Một số hệ phương trình không mẫu mực

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
KHOA TỐN - CƠ - TIN HOC

Pham Th% Nhan

M®T SO Hfi PHƯƠNG TRÌNH
KHƠNG MAU MUC
Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ
CAP Mã so: 60.46.01.13

LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC:
PGS.TS NGUYEN XUÂN THAO

Hà N®i – Năm 2015


Mnc lnc
Ma đau và lài cam ơn

2

1 H¾ phương trình cơ ban
4
1.1 H¾ phương trình tuyen tính.......................................................4
1.1.1 H¾ hai phương trình tuyen tính.......................................4
1.1.2 H¾ ba phương trình tuyen tính........................................5
1.2 H¾ phương trình phi tuyen.........................................................6
1.2.1 H¾ phương trình đoi xúng...............................................6

1.2.2 H¾ hai phương trình đang cap........................................12
1.2.3 H¾ phương trình hốn v%....................................................14
1.2.4 Hắ hai phng trỡnh bắc 2 tng quỏt.............................16
2 Mđt so phng phỏp giai hắ phng trỡnh
18
2.1 Phng phỏp cđng ai so và the...............................................18
2.2 Phương pháp đ¾t an phu...........................................................21
2.3 Phương pháp lưong giác............................................................24
2.4 Phương pháp su dung tính chat cna hàm so..............................27
2.5 Phng phỏp ỏnh giỏ...............................................................32
3 Giai
3.1
3.2
3.3
3.4

mđt so hắ khụng mau mEc
37
H¾ phương trình đai so..............................................................37
H¾ phương trình vơ ti.................................................................45
H¾ phương trình chúa mũ và logarít..........................................48
H¾ phương trình hon hop...........................................................50

KET LU¾N

53

Tài li¾u tham khao

54

1


Ma au
Hắ phng trỡnh l mđt trong nhung phõn mụn quan TRQNG cna Đai so và có
nhung úng dung trong các ngành khoa hQc và ky thu¾t khi chúng ta can xem
xét nhieu đai lưong. Sóm biet đưoc tù xa xưa do nhu cau tính tốn cna con
ngưịi và ngày càng phát trien theo thòi gian đen nay chi xét trong Tốn HQc
h¾ phương trình đã rat đa dang ve hình thúc như: h¾ phương trình đai so, h¾
phương trình vơ ti, h¾ phương trình có chúa mũ và logarít. . . và phúc tap ve
cách tìm ra hưóng giai.
Trong nhung năm gan đây tù năm 2002 - 2014 h¾ phương trình khơng mau
mnc thưịng xun xuat hi¾n trong các kỳ thi Olympic Toán, VMO, tuyen sinh
Đai HQc - Cao đang. Đây là m®t loai tốn khó địi hoi HQc sinh phai v¾n dung
linh hoat, sáng tao các kien thúc giai tích, hình HQc và lưong giác.
Tác gia cHQN đe ti Luắn vn "Mđt so hắ phng trỡnh khụng
mau mEc" nham nghiờn cỳu mđt cỏch hắ thong cỏc hắ phng trình
khơng mau mnc và v¾n dung chúng trong các đe thi quoc te và quoc gia.
Trong lu¾n văn "h¾ phương trình khơng mau mnc" đưoc hieu là h¾ có chúa
các lóp hàm khác nhau (chúa căn, mũ và logarít, lưong giác. . . ) ho¾c cách
giai cna chúng khơng thnc hi¾n đưoc bang các bien đői thơng thưịng can v¾n
dung các phương pháp so sánh, ưóc lưong. . . . Luắn vn gom 3 chng vúi nđi
dung nh sau
Chng 1. H¾ phương trình cơ ban đưa ra các loai h¾ phương trình
thưịng g¾p trong chương trình phő thơng và đe cắp cỏch giai tng quỏt.
Chng 2. Mđt so phng phỏp giai h¾ phương trình đe c¾p các
phương pháp giai h¾ truyen thong: phương pháp the và c®ng đai so,
phương pháp đ¾t an phu, phương pháp lưong giác hóa và các phương pháp
giai đ¾c bi¾t cho h¾ khơng mau mnc: phương pháp su dung tính chat cna

hàm so, phương pháp đánh giỏ.
Chng 3. Giai mđt so hắ phng trỡnh khụng mau mEc trong chương
này chn yeu giói thi¾u các h¾ phương trình khơng mau mnc trong các kỳ
thi quoc te và quoc gia.
2


