Hàm đặc trưng và một số ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIấN

THY DUNG

HM ắC TRNG
V MđT SO NG DUNG

LUắN VĂN THAC SĨ KHOA HOC

HÀ N®I - NĂM 2016


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIấN

THY DUNG

HM ắC TRNG
V MđT SO NG DUNG

Chuyờn ngành: LÝ THUYET XÁC SUAT VÀ THONG KÊ TOÁN HOC
Mã so: 60.46.01.06

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Ngưài hưáng dan khoa

HQC:

PGS. TS. PHAN VIET THƯ

HÀ N®I - NĂM 2016


Mnc lnc
Me ĐAU

5

1 Khái ni¾m và tính chat cua hàm đ¾c trưng

7

1.1 Bien ngau nhiên cna giá tr% phúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.2 Hàm đ¾c trưng và tính chat cơ ban . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
1.3 M®t so đ%nh lý cơ ban cna hàm đ¾c trưng . . . . . . . . . . . . . .17
2 Hàm đ¾c trng cua mđt so phõn phoi

29

2.1 Hm ắc trng cna m®t so phân phoi quan TRQNG . . . . . . . . .29
.
2.2 Tính chat đ¾c trưng cna phân phoi chuan . . . . . . . . . . . . . .31
2.3 Hàm đ¾c trưng cna phân phoi nhieu chieu . . . . . . . . . . . . . .49
3 M®t so Éng dnng cua Hàm đ¾c trưng
3.1 Phân phoi phân chia vô han . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57
.57

3.2 Phân phoi őn đ%nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
3.3 Úng dung cna Hàm đ¾c trưng trong Lu¾t so lón . . . . . . . . . .64
3.4 Úng dung cna Hàm đ¾c trưng trong Đ%nh lý giói han trung
tâm

.67

KET LU¾N

77

Tài li¾u tham khao

78

3


Lài cam ơn
Tơi xin đưoc bày to lịng kính tRQNg và lòng biet ơn sâu sac đen
PGS. TS Phan Viet Thư, ngưịi thay đã t¾n tình giang day, truyen
thu nhung kien thúc bő ích và tao đieu ki¾n đe tơi hồn thành lu¾n
văn này. Thay đã dành nhieu thịi gian hưóng dan cũng như giai đáp
các thac mac cna tơi trong suot q trình tơi thnc hi¾n đe tài.
Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói các thay cơ Khoa Tốn - Cơ
- Tin HQc, Phịng sau đai hQc Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên,
Đai HQc Quoc gia Hà N®i; các thay cơ đã tham gia giang day khóa
cao HQc 2013 -2015 đã tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi trong suot q
trình HQc t¾p và nghiên cúu.
Cuoi cùng, tơi xin chân thành cam ơn gia đình, ngưịi thân, ban

bè đã ln đ®ng viên nng h® và giúp đõ tơi trong suot q trình HQc
t¾p và hồn thành luắn vn ny.

H Nđi, thỏng 4 nm 2016
HQc viờn
o Thựy Dung


Me AU
Hm ắc trng l mđt khỏi niắm quan TRQNG cna tốn hQc
vói nhieu úng dung trong lý thuyet nhóm, lý thuyet đ o v tớch
phõn v ắc biắt l trong lý thuyet xác suat.
Vói mong muon đưoc tìm hieu sâu hơn ve Hàm đ¾c trưng trong
lý thuyet xác suat, tụi ó cHQN e ti:
"Hm ắc trng v mđt so Éng dnng"
Muc đích cna lu¾n văn này là tìm hieu khỏi niắm, cỏc tớnh
chat v mđt so ỳng dung cna Hàm đ¾c trưng.
Ban lu¾n văn đưoc chia làm 3 chương:
Chương 1: Khái ni¾m và tính chat cna hàm đ¾c trưng
Trình by cỏc khỏi niắm, tớnh chat v mđt so %nh lý cơ ban
cna hàm đ¾c trưng đe phuc vu cho cỏc chng sau.
Chng 2: Hm ắc trng cna mđt so phõn phoi
Chng ny trỡnh by hm ắc trng cna mđt so phân phoi quan
TRQNG

