Một số phương pháp giải bài toán rẽ nhánh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ MAI

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI BÀI TOÁN RẼ NHÁNH
Chuyên ngành: Giải
tích Mã số: 60 46 01
02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN

HÀ NỘI- 2015


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1

Kiến thức chuẩn bị

6

1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1

Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Không gian các ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . .7

1.1.3 Không gian các ánh xạ khả vi liên tục . . . . . . . . .8

1.1.4

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Toán tử liên hợp, giá trị riêng, véctơ riêng . . . . . . . . . . .9
1.3 Toán tử Fredholm............................................................... 10
1.4 Toán tử liên tục Lipschitz, toán tử thế năng......................10
1.5 Định lý hàm ẩn................................................................. 11
2

Lý thuyết bậc ánh xạ

12

2.1 Một vài ký hiệu và bổ đề................................................... 12
2.2 Định nghĩa bậc của ánh xạ liên tục khả vi........................13
2.3 Định nghĩa bậc của ánh xạ liên tục.................................. 23
2.4 Ứng dụng của bậc ánh xạ.................................................25
3

Giải bài toán rẽ nhánh

26

3.1 Lý thuyết rẽ nhánh............................................................ 26
3.2 Giải
bài toán rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1

Một vài kí hiệu và bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2 Các kết quả chính

. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
1

30
45


Kết luận

................................

61

Tài liệu tham khảo...................................................................62

2


MỞ ĐẦU
Nhiều hiện tượng tự nhiên và khoa học có thể được mơ tượng
mơ tả bằng ngơn ngữ tốn học thơng qua việc giải phương trình
phụ thuộc tham số:
F (λ, v) = 0,

(λ, v) ∈ Λ × D,

trong
một
trên0tích
củakhơng
khơnggian
gianđịnh
metric
(Λ, X)
d)
với D, đó,
(D F
là là
lân
cậnhàm
củasố
điểm
trong
chuẩn
vào khơng gian định chuẩn Y . Nghiên cứu sự rẽ nhánh của
phương trình trên là việc nghiên cứu
sự thay đổi nghiệm của nó theo tham số.
Trong thời gian gần đây, lý thuyết rẽ nhánh được sử dụng nhiều
để nghiên cứu những phương trình phụ thuộc tham số, đặc biệt nó
tìm những giá trị của tham số mà tại đó cấu trúc tập nghiệm bị
thay đổi.
Giảtathiết
rằng
vớithiết

λ ta v(λ)
có v(λ)
đểMỗi
F (λ,nghiệm
v(λ)) = (λ,
0. Bằng
cách
tịnh
tiến,
có thể
giả
= 0.
0) được
gọi
là
nghiệm tầm thường của phương trình
F (λ, v) = 0,

(λ, v) ∈ Λ × D.

(1)

T
a sẽ
nghiệm
thường
0) mà
tại tồn
những
lân cận

của
nótìm
cónhững
tính chất
với δ tầm
> 0,
ǫ > (λ,
0 cho
trước,
tại nghiệm
không tầm thường (λ, u) ∈ Λ × D của (1) thỏa mãn d(λ, λ) < δ
và 0 < ||u|| < ǫ. Nghiệm tầm thường (λ, 0) này được gọi là
nghiệm rẽ nhánh của (1), λ được gọi là điểm rẽ nhánh. Những bài
toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh của (1) được gọi là bài
toán rẽ nhánh. Có nhiều phương pháp khác nhau để giải bài tốn
rẽ nhánh, mỗi phương pháp được ứng dụng cho một phương trình
khác nhau. Dựa vào định lý hàm ẩn, ta dễ dàng thấy rằng mọi
điểm rẽ nhánh đều là giá trị riêng


của phần tuyến tính của phương trình. Tuy nhiên, khơng phải giá
trị riêng nào của phần tuyến tính cũng là điểm rẽ nhánh.
Rất nhiều các cơng trình của các tác giả khác nhau cho ba bài
toán: sự tồn tại nghiệm rẽ nhánh, tồn tại những nhánh nghiệm,
tìm những giá trị tham số tại đó tính duy nhất nghiệm bị phá vỡ,
với phương pháp biến phân, tơpơ, giải tích cho những trường hợp
đặc biệt, tham số là số thực dạng

T (v) − λc(v) = 0, (λ, v) ∈ Λ × D.
Trong luận văn này ta nghiên cứu sự rẽ nhánh bằng phương pháp