Lài cam ơn
Tác gia xin gui lòi cam ơn chân thành và sâu sac đen PGS.TS Nguyen
Xuân Thao - m®t ngưịi thay t¾n tâm vói nghe, thay khơng chi là ngưịi chap
bút cho tác gia hồn thành xuat sac Lu¾n văn, mà thay còn cho tác gia ngh
% lnc phan đau, m®t cái nhìn khác ve đ%nh hưóng tương lai nghe nghi¾p.
Tác gia xin gui lịi cam ơn tói Ban giám hi¾u, phịng Đào tao Sau đai HQc
Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, các thay cô đã tham gia giang day cho lóp Cao HQc
Tốn niên khóa 2013 - 2015, các thay cô và anh ch% cna Seminar "Phương pháp
Tốn sơ cap" trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Seminar "Giai tích" Vi¾n
Tốn tin và úng dung trưịng Đai HQc Bỏch Khoa H Nđi ó tao ieu kiắn v
giỳp đõ tác gia trong suot thịi gian hQc t¾p và nghiên cúu tai trưòng.
Nhân đây tác gia cũng xin gui lịi cam ơn các ban HQc viên cao HQc khóa 2013
- 2015, gia đình và ban bè đã ln nng hđ khớch lắ, tao MQI ieu kiắn thuắn loi
e tỏc gia hồn thành khóa HQc và Lu¾n văn này. M¾c dù tác gia đã co gang rat
nhieu nhưng ket qua trong Lu¾n văn cịn khiêm ton và khó tránh khoi nhung
khiem khuyet. Tác gia mong nh¾n đưoc sn đóng góp q báu cna các thay cơ
và các đ®c gia đe Luắn vn hon thiắn hn.
H Nđi, ngy 24 thỏng 9 năm 2015.
HQc viên

Pham Th% Nhan

3

Chương 1
H¾ phương trình cơ ban
Trong Chương này tác gia khỏi quỏt lai mđt so hắ phng trỡnh c ban trong
h¾ thong chương trình THPT, cùng phương pháp giai tőng quát và các ví du
minh HQA cho tùng dang cu the. Các ví du trình bày đưoc trích trong cuon "Boi
dưõng HQc sinh gioi mơn Tốn - Văn Phú Quoc", "Tuyen cHQN và giai h¾
phương trình thưịng g¾p trong các kỳ thi Đai hQc và Cao đang - Hà Văn
Chương".

1.1

H¾ phương trình tuyen tính

1.1.1

H¾ hai phương trình tuyen tính

H¾ hai phương trình tuyen tính có dang .

J

J

J

a

x+by=c

Cách giai.
Cách 1. Su dung phương pháp
Cramen. Tính các đ%nh thúc
D=

ax + by = c

a

b

. = abJ − aJ b
.
. aJ bJ .
Dx = . c b . = cbJ − cJ b
. c J bJ .
Dy = . a c . = acJ − aJ c
. aJ c J .

TH1. a = a’ = b = b’ = 0.
+ Neu c = c’ = 0 thì h¾ vơ đ%nh.
+ Neu c ƒ= 0 ho¾c cJ ƒ= 0 thì h¾ vơ nghi¾m.
TH2. Trong 4 hắ so a, a, b, b cú ớt nhat mđt h¾ so khác khơng.
4


Chương 1
+ H¾ có nghi¾m duy nhat ⇔ D ƒ= 0.

