Hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính OF(a,b,c,d) cho trường hợp

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
-----------------------

TĂNG TH± ĐÚC

HÀM RIÊNG CUA BIEN ĐOI CHÍNH TAC
TUYEN TÍNH OF (a,b,c,d) CHO TRƯèNG HeP |a + d| “ 2

Chun ngành: Giai tích
Mã so: 60460102

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC:
PGS.TS.NGUYEN MINH TUAN

HÀ N®I - 2016


Mnc lnc

1


Lài nói đau
Tốn HQc giai tích là m®t trong nhung chuyên ngành nghiên cúu quan TRQNG
hàng đau cna toán HQc hi¾n đai. Nó bao gom nhieu lĩnh vnc đưoc MQI
ngưịi quan tâm, nghiên cúu. Và bien đői Fourier là m®t trong so đó vì nó có rat
nhieu úng dung khoa HQc, ví du như trong v¾t lý, so HQc, xác suat, thong kê, hai
dương HQc, hình HQc và nhieu lĩnh khác. Ngày nay các nhà khoa HQ c van đang

co gang khám phá ra nhung ket qua có tam quan TRQNG nham nâng cao đưoc
úng dung cna nó.
Trong lu¾n văn này chúng ta se tìm hieu ve trưịng hop đ¾c bi¾t bien đői
tích phân Fourier và úng dung cna nó trong quang HQc.
Bo cuc lu¾n văn gom phan mo đau, ba chương, phan ket lu¾n và danh muc
tài li¾u.
Chương mo đau là kien thúc chuan b%, chúng ta se nhac lai bien đői chính tac
tuyen tính và các trưịng hop bien đői đ¾c bi¾t cna bien đői này, hàm riêng cna
bien đői Fourier phân thú, m®t so ket qua đa đưoc xây dnng ve các hàm riêng
cna LCT. Cuoi cùng ta trình bày hai tính chat quan TRQNG se đưoc dùng trong
suot lu¾n văn.
Chương hai, phan đau ta trình bày hàm riêng cna LCT trong trưòng hop
|a + d| = 2. Trong trưịng hop này ta trình bày hàm riêng cna LCT khi a + d
= 2 và b = 0; a + d = −2 và b = 0; {a, b, c, d} = {±1, b, 0,±1}; a +
d = 2 và b ƒ= 0;

a + d = −2 và b ƒ= 0. Phan hai, ta trình bày hàm riêng

cna LCT trong trưòng hop |a + d| > 2. Trong trưịng hop này ta trình bày
hàm riêng cna LCT khi
{a, b, c, d} = {±σ−1, 0, 0,±σ}; a + d > 2; a + d < −2.

Trong chương cuoi ta trình bày quan h¾ cna LCT vói h¾ quang HQc và
giai quyet bài toán tao anh .
Các ket qua chính cna lu¾n văn dna trên bài báo "Eigenfuntions of linear
3


canonical transform" Soo-Chang Pie và Jian-Jiun Ding.
Trong quá trình thnc hi¾n lu¾n văn tơi đã nh¾n đưoc sn chi bao, hưóng dan

t¾n tình cna PGS.TS Nguyen Minh Tuan. Các thay cơ trong khoa Tốn - Cơ Tin HQ c trưịng đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc Gia Hà N®i đã giúp
đõ tơi có thêm nhieu kien thúc đe có the hồn thành lu¾n văn và khóa HQc m®t
cách tot đep. Bên canh đó cịn có sn giúp đõ nhi¾t tình cna các thay cơ phịng
Sau Đai HQc đã tao đieu ki¾n thu¾n loi giúp đõ tơi hồn thành các thn tuc bao
v¾, các thay cơ và các ban trong seminar Tốn Giai Tích đã có nhung góp ý
huu ích đe tơi hồn thành lu¾n văn tot nhat. Cuoi cùng, tơi xin gui lịi biêt
ơn tói gia đình, ngưịi thân đã ln đ®ng viên, nng h® tơi trong suot thịi gian
HQ c

t¾p và hồn thành khóa lu¾n.

