Lược đồ gabor đa cửa sổ trong biểu diễn ảnh và tín hiệu

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Đ¾NG QUANG LONG

LƯeC ĐO GABOR ĐA CUA SO
TRONG BIEU DIEN ANH VÀ TÍN HIfiU

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Hà N®i - Năm 2018


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Đ¾NG QUANG LONG

LƯeC ĐO GABOR ĐA CUA SO
TRONG BIEU DIEN ANH VÀ TÍN HIfiU

Chun ngành:
Mã so:

Tốn Éng dnng
60460112

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC
TS. Nguyen NGQC Phan

Lài cam ơn
Em xin gui lòi cam ơn sâu sac nhat đen TS. Nguyen NGQc Phan,
ngưịi đã t¾n tình hưóng dan, cung cap các nguon tài li¾u, các phương pháp
nghiên cúu và nhung kinh nghi¾m quý báu cho em trong suot thịi gian thnc hi¾n
lu¾n văn.
Em xin chân thành cam ơn các thay giáo tham gia giang day lóp Cao HQ c Tốn
khóa 2015-17 đã quan tâm và giúp đõ em trong suot thịi gian HQc t¾p tai trưịng.
Em cũng xin gui lịi cam ơn đen t¾p the lóp Cao HQc Tốn khóa 2015-17 và đ¾c
bi¾t là nhóm Tốn úng dung đã luôn sát cánh và giúp đõ em rat nhieu trong q
trình HQ c t¾p.
Cuoi cùng, em xin gui lịi cam ơn sâu sac nhat đen gia đình, ban bè, nhung
ngưịi đã ln quan tâm, đ®ng viên em trong HQc t¾p, cũng như Ban lãnh đao Vi¾n
Cơng ngh¾ Thơng tin, Vi¾n Hàn lâm Khoa HQc và Cơng ngh¾ Vi¾t Nam đã tao
đieu ki¾n thu¾n loi đe em đưoc đi HQc.
M¾c dù đã no lnc và co gang nhưng lu¾n văn này se khơng tránh khoi
nhieu thieu sót. Em rat mong đưoc sn góp ý cna Q thay cơ và các ban!
Hà N®i, tháng 1 năm 2018.

3


Mnc lnc
1 Các khái ni¾m cơ ban
5
1.1 Các khơng gian................................................................................5
1.2 Bien đői Fourier................................................................................7
1.3 Các phép toán cơ ban.....................................................................8
1.4 Bien đői Fourier thịi gian ngan.......................................................10

1.5 Hàm Gauss......................................................................................11
2 Khung trong khơng gian Hilbert và khung Gabor
15
2.1 Dãy Bessel và cơ so Riesz.............................................................15
2.2 Khung trong không gian Hilbert...................................................... 18
2.3 Cơ so Gabor và khung Gabor.........................................................24
3 Khung Gabor đa cEa so
30
3.1 Bien đői Zak....................................................................................31
3.2 Phương pháp đai so ma tr¾n.........................................................33
3.3 Các trưịng hop m¾t đ® lay mau....................................................35
3.4 Khung đoi ngau............................................................................... 42
3.5 Đ%nh lý Balian-Low và cách xây dnng khung................................43
4 Úng dnng trong xE lý tín hi¾u

51


Lài ma đau
Phân tích tín hi¾u đóng vai trị rat quan TRQNG trong xó hđi hiắn ai. Cỏc ỳng
dung cna nó trai dài trên nhieu lĩnh vnc khoa HQ c ky thu¾t, tù liên lac vien thơng
đen chuan đốn y HQ c, tù giao thơng đen ngành cơng nghi¾p giai trớ... Tớn hiắu
oc hieu l mđt ai long vắt lý chúa thơng tin hay du li¾u và có the truyen đi
đưoc.
Phân tích Fourier là m®t cơng cu tiêu bieu trong phân tích tín hi¾u. Ve m¾t tốn
HQc, tín hi¾u đưoc bieu dien boi các hàm tuan hồn rịi rac đưoc tao thành tù các
dao đ®ng có tan so và biên đ® khác nhau. Phép bien đői Fourier mơ ta ve lưong
cna tùng tan so chúa trong tín hi¾u. Tuy nhiên, du li¾u ve thịi gian b% mat đi qua
bien đői này. Tù đây nay sinh ra ý tưong ve phép bien đői Fourier thòi gian ngan:
chi áp dung bien đői Fourier trên tùng đoan thịi gian ngan cna tín hi¾u. Cỏc oan

