Cho g là m®t hàm liên tuc sao cho 0 ™ g ™ 1, g(x0) = 0 và g(x) = 1,
x ∈ X ∫− G. Khi đó gdpxβ = 1∫ trong khi gdpx0 = 0. (mâu thuan).
Bo đe 6.2. D l mđt dóy cỏc tắp con úng cua M(X).


Chúng minh. Cho {xn } là m®t dãy các điem trong X sao cho pxn ⇒ q. Gia su
{xn } khụng cú dóy con hđi tu no.Khi ú tắp S = {x1 , x2 , ...} là đóng và do
đó MQI t¾p C ⊆ S là đóng. Boi vì pxn ⇒ q ,theo đ%nh lý 6.1 ta có q (C) ≥ limpxn
(C) vói C ⊆ S Do đó vói moi t¾p con vơ han S1 ⊆ S, q (S1 ) = 1, Đieu này là vơ
lý do q là m®t đ® đo. Do đó có 1 dãy con {xnk }, xnk → x. Theo bő đe 6.1, q =

px . Do đó D là dãy các t¾p đóng.
Bo đe 6.3. Neu X là m®t khơng gian mêtríc hồn tồn b% chắn thỡ U (X) l mđt
khụng gian Banach tỏch ac vái chuan Sup.
Đ%nh lý 6.2. M(X) là không gian metric tách đưac ⇔ X là không gian metric
tách đưac.
Đ%nh lý 6.3. Cho X là m®t khơng gian metric tách đưac v E X. Khi ú tắp
tat ca cỏc đ đo mà có giá là t¾p con huu han cua E là trù m¾t trong M(X).
Chúng minh. T¾p hop các đ o cú giỏ l tắp con huu han cna X là trù m¾t trong
M(X) Ta se ký hi¾u lóp các đ® đo như the là F (X). Rõ ràng đ o bat k
tắp trung trong 1 tắp con em đưoc cna X là m®t giói han yeu cna các đ o tự F
(X). Do ú thắt l n e chúng minh rang,đ® đo bat kỳ là giói han yeu cna cỏc đ
o m triắt tiờu o bờn ngoi cỏc t¾p con đem đưoc cna X. CHQN và co đ%nh µ ∈
S
M(X). Boi vì X là tách đưoc, vói moi so nguyên n, ta có the viet X =
An j ,
An j

An k = φ

∩
j

1

neu j ƒ= k, Anj ∈ BX ∀n, j và đưịng kính cna Anj ≤ n ∀j. Cho xnj tùy ý ∈ Anj .
.
Cho µn là đ o vúi khoi long à Anj lan lot tai các điem xnj . Cho g ∈ U (X)
Σ
tùy ý, đ¾t :
αnj = inf g (x) , β = Sup g (x)

nj
x∈An
j

x∈Anj

Boi vì g là liên tuc đeu và đưịng kính cna Anj → 0 khi n → ∞ đeu theo j,
.
Σ
Supj βnj − αnj → 0 khi n →. ∞.
.
.

j

n→
.
∫
∫
.
ΣΣ
.
Σ
∞
∫
Ta có: . gdµn − gdµ. Σ
≤ Sup βnj − αnj → 0 khi
nj A .g − g xnj
=

dµ.

Do g ∈ U (X) là bat kỳ, theo đ%nh lý 6.1 suy ra àn à.
%nh lý 6.4. M(X) l mđt khơng gian metric compact ⇔ X là m®t khơng gian
metric compact.