M¾c dù đã có nhieu co gang nhưng ban lu¾n văn khó tránh khoi nhung thieu
sót. Tơi rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna q thay cơ và các ban.
Hà N®i, tháng 10 năm 2015
Tăng Th% ĐÉc


Chương 1

Kien thÉc chuan b%
Bien đői chính tac tuyen tính (LCT)[1]-[4] là bien đői tích phân vói bon
tham so {a, b, c, d}. Bien đői LCT đưoc giói thi¾u lan đau tiên vào năm 1970
[5], [6]. M®t so phép tốn như, bien đői Fourier (Fourier transform-FT), bien
đői Fourier phân thú (fractional Fourier transform-FRFT)[7]-[9], bien đői
Fresnel
[10] và phép toán co giãn l trũng hop ắc biắt cna LCT. Trong mđt so
bi báo, phép bien đői LCT đưoc GQI là phép bien đői Fourier afin (affine
Fourier transform-AFT) [2],[11], bien đői Fresnel tőng quát [12], công thúc
Collins [6], bien đői ABCD [3] (ABCD transform), ho¾c bien đői Fourier và bien
đői Fresnel. Phép bien đői LCT đưoc úng dung trong phân tích h¾ rada, phân

tích h¾ mơi trưịng Grin, thiet ke máy LQc và nhieu ỳng dung khỏc.
Ta xột mđt so trũng hop ắc bi¾t cna LCT. Ví du, hàm riêng cna FRFT là
hàm Hermite đưoc nhân thêm vói exp(−t2/2). Hàm riêng cna LCT khi {a, b,
c, d} =
{1, b, 0, 1} (trưòng hop này LCT tro thành bien đői Fresnel) là hàm tuan

hoàn
(hàm tuan hồn này GQI là hi¾u úng Talbot[16],[17]). Trong trưịng hop {a, b, c,
d} =
{1/d, 0, 0, 1} (trong trưòng hop này LCT tro thành phép toán co giãn)

hàm riêng là hàm Frac [18],[19] (fractal). Nhung hàm này bat bien vói phép
tốn co giãn. Trong lu¾n văn này ta se tőng quát các ket qua đã đưoc xây
đnng và suy ra hàm riêng cna LCT cho tat ca các trưòng hop. Sau đó, hàm
riêng cna LCT đưoc
su dung đe giai thích hi¾n tưong tao anh trong quang HQc.


Ta su dung ký hi¾u OF (a,b,c,d) ho¾c O(a,b,c,d) cho bien đői chính tac tuyen tính.
F

Phan đau cna lu¾n văn tơi se trình bày lai m®t cách ngan GQN kien thúc ve
bien đői chính tac tuyen tính, hàm riêng cna bien đői Fourier phân thú và m®t
so ket qua đã đưoc xây dnng ve các hàm riêng cna LCT, tính chat suy ra hàm


riêng cna LCT.

1.1

Bien đoi chính tac tuyen tính

Đ%nh nghĩa 1.1.1. Bien đői chính tac tuyen tính đưoc đ%nh nghĩa như sau
2

(a,b,c,d)

O

e−i(u/b)te(i/2)(a/b)t f (t)dt

1 (i/2)(d/b)u2
(f (t)) = .
e

∫

∞

.
F

i2π
b

neu

−∞

b ƒ= 0,

√
O(a,b,c,d)
(f (t)) = d.e(i/2)cdu2 f (d.u) neu b = 0,
F

(1.1)

.
LCT thoa mãn tính chat c®ng tính
.
(a ,b ,c ,d )
OF 1 1 1 1

trong đó

(a ,b ,c ,d )
OF 2 2 2 2 (f

Σ
(t)) = FO

(a3 ,b3 ,c3 ,d3 )

(f

(t)),
a3 b3
a2 b2
a 1 b1
Σ= Σ

Σ. Σ
Σ.
c3
c2
c1

Σ

(1.2)

Tính chat c®ng tính cna LCT đưoc suy ra tù phép tốn ma tr¾n trong cơng thúc
(1.2), ta thưịng bieu dien LCT vói tham so {a, b, c, d} boi ma tr¾n
Σ
a b
.
Σc d