như phân phoi chuan, phân phoi mũ, phân phoi nh% thúc, phân

phoi χ2 , cũng như hàm đ¾c trưng cna phân phoi chuan nhieu chieu.
Và chú TRQNG vào tính chat đ¾c trưng cna phân phoi chuan.
Chương 3: Mđt so ỳng dung cna Hm ắc trng

e cắp en mđt so ỳng dung cna Hm ắc trng trong khỏi ni¾m
phân phoi phân chia vơ han, phân phoi őn đ%nh, và quan TRQNG hơn là
úng dung cna hàm đ¾c trưng trong Lu¾t so lón vàtrong Đ%nh lý giói
han trung tâm.
M¾c dù có nhieu co gang, xong do nhieu yeu to khách quan và
chn quan, nên trong quá trình cHQN LQc t liắu v trỡnh by nđi dung
khú


tránh khoi nhung thieu sót. Vì v¾y tơi rat mong nh¾n đưoc nhung ý
kien chi bao cna thay cơ, sn góp ý chân thành cna các ban HQc viên
đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n hơn.


Chương 1
Khái ni¾m và tính chat cua hàm
đ¾c trưng
Hàm đ¾c trưng là cơng cu phân tích huu ích cna lý thuyet xác suat, đ¾c
bi¾t là đe nghiên cúu các đ%nh lý giói han cna lý thuyet xác suat. e chương
này se trình bày các đ%nh nghĩa và tính chat cna hàm đ¾c trưng.

1.1 Bien ngau nhiên cua giá tr% phÉc
Cho bien ngau nhiên ξ , xét kì vQNG cna m®t bien ngau nhiên giá tr% phúc
eiξt , ta se nghiên cúu kỳ vQNG cna bien ngau nhiên vói giá tr% phúc trưóc; sau đó

ta se thay đ%nh lý ve bien ngau nhiên thnc có the mo r®ng đen các bien ngau
nhiên phúc như the nào. Neu ξ và η là các bien ngau nhiên thnc, đ¾t đai
lưong ζ = ξ + iη là m®t bien ngau nhiên phúc. Phân phoi cna ζ có the đ¾c
trưng boi phân phoi cna ξ và η .
Chúng ta đ%nh nghĩa kì vQNG cna ζ = ξ + iη boi

∫
E (ζ) = ζdP

(1.1.1)

Ω

Hay
E (ζ) = E (ξ) + iE (η)

(1.1.2)

Bien ngau nhiên ζ1 = ξ1 + iη1 và ζ2 = ξ2 + iη2 đưoc GQI l đc lắp neu cỏc
vộc t ngau nhiờn hai chieu (ξ1 ; η1 ) và (ξ2 ; η2 ) là đc lắp. Sn đc lắp cna
nhieu bien ngau nhiờn phỳc đưoc đ%nh nghĩa tương tn.


Neu ξ1 , ξ2 , ..., ξn là các bien ngau nhiờn phỳc đc lắp, v ton tai k
vQNG
E (k ) (k = 0, 1, 2, ..., n) thì:
E (Πξk ) = ΠE (ξk )

(1.1.3)

Neu A (x) = a (x) + ib (x) là m®t hàm Borel giá tr% phúc cna bien x
thnc và ξ là m®t bien ngau nhiên thnc, hơn nua neu kỳ vQNG cna ζ = A(ξ) ton
tai, khi đó ta tính đưoc:
∫+∞
A (x) dF (x)

E (ζ) =

(1.1.4)

−∞

trong đó F (x) là phân phoi cna ξ. Th¾t v¾y ta có:
∫+∞

∫+∞

a (x) dF (x)
+i

E (ζ) =
−∞

b (x) dF (x)

−∞

Đieu này de dàng chúng minh đưoc cho MQI bien ngau nhiên vói giá tr% phúc
|E (ζ)| ≤ E (|ζ|)

(1.1.5)

1.2 Hàm đ¾c trưng và tính chat cơ ban
Chúng ta đ%nh ngha hm ắc trng cna mđt bien ngau nhiờn như là kỳ
vQNG cna eiξt ; do đó nó là mđt hm theo bien t v oc ký hiắu l ϕ(t).
Theo đ%nh nghĩa :

.

