Một số khái niệm cơ bản trong đại số von neumann liên quan đến xác suất không giao hoán

Đại học quốc gia Hà Nội
trờng đại học khoa học tự nhiên
-

Nguyn Th Thu Quyờn

Một số khái niệm cơ bản trong đại số von neumann
liên quan đến xác suất không giao hoán

Luận văn thạc sĩ khoa học

H Ni 2013


Đại học quốc gia Hà Nội
trờng đại học khoa học tự nhiên

Nguyn Th Thu Quyờn

Một số khái niệm cơ bản trong đại số von neumann
liên quan đến xác suất không giao ho¸n

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60 46 15
Người hướng dẫn: PGS.TS Phan Vit Th

Luận văn thạc sĩ khoa học

H Ni - 2013

MỤC LỤC
Mở đầu
Chương 1.

Đại số Banach, đại số C * , đại số von Neumann

Trang

3
6-11

1.1 Định nghĩa và ví dụ

6

1.2 Đại số C *

9

1.3 Đại số von Neumann

10
12-38

Chương 2. Một số khái niệm cơ bản của đại số von Neumann dùng
trong xác suất khơng giao hốn-hay xác suất lượng tử
2. 1. Mở đầu, hoán tập,hoán tập bậc hai- Định lý cơ bản của von
Neumann, không gian con A-bất biến
2.2. Phiếm hàm tuyến tính dương, biểu diễn GNS, trạng thái thuần túy và
biểu diễn bất khả quy

2.3. Biểu diễn GNS của Gelfand – Naimark – Segal (GNS –
representation)
2.4. Phép đẳng cự bộ phận, sự khai triển cực, sự tương đương của các
phép chiếu

12
15

16
21

2.5. Tôpô lồi địa phương trên B(H)

24

2.6. Các lớp toán tử Hilbert – Schmidt và toán tử – vết, tiền đối ngẫu
của đại số von Neumann

26

2.7. Phiếm hàm tuyến tính dương chuẩn tắc, vết, phép metric hóa của
topo mạnh trong hình cầu đơn vị của đại số von Neumann

31

Chương 3.
3.1.

Xác suất khơng giao hốn

Nhắc lại một số khái niệm cơ bản trong xác suất cổ điển

42-57
42


3.2.

Các khơng gian xác suất khơng giao hốn

3.3. Một số dạng khơng gian
3.4.

Đại số

p
L khơng giao hốn

43

47

L∞ (Ω, F , µ , A) 49

Kết luận

54

Tài liệu tham khảo

55


MỞ ĐẦU
Luận văn nhằm giới thiệu những khái niệm cơ bản của đại số von Neuman và xác
suất không giao hoán, đây là những khái niệm ra đời từ cơ học lượng tử, vì vậy ta có thể
coi xác suất khơng giao hốn là xác suất lượng tử.
Cơ học lượng tử là một lý thuyết cơ học, nghiên cứu về chuyển động gần với vận
tốc ánh sáng và các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động như năng lượng và
xung lượng, của các vật thể nhỏ bé, ở đó lưỡng tính sóng hạt ( tính chất sóng và tính
chất hạt) được thể hiện rõ . Lưỡng tính sóng hạt được giả định là tính chất cơ bản của vật
chất, chính vì thế cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép
mơ tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không
thể giải thích. Quan điểm về xác suất được sử dụng rất nhiều trong cơ học lượng tử bởi
vì theo nguyên lý Heisenberg ta khơng thể xác định chính xác đồng thời vị trí và vận tốc
của hạt vi mơ, khơng xác định được quỹ đạo của hạt chuyển động. Thế nên người ta tìm
cách tiên đốn xác suất để chúng ở trong một miền xác định nào đó.
Cơ học lượng tử được hình thành vào nửa đầu thế kỷ 20 do Max Planck, Albert
Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born, John von
Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli và một số người khác tạo nên.
Có nhiều phương pháp tốn học mơ tả cơ học lượng tử, chúng tương đương với
nhau. Một trong những phương pháp được dùng nhiều nhất đó là lý thuyết biến đổi, do
Paul Dirac phát minh ra nhằm thống nhất và khái qt hóa hai phương pháp tốn học
trước đó là cơ học ma trận (củaWerner Heisenberg) và cơ học sóng (của Erwin
Schrưdinger).
Theo các phương pháp tốn học mơ tả cơ học lượng tử này thì trạng thái lượng tử của
một hệ lượng tử sẽ cho thông tin về xác suất của các tính chất, hay cịn gọi là các đại
lượng quan sát (đôi khi gọi tắt là quan sát), có thể đo được. Các quan sát có thể là năng
lượng, vị trí, động lượng (xung lượng), và mơ men động lượng... Các quan sát có thể là
liên tục (ví dụ vị trí của các hạt) hoặc rời rạc.