Tiep theo ta trình by mđt so phộp toỏn l trũng hop ắc biắt cna LCT
chang han như bien đői Fourier (FT), bien đői Fourier phân thú (FRFT), bien
đői Fresnel, phép toán co giãn.
a) Bien đői Fourier (FT). Bien đői chính tac tuyen tính (LCT) là bien đői Fourier
khi {a, b, c, d} = {0, 1, −1, 0},
∫

O

F

(0,1,−1.0)

1 (i/2)(0/1)u2 ∞ −i.u.t (i/2)(0/−1)t2
(f (t)) = .
e
e
.e
i2
−∞
.g(t)dt
π
1
O(0,1,−1,0) (f (t)) = .
∫ ∞ e−i.u.t .g(t)dt
F

i2
π

−∞


√

F

i.O(0,1,−1,0) (f (t))

=

FT(f (t))

2
π

=

.

1

−∞

∫ ∞ e−i.u.t.g(t)dt.


b) Bien đői Fourier phân thú (FRFT). Bien đői chính tac tuyen tính (LCT) là bien
đői Fourier phân thú (FRFT) khi {a, b, c, d} = {cos α, sin α, − sin α, cos
α} [7]-[9]
F(cos α,sin α,− sin α,cos α)

O

2
1
.
(f (t))2π
=sin α∫
e(i/2)(cos α/ sin α).u
2
× ∞ e−i(u/ sin α).te(i/2)(cos α/ sin α)t f (t)dt,

−∞

1 − i cot α (i/2) cot α.u2
Oα (f (t)) = .
e
F

×

2π

∫ −i. csc α.ut (i/2) cot αt2
∞
e
e
f (t)dt. (1.3)
−∞

Bien đői Fourier phân thú (FRFT) là bien đői tőng quát cna bien đői Fourier
(FT). Bien đői Fourier phân thú thoa mãn tính chat c®ng tính
OαF.Oβ (f
(t))Σ = OFα+β (f (t)).
F

Bien đői Fourier phân thú vói hi¾u so pha không đői
Oα (f (t)) =
F

√
(cos α,sin α,− sin α,cos α)

eiα.O
(f (t)).

(1.4)

F

Bien đői Fourier phân thú có úng dung trong phân tích h¾ quang hQc,
giai phương trình vi phân,...
c) Bien đői Fresnel. Bien đői Fresnel là phép tốn mơ ta vi¾c truyen ánh sáng
đơn sac qua mơi trưịng trong suot. Bien đői Fresnel đưoc đ%nh nghĩa như sau
f (x, y)dxdy,
∫ ∞∫ ∞
OFresnel (f (x,
y)) =
z

ei2πz/
λ
iλz .

e

(1.5)

i(π/λz)((u−x)2+

(v−y)2)
−∞ −∞

f (x, y) là hàm phân bo cna nguon ánh sáng đơn sac, λ là bưóc sóng và z là

khoang cách. Cơng thúc (1.5) có the đưoc bieu dien dưói dang hop thành
cna hai bien đői Fresnel
(f
z
OFresnel =

(x, y))
O

z
z
Fresnel(y) .O Fresnel(x)

(f (x, y))Σ.

Bien đői chính tac tuyen tac tuyen tính LCT là bien đői Fresnel 1-D khi


{a, b, c, d} = {1, zλ/2π, 0, 1}

∫

∫

2
1
(1,zλ/2π,0,1)
∞ e−i(2πu/zλ)t.e(iπ/zλ)t2

∞
OF
(g(t)) = . izλe(i/2)(2π/zλ)u
i(π/λz)
e
−∞
g(t)dt
−∞
g(t)dt
i2πz/λ ∫
e
.
= √
.
2
2
iλz
eu −2ut+t

z
Fresnel(t)

O
=

e√i2πz/λ
iλz
.

(g(t))

∞ ei(π/λz).(u−t)2

−∞

(1.6)

g(t)dt.

Bien đői Fresnel 1-D vói hi¾u so pha khơng đői
z

OFresnel(t) (f (x)) = eiπz/λ.O
F

(1,zλ/2π,0,1)

(1.7)

(f (t)).