5


Chương 1. H¾ phương trình cơ
ban
Dx Dy
Nghi¾m duy nhat cna h¾ là (x, y) = . ;
Σ.
D D
.D = 0
+ Dx = Dy = 0 ⇒ h¾ vơ đ%nh (có vơ so nghi¾m).
.
D=0
+ Dx ƒ= 0(Dy ƒ=
⇒ h¾ vơ nghi¾m.
0)

Cách 2. Su dung phng phỏp Gauss.
Nhõn hoắc chia mđt phng trỡnh no ú cna hắ vúi mđt so thớch hop, e
khi cđng hoắc trự cỏc phng trỡnh khỏc cna hắ ta se loai dan
.đưoc an.
ax + by = c
JJ
a
x=c

Tiep tuc làm như trên, ta se bien đői h¾ đã cho ve h¾ tam giác J

Tù h¾ tam giác ta rút ra đưoc nghi¾m.
Ngồi ra, ta có the giai h¾ phương trình b¾c nhat hai an bang các loai máy

tính bo túi như CASIO fx - 500 MS, CASIO fx - 570 E, SHARP EL - 506W.
Ví dn 1.1 (Đai HQc Giao Thơng V¾n Tai - 1995). Cho h¾ phương trình
.
(m + 1)x − my =
4 3x − 5y = m

Tìm m đe h¾ phương trình có nghi¾m (x; y) thoa mãn x − y < 2.
Lài giai. Ta có D = −2m − 5, Dx = m2 − 20, Dy = m2 + m − 12.
5

• D= 0 ⇔m=
• D ƒ= 0 ⇔
m

2
5
2

: Dx ƒ= 0 nên h¾ vơ nghi¾m
Dx
: h¾ có nghi¾m duy nhat x Dy , y =
=
D D
(m2 − 20) − (m2 + m −
12)
⇔

Theo yêu cau đau bài
D−D
x−y<2

⇔

x

y

<2

D

−

5

m<−

5

−2m − 5


Chương 1. H¾ phương trình cơ
ban

<2⇔
m>−

V¾y m <

−

5

6

2
2
3


Chương 1. H¾ phương trình cơ
ban
2 ho¾c m >

2

7


Chương 1. H¾ phương trình cơ
thoa mãn u cau bài tốn.
ban
3

1.1.2

H¾ ba phương trình tuyen tính

Cách giai. Giong h¾ hai phương trình tuyen tính.
Ví dn 1.2. Giai h¾ phương trình



−2x + y − 3z = −9

x − 2y + z = 0


3x − 6y − z = −12

8


Lài giai.
H¾ phương trình tương
đương

−2x + y − 3z = −9
3x − 6y + 3z =
0 3x − 6y − z =
 −12

x = 1
⇔



y= 2
z=3




−2y + x + z = 0

−2x + y − 3z =

−9
⇔ x − 5y =
−9

x − 2y =
−3

⇔

−2y + x = −3
y=2



V¾y nghi¾m cna h¾ phương trình đã cho là

1.2
1.2.1

H¾ phương trình phi tuyen
H¾ phương trình đoi xÉng

a) H¾ hai phương trình đoi xÉng loai 1
.f (x, y) = 0

Nh¾n dang Cho h¾ phương trình

g(x, y) = 0

Neu khi ta đői cho x và y cho nhau, tùng phương trình cna h¾ khơng thay đői,
túc là f (x, y) = f (y, x) và g(x, y) = g(y, x) thì h¾ đã cho đưoc GQI là h¾ đoi
xúng loai 1 hai an.
Cách giai.
+ Bien đői h¾ đã cho ve h¾ chúa x + y và xy.
+ Đ¾t x + y = u, xy = v vói đieu ki¾n u2 − 4v ≥ 0.
+ H¾ đã cho tro thành đơn gian hơn đoi vói các bien u, v.
+ Giai h¾ .
đoi vói u, v thu đưoc các giá tr% u, v.
x+y=
+ Giai h¾
ta thu đưoc nghi¾m (thưịng dùng đ%nh lí Viét đao).
u

xy = v

Ví dn 1.3. (ai HQc S pham H Nđi 2000) Giai hắ phương trình
.2
2
x + y + xy = 7
x4 + y4 + x2y2 = 21