LyapunovSchmidt trong [1] sử dụng phép chiếu và đưa phương trình nghiên
cứu thành hai phần: một phần nằm trong khơng gian hữu hạn
chiều, phần cịn lại nằm trong khơng gian vơ hạn chiều trực giao.
Sau đó sử dụng bậc ánh xạ để chỉ ra khi nào thì giá trị riêng của
phần tuyến tính là điểm rẽ nhánh. Từ đó, ta có phương pháp kết
hợp giữa phương pháp tơpơ và giải tích cho bài tốn rẽ nhánh.
Bố cục luận văn gồm ba chương, phần mở đầu, phần kết luận
và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương một trình bày một số kiến thức cơ bản làm cơ sở cho
việc trình bày lý thuyết rẽ nhánh, bao gồm một số định nghĩa và
định lý được sử dụng trong việc chứng minh các bổ đề và các định
lý trong lý thuyết rẽ nhánh.
Chương hai trình bày lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục. Tiếp
theo ta chỉ ra các tính chất cơ bản của bậc ánh xạ. Cuối cùng là
một số ứng dụng của bậc ánh xạ.
Chương ba trình bày các khái niệm cơ bản về phép chiếu trong
không gian Banach và lược đồ Lyapunov-Schmidt để chuyển
phương trình tốn tử về hệ phương trình gồm hai phần: phần dễ
giải thường nằm trong khơng gian vơ hạn chiều và phần khó giải
nằm trong khơng gian hữu hạn chiều. Nhờ lược đồ này, ta nghiên
cứu sự rẽ nhánh của phương trình phụ thuộc tham số. Từ đó ta có
được một số hệ quả của bài tốn tìm nghiệm rẽ nhánh của
phương


trình (1).
Khi viết bản luận văn này tác giả đã tham khảo các tài liệu [2],
[3], [4] và [5], trong đó đã nêu ra được điều kiện đủ để giá trị
riêng của phần tuyến tính là điểm rẽ nhánh và cơng thức biểu diễn
nghiệm của phương trình theo véctơ riêng.

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH
Nguyễn Xuân Tấn, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận
tình và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình làm luận văn này.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô
giáo trong nhà trường, đặc biệt là các thầy cô giáo chun ngành
Giải tích, khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự
nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, các thầy cơ phịng Sau Đại học
đã tận tình giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian theo học, thực hiện
và hồn thành khóa luận.
Cuối cùng tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến người thân, gia
đình, bạn bè đã ln động viên và tạo điều kiện cho tác giả trong
suốt thời gian học tập và hồn thành luận văn của mình.

Hà Nội, tháng 4 năm 2015
Nguyễn Thị Mai


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số không gian thường
dùng trong luận văn và một số định nghĩa, định lý làm cơ sở cho
chương 2 và chương 3.

1.1

Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là không gian véctơ thực. Một ánh xạ ||·|| : X → R
gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa mãn các tiên đề sau:

(i) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X,

||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0,

(ii) ||λx|| = |λ|.||x||, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ R,
(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X.
Khi đó, cặp (X, || · ||) được gọi là không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2. Dãy {xn} ⊂ X được gọi là một dãy cơ bản (dãy Cauchy)
trong không gian định chuẩn (X, || · ||) nếu
lim

m,n→
∞


||xn − xm|| = 0.


Định nghĩa 1.1.3. Nếu trong không gian định chuẩn (X, || · ||), mọi dãy cơ
bản đều hội tụ tới giới hạn thuộc khơng gian X thì X được gọi là không
gian
đủ hay không gian Banach, tức là với mỗi dãy cơ bản {xn} ⊂ X thì
ln tồn tại x0 ∈ X sao cho xn → x0 khi n → ∞.
Sau đây, ta xét một số trường hợp cụ thể của không gian Banach.

1.1.1 Không gian Rn
Cho
định
· ||p trên Rn như
sau:

với1x≤=p(x≤1,∞,
. . ta
. , xác
x n) ∈
Rn, chuẩn
ta định||nghĩa
n

||x||p
=

. Σ pΣp 1
|xi|
i=
∞.
1

nếu p <

Trường hợp p = ∞, ta định nghĩa ||x||p = max{|x1|, . . . , |xn|}. Khi đó, Rn
với
địnhchuẩn || · ||p là khơng gian Banach. Hai chuẩn ρ1, ρ2 trên không gian
chuẩn X gọi là tương đương nếu tồn tại hai số thực dương C1, C2 sao cho

C1ρ1(x) ≤ ρ2(x) ≤ C2ρ1(x), ∀x ∈ X.
Hai chuẩn tương đương thì một dãy điểm {xn} ⊆ X là hội tụ theo chuẩn
ρ1
về x0 ∈ X khi và chỉ khi {xn} hội tụ về x0 theo chuẩn ρ2. Chú ý rằng,
mọi chuẩn trên Rn đều tương đương.

1.1.2 Không gian các ánh xạ liên tục
Cho X ⊆ Rn, định nghĩa
C(X, Rm) = {f : X → Rm|f là ánh xạ liên tục}.
Cho f ∈ C(X, Rm), đặt
x∈X

||f ||◦ = sup ||f (x)||,


trong đó, || · || là một chuẩn trong Rn.
liên
tục
nên
C(X,một dãy
Rm) cáclàánh xạ
khơng
Banach.
Vì giới
hạn