H¾ thúc liên h¾ giua tham so b và khoang cách z là
zλ
b= .
2π

(1.8)

d) Phép toán co giãn. Bien đői chính tac tuyen tính LCT là phép tốn co giãn khi
{a, b, c, d} = {σ−1, 0, 0, σ}

(σ

OF −1

√
(g(t)) = σ.e(i/2).0.σ.u2 g(σ.u)
√
=
σ.g(σ.u).

,0,0,σ)

σ

O(g(t))
S
c

=

√

(σ
sgn(σ).O
−1
F

,0,0,σ)

(g(t)).

Như v¾y, bien đői Fourier, bien đői Fourier phân thú, bien đői Fresnel và phép
toán co giãn là trưịng hop đ¾c bi¾t cna LCT.

1.2

Hàm riêng cua bien đoi Fourier phân thÉ (FRFT)

Trong [7], Namias chi ra bien đői Fourier phân thú có hàm riêng
1

√

−t2 /2

φm(t) =

√ .e
2mm! π

o đây Hm(t) là hàm Hermite cap m


.Hm(t)

m ∈ [0, 1, 2, 3, ...],
(1.9)
Hm(t) =
(−1)

m t2

.
e

dm

.

−t2

Σ

e

dt
m

và giá tr% riêng tương úng cna φm(t) là exp(−imα)
Oα (φm(t)) = e−i.m.α.φm(t).
F

,

(1.10)


Hàm riêng cna FRFT có tính chat trnc giao
(t)dt =m,n.
∫ ∞

−∞

φm(t).φn δ

Công thúc (1.9) chi là các hàm riêng cna FRT khi α/2π không là so huu ty. Khi
α/2π là so huu ty bien đői FRFT có hàm riêng khác cơng thúc (1.9). Ví du, khi
α = 0 (trong trưịng hop này bien đői FRFT tro thành phép toán đong nhat) tat

ca các hàm se là hàm riêng cna bien đői FRFT. Khi α = π (trong trưòng hop
này FRFT tro thành phép toán ngh%ch đao) ca hàm chan và hàm le là hàm riêng
cna bien đői FRFT và khi α = ±π/2 (trong trưòng hop này FRFT tro thành FT
ngh%ch đao) các hàm sau là hàm riêng cna FRFT (xem [20, chương 22])
1)

∞
Σ

√
δ .x − p 2π Σ;
∞

p=−∞

π 2
sin .. xΣ
. x .−1/2
3) .√
. ;
2π
.

.
2)

p=Σ−
∞

4)

.√

5)

π
sech.. .xΣ.

2π

√
δ .x − (p + 0.5) 2π Σ;

sgn(x);

.

2

Trong nhieu tài li¾u (như [21] và [22]) trong trưịng hop khi α =

2πN

M

trong đó

N,M là so ngun thì FRFT cũng có các hàm riêng khác cơng thúc(1.9).
Hàm riêng cna FRFT (hàm riêng cna FRFT đưoc GQI là hàm Fourier phân
thú) đưoc úng dung trong phân tích h¾ quang HQ c và sn lan truyen sóng. Đ¾c
bi¾t, trong phân tích hi¾n tưong tao anh [17] và hi¾n tưong c®ng hưong [23].
Ta cũng chi ra rang FRFT là LCT vói tham so {cos α, sin α, − sin α, cos
α} đưoc nhân thêm vói (eiα)1/2 [10]. LCT vói tham so {cos α, sin α, − sin α,
cos α} cũng có các hàm riêng như cơng thúc (1.9) nhưng giá tr% riêng là
(e−iα)1/2. exp(−imα)
O

(cos α,sin α,− sin α,cos α)
(φm(t))
F

= (e−iα)1/2e−i.m.α.φm(t).


1.3

M®t so ket qua đã đưac xây dEng ve các hàm riêng cua
LCT

Trong [12] hàm riêng cna bien đői chính tac tuyen tính (LCT) vói tham so
{a, b, c, d}

.

1

Σ

.

(1 + iτ )

t2
φm (t) = √
√ exp
σ.2m m! π

2σ
2

.Hm

t
σ

Σ
,

−

m = 0, 1, 2, 3...