ϕξ (t) = E eiξt

Theo công thúc (1.1.4)
thì

Σ

(1.2.1)

∫+∞
ϕξ (t) =

eixt dF (x)

(1.2.2)

−∞

trong đó F(x) là hàm phân phoi cna ξ ; tù đó ϕξ (t) đưoc GQI là phép bien
đői Fourier - Stieltjes cna F(x).


Neu hàm phân phoi cna ξ là ròi rac và ξ có giá tr% gia đ%nh là xk (k=1,2,.
vói xác suat tương úng là : pk (k=1,2,...) thì ϕξ (t)có the viet dưói dang:
∞
Σ

ϕξ (t) =

)

(1.2.3)

pk eitxk

k=1

Neu hàm phân phoi cna ξ là liên tuc tuy¾t đoi vói hàm m¾t đ® f (x) = F j (x).
Ta có:
∫+∞
eitx f (x) dx

ϕξ (t) =

(1.2.4)

−∞

Do đó ϕξ (t) là phép bien đői Fourier - Stieltjes cna f(x).
Tù đó chúng ta thay rang hàm đ¾c trưng cna bien ngau nhiên tùy ý chi phu
thuđc vo phõn phoi xỏc suat cna nú; hm ắc trưng cna bien ngau nhiên có
cùng phân phoi là đong nhat. Hàm đ¾c trưng đưoc đ%nh nghĩa theo cơng thúc
(1.2.2) có the đưoc GQI là hàm đ¾c trưng cna F(x) (Hay là hàm đ¾c trưng cna
bien ngau nhiên vói hàm phân phoi F(x)).
Trưóc tiên, hãy chú ý rang: MQI hàm phõn phoi eu cú mđt hm ắc trng
khi tớch phõn Slieltjes (1.2.2) ton tai, theo quy ưóc: .eixt . = 1.
Neu gia thiet ξ chi nh¾n giá tr% nguyên dương vói :
P (ξ = k) = pk

Ta thay là :

n
Σ

ϕξ (t) =

k=
0

(k = 0, 1, 2...)

.

pk eikt = Gξ Σeit

o đây:
Gξ (z) =

n
Σ

pk z k

(|z| ≤ 1)

k=0

là hàm sinh cna ξ . Trong trưòng hop này giá tr% cna hàm đ¾c trưng là bang vói

giá tr% cna hàm sinh bên trong đưòng tròn đơn v%. Trong trưòng hop tőng quát,
khi ξ có the nh¾n khơng chi nhung giá tr% khơng âm thì hàm sinh khơng
đưoc đ%nh nghĩa, tuy nhiên hàm đ¾c trưng ln ton tai vói MQI bien ngau
nhiên.
Ta se chúng minh m®t so đ%nh lý cơ ban ve hàm đ¾c trưng cna phân
phoi xác suat


. ≤ 1, dau "="xay ra khi t=0.
Đ%nh lí 1.2.1. Ta ln có . ϕξ (t)
Chúng minh:
Tù .eiξt . = 1 và tù cơng thúc (1.1.5), ta có:
.
Σ
.ϕξ (t). ≤ E .eiξt . = 1
Hơn nua vói t=0 :

.

Σ

ϕξ (0) = E e0 = 1

V¾y dau "=" xay ra khi t=0.

Q

Đ%nh lí 1.2.2. Hàm ϕξ (t) là liên tnc đeu trên toàn trnc so, −∞ < t < +∞
Chúng minh:
Lay ε > 0, cHQN λ > 0 sao cho: P (|ξ| > 3λ) <

ε

Neu ta ký hi¾u Aλ là bien co :|ξ| > λ
Hien nhiên ta có:
.

Σ

.

Σ

. Σ

ϕξ (t) = E eiξt /Aλ .P (Aλ ) + E eiξt /Aλ .P Aλ

(1.2.5)

.
Σ
Tù .E eiξt /Aλ . ≤ 1. Ta ket lu¾n:
(t) − E

.