Nói chung, cơ học lượng tử khơng cho ra các quan sát có giá trị xác định. Thay vào
đó, nó tiên đoán một phân bố xác suất, tức là, xác suất để thu được một kết quả khả dĩ từ
một phép đo nhất định
Trong các cơng thức tốn học rất chặt chẽ của cơ học lượng do Paul Dirac và John
von Neumann phát triển, các trạng thái khả dĩ của một hệ cơ học lượng tử được biểu


diễn bằng các véc tơ đơn vị (còn gọi là các véc tơ trạng thái) được thể hiện bằng các hàm
số phức trong khơng gian Hilbert (cịn gọi là khơng gian trạng thái). Khơng gian trạng
thái của vị trí và xung lượng là khơng gian của các hàm bình phương khả tích. Mỗi quan
sát được biểu diễn bằng một tốn tử tuyến tính Hermit xác định (hay một tốn tử tự liên
hợp) tác động lên không gian trạng thái
Các nguyên tắc cơ bản của cơ học lượng tử rất khái quát. Chúng phát biểu rằng
không gian trạng thái của hệ là không gian Hilbert và các quan sát là các tốn tử
Hermit tác dụng lên khơng gian đó.
Cơ học lượng tử hiện đại được ra đời năm 1925, khi Heisenberg phát triển cơ học ma
trận và Schrödinger sáng tạo ra cơ học sóng và phương trình Schrưdinger. Sau đó,
Schrưdinger chứng minh rằng hai cách tiếp cận trên là tương đương.
Heisenberg đưa ra nguyên lý bất định vào năm 1927 và bắt đầu vào năm 1927, Paul
Dirac thống nhất lý thuyết tương đối hẹp với cơ học lượng tử. Ông cũng là người tiên
phong sử dụng lý thuyết toán tử, trong đó có ký hiệu Bra-ket rất hiệu quả trong các tính
tốn như được mơ tả trong cuốn sách nổi tiếng của ông xuất bản năm 1930. Cũng vào
khoảng thời gian này John von Neumann đã đưa ra cơ sở toán học chặt chẽ cho cơ học
lượng tử như là một lý thuyết về các tốn tử tuyến tính trong khơng gian Hilbert. Nó
được trình bày trong cuốn sách cũng nổi tiếng của ông xuất bản năm 1932. Các lý thuyết
này cùng với các nghiên cứu khác từ thời kỳ hình thành cho đến nay vẫn đứng vững và
ngày càng được sử dụng rộng rãi.
Khơng gian xác suất khơng giao hốn mà chúng ta sẽ đề cập là một cặp (,τ

)

trong đó là một đại số von Neumann (trên một khơng gian Hilbert khả ly), và phiếm
hàm
tuyến tính liên tục yếu τ :  →
biến đơn vị thành đơn vị, gọi là vết thỏa mãn:

1. có tính dương: τ ( X ) ≥ 0 nếu X là phần tử không âm, tức là X = Y * Y;
2. trung thành: τ ( X * X ) = khi và chỉ khi X = 0;
0
3. có tính vết: τ (XY) = τ (YX) .
Mối liên hệ của ý tưởng trên với "xác suất" được thông qua bởi định lý cơ bản sau:
Với mỗi phân tử tự liên hợp X ∈  , ln tồn tại độ đo xác suất Borel

µ

X

cho

( )

n
n
∫ t µ X (dt ) = τ X


trên  sao


Như vậy ta có các khái niệm xác suất khơng giao hoán tương ứng:

-đại lượng quan sát A ∈  : đại lượng ngẫu nhiên (khơng giao hốn);
-trạng thái τ : kì vọng, có tác dụng xác định phân phối;
-đại số von Neumann được trang bị trạng thái τ thỏa mãn (1-2-3): khơng gian xác suất
(khơng giao hốn).
Nội dung của luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức bổ trợ cho chương 2, bao gồm các định nghĩa, ví
dụ và các tính chất cơ bản cũng như mối quan hệ giữa ba dạng đại số định chuẩn: Đại số
Banach, đại số C * và đại số von Neumann.
Chương 2: “Một số khái niệm cơ bản của đại số von Neumann dùng trong xác suất
khơng giao hốn - hay xác suất lượng tử ”.
Chương 3: Trình bày về xác suất khơng giao hốn, trong đó nhắc lại một số khái niệm
cơ bản trong xác suất cổ điển và từ đó tiếp cận một cách tổng quan các kết quả về các
khơng gian xác suất khơng giao hốn, khơng gian LP khơng giao hốn cho đại số von
Neumann; ngoài ra là định nghĩa và một số kết quả về đại số L (Ω, F , µ , A) , đại số
∞
hoán von Neumann cũng được giới thiệu trong chương này. giao
Hoàn thành được luận văn này, trước tiên tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến
người hướng dẫn khoa học của mình là PGS.TS Phan Viết Thư, người thầy đã đưa ra đề
tài và tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tơi trong suốt q trình thực hiện luận văn. Đồng thời
tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô thuộc khoa Tốn – Cơ – Tin
học, Bộ mơn Xác suất thống kê, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học – trường ĐHKHTN
– ĐHQGHN và các thầy cơ bên Viện Tốn học đã tận tình giảng dạy và rèn luyện cho
tơi trong suốt thời gian tôi học tập, nghiên cứu tại trường.
Cuối cùng, do khả năng và thời gian có hạn luận văn khơng tránh khỏi những sai
sót, vì vậy tơi rất mong nhận được những sự chỉ bảo, hướng dẫn của các thầy cơ và sự
góp ý của các bạn để bản luận văn này được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Học viên
Nguyễn Thị Thu Quyên

CHƯƠNG 1
ĐẠI SỐ BANACH, ĐẠI SÔ C * , ĐẠI SỐ VON NEUMANN

Chương này được coi như chương trình bày một số kiến thức bổ trợ, làm nền tảng
để theo dõi các trình bày ở các chương sau. Nội dung chính của chương nhằm giới thiệu
định nghĩa, cùng một số ví dụ và tính chất cơ bản cùng với mối quan hệ giữa ba dạng đại
số định chuẩn: Đại số Banach, đại số C* và đại số von Neumann. Về bản chất có thể coi
chúng là các khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ, trên đó có định nghĩa thêm phép
nhân (thường khơng giao hốn) giữa các “vectơ” tương thích với tơ pơ sinh từ chuẩn.
1.1 Định nghĩa và ví dụ
Ta ln ký hiệu  là trường số phức và xét các khơng gian tuyến tính trên trường
phức.
1.1.1 Định nghĩa
Giả sử A là khơng gian tuyến tính (phức) và trong A có phép nhân:
A → A

( x, y )  xy
thỏa mãn các tính chất sau:
1. x(yz) = (xy)z
2. (x+y)z = xz + yz; x(y+z) = xy + xz
3. α ( xy) = (α x ) y = x (α
∀x, y, z ∈ A,α ∈
y),
Khi đó, A được gọi là một đại số phức.
Hơn nữa, nếu A là một không gian Banach (với chuẩn , ) thỏa mãn các tính chất
sau:

5.

4.

xy ≤ x . y ; (x ∈ A, y ∈ B)

A chứa phần tử đơn vị 1 sao cho x.1 = 1.x = x (x∈A)
6.

1=1

thì A được gọi là một đại số Banach.


1.1.2 Nhận xét
- Phép nhân nói chung khơng nhất thiết giao hốn. Nếu phép nhân giao hốn thì đại số
(đại số Banach) giao hoán.
- Điều kiện 4 là quan trọng nhất nói lên mối liên hệ giữa phép nhân và chuẩn. Các điều
kiện 5, 6 không phải là cốt yếu.
Thật vậy, giả sử A là một không gian Banach thỏa mãn các tính chất 1 – 4. Ta xét
Ta đưa vào A1 cấu trúc tuyến tính thơng thường, phép nhân và chuẩn được xác định
như sau:

( x,α )( y,α ) = ( xy +α y + β x,αβ )
( x, y ) = x + α
Khi đó, các điều kiện 1 – 6 được thỏa mãn, trong đó phần tử đơn vị là 1 = (0,1). Với
phép đẳng cấu các đẳng cự x (x, của đại số A với một đại số con của đại số A1 , ta
0)

có thể xem A là một đại số con của đại số A 1 đó là đại số Banach.
-Phép nhân là liên tục theo nghĩa: Nếu

x → x, y → thì x y → xy .
n

1.1.3 Định nghĩa

n

n n

y

Giả sử A, B là hai đại số phức. Ta xét ánh xạ ϕ : A → B . Nếu ϕ tuyến tính và nhân
tính theo nghĩa ϕ ( xy ) = ϕ ( x ) ϕ thì ϕ sẽ gọi là một đồng cấu. Trường hợp ϕ là đồng

(y)

cấu khả nghịch thì ϕ gọi là đẳng cấu.
Nếu ϕ thêm tính liên tục, A, B là các đại số Banach thì ϕ được gọi là một đồng
cấu (đẳng cấu nếu ϕ khả nghịch) giữa hai đại số Banach.
Chú ý: Trong nhiều trường hợp từ tính chất nhân tính suy ra tính chất liên tục.
1.1.4 Các ví dụ
1. Bản thân trường số phức là một đại số Banach giao hốn với phép cộng và
nhân thơng thường.
2. Giả sử K là tập compact trong không gian tách được. Ký hiệu:
A = C(k) = { f : k → liên tục }


Ta định nghĩa:

( f + g ) u f (u ) + g (u )
=

(α f )u = α f ( u )
f , g ∈C (k )

( f .g )u = f (u ).g (u )
f = max

u ∈ K f (u )

Khi đó C(k) là một đại số Banach giao
hốn; đặc biệt khi card(K) = n thì C(k)
= n - không gian phức n chiều.
3. Giả sử H là không gian Hilbert A
= B(H,H) = B(H) với phép
cộng, nhân các tốn tử tuyến
tính theo nghĩa thơng thường.
A = sup Ah
h =1

Khi đó, A là một đại số Banach – khơng
giao hốn với phép nhân hai tốn tử là lấy
ánh xạ hợp.
4. Ký hiệu l là không gian các dãy số
1

phức khả tổng tuyệt đối
x = (..., với
∞

chu
x ,
−n
ẩn: x =
x ,..., x )
1
n
∑
x
k
k
=
−
∞

Khi đó, l1 là khơng gian Banach. Ta
định nghĩa phép nhân chập trong l1
như sau:
z=x∗y
với


zk ∞
n ∑xn−k .yk
=
−
=∞
Taz = ≤
∑∑
có: ∑

= x
.
n−k
y
∑ k
∑
z
n

x
n
−
k

y
k

n
n k
kk


( n ):

Phần tử đơn vị là e = e

0 khi n ≠ 0
en = 
1 khi n = 0

Khi đó, l1 là một đại số Banach giao hốn.
1.2 Đại số C *
Đại số C * là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của giải tích hàm. Một đại số C *
là một đại số Banach phức A của các tốn tử mà trên đó có định nghĩa thêm phép toán *
( đối hợp)

x  x* thỏa mãn điều kiện C* :
x∈A: *
x x = x x*

liên tục trên một khơng gian Hilbert phức với hai tính chất:
1) A là tập đóng trong topo chuẩn của tốn tử.
2) A là đóng đối với phép lấy liên hợp của tốn tử.
C* - đại số được biết đến như là đối tượng toán học hàng đầu dùng trong cơ học
lượng tử để mơ hình hóa đại số của các đối tượng vật lý quan sát được. Hướng nghiên
cứu này bắt đầu bởi Heisenberg với cơ học ma trận, và phát triển dưới dạng tốn học bởi
Pascual Jordan năm 1933.
Tiếp theo đó John von Neumann tiếp tục phát triển mạnh mẽ hướng nghiên cứu
đã xây dựng một lớp đặc biệt của C* - đại số mà sau này gọi là đại số von Neumann.
Định nghĩa trừu tượng của C* - đại số được đưa ra năm 1943 bởi Gelfand và Neimark:
1.2.1 Định nghĩa
Một đại số C* , A là một đại số Banach trên trường số phức  , cùng với ánh xạ
*: A→ A; x  x*, với tính chất:

( )

1) Với mọi x ∈ A : x** = x*

*

(tức là * là đối hợp)
=

x

2) Với mọi

x, y ∈ A : (x + y)* = x* + y*

( xy)* = y*x*


3) Với mọi λ ∈, x ∈
A:

*
( λ x) = λ x *

4) V
x x*x = x x*
ớ
∈
i
mA :
ọ
i
Đẳng thức cuối cùng này gọi là đẳng thức C* , nó tương
đương với:
Với mọi

x xx* = x x*
∈
A:

Mối quan hệ này

x* x 2 , đẳng thức này đôi khi
tương đương với B* . x gọi là đẳng thức
=
*
1.2.2 Ví dụ C - đại số của các tốn tử.
Một ví dụ quan trọng của C * - đại số là đại số
B(H) của các tốn tử tuyến tính bị chặn (tương đương
với liên tục) định nghĩa trên không gian Hilbert phức H,
ở đây x * ký
hiệu toán tử liên hợp của toán tử x : H → H .
Định lý Gelfand – Naimark nói rằng: mọi C* đại số A là * - đẳng cấu với một đại số con của B(H)
đóng đối với chuẩn và đóng đối với lấy liên hợp với H
là một khơng gian Hilbert thích hợp.
1.2.3 Ví dụ C * - đại số giao hoán.
Cho X là một không gian Hausdorff compact
của
địa phương. Không gian C0 ( X )
các hàm giá trị phức, liên tục trên X và triệt tiêu ở
vô cùng lập thành một C* - đại số,
C0 với phép cộng và
( X nhân hai hàm số
)

f , g ∈ theo điểm (theo cách

C0 ( X ) thông

thường). Phép liên hợp là lấy liên hợp phức theo từng
điểm.


1.3 Đại số von Neumann
Đại số von Neumann còn
gọi là đại số W* ( W* - đại
số trước năm 1960) là
dạng
đặc biệt của đại số C* . Nó
địi hỏi phải đóng đối với
topo tốn tử yếu, là topo
yếu hơn topo chuẩn toán
tử .
*
C - đại số và lý thuyết
trường lượng tử.
Trong cơ học lượng tử,
người ta mô tả một hệ
thống vật lý bởi một C* đại số A
với phần tử đơn vị.
v x* = x )
Các phần tử tự liên
ớ được coi
hợp của A ( x ∈ A i
là các đại
lượng quan sát được, là đại
lượng đo được của hệ thống

(giá trị quan sát được là một


điểm thuộc phổ của x, lúc đó là một số thực vì x là tự liên hợp). Một trạng thái của hệ
thống là một phiếm hàm tuyến tính dương trên A (là một ánh xạ  - tuyến tính

( )

ϕ : A→  sao cho ϕ u*u ≥ 0 với mọi u ∈ A - khi đó u*u ∈ A+ ) sao cho ϕ (1) = 1.
Giá trị
kỳ vọng của đại lượng quan sát được x ∈ là ϕ ( x ) , nếu hệ thống ở trong trạng thái ϕ .
A
Tất cả các khái niệm này đều dẫn đến ý tưởng xây dựng khơng gian xác suất khơng giao
hốn gọi là C* - không gian xác suất hay W* - không gian xác suất.


CHƯƠNG 2
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ VON NEUMANN DÙNG
TRONG XÁC SUẤT KHƠNG GIAO HỐN – HAY XÁC SUẤT LƯỢNG TỬ
2. 1. Mở đầu, hoán tập,hoán tập bậc hai- Định lý cơ bản của von Neumann, không
gian con A-bất biến
2.1.1. Các định nghĩa và ký hiệu
Cho H là một không gian Hilbert, B(H) là đại số của tất cả các tốn tử tuyến tính
bị chặn trên H. Một đại số Von Neumann là 1 đại số con A của B(H) mà có tính chất tự
liên hợp (tức với x∈ A kéo theo x* ∈ A ), chứa 1 (tốn tử đồng nhất) và đóng trong topo
tốn tử yếu. A+ là ký hiệu nón gồm tất cả các phần tử dương của A. p

roj

A dùng để chỉ

tập tất cả các phép chiếu trực giao trong A. Với họ ( p )
⊂ p A , ta đặt:
i i∈I
roj
V p = phép chiếu lên không gian con
∈I
i
Λ
i∈ pi = phép chiếu lên khơng gian
I
con
Hốn tập M ' của một tập M ⊂A là tập gồm tất
cả
''
"
x∈M . Đặt (M ) =M ( hoán tập bậc 2 của M)
Rõ ràng ta có: M ⊂ M " , do
đó
Lại có
Và