(1.11)

trong đó Hm(t) là hàm Hermite [18], có giá tr% riêng tương úng là
λm = exp(−iαm + εα),

(1.12)

εα là hang so phu thu®c vào α và giá tr% cna σ, τ, α lan lưot là
σ2 =

√

2b

4 − (a +
a−d

τ = √

α =

4 − (a +

d)2

d)2

,

,

a+d

cos−1 .
Σ.
2

Ngưoc lai, tham so goc {a, b, c, d} bieu dien boi {σ, τ, α}
a = cos α + τ sin α,
sin α
c = (τ 2 +−1).
,
σ2

b = σ2 sin α,
d = cos α τ sin α.

Vì v¾y, hàm riêng cna LCT đưoc xây dnng như hàm riêng cna FRFT nhưng
khác phép co giãn và phép nhân. Ta chú ý rang có ba tham so {σ, τ, α} trong
công thúc (1.11) và (1.12). Ba tham so {σ, τ, α} tương úng vói ba bien tn do


cna LCT (LCT có bon tham so {a, b, c, d} v mđt rng buđc ad bc = 1,
bắc tn do bang 3). Tham so σ, τ xác đ%nh hàm riêng và tham so α xác đ%nh
giá tr% riêng.
Can chú ý rang, các ket qua trong [12] là phù hop vói trưịng hop |a + d| <
2. Tuy nhiên, trong trưòng hop |a + d| < 2 các ket qua trong công thúc (1.11)-

(1.12) cũng là chưa đay đn. Nđi dung cna luắn vn se trỡnh by hon chinh cho
các trưịng hop hàm riêng cna LCT. Hình 1.1 7 trưịng hop đe thao lu¾n hàm
riêng cna LCT.

|a + d| < 2
a+d=2
b=0
a + d = −2

|a + d| = 2

a+d=2
b ƒ= 0
a + d = −2
a+d>
2
|a + d| >
2

a + d < −2

Hình 1.1: 7 trưịng hop đe thao lu¾n hàm riêng cna LCT.

Phan cuoi chương trình bày lai các tính chat quan TRQNG đưoc su dung trong
luắn vn.

1.4

Mđt so tớnh chat quan

TRQNG

Tớnh chat 1.4.1. Gia su
ad − bc = a1d1 − b1c1 = a2d2 − b2c2 = 1,

và

a1

Σ

a b
c d
Σ =

Σ Σ 2 2Σ
a b

=

b1

Σ−1

b1 c Σ 1
a1 b1 a a2 b2
d1 −b1
Σ
ΣΣ
ΣΣ
Σ.
c

Σ

1

Khi đó

d1

c

2

1

c1

c2

−c1

d1

d2

d2

a + d = a2 + d2.

Chúng minh. Th¾t v¾y,

d1

a1

(1.13)


Σ

a1 b 1

ΣΣ

a2 b 2

−b1

ΣΣ

c

c
1

d1

2

−c1

Σ

=

Σ

a1 c1 d1 + 2 d12 −
c c2b

1 2

−
c

1 d1 d2

− 2 b1 c1 −
a
b

1
1 c2 d1

+

1

.

a1b2c + 1 d1 d2
a

1

a1a2d1 + b1c2d1 − c1a1b2 − c1b1d2 −a1a2b1 − c2b2 + a2b2 + a1a2d2

Σ


Khi đó,
a + d = a 1 a 2d 1 + b1 c2 d1 − c1 a 1b 2 − c 1b 1d 2
− a 2b 1c 1 − b1 c2 d1 + a 1 b2 c1 + a 1d 1d 2
= a 1a 2 d1 + a 1 d1 d2 − b1 c1 a 2 − b 1c 1d 2
= a1d1(a2 + d2) − b1c1(a2 + d2)
= (a2 + d2)(a1d1 − b1c1)
= a2 + d 2 .

Tính chat 1.4.2. Gia su {a, b, c, d}, {a1, b1, c1, d1} và {a2, b2, c2, d2} có
ràng bu®c như cơng thúc (1.13) và
ad − bc = a1d1 − b1c1 = a2d2 − b2c2 = 1.