tớn hiắu ny oc chia boi mđt hm cua ső trơn t%nh tien trên tồn tín hi¾u. Dau
v¾y, lưong thơng tin ve thịi gian - tan so mà phép bien đői Fourier thòi gian ngan
cung cap lai quá thùa và can đưoc giam bót trong khi van bao tồn oc long
thụng tin cna tớn hiắu.
Mđt nhiắm vu oc ắt ra trong phân tích tín hi¾u là vi¾c mơ ta các hàm
bat kỳ boi m®t b® hàm đơn gian có các tính chat phő bien và de v¾n dung.
Phân tích Fourier thnc hi¾n nhi¾m vu này bang cách bien tín hiắu thnh tng
cỏc dao đng c ban, cũn phộp bien đői Fourier thịi gian ngan thì su dung
m®t b® các t%nh tien thịi gian - tan so cna m®t hàm cua ső duy nhat. Tù đây
nay sinh ra lý thuyet ve khung - mđt khỏi niắm tng quỏt cna c so - mà
Dennis Gabor là ngưịi đ¾t nen móng vào năm 1946. Phân tích Gabor đe ra
các đieu ki¾n đe b® hàm t%nh tien thịi gian - tan so là mđt khung v mo
rđng tớn hiắu thnh t hop cna các hàm này.
Lu¾n văn này trình bày ve phương pháp đa cua ső trong phân tích tín hi¾u
thơng qua lý thuyet khung và loi the cna vi¾c su dung nhieu hn mđt cua s.
Luắn vn bao gom cỏc chng sau:
ã Chng 1 giúi thiắu tng quan ve mđt so khỏi ni¾m quan TRQNG trong
giai tích Fourier và trong phân tích tớn hiắu.
ã Chng 2 giúi thiắu lý thuyet ve khung trong khơng gian Hilbert tőng
qt và m®t trưịng hop riêng quan TRQNG là khung Gabor trong không
gian L2(R).


• Chương 3 trình bày ve phương pháp ma tr¾n đai so đoi vói lưoc đo
Gabor đa cua ső đe kiem tra tính chat cna các hàm cua ső.
• Chương 4 trình bày ve m®t úng dung trong xu lý tín hi¾u.


Chương 1
Các khái ni¾m cơ ban

1.1

Các khơng gian

L∞(R) là khơng gian Banach các hàm đo đưoc, b% ch¾n f : →
R C vói chuan
supremum.
Vói 1 ≤ p < ∞, Lp (R) là không gian các hàm f sao cho |f |p kha tích:
Lp (R) = .f : R → C | f đo đưoc và ∫ ∞ |f (x)|p dx < ∞Σ .
−
∞

Vói p = 2, ta có khơng gian Hilbert
L2 (R) = .f : R → C | f đo đưoc và ∫ ∞ |f (x)|2 dx < ∞Σ
vói tích trong

−
∞

∫
(f, g) = ∞ f (x)g(x)dx,

f, g ∈ L2(R).

−∞

Bat đang thúc Cauchy-Schwarz nói rang: vói
∫
..

∞

f
−∞
(x)g(x)dx.
≤

.∫

∞

MQI

f, g ∈ L2 (R),

Σ1/2.∫
∞
|f (x) dx

Σ 1/

2

−∞

2
2

|g(x) dx

.

−∞

Khơng gian tương đương rịi rac cna Lp(R) là khơng gian lp(I) các dãy giá tr% vơ
hưóng p-kha tőng vói I là t¾p chi so đem đưoc.
Vói 1 ≤ p < ∞, lp(I) là không gian Banach
.
Σ
p
l (I) = {xk}k∈I | xk ∈ C,Σ |xk|p < ∞ .


k∈I


ǁ{xk}k∈Iǁp
=

vói chuan

.Σk∈I

|xk|p

Σ1/p
.