.

ϕ

Vì v¾y
:

2

ϕ

(t
)−
ϕξ

1

Σ
. ≤ P (Aλ) <ε

(1.2.6)

3

.
Σ
). ≤ E .eiξt2 − eiξt1 . /Aλ +
2ε

(1.2.7)

3

ξ

.e − e .
.
= .i
ib

ia

Suy ra: .eiξt2 − eiξt1 . <
ε

A

ξ

.

P

. λ

eiξt /Aλ

(t

Tù:

Σ

3

∫

eizdz.. ≤ b − a

khi a < b

.

khi |ξ| < λ và |t2 − t1|3 =
λ δ
<ε

Do đó :
Σ

ε
3

(1.2.8)


.

E |eiξt2
− eiξt1

|/A¯λ

<

khi | − t | < δ
t2
1

(1.2.9)


Tù công thúc (1.2.7) và công thúc (1.2.9) ta đưoc:
. ξ (t2 ) − ϕξ (t1 ) . < ε
ϕ

khi

|t2 − t1 | < δ

e đây : δ > 0 chi phu thu®c ε

Q

Đ%nh lí 1.2.3. Neu a và b là hang so và η = aξ + b thì:
ϕη (t) = eibt ϕξ (at)

Chúng minh:
.

Σ

ϕη (t) = E .ei(aξ+b)t Σ = eibt E eiξt = eibt ϕξ (at)

Q
Đ%nh lí 1.2.4. Neu t1 , t2 , ...., tn là các so thnc bat kỳ và z1 , z2 , ...., zn
là các so phúc bat kỳ. Hơn nua, neu ϕξ (t) là hàm đ¾c trưng cua bien
ngau nhiên ξ và z = x − iy là so phúc liên hap cua z = x + iy thì ta có:
n
Σ
Σ

n

(1.2.10)

ϕξ (th − tk ) zh zk ≥ 0

h=1 k=1

Chú ý: Hàm thoa mãn đieu ki¾n (1.2.10) đưoc GQI là hàm xác đ%nh dương. M®t
đ%nh lý đáng quan tâm cna Bochner nói rang : MQI hàm xác đ%nh dương ϕ
(t) liên tuc tai t=0 và ϕ (0) = 1 là hàm đ¾c trưng cna m®t phân phoi xác
suat nào đó. Ta se khơng chúng minh đieu này o đây.
Chúng minh:
Ta có :

n n
Σ Σ



.n

Σ

h=1 k=1

ϕξ (th − tk) zhzk¯ =
E.

.

k=1

.2



eitkξz..k

Q

Đ%nh lí 1.2.5. Vái MQI so thnc t: ϕξ (−t) = ϕξ (t). Đ¾c bi¾t, neu ξ và −ξ có cùng
phân phoi thì ϕξ (t) là m®t hàm thnc chan cua t.
Chúng minh:


.
Lay ζ là m®t bien ngau nhiên vói giá tr% phúc, thì :EΣ ζ = E (ζ).
Đieu này dan tói:

ϕξ (−t) = E .e−iξt Σ= E . eiξt

Σ
Neu hàm phân phoi cna ξ là đoi xúng, hay nói cách khác: −ξ và ξ có cùng
m®t hàm phân phoi thì hàm đ¾c trưng cna chúng là đong nhat.
Vì v¾y ta có:
ϕξ (t) = ϕ−ξ (t) = ϕξ (−t) = ϕξ (t)
⇒ ϕξ (t) là hàm thnc và ϕξ (t) = ϕξ (−t). Hay ϕξ (t)là hàm chan.

Q

Đ%nh lí 1.2.6. Neu ξ1, ξ2, ...., ξn là các bien ngau nhiên hoàn toàn đc lắp
thỡ hm ắc trng cua tng cỏc bien ngau nhiên trên se bang tích các hàm đ¾c
trưng cua tùng bien riêng lé:

n
Y

ϕξ1+ξ2+....+ξn (t) = ϕξk (t)
k=1

Chúng minh: Đieu này đưoc suy ra tù cơng thúc (1.1.3)

Q

Nh¾n xét 1.2.1:
1.