Lài giai. H¾ phương trình tương đương
.2

x + y2 + xy = 7
(x2 + y2) − x2y2 = 21

Đ¾t u = x2 + y2, v = xy. H¾ phương trình tro thành
.⇔
.⇔
.
u+v=7

u2 − v2 = 21


u+v=7
u−v=3

u= 5

v= 2


Khi đó ta có,

.2

x + y2 = 5
xy = 2

.

(x + y)2 = 1

xy = 2

⇔

Giai h¾ trên ta thu đưoc các nghi¾m là (1; 2), (2; 1), (−1; −2), (−2; −1).
Ví dn 1.4. Giai h¾ phương trình
1

.

x

y


1 

+

1

=9+
1+ 1
√
Σ √3 x.
√33 x
1
y
1
.

Σ

1

Lài giai. Đieu ki¾n x, y ƒ= 0. Đ¾t u = √3 , v = √3
x

Σ

y


1+
√3
y

=
18

1

H¾ phương trình đã cho tro thành
.u3 + v3 = 9

.(u + v)3 − 3uv(u + v) = 9

(u + v)(1 + u)(1 + v) =
18

Đ¾t S = u + v, P = uv (S2 ≥ 4P ).
H¾ phương trình tro thành
.S3 3PS = 9

⇔

(u + v)(1 + u + v + uv) =
18

.3

S(S + P + 1) = 18
⇔
−

S − 3PS = 9
PS = 18 − S − S2

(1.1)
(1.2)

Thay (1.2) vào (1.1) ta đưoc
S3 + 3S2 + 3S − 63 = 0
3

⇔ (S + 1) = 64
⇔ S= 3 ⇒ P= 2

.
Vói

3

S=
P =
2

.
Khi đó

ta có u, v là nghi¾m cna phương trình
X 2 Σ−3X +⇔2 = 0

.

u=1

u=2

.x =

X1 = 1
X2 =
2
1

.

8
v=2
v=1

ho¾c
ra
y=
1
1
1
V¾y h¾ phương trình đã cho có nghi¾m là . ; 1Σ , .1; Σ.
8
8

ho¾c

. Suy

x=1
1
y=
8.


b) H¾ ba phương trình đoi xÉng loai 1

Nh¾n dang
Khi ta đői cho các bien x cho y , y cho z và z cho x tùng phương trình cna
h¾ khơng thay đői. H¾ như v¾y GQI là h¾ đoi xúng loai 1 ba an.
Cách giai.

x+y+z=α

xy + yz + zx = β



+ Bien đői h¾ đã cho ve h¾ có chúa các
cum
xyz = γ
+ Theo đ%nh lý Viét cho phương trình b¾c ba ta có x, y, z là ba nghi¾m cna
phương trình
t3 − αt2 + βt − γ = 0

(1.3)

Giai phương trình (1.3), có các kha năng xay ra
+ Neu phương trình (1.3) có đúng 3 nghi¾m, thì h¾ có đúng 6 nghi¾m.
+ Neu phương trình (1.3) có đúng 2 nghi¾m thì h¾ có đúng 3 nghi¾m.
+ Neu phương trỡnh (1.3) cú nghiắm duy nhat (nghiắm bđi 3), thỡ h¾ có
nghi¾m duy nhat.
+ Neu phương trình (1.3) có nghi¾m duy nhat (nghi¾m đơn) thì h¾ vơ nghi¾m.
Ví dn 1.5. Giai h¾ phương trình


x+ y+ z= 1

x2 + y2 + z2 = 9
3
3
3

x +y +z =1

Lài giai. Tù h¾ phương trình ta có,

(x + y + z)2 − (x2 + y2 +
z2) 2
3
3
3
3xyz = (x + y + z ) − (x + y + z)(x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx) = −12