Vói p = 2, l2(I) là khơng gian Hilbert vói tích trong
({xk}k∈I, {yk}k∈I) =Σ xkyk.

k∈I

Bat đang thúc Cauchy-Schwarz nói rang: vói
2

.Σ
.

k∈I

MQI

.
x
y

.

2Σ

Σ
≤

kk

k∈
I

{xk }k∈I , {yk }k∈I ∈ l2 (I),

|xk|

2

|yk| .
k∈
I

Đ%nh nghĩa 1.1. M®t tốn tu U : L2(R) → L2(R) là tốn tu b% ch¾n neu ton tai
hang so K > 0 sao cho
ǁUxǁ ≤ Kǁxǁ ∀x ∈ L2(R).
Chuan cua toán tu U đưac đ%nh nghĩa như sau:
ǁUǁ = sup{ǁUxǁ | x ∈ L2(R), ǁxǁ = 1}.
Đ%nh lý 1.1. Gia su U : L2(R) → L2(R) là toán tu b% ch¾n và ǁI − Uǁ < 1 vái
I là tốn tu đong nhat thì U kha ngh%ch.
Đ%nh nghĩa 1.2. Tốn tu unita là tốn tu tuyen tính b% ch¾n U : L2(R) → L2(R)
sao cho U là song ánh và U bao tồn tích trong:
(Ux, Uy) = (x, y) ∀x, y ∈ L2(R).
Nói cách khác,
U∗U = UU∗ = I
vái I là toán tu đong
nhat.


1.2

Bien đoi Fourier

Vói f ∈ L1(R), bien đői Fourier fˆ : R → C đưoc đ%nh nghĩa boi
∫

fˆ(ω) = (Ff )(ω) =
∞ f (x)e−2πixωdx, ω ∈ R.
−∞

Bien đői Fourier là m®t trong nhung cơng cu quan TRQNG nhat trong phân tớch tớn
hiắu. Nú khai trien mđt hm bien thũi gian (hay mđt tớn hiắu) thnh cỏc tan so
ó tao thnh hàm đó. Giá tr% cna tích phân o trên chi lưong tín hi¾u f chúa
tan
so ω. Hàm fˆ(ω) mơ ta dáng đi¾u tan so cna f (x).
Bo đe 1.1 (Bő đe Riemann-Lebesgue). Vái f ∈ L1(R), fˆ liên tnc đeu và
lim

|ω|
→∞

|fˆ(ω)| = 0.

Đ%nh lý 1.2 (Công thúc ngh%ch đao). Gia su f, fˆ ∈ L1(R). Khi đó
∫
f (x) = ∞ fˆ(ω)e2πixωdω

(1.1)

−∞

hau khap nơi.
Đ%nh lý 1.3 (Đ%nh lý Plancherel). Gia su f ∈ L1 ∩ L2(R). Khi đó
ǁfǁ = ǁFfǁ.
Hơn nua, F là tốn tu unita trong L2(R) và thóa mãn công thúc Parseval
(Ff, Fg) = (f, g) ∀f, gL1 ∩ ∈ L2 (R).

Đ%nh lý trên chi ra rang năng lưong cna tín hi¾u đưoc bao tồn qua bien đői
Fourier.
Đ%nh nghĩa 1.3. Tích ch¾p cua hai hàm f, g∈ L1(R) là f ∗g : R→ C đưac đ
%nh nghĩa bái
∗
∫
(f g)(x) = f (y)g(x − y)dy.
Rd

Nó thoa mãn
ǁf ∗ gǁL1 ≤ ǁfǁL1 ǁgǁL1 ,
và

f^∗ g = fˆ · gˆ.


1.3

Các phép toán cơ ban

Đ%nh nghĩa 1.4. Ta đ%nh nghĩa các tốn tu tốn tu tuyen tính:
Tốn tu t%nh tien Tx:
Tx : L2(R) → L2(R), (Txf )(t) = f (t − x),
(1.2)

x ∈ R.