LCT vái tham so {a, b, c, d} có the đưac viet lai như sau
.
.
(a,b,c,d)
OF
(f

(t)) = FO

(a1 ,b1 ,c1 ,d1 )

FO

(a2 ,b2 ,c2 ,d2 )

FO

(d1 ,−b1 ,−c1 ,a1 )

ΣΣ
(f (t))

. (1.14)

Neu ta biet e(t) là hàm riêng cua LCT vái tham so {a2, b2, c2, d2} vái giá tr%
riêng tương úng λ, túc là
OF(a
1,b1,c1,d1)

OF(a

2,b2,c2,d2)

(e(t)) = λ.e(t),

(e(t)) se là hàm riêng cua LCT vái tham so {a, b, c, d} vái giá tr%

riêng tương úng cũng là λ, khi đó
FO

(a,b,c,d)

.
FO

(a1 ,b1 ,c1 ,d1 )

Σ
(e(t))

(a ,b ,c ,d )
=F O 1 1 1 1F

.
O

(a2 ,b2 ,c2 ,d2 )

Σ

(e(t))
(a ,b1,c1,d1)

= λ.O F 1

(e(t)).

Tính chat (1.4.2) là m®t tính chat quan TRQNG, đưa ra m®t cách xây
dnng hàm riêng cho các phép bien đői LCT. Cu the, thay vì xây dnng hàm
riêng cho vói b® tham so {a, b, c, d} bat kỳ ta chi can xây dnng hàm
riêng cho LCT vói b® tham so {a2 , b2 , c2 , d2 }. Trong đó các tham so {a2 , b2 ,

c2 , d2 } đưoc lna cHQN sao cho hàm riêng cna LCT tương úng là de dàng đưoc

xây dnng. Xun suot phan trình bày cna lu¾n văn, tính chat này se đưoc
su dung đe xây dnng cho hàm riêng cna LCT.


Tùy theo các trưịng hop cu the cna b® tham so {a, b, c, d} mà ta lna cHQN
các b® tham so {a2 , b2 , c2 , d2 } phù hop. Cu the, trong các trưịng hop lu¾n
văn xét đen ta lna cHQN các b® tham so tương úng như sau:
1. a + d = 2, b ƒ= 0 ta cHQN {a2 , b2 , c2 , d2 } = {1, b, 0, 1}.
2. a + d = −2, b ƒ= 0 ta cHQN {a2 , b2 , c2 , d2 } = {−1, b, 0, −1}.
3. a + d > 2 ta cHQN {a2 , b2 , c2 , d2 } = {σ −1 , 0, 0, σ}.
4. a + d < −2 ta cHQN {a2 , b2 , c2 , d2 } = {−σ −1 , 0, 0, −σ}.
Trong đó hàm riêng cna LCT tương úng vói các b® tham so {1, b, 0, 1},{−1, b, 0,
1},
{σ−1, 0, 0, σ}, {−σ−1, 0, 0, σ} là de dàng đưoc xây dnng.
Chương 2 cna lu¾n văn se đi vào trình bày chi tiet vi¾c xây dnng hàm riêng
cho LCT trong các trưòng hop cu the.


Chương 2

Hàm riêng cua bien đoi chính tac
tuyen tính OF (a,b,c,d) cho trưàng
hap
|a + d| “ 2
2.1

Hàm riêng cua LCT cho trưàng hap |a + d| = 2

Đoi vói trưịng hop |a + d| = 2, chúng ta xét các trưòng hop sau đây trong
các muc tương úng
1. a + d = 2 và b = 0 (Muc 2.1.1).
2. a + d = −2 và b = 0 (Muc 2.1.2).
3. a + d = 2 và b ƒ= 0 (Muc 2.1.4).
4. a + d = −2 và b ƒ= 0 (Muc 2.1.5)
Trưóc tiên ta xét trưịng hop |a + d| = ±2 và b = 0 vì chúng là trưịng hop
đơn gian nhat. Sau đó, ta su dung ket qua này và Tính chat (1.4.1) đe suy ra hàm
riêng cho trưòng hop {a, b, c, d} = {1, b, 0, 1} và {−1, b, 0, −1}. Trong
trưòng hop này LCT tro thành bien đői Fresnel và bien đői Fresnel ket hop vói
phép tốn ngh%ch đao.Ta biet hàm hau tuan hồn cũng là hàm riêng cna bien
đői Fresnel trù hàm tuan hoàn. Ta su dung bien đői Fresnel và bien đői Fresnel
ket hop vói phép tốn ngh%ch đao đe xét hàm riêng cna LCT cho trưòng hop |a
+ d| = 2.