.xy + yz + zx =

.
xy + yz + zx =
Suy ra −4
xyz = −4

. H¾ đưa ve dang

x+y+z=1

xy + yz + zx =−4

xyz = −4

Theo đ%nh lý Viét đao x, y, z là nghi¾m cnaΣ phương
t−t
3

2−

4t + 4 =
0⇔

t=1
t=2
t = −2

Tù đó ta tìm đưoc nghi¾m cna h¾ (1; 2; −2) và các hoán v%.


c) H¾ hai phương trình đoi xÉng loai 2

Nh¾n dang
Cho h¾ gom 2 phương trình có hai an x và y . Khi ta đői cho x cho y và y
cho x, phương trình thú nhat tro thành phương trình thú hai và ngưoc lai. H¾
như v¾y GQI là h¾ đoi xúng loai hai.
Cách giai.
+ Trù tùng ve hai phương trình đưoc phương trình h¾ qua.
+ Bien đői phương trình h¾ qua ve phương trình tích.
+ Ghép tùng phương trình cna phng trỡnh hắ qua vúi mđt trong hai
phng trỡnh cna h¾ đã cho, đưoc các h¾ mói (là nhung h¾ khơng đoi
xúng).
Chú ý ngồi quy tac giai cơ ban trờn, trong mđt so trũng hop ắc biắt
hắ phng trỡnh đai so đoi xúng loai 2 hai an đưoc bien đői tương đương
ve h¾ phương trình mói bang cách đong thũi cđng v trự tựng ve cỏc
phng trỡnh cna hắ.
Vớ dn 1.6. (VMO 1994, bang B) Giai h¾ phương trình
.2
x + 3x + ln(2x + 1)
= y y2 + 3y + ln(2y
+ 1) = x

Lài giai. Đieu ki¾n x > −

1

,y>−
2
2

1

Khi đó tù h¾ phương trình ta có phương trình
x2 + 4x + ln(2x + 1) = y2 + 4y + ln(2y + 1)

Xét hàm so f (t) = t2 + 4t + ln(2t + 1) trên .−
1
> 0, ∀t > −
2t +
2
1
1
⇒ f (t) là hàm đong bien trên .− ; +∞Σ
2

Ta có f J (t) = 2t + 4 +

2

2

1

; +∞Σ

Do đó (1. 5) có dang

f (x) = f (y) ⇔ x = y

Thay vào h¾ đã cho ta đưoc
x2 + 2x + ln(2x + 1) = 0
1
Xét hàm so g(x) = x2 + 2x + ln(2x + 1) trên .− ; +∞Σ
2
2
1
Ta có g J (x) = 2x + 2 +
> 0, ∀x > −
2x +
2
1
1
⇒ g(x) là hàm đong bien trên .− ; +∞Σ.
2

(1.5)


M¾t khác, g(0) = 0 nên x = 0 nghi¾m duy nhat cna phương trình g(x) = 0.
V¾y h¾ phương trình đã cho có nghi¾m duy nhat là (0; 0).

d) H¾ ba phương trình đoi xÉng loai 2


f (x, y, z)

g(x, y, z) = 0
Nh¾n dang Cho h¾ phương
=0

trình
φ(x, y, z) = 0
Khi ta đői cho x cho y , y cho z , z cho x, thì ta đưoc f (x, y, z) tro thành g(x, y,
z), g(x, y, z) tro thành φ(x, y, z), φ(x, y, z) tro thành f (x, y, z). H¾ có tính chat
như trên, GQI là h¾ đoi xúng loai hai.
Cách giai.
H¾ có dang đoi xúng loai hai 3 an là h¾ khó. Cách giai phai linh hoat, tùy theo
tùng h¾ có nhung đ¾c điem khác nhau, ta cHQN cách giai cho phù hop.