Tốn tu bien đi¾u Mω:
Mω : L2(R) → L2(R), (Mωf )(t) = e2πiωtf (t),
(1.3)

ω ∈ R.

Toán tu co Dα:
2

1

2

t

Dα : L (R) → L (R), (1.4)
(Dαf )(t) = √ f (
),
α ∈ R.
α
α
−1
−1
De thay rang Tx = T−x và Mω = M−ω . Tốn tu Tx cịn đưoc GQI là dòi
thòi gian, và Mω là dòi tan so.
Các tốn tu có dang Tx Mω ho¾c Mω Tx đưoc GQI là dòi thòi gian-tan so. Chúng
thoa mãn quan h¾ giao hốn
TxMω = e−2πixωMωTx.
Dịi thịi gian-tan so là phép đang cn trong Lp vói

MQI

(1.5)

1 ≤ p ≤ ∞, túc là

ǁTxMωfǁLp = ǁfǁLp .
Dịi thịi gian-tan so tác đ®ng lan nhau vói bien đői Fourier như sau:
Tˆ x f =
M−xfˆ

ho¾c FT x = M−xF
ho¾c FMω = T ω F.

(1.6)
(1.7)

Mˆω =
Tω f ˆ
Phương trình (1.7) chi ra tai sao phép bien đi¾u cịn đưoc GQi là dịi tan so, vì phép
bien đi¾u tro thành phép t%nh tien trong mien bien đői
Fourier. Ket hop lai, ta có tính chat
T^x Mω f = M−x Tω fˆ = e−2πixω Tω M−x fˆ.
Đ%nh lý 1.4. Các toán tu Tx, Mω, Dα là các toán tu unita.


Hỡnh 1.1: Mđt tớn hiắu v cỏc dũi thũi gian, dòi tan so và dòi thòi gian-tan so.


Chúng minh. Vói

MQI

f, g ∈ L2 (R) và x ∈ R ta có

∫
(T f, g) = ∞ f (t − x)g(t)dt
x
∫−∞
= ∞ f (y)g(y + x)dy

vói y = t − x

−∞

= (f, T−xg).
Do đó, Tx∗ =
T−x.
M¾t khác, Tx−1 = T−x , suy ra Tx−1 = Tx∗ , túc là
Tx∗ Tx = Tx−1 Tx = I.
V¾y Tx là tốn tu unita.
Tương tn, ta cũng có Mω, Dα là các tốn tu unita.

1.4

Bien đoi Fourier thài gian ngan

Bien đői Fourier cung cap thơng tin tồn cuc ve tan so cna m®t tín hi¾u.
Đieu này chi huu ích cho nhung tín hi¾u bat bien theo thũi gian. Vúi tớn hiắu
đng, bien i Fourier không cho ta biet nhung tan so nào dien ra trong m®t
thịi gian nào đó. Đe khac phuc đieu này, tín hi¾u se đưoc chia nho ra theo
nhung khoang thịi gian ngan mà tai moi khoang đó tín hi¾u có the đưoc coi
như là tuan hoàn. Bien đői Fourier đưoc lay lan lưot trong nhung khoang này.
Vì khi chia nho như v¾y, tín hi¾u se b% đút đoan và hình thành nhieu trong

phő tan so nên thay vì chia nho tớn hiắu, ta se dựng mđt hm cua s trn.
Hm cua s l mđt hm nhắn giỏ tr% khụng bờn ngồi m®t khoang huu han,
và khoang đó có the r®ng hoắc hep.
%nh ngha 1.5. Gia su g L2(R)\{0} l
mđt hàm cua ső. Bien đői Fourier
thài gian ngan (STFT) cua m®t hàm f ∈ L2(R) theo g đưac đ%nh nghĩa bái
(STFT g f )(x, ω) =
∫ d f (t)g(t − x)e−2πitωdt,
R
vái x, ω ∈
R.