2.1.1

Trưàng hap a + d = 2 và b = 0

Tù ad − bc = 1, trong trưòng hop a + d = 2 và b = 0, tham so {a, b, c,
d} cna LCT có dang

Σ
Σ =Σ
Σ.
a
b
1
0

Trong trưịng hop này LCT tro thành phép nhân
c

(1,0,c,1)
OF
(f

c
(t)) = ei.c.u2/2.f (u).

Hàm riêng cna phép tốn nhân có dang
ϕ(t) =
√
E−1

o đây

∞

nΣ=−

An.δ(t − tn),

∞

2

∞

E= Σ

n=−∞

|An| .

Neu sn thoa mãn đieu ki¾n
···=
e

(i/2)c.s2

=

−1

e

thì

(i/2)c.s20

=
e

(1,0,c,1)

O

F

(i/2)c.s21

=
e

(i/2)c.s22

,

=···

(ϕ(t)) = e0i.c.s2/2.ϕ(u).

Do đó, ta ket lu¾n hàm riêng cna LCT trong trưịng hop a + d = 2 và b = 0
phai có dang
Σ

c,h
Σ B −φ

=

√

E

0 ™h <

4π

|c|

1

(t)

∞
n=0

.
A .δ t
n

. 4nπ
Σ−
+h
|c|

.

+

, An , B
tùy ý
m
∞

E =Σ

∞
Σ

4mπ
Bm .δ .t + .
+ hΣΣ,
|
m=0
c|

.|An |2+ |Bn 2

| Σ,

n=0

vói giá tr% riêng tương úng là

λc,h
2

(2.1)


ich
= exp .
Σ.

(2.2)


2.1.2

Trưàng hap a + d = −2 và b = 0

Trong trưịng hop này ta có tham so {a, b, c, d} có dang sau
Σ
Σ Σ
Σ
a b
c

=

−1 0
c

.

Khi đó, cơng thúc cna LCT trong trưòng hop này tro thành
O(1,0,c,1)
(f (t)) = (−1)1/2 .e−i.c.u2/2 .f (−u).
F

Đây là sn tő hop cna phép nhân và phép ngh%ch đao. Hàm riêng trong trưòng
hop này là đoi xúng ho¾c phan đoi xúng
Σ√
C

∞
c,h

−1φ
n=0

An.

. .

√

−1
δ t−
Σ 4nπ|c| + h

(t) = E

+ δ .t +

ho¾c
Σ√
C

c,h

∞
−1φ

(t) = E

o đây 0 ™ h <

4π

c

An.

. .

√
Σ

√

4nπ|c|−1 + hΣΣ,

(2.3)

4nπ|c|−1 + hΣΣ,

(2.4)

δ t − 4nπ|c|−1 + h

n=0

− δ .t +

, An tùy ý

∞

Σ

E =2

√

|An|2,

n=0

vói giá tr% riêng tương úng cho cơng thúc (2.3) và (2.4) lan lưot là
λc,h =
=
λc,h
2.1.3

(−1)1/2 exp .

ich

Σ,
2
ich

−(−1)1/2 exp .

Σ.

(2.5)

2

Hàm riêng cua LCT khi {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1}

Ta biet rang vói tham so {a, b, c, d} là bien đői 1-D Fresnel [xem công thúc
(1.7) và (1.8)]. Bien đői Fresnel mô ta ánh sáng đơn sac qua mơi trưịng trong
suot. Tù lý thuyet cna hi¾u úng Talbot [16], [17], neu gia thiet ánh sáng đau vào
là hàm tuan hồn f (x, 0). Khi đó, f (x, 0) = f (x + q, 0) sau khi qua mơi
trưịng


trong suot cưịng đ® ánh sáng o khoang cách N.z tương tn cưịng đ® ánh sáng
lúc ban đau
|f (x, N.z)| = |f (x, 0)|,
2q
2

z=

khoang cách Talbot, N là so nguyên.