Các úng dung tính chat cna các hàm đ¾c trưng nêu trong đ%nh lý

1.2.6 đã g¾t hái đưoc thành cơng lón trong lý thuyet xác suat. Th¾t
v¾y, hàm phân phoi cna tőng cỏc bien ngau nhiờn đc lắp l tớch

chắp cna hm phân phoi các bien thành phan, tích ch¾p này có ket
qua khá phúc tap. Vói đ%nh lý 6 thì ngưoc lai, đ%nh lý 6 se đưa ra
m®t phép tính đơn gian cna hm ắc trng cna mđt tng cỏc bien
ngau nhiờn đc lắp tự hm ắc trng cna cỏc bien thành phan, chính
xác là tích cna chúng. Hơn nua, chúng ta se thay trong phan sau, tù
tính chat cna hàm đ¾c trưng tính chat cna hàm phân phoi tương úng
có the đưoc suy ra.
2.

Đieu ngưoc lai cna đ%nh lý 1.2.6 chưa chac đúng.

Tù ϕξ1 +ξ2 (t) = ϕξ1 (t) ϕξ2 (t) khụng suy ra sn đc lắp cna 1 v
2 . Ví du: Lay ξ1 = ξ2 = ξ o đây ξ có phân phoi Cauchy: ϕξ
(t) = e−|t| . Theo đ%nh lý 3 ta có:
ϕξ1 +ξ2 (t) = ϕ2ξ (t) = e−2|t| = ϕξ1 (t) ϕξ2 (t)


mắc dự hien nhiờn khụng đc lắp vúi chớnh nó.
.
Đ%nh lí 1.2.7. Neu ton tai n Moment đau tiên : E ξ k = Mk
(k = 1, 2,
..., n), cua bien ngau nhiên ξ , thì hàm đ¾c trưng:Σ ϕξ ( t) kha vi n lan và :
ϕξ(k) (0) = ik Mk

(k = 1, 2, ..., n)

Chúng minh:

(1.2.11)

|x|dF (x) thì tích
+∫
∞

Lay F(x) là hàm phân phoi cna ξ. Neu ton
tai

phân

−∞

h®i tu đeu theo t. Khi đó ta có: ϕj (t)

+∞

=

−∫

ξ

+∫ xe
xt
∞

i

dF (x)

−∞

ixeixt dF (x) Trưịng hop đ¾c bi¾t:

∞

(1.2.12)

ϕj (0) = iM1
ξ

Bang vi¾c l¾p lai phép tốn ta tìm đưoc:
ϕξ(k) (t) =

xk eixt dF (x)

(k = 1, 2, ..., n)

(1.2.13)

∫+∞
−∞

Tù đó khi t=0 ta thu đưoc cơng thúc (1.2.11).

Q

Đ%nh lí 1.2.8. Gia su hàm phân phoi cua bien ngau nhiên l liờn tnc tuyắt
oi. Neu hm mắt đ f(x) cua ξ là kha vi k lan (k=0,1,2...) và neu ton tai
+
∫

∞
.f (x).dx vái j=1,2,...,k.
Cj =

−∞

(j)

Thì ta có 1:
lim

|t|
→∞
1

k
|t| .ϕξ (t). = 0

(1.2.14)

: Chi can gia thiet huu han cna ck , đieu này bao gom sn huu han cna

c1 , c2 , ..., ck−1

Chúng minh:
Tù tích phân


ϕξ (t) =

+∞

∫
−∞

f (x) eixtdx

(1.2.15)


thnc hi¾n k lan tích phân tùng phan và xét đen gia thiet : lim f

(j)

|x|→∞

j=1,2,...,k-1
Ta thu đưoc :

Σk +∞
.i ∫
f

ϕξ (t) =

(k)

(x) = 0 vói

(1.2.16)

(x) eixtdx

−∞

k

Tù (1.2.16) suy ra :
. ϕξ

(t). ≤

ck

(1.2.17)

|
k
t|
(x) . kha tích trên (−∞; +∞); cơng thúc (1.2.14) đưoc suy ra

Tù gia thiet f. (k)
tù công thúc (1.2.16) theo bő đe Riemann’s ve tích phân Fourier.