∑ p (H )
i∈ i
I
 p (H )
i∈ i
I

y∈B(H ) giao hoán với mọi

'
'''
"
M = M ⊂M'

( )
"

( )

M'⊂ M'

= M ''' ⇒ M ' = M ''' = M
)

(V

= ...

iv
"
M ⊂ M = M   =...
Dễ nhận thấy rằng hoán tập A' của một đại số von Neumann cũng là một đại số von
Neumann
Cho Y là một không gian con tuyến tính đóng của H. Ta nói rằng Y là bất biến đối


với A nếu A(Y )⊂Y

2.1.2. Định lý
Một khơng gian con tuyến tính đóng Y của H là bất biến đối với A nếu và chỉ nếu
P ∈ -trong đó PY là phép chiếu trực giao lên Y.
Y
A'
Thật vậy:

P

+ Nếu A' ∈
Y

ta có: xh = xPY h = PY xh∈Y

thì: Với x∈ A,
y∈H

Suy ra Y là A – bất biến.
+ Ngược lại, giả sử rằng Y là bất biến dưới A thì ta có: Với x∈ A ,
xP ( H )⊂Y ⇒ P xP = xP
Y
Y Y
Y
⇒P x

(

Y
= x*P

⇒
P

) = ( PY
*

Y
Y

)

*

Y

x*P

= xP
= PY

Y

xP

∈ A'

Y

2.1.3. Định nghĩa

1) Một vectơ h∈H được gọi là tuần hoàn đối với A nếu  xh: x∈ A = H .
Ở đây, [z,...] ký hiệu khơng gian con tuyến tính đóng của H được căng (spanned)
bởi '
zs
2) Ta nói rằng 1 vectơ h∈H
là tách A nếu từ điều kiện x∈ A và xh = kéo theo
x=0
0
Ta sẽ chỉ ra rằng h là tuần hoàn đối với A nếu và chỉ nếu h là tách đối với A' . Thật vậy:
+ Giả sử h là tách đối với

A' . Đặt Y =  xh : x∈ A . Khi đó theo định lý 2.1.2 ,
'
P ∈ A và ta có 1− P ( h ) = 0⇒1= P , điều này có nghĩa là Y = H
Y

(

Y

)

Y

Do vậy h là tuần hoàn đối với A
+ Ngược lại, nếu Y =  xh: x∈ A = H thì từ điều
kiện

y∈ A' và

yh = 0 , kéo theo
yxh = xyh = 0 . Do vậy y triệt tiêu trên Y = H ⇒ y = 0 . Nghĩa là h tách A' .

Phần tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh một trong những tính chất đặc trưng nhất
trong định lý của đại số von Neumann.


2.1.4. Định lý (Hoán tập bậc hai của von Neumann)
Nếu A là 1 đại số Von Neumann thì

A =A
"

Chứng minh
Giả sử A tác động trên một không gian Hilbert H. Với n nguyên dương bất kỳ đặt
H n = H ⊕ H ⊕...⊕ H (n lần)
( )
với các hạng tử thuộc
 
được cho bởi ma trận b
B(H).
Mỗi phần tử của B H
 
 ij  n× n
( n)

(

)

Với x ∈ A, cho

xˆ = δ ij x

A

và

)

là tập hợp tất cả các tốn tử như vậy. Đó rõ ràng là

(n

một đại số von Neumann.




Cho b ∈B (
H
 ij 
n


) khi đó






b ∈ A' (tập
) khi và chỉ khi
A giao hoán của
 ij 
( n)
( n)




'
b ∈A ∀i, j
ij
Do đó, nếu

y∈A"
thì

Cho
h g=h⊕
1









y = δ y ∈ A"
 ij  ( n)
H
là một phần tử cố định của n)(

⊕...⊕
h
2

và ký hiệu

A

g là bao

( n)

n

đóng của tập { xˆg; x∈ A}
Giả sử p là phép chiếu (trực giao) lên A

g

(n)

khi đó, theo định lý 2.1.2, p∈A'

y∈ An . Điều này
và
A
g
là
bất
biến
dưới
yˆ
với
(n
(n )
2
nghĩa
là ∀ε > 0 , ∃ phép toán z∈ sao cho
n
A
yh − zh <ε
yˆ
zˆyg − <ε , tức là
∑
i
i =1 i


Chứng tỏ rằng A là trù mật trong
topo toán tử yếu. Do vậy

A = A"

"
A trong topo toán tử mạnh nên vẫn đúng với


2.2. Phiếm hàm tuyến tính dương, biểu diễn GNS, trạng thái thuần túy và biểu diễn bất
khả quy.
2.2.1. Định nghĩa. Một phiếm hàm tuyến tính φ trên A được gọi là dương nếu

φ ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ A+ .
Phiếm hàm φ được gọi là trung thành (faithful) nếu φ x = 0⇒ x = 0 ∀x∈ A
( )
+.

( * ) = φ ( x)

Dễ dàng thử lại rằng nếu φ là 1 phiếm hàm tuyến tính dương trên A thì φ x
Nếu φ là một phiếm hàm dương trên A thì∀x, y∈ A , ta có:

( )
( x* x )
*

φ y x

2

(*)

( )
*

≤φ y y φ

(Có thể coi đây là bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovski-Schwartz đối với φ )
Thật vậy:
∀λ


*
phức, ta có φ (λ x + y ) ( λ x + y )  ≥ 0






( ) ( )
*

*

λ = tφ x y φ y x

Với

( )

và t thực

( ) ( )

t 2φ x*x + 2t φ y*x + φ y* y ≥ 0

Ta có

φ = φ (1)

Kéo theo bất đẳng thức (*)□
* Mọi hàm tuyến tính dương φ đều bị chặn và
1

Thật vậy:

φ ( x ) ≤φ

(1)
Do đó

−1

* 1

2

( )

φ x x

φ

( x* x ) ≤

*

*

2

và x x ≤ x x 1

x*x φ (1)


Và vì vậy

φ ( x) ≤φ (1) x

Một phiếm hàm tuyến tính dương φ trên A được gọi là một trạng thái nếu φ (1) =1
2.2.2. Mệnh đề. Cho h∈H và φ là một phiếm hàm tuyến tính dương trên A sao cho:


φ ( x ) ≤ ( xh, h) ∀x∈ A+
Khi đó ∃ phần tử
Chứng minh

z∈ A' , 0≤ z ≤1, sao cho: φ ( x ) = ( xzh, ∀x∈A

zh)
x, y∈ A , ta
có:

Với

xh,
Do đó, đặt hy

( )
( x* x ) ≤
φ y* x

2

( )

≤ φ y* y φ

yh

2

xh

2

một dạng

( )
*

= φ y x , ta định nghĩa trên không gian

con

 xh : x∈ A

=Y

bán song tuyến tính Hecmit dương với chuẩn ≤ 1; vì vậy tồn tại một tốn tử Hecmit z

( )(

)

trong không gian Y sao cho: φ y*x = xh, z yh , z0 ≤1
0
Với x, y, w∈A , ta có:

( wh, z0 xyh ) =φ
⇒ z x = xz
0

trên Y








( ) (

)



( xy ) w = φ  y* x*w  = x*wh, z0 yh = ( wh, xz0 yh )


*







0

Hơn nữa, không gian con Y là bất biến dưới A nên

P

(do định lý 2.1.2)

A' ∈
Y

Do đó z P ∈ A' và 0 ≤ z P
0 Y

0 Y

( 0Y )
φ ( x ) = ( xh, z h ) = ( xh, z P h ) = ( xzh, zh )
0
0 Y
≤1. Đặt z = z P 1 2 . Khi đó ta có:

2.3. Biểu diễn GNS của Gelfand – Naimark – Segal (GNS – representation).

0


2.3.1. Định nghĩa. Một ánh xạ tuyến tính Π của đại số von Neumann A lên đại số B(K)
của các tốn tử tuyến tính bị chặn tác động trong một không gian Hilbert K gọi là
một
* - biểu diễn của A (trong K) nếu:
Π ( xy ) =Π ( x ) Π ( y )
và

( )

*
Π x* = Π ( x ) ∀x, y∈ A