λ

Như v¾y, ket hop cơng thúc (1.7) và (1.8) ta có the ket lu¾n e(t) tuan hồn
vói chu kỳ cna q. Khi đó, hàm riêng cna LCT vói tham so {1, Nq2 , 0, 1}, N là
π
so
nguyên, có dang O(1,Sq2/π,0,1)(e(t)) = τ.e(t) neu e(t) = e(t + q).

(2.6)

F

Xét ma tr¾n
A=

Σ1 b
Σ0

1

.

Đa thúc đ¾c trưng cna A
det(A − λE2) = .

1−λb

2
. = (λ − 1) .

0
1−
λ 1. Khi đó, phương trình trên có the
Đa thúc có đn nghi¾m thnc λ1 = λ2 =

viet lai như sau
O(1,b,0,1)
(e(t)) = e(t),
F

|b|π
neu e(t) = e.t + .
Σ
N ).
(N là so nguyên

(2.7)

Ket qua trên tìm đưoc tù hi¾u úng Talbot. Ket qua này có the tőng qt
đưoc.
Gia su g(t) = g(t + q) và g0(v) là LCT cna g(t) vói tham

q2N
so
π {1,
M

, 0.1}, chu

kỳ ánh sáng đơn sac qua khoang cách zT M, trong đó zT là khoang cách Talbot,
N

khi đó [26]

(1,(q2N/πM ),0,1)

g0 (v) = O F

(g(t))

M −1

=

Σ

1
M

n=0

g

.
v
pq

.

Σ−

M
−1
Σ
n=0

M

2

ei(2π/M )(pn−Nn ).

(2.8)


Trong đó g0 (v) là tő hop tuyen tính cna g(v −
M

pq

). Đây đưoc GQI là hi¾u

úng Talbot phân thú (fractional Talbot effect) [26]-[28]. Hi¾u úng Talbot
điem là trưịng hop đ¾c bi¾t khi M = N = 1.


Tù cơng thúc (2.8), ta có the tőng qt ket qua trong công thúc (2.6) và (2.7).
Gia su [1, a1, a2, · · · , aM ]T là véc tơ riêng cua ma tr¾n sau


c0
c
 c2



.

cM−1 cM−2 · · · c1
c

c
···
cc1 1
c0
· 0· · c3 
.

.

..

.



cM−1 cM−2 cM−3 ·. · · c0
M−1

cp =M

1Σ
n=0

2

ei(2π/M )(pn−Nn ),

(2.9)

vói giá tr% riêng tương úng là λ.

Neu g(x) = g(x + q) và
g(x) : g .x +

q

Σ : g .x +

2q

Σ : ... : g .x +

M
M
= 1 : a1 : a2 : ... : aM −1 ,x ∈ .0,

(M − 1)q

Σ

M
Σ

M
q
Nq
ta chi ra rang g(x) là hàm riêng cna LCT {1, 2 , 0, 1} vói giá tr% riêng tương
π

úng cũng là λ. M¾c dù, khơng có bieu thúcMđơn gian cho véc tơ riêng cna ma
tr¾n trong cơng thúc (2.9) nhưng giá tr% riêng có the bieu dien dưói dang

.
λk =
exp

Σ

−i2πNk 2
, k = 0, 1, 2, ...,
M
M − 1.

|b|π

Trong công thúc (2.7) ta tìm đưoc hàm riêng vói chu kỳ q = .

là hàm

riêng.cna LCT vói tham so {1, b, 0, 1}. e đây, ta cũng chi raN hàm vói chu kỳ
q
=

| η|
πM

cũng là hàm riêng cna LCT vói tham so {1, b, 0, 1} neu thoa
mãn

ràng bu®c đoi xúng.
Trên thnc te, LCT vói tham so {1, b, 0, 1} và bien đői Fresnel cũng có m®t
so hàm riêng khơng tuan hồn .

Ta áp dung hàm riêng cna LCT vói tham so {1, 0, c, 1} trong muc (2.1.1)
vói Tính chat (1.4.1) và (1.4.2) đe suy ra hàm riêng cna LCT vói tham so {1, b,
0, 1}.

Tù đó

Σ

Σ

Σ

Σ Σ

Σ Σ

Σ

1 b
0 1
10
0 −1
. 1
.
0 1 = −1 0 . −b
1