Bat đang thúc (1.2.17) là hien nhiên chi quan TRQNG trong nghiên cúu hoat đ®ng
cna ϕξ (t) vói các giá tr% |t| lón.
Nh¾n xét:
Theo đ%nh lý 1.2.7, "tính trơn" (kha vi) cna ϕξ (t) đưoc xác đ%nh boi hoat
đ®ng cna f(x). Khi |x| → +∞, theo đ%nh lý 1.2.8 "tính trơn" cna f(x) xác đ
%nh boi hoat đ®ng cna ϕξ (t) vói |t| → ∞, do đó 2 đ%nh lý trong m®t nghĩa nhat

đ%nh là đoi ngau cna nhau.
Đ%nh lí 1.2.9. Neu ton tai n Moment goc đau tiên cua ξ : Mk = E . ξ k
..., n), ta có: (vái M0 = 1) khi t−→0 thì:
Σ
n

k
n
Σ Mk (it) + o (t )

ϕ (t) =
ξ

k=0

(k = 1, 2,

(1.2.18)

k!

Chúng minh: Đieu này đưoc suy ra trnc tiep tù đ%nh lý 1.2.7 và cơng
thúc Taylor

Q

.
Đ%nh lí 1.2.10. Neu ton tai tat ca các Moment cua ξ : Mk = E ξ k
Σ
và neu :

|Mn |
lim
n→
∞

sup .n
n
R
!

=

1

(k = 1, 2, ...)


(1.2.19)


là huu han.
Thì mien xác đ%nh cua ϕξ (t) có the má r®ng tái t-giá tr% phúc. Vái |t| < R
∞

Σ M (it)n
n

ϕξ (t) =

n=0

(1.2.20)

n!

hơn nua ϕξ (t) là m®t hàm giai tích chính quy trong giai |v| < R cua m¾t
phang phúc: t=u+iv
Chúng minh:
Neu gia thiet cna đ%nh lý đưoc thoa mãn, thì theo cơng thúc (1.2.11) tai điem
t=0 hàm ϕξ (t) kha vi vô han lan và ta có: ϕn (0) = in Mn đieu này đưoc suy
ξ
ra trnc tiep tù công thúc (1.2.20). Và theo công thúc (1.2.13), vói MQI so thnc
t0 và vói ∀ n: ta nh¾n đưoc
(1.2.21)

.ϕξ(2n) (t0 ). ≤ M2n
Do v¾y: theo bat đang thúc Schwarz

.

.
(2n+1)

ϕ

∫+∞

√

2n+

1

|x|
≤

dF (x)

(t0) ≤

M2nM2n+1 M2 +
≤

−∞

.

.

n

(1.2.22)

M2n+2
2

Ta thu đưoc tù công thúc (1.2.19) (1.2.21) (1.2.22); vói ∀ so thnc t0:
lim sup

n→
∞

.n

ϕ(n) (t0)
.1
.
≤
n!

(1.2.23)

R

Do đó: ϕξ (t) là chính quy trong đưịng trịn |t − t0 | < R, đieu này dan tói
đieu đã khang đ%nh cna chúng ta.
Q
Nh¾n xét 1.2.2: Đieu đưa ra tù đ%nh lý 1.2.10 là: bat cú khi nào cơng thúc
(1.2.19) đúng thì hàm ϕξ (t) là xác đ%nh duy nhat boi dãy Mn (n=1,2,...). Tù
công thúc (1.2.20) hàm ϕξ (t) là xác đ%nh boi dãy Mn trong hình tròn |t| <


R, do đó giá tr% cna ϕξ (t) vói MQI so thnc t có the xác đ%nh duy nhat đưoc

boi nó là hàm giai tích. Trong phan sau ta se thay là : m®t hàm phân phoi là
xác
đ%nh duy nhat boi hàm đ¾c trưng cna nó. Do v¾y, neu cơng thúc (1.2.19)
đưoc thoa mãn thì hàm đ¾c trưng cna ξ là xác đ%nh duy nhat boi dãy các
moment Mn = E(ξ n ) vói n=(1,2,. )