Bien đői Fourier thịi gian ngan dưịng như có the cung cap thông tin ve
các tan so ω dien ra tai thòi gian x như mong đoi. Tuy nhiên Nguyên lý bat đ
%nh sau chi ra rang đieu đó khơng xay ra.


Đ%nh lý 1.5 (Nguyên lý bat đ%nh). Gia su f ∈ L2(R) và a, b R là các so bat
kỳ. Khi đó
Σ1/2
Σ1/2 .∫
.∫R
2
2
≥ 1
(x − a) |f (x)| dx
ǁfǁ2
(ω − b)2 |fˆ(ω)|
4π

.
2
dω
Đang thúc xay ra khi và chs khi f là b®i cua T M ϕ (x) = e2πib(x−a)e−π(x−a)2/c vái
a b x
c > 0.
Nguyên lý trên chi ra rang bien đői Fourier thịi gian ngan có giói han ve đ®
phân giai trong khơng gian thịi gian - tan so: Ta có nhieu thơng tin ve thịi gian
nhưng mat đi thơng tin ve mien tan so neu hàm cua ső hep và ngưoc lai neu
hàm cua ső r®ng.
Hình 1.2 cho ta thay đưoc han che này.
Đ%nh lý 1.6. Gia su f, g ∈ L2(R). Khi đó
ǁSTFTgfǁL2(R2) = ǁfǁL2(R)ǁgǁL2(R).
Trong trưàng hap ǁgǁL2 = 1 ta có
ǁfǁL2(R) = ǁSTFTgfǁL2(R2d)
vái

MQI

f ∈ L2 (R) và do đó, STFT là phép đang cn tù L2 (R) vào L2 (R2 ).

Đ%nh lý trên chi ra rang: bien đői Fourier thịi gian ngan cũng bao tồn
năng lưong cna tín hi¾u.
Đ%nh lý 1.7 (Cơng thúc ngh%ch đao). Gia su g, γ ∈ L2(R) và (g,
γ) =
1
f =
∫ ∞ ∫ ∞ STFT f (x, ω)e2πiωtγ(t −

0. Khi đó

g

x)dωdx
(γ, g)
vái

MQI

1.5

−∞ −∞

f ∈ L2 (R).

Hàm Gauss

Theo Nguyên lý bat đ%nh o trên, ton tai m®t hàm so đe bat đang thúc trong
nguyên lý xay ra dau bang, đó là hàm Gauss. Do đó, hàm Gauss là lna cHQN tot
nhat cho hàm cua ső trong bien đői Fourier thòi gian ngan đe đat đưoc đ® phân


giai thịi gian - tan so tot nhat. Ngồi ra, hàm Gauss là bat bien (tói hang so) qua
bien đői Fourier.


Hỡnh 1.2: Mđt tớn hiắu v cỏc bien i Fourier thịi gian ngan vói hàm cua ső
r®ng và hàm cua ső hep. e trưịng hop cua ső r®ng, ta có đ® phân giai tan so
tot nhưng

khơng thay đưoc thơng tin ve thịi gian. e trưịng hop cua ső hep, ta có đ®
phân giai thịi gian tot nhưng các tan so không rõ ràng.


Đ%nh nghĩa 1.6. Hàm Gauss ϕa đưac đ%nh nghĩa bái
ϕ a: Rd R, (x) = ex2/a,
vỏi đ lắch chuan a > 0 ts lắ thuắn vỏi đ rđng cua hàm.
Hàm g trong Hình 1.1 là m®t ví du cna hàm Gauss.
Ta se chúng minh sn bat bien cna hàm Gauss qua phép bien đői Fourier:
Đ%nh lý 1.8. Hàm ϕ(x) = e−πx2 thóa mãn ϕˆ = ϕ, túc là
(Fϕ)(ω) = e−πω2 .
Chúng minh. Bien đői Fourier cna ϕ(x) vói x ∈ R là
ϕˆ(ω) = ∫
e−πx e−2πiωxdx
2

= ∫R

∫
e−π(x+iω)
e−πω
2

2

dx
= e−πω

e−π(x+iω) dx.

2

2

R

Ta đ¾t h(x, ω) = e−π(x+iω)2 . Suy ra
∂h
∂ω

(x, ω) =
−

2πi(x + iω)e−π(x+iω)2

kha tích đeu theo
x.
∫
Đ¾t H(ω) = R h(x, ω)dx. Ta
∂h
∫
(x, ω)dx
có
R ∂ω
dH
dω

−π(x+iω)
2 dx
(ω) = R −2πi(x + iω)e

=∫
Σ
∞
= ie−π(x+iω) x=−∞
Σ
= 0 ∀ω ∈ R.
2


Ta suy ra H(ω) là hàm hang và do đó Hω) ≡ H(0). Hơn nua
H(0)2 =

∫

∫
Re

−πx2

= ∫∫
= ∫∫

=

e−πy dy
2

R

e−π(x +y )dxdy
2

R×R

∫

dx

R+×[0,2π]

2

e−πr2 rdrdθ

∞ 2πre−πr2 dr
0

Σ

∞

= 1.
r=0
Σ−
H(0) ≥ 0 do h(x, 0) ≥ 0, do đó H(0) = 1. V¾y ϕˆ(ω) = e−πω2 .
=

e−πr

2


Chương 2
Khung trong khơng gian Hilbert
và khung Gabor
N®i dung đưoc trình bày o chương này đưoc tham khao o các tài li¾u [1],
[2] và [3].

2.1

Dãy Bessel và cơ sa Riesz

Đau tiên, ta nhac lai các khái ni¾m ve cơ so và cơ so trnc chuan.
Đ%nh nghĩa 2.1. M®t dãy {fk }∞k=1 đưac GQI là đay đu trong không gian Hilbert H
neu span{fk }∞k=1 = H, túc là span{fk }∞k=1 trù mắt trong H.
%nh ngha 2.2. Mđt dóy {fk }k=1 trong khơng gian Hilbert H đưac GQI là m®t
cơ sá cua
neu vỏi MQIfH
, ton tai duy nhat bđ hắ so vụ hưáng
H
{ phúc
}
ck ∞k=1 sao cho
∞
Σ
f = c k fk .
k=1

Đ%nh ngha 2.3. Mđt dóy {fk}k=1 trong khụng gian Hilbert ac

H
hắ trnc chuan neu
(fk, fj) = δk,j.

GQI

là m®t

M®t cơ sá trnc chuan l mđt hắ trnc chuan ong thi l mđt c sỏ cua H.
Neu {fk}k=1 l mđt hắ trnc chuan trongH thì {fk ∞k=1 thoa mãn Bat
}
đang thúc Bessel:
∞
Σ
|(f, fk )|2 ≤ ǁf ǁ2 ∀f ∈ H.
(2.1)
k=1


Bây giị ta se xem xét các dãy khơng phai là cơ so nhưng có tính chat giong
như Bat đang thúc Bessel.
Dãy Bessel đưoc đ%nh nghĩa như sau:
Đ%nh nghĩa 2.4. M®t dãy {fk}∞k=1 trong khơng gian Hilbert đưac
m®t dãy Bessel neu ton tai m®t hang
so B > 0 sao cho
H

GQI

là

∞
Σ
|(f, fk)|2 Bf 2
k=1

vỏi

MQI

f H. B ac

GQI

l mđt cắn Bessel cua {fk }∞k=1 .

Đ%nh lý 2.1. Gia su {fk }∞k=1 là m®t dãy trong khơng gian Hilbert H và hang
so
B > 0 cho trưác. Khi đó,
fk ∞k=1 là m®t dãy Bessel vái c¾n Bessel B
{
khi và chs khi
}
∞
Σ
∞
T : {ck } k=1 → ck fk
k=1

√

là m®t tốn tu b% ch¾n, đ%nh nghĩa tot tù l2(N) → H và ǁTǁ ≤ B.
Chúng minh. Gia su {fk }∞k=1 là m®t dãy Bessel vói c¾n B. Gia su {cΣk }∞k=1
∞
∈
l2 (N).
Đau
tiên ta can chi ra rang T {ck ∞k=1 đưoc đ%nh nghĩa tot, túc là
k=1 ck fk h®i
}
tu.
Vói m, n ∈ N, n > m ta có
n
Σ

m
Σ

n
Σ

c f

c
f
n

ckfk −

k=1

k=1

k k

kk

.
= sup

k=m+1
ǁgǁ=
1

( Σ ckfk,
.
.
k=m+ g)
1
n

Σ
ǁgǁ=1
≤ sup
|ck (fk , g)|
k=m+1

n
≤ .k=Σm+1

n

2

2

Σ


|ck|

Σ1/ su ǁgǁ= |(fk,
1
n
p m+1
. =Σ g)|
k

Σ1/2

2

√
≤ B
Vì {ck }∞
Σn
{

∈ l2 (N) nên

.k=Σm
+1

1/2
2

|ck|

.

|ck|2}∞ là m®t dãy Cauchy trong C. Do ú

{
trong
H v do ú nú hđi tu. Vỡ vắy,
nk=1 ck=1
k fk }k=1 là m®t dãy Cauchy
k=1
k=1
T {ck }k=1
∞

∞


đ%nh nghĩa tot.
T là tốn tu tuyen tính. Vì
ǁT{ c}
k
ǁ
sup

=

∞

k=1

√

|(T {ck }∞k=1 , g)|
√

ǁgǁ=1

nên T b% ch¾n và do đó ǁTǁ ≤ B.
ǁ ǁ ≤ B. GQI T ∗ là toán tu
e chieu ngưoc lai, gia su T đưoc đ%nh nghĩa tot và
T
liên hop cna T :
T ∗ : H → l2 (N), T ∗ f = {(f, fk )}∞k=1 .
Vì ǁTǁ = ǁT∗ǁ nên ta có
∞
Σ
|(f, fk )|2 = ǁT ∗ f ǁ2 ≤ ǁT ∗ ǁ2 ǁf ǁ2 = ǁT ǁ2 ǁf ǁ2 ≤ Bǁf ǁ2 .
k=1

Theo đ%nh ngha, {fk }k=1 l mđt dóy Bessel vúi cắn B.

Hắ qua 2.1. Gia su {fk }∞k=1 là m®t dãy trong H và ∞k=1 ck fk h®i tn vái MQI
{ck }∞k=1 ∈ l2 (N). Khi đó {fk }∞k=1 là m®t dãy Bessel.

Hắ qua 2.2. Gia
su
{f
k } k=1 l mđt dóy Bessel trong H. Khi đó
k=1 ck fk h®i
∞
2
tn vái MQI {ck } k=1 ∈ l (N).
Đ%nh nghĩa
2.5. M®t ∞
cơ sá Riesz cua khơng gian Hilbert H là m®t hQ có
∞
dang
U
e
,
vái
e
là
k
k
k=1{ }
k=1 là m®t cơ sá trnc chuan
{
}
H cua Hvà→UH:
m®t tốn tu song ánh b% ch¾n.
Đ%nh lý 2.2. Gia su {fk }∞k=1 là m®t dãy trong khơng gian Hilbert H. Khi đó

ton tai dãy {gk }∞k=1 trong H sao cho
∞

Σ
f = (f, gk)fk

(2.2)

k=1

vái MQI f ∈
H.
{gk }∞k=1 cũng là m®t cơ sá Riesz, và {fk }∞k=1 và {gk }∞k=1 trnc giao vái
nhau. Hơn nua, chuői (2.2) h®i tn vái MQI f ∈ H.
Chúng minh. Tù đ%nh nghĩa cna cơ so Riesz, ta có the viet
{fk }∞k=1 = {U ek }∞k=1 ,
vói U l mđt toỏn tu song ỏnh,1b% chắn v {ek }k=1 là m®t cơ∞so trnc chuan.
Xét hàm f ∈ H. Khai trien U f theo cơ so trnc chuan {ek } k=1 ta đưoc
∞

∞


k=
1

U −1 f =

Σ

(U −1 f, ek )ek =

k=
1

Σ

(f, (U −1 )∗ ek )ek .