Ví dn 1.7. (Đe thi vào trưòng Đai HQc Ngoai Thương 1996) Giai h¾ phương
trình

x = y3 + y2 + y − 2

y = z3 + z2 + z− 2

3
2

z=x +x +x−2

Lài giai.

TH1. Trong 3 so x, y, z có ít nhat 2 so bang nhau. Gia su x = y.
Ta có
 x = x3 + x2 + x −

3
2
2 x = z + z + z
− 2 3
2
z=x


Σ
+
x +
x−2
x=1

(x − 1)(x2 + x + 2) = 0
⇔ x = z3 + z2 + z − 2

3
2
z=x



+xx =
+ 1x − 2

.

+z−
⇔ 1= +
2
z2 2
x
+
x
+
2
=
0
3
⇔ x=1
⇔
z
3
2
z=1

x=z +z +

z −
2
z = x3 + x2 + x − 2
z= 1 +1 + 1−2
H¾ phương trình có nghi¾m (1; 1;
1)
. trưịng hop y = z, z = x làm tương tn ta cũng đưoc 1 nghi¾m (1; 1; 1).

Các
TH2. Các so x, y, z đơi m®t khác nhau. Gia su x > y > z
Xét hàm so f (t) = t3 + t2 + t − 2 trên
R. Ta có f J (t) = 3t2 + 2t + 1 > 0, ∀t ∈

R
⇒ f (t) đong bien trên R.


Do x > y > z ⇒ f (x) > f (y) > f (z) ⇒ z > x > y trái vói đieu gia su.
V¾y h¾ khơng có nghi¾m (x, y, z) vói x > y > z.
Các trưịng hop khác làm tương tn, ta đưoc h¾ cũng khơng có
nghi¾m. V¾y h¾ có nghi¾m duy nhat (1; 1; 1).
Ví dn 1.8. (Đe thi vào trưịng Đai HQc Lu¾t Hà Nđi) Giai hắ phng trỡnh

3
2
2x + 1 = y + y + y



2y + 1 = z3 + z2 + z

2z + 1 = x3 + x2 + x

Lài giai.
TH1. Trong 3 so x, y, z có ít nhat 2 so bang nhau.
Gia su x = y. H¾ phương trình tro thành

3

2

2x + 1 = x + x + x

(1.6)
(1.7)
(1.8)

2x + 1 = z3 + z2 + z

3
2

2z + 1 = x + x + x

Ta có

(1.6) ⇔ x3 + x2 − x − 1 ⇔ (x + 1)2(x − 1) = 0x ⇔
=Σ
1
Thay x = −1 vào (1.7) và (1.8) ta đưoc

x = −1

.−1 = z3 + z2 +
z z = −1

Tù đó suy ra h¾ có nghi¾m (x; y; z) = (−1; −1;
−1). Thay x = 1 vào (1.7) và (1.8) đưoc
.3 = z3 + z2 +

zz=1

Tù đó suy ra h¾ có nghi¾m (x; y; z) = (1; 1; 1).
Các trưịng hop y = z ho¾c z = x làm tương tn cũng đưoc hai nghi¾m như
trên. TH2. Ba so x, y, z đơi m®t khác nhau (x > y > z).
Xét hàm so f (t) = t3 + t2 + t trên R.
Ta có f J (t) = 3t2 + 2t + 1 > 0, ∀t ∈ R
⇒ f (t) là hàm đong bien trên R.
⇒ x > y > z ⇒ f (x) > f (y) > f (z) ⇒ 2z + 1 > 2x + 1 > 2y + 1
⇒ z > x > y trái vói đieu gia thiet.


V¾y h¾ khơng có nghi¾m (x; y; z) trong đó x, y, z đơi m®t khác nhau.
Các trưịng hop khác làm tương tn, cũng đưoc ket qua như trên (h¾ vơ
nghi¾m). V¾y h¾ đã cho có 2 nghi¾m (1; 1; 1) và (−1; −1; −1).