Câu hoi là các moment: Mn = E(ξ n ) có xác đ%nh duy nhat hàm phân phoi
F(x) cna ξ hay khơng; đieu này đưoc GQI là bài tốn moment cna Stieltjes.
Nói chung, F(x) khơng xác đ%nh duy nhat boi dãy các moment.
Đ%nh nghĩa 1.2.1. Bien ngau nhiên ξ GQI là có phân phoi dàn neu nó chi nh¾n
giá tr% dang: dk+r (k = 0; ±1; ±2; ....) ; trong đó r là hang so thnc.
Đ%nh lí 1.2.11. Neu ξ có phân phoi dàn vái khoang cách d thì .ϕdξ
vái (n = 0; ±1; ±2; ).
. < 1 vái ∀t ƒ= 0
Neu ξ khơng có phân phoi dàn, thì . ϕξ (t)

. 2πn Σ

.=1

Chúng minh:
Neu tat ca các giá tr% cna ξ đưoc lay tù công thúc: dk+r và neu P (ξ = dk +
r) = pk k = 0, ±1, ±2, .... thì ta có: vói MQI so ngun n
.
Σ
2π n .
.
+∞
(1.2.24)
ϕ
= Σ p =1
.
k
. ξ
d

k=−∞

Ngưoc lai vói m®t giá tr% t ƒ= 0 ta có: ϕξ (t0) = eiα vói α là so
thnc. Ta ket lu¾n :

∫+∞

i(t0 x−α)

e
1=

∫+∞
dF (x)

dF (x) =
−∞

−∞

Vì v¾y
:

∫+∞
[1 − cos (t0x − α)]dF (x) = 0
−∞

Tù [1 − cos (t0x − α)] là dương, trù trưòng hop x t= k2πt+ α k = 0; ±1,±2, ... (cho
0
0

trưịng hop = 0). Tat ca các bưóc nhay cna F(x) phai
thu®c
cap so c®ng: dk+r
và r = tα
Q
0

Đ%nh lí 1.2.12. Neu phân phoi cua ξ là hőn hap cua các phân phoi cua các bien
ngau nhiên ξk và trQNG so pk (k=1,2,...) thì :
ϕξ (t) =

Σ
k

pk ϕξk (t)


Chúng minh:
Lay F(x) là hàm phân phoi cna ξ , Fk (x) là hàm phân phoi cna ξk
Ta biet rang : F (x) =Σ pk Fk (x). Đieu này đưoc đưa ra trnc tiep tù đ%nh lý1.2.
12.

k

Q

Nh¾n xét 1.2.3: Hàm ắc trng cú the oc xem nh l mđt toỏn tu mà nó
gán giá tr% đen hàm phân phoi F(x), hàm ϕ(t). Tù đó đ%nh lý 1.2.12 nhan
manh sn th¾t rang tốn tu này là tuyen tính.

1.3 M®t so đ%nh lý cơ ban cua hàm đ¾c trưng
Trong phan này tính chat cna hàm đ¾c trưng đưoc nói đen rat là can thiet
cho chúng minh cna đ%nh lý phân phoi giói han cna lý thuyet xác suat
Đ%nh lí 1.3.1. a.Neu ϕ(t) là hàm đ¾c trưng cua hàm phân phoi F(x) và neu a
và b là điem liên tnc cua F(x) (a∫+∞.