1.2.2

H¾ hai phương trình đang cap

Nh¾n dang

ak xn−k y k là bieu thúc đang cap b¾c n đoi vói x và y .

+ Bieu thúc f (x, y) =
Σn

k=
0

+ Phương trình f (x, y) = 0, trong đó bieu thúc f (x; y) là bieu thúc đang
cap đưoc gQI là phương trình đang cap đoi vói x và y .
.f (x, y) =
+
H¾
phương
trình
đưoc GQI là h¾ phương trình bán đang cap
d
1

g(x, y) = d2

neu f (x, y) và g(x, y) là nhung bieu thúc đang cap.
Cách giai.
+ Khu so hang tn do d1, d2 đưoc phương trình đang cap.
+ Giai phương trình đang cap.
+ Ghép nghi¾m cna phương trình đang cap vói m®t trong các phương trình
cna h¾ đã cho đưoc các h¾ mói (h¾ khơng đoi xúng).

Ví dn 1.9. (Đai HQc sư pham TPHCM) Cho h¾ phương trình
.2
2
x + 2xy + 3y =
9 2x2 + 2xy + y2
=2

Lài giai.
H¾ phương trình tương đương vói
. 2

2x + 4xy + 6y2 = 18
−18x2 − 18xy − 9y2 = −18

C®ng tùng ve hai phương trình ta đưoc
x 1 x 3
16x2 + 14xy + 3y 2 = 0 ⇔ 16 . + Σ . + Σ = 0
y

2

y

8

(vì y = 0 khơng là nghi¾m cna phương trình)
x 1
Vói + = 0 ⇔ y = −2x the vào phương trình thú nhat cna h¾ ta đưoc
y

2


x2 − 4x2 + 12x2 = 9 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1 ⇒ y = ±2


x

Vói +
y

3

8
= 0 ⇔ y = − x the vào phương trình thú nhat cna h¾ ta đưoc
8
3
x2

−

16x 2+ 64
3
3

2=

x 9⇔

.
V¾y nghi¾m cna h¾ là (±1;

9

2

3

3

±√
±
√ 17
;
17

±2),

8

8

Σ
.

Ví dn 1.10. Giai h¾ phương trình
.

2x + 3y = x2 + 3xy +
y2 x2 + 2y2 = x + 2y

Lài giai.
+ Ta thay x = y = 0 l mđt nghiắm cna hắ .
+ Xét trưòng hop x ƒ= 0, y ƒ= 0, nhân tùng ve cna hai phương trình ta đưoc
(2x + 3y)(x2 + 2y2) = (x2 + 3xy + y2)(x + 2y)
⇔ x 3+ 4y 3− 3xy 2− 2x y = 0
2


t=1 √

1 + 17

Đ¾t x = ty ta có

t3 − 2t2 − 3t + 4 = 0 ⇔  t =
2√

1
1
27
t=
−
+ Vói t = 1 ⇔ x = y the vào phương trình thú hai cna h¾ ta đưoc
3x(x − 1) = 0 ⇔ Σ

+ Vói t
=

1+
√
17

x= 1⇒y= 1

x=
the vào phương trình 0
thú hai cna h¾ ta đưoc

2
t2y2 + 2y2 = ty + 2y

⇔ (t 2 +
− (t + 2)y = 0
2
2)y
Σ
Σ
⇔ y (t2 + 2)y − (t + 2)



=0 y=0

√

y= 2
=
√
⇒
x=t +2
25 + 17

.

√
2

Σ

√
25 +

⇔

t+

2

5 + 17

1 + 17


5 + 17


Tương tn cho TH t =
√

1−

ta thu đưoc

17
2




.

1−
√

x
=

2


5−
17

√

17

Σ.

5−

√

√
17 − 17

17

Σ

y=

√
17 − 17