1
F (b) − F (a) =

−ita
−itb

e
ϕ (t)
2π

ita

itb

Σ

−
−
e
2it

e −e
ϕ ( t) 2it

dt

(1.3.1)

−∞

b.MQI hàm phân phoi là xác đ%nh duy nhat bái hàm đ¾c trưng cua chúng.
Đ%nh lý 1.3.1.b đưoc suy trnc tiep tù Đ%nh lý 1.3.1.a;
Th¾t v¾y; neu ϕ(t) là hàm đã biet, (1.3.1) chi sn gia tăng cna F(x) trên
moi khoang chúa các điem liên tuc cna F(x). T¾p hop các điem gián đoan cna
F(x) là đem đưoc; a dan đen −∞ thơng qua m®t dãy chi gom các điem liên
tuc cna F(x); do đó (1.3.1) chi giá tr% cna F(b) tai MQI điem liên tuc cna b.
F(x) là liên tuc trái, giá tr% cna F(x) tai các điem gián đoan có the tìm đưoc
bang cách cho b dan tói phía trái cna m®t điem.
Tù tính duy nhat cna đ%nh lý 1.3.1.b đưoc đưa ra tù công thúc ngh%ch
đao (1.3.1), đieu đó đn cho chúng minh sau này. Trưóc khi bat đau chúng
minh chúng ta có vài nh¾n xét. e muc 1.2 ta đã biet rang ϕ (−t) = ϕ (t), do


đó neu Rez bieu th% phan thnc cna so phúc z, thì cơng thúc (1.3.1) có the
viet lai dưói


dang:
.

+∞

−ita

−itb

−

∫
1
F (b) − F (a) =

Σ
dt

e
2π

ϕ (t)e

(1.3.2)

it

Re
−∞

Phan thnc cna ϕ(t) và cna
e

−ita

−e

2
it

−itb

là hàm chan, trong khi phan ao là hàm le.

Do đó cũng tương tn cho
−ita
−
:
ψ (t) = ϕ e

(1.3.3)

e−itb

(t)

it

Vì v¾y: ψ (−t) = ψ (t).
Neu Imz bieu th% phan ao cna z thì ta có:
+T
1 ∫
Im{ψ (t)}dt = 0
2π

(1.3.4)

∀T > 0

−T

Tù công thúc (1.3.2)
1

∫+T.

F (b) − F (a) =
lim
x→∞ 2π

e−ita−
ϕ (t)
e

−itb

Σ
dt

(1.3.5)

2it

−T

Trong vài sách giáo trình thì cơng thúc ngh%ch đao là có dang cơng thúc

(1.3.5). Tuy nhiên, trong khi tích phân suy r®ng (1.3.1) ln ton tai, thì tích
phân :
∫+∞.

−ita

−itb

Σ

−
1
2π

−∞

e
ϕ (t)e

dt

(1.3.6)

it

chưa chac đã ton tai. Nhưng neu tích phân này ton tai thì giá tr% cna nó xác


đ%nh boi công thúc (1.3.5) và bang F(b)-F(a).
Đe chúng minh cơng thúc (1.3.2) ta can tói hai bő đe sau:

Bo đe 1.3.1. Đ¾t :

T

S (α, T )
=

2 ∫ sin αt
π

t

dt

(1.3.7)

Thì vói MQI so thnc α và vói MQI t dương ta có:
|S (α, T )| ≤ 2

(1.3.8)


Hơn nua:

.

+1
0
−

S (α, T )
∫
li =
dt
2 ∞ sin =
m
αt
π

x→∞

t

khi α > 0
khi α = 0

1

0

(1.3.9)

khi α < 0

và h®i tu đeu khi |α| ≥ δ > 0; o đây δ là m®t so dương bé
tùy ý. Chúng minh bő đe:
Neu ta đ¾t
:

x

2 ∫ sin u
S (x) =
u du
π
0

ta có:
(1.3.10)

S(α, T ) = S (αT )
(n+1)

Đ¾t:
cn =

2 π∫

sin
u

π

u

nπ

du

khi đó ta có:

2 ∫ sin u
c = (−
1)
du
nπ +
n
π0
u
n

(n = 0, 1, 2, ...)

Do cn có dau xen ke và tr% tuy¾t đoi cna chúng giam dan nên chuoi so
là h®i tu.
Tù :
n−
Σ

S (x)
=

1
k=
0

2 x
sin u
ck +
∫
du

π
u
0

khi nπ ≤ x
≤

(n + 1) π

(1.3.11)
Σ

cn

(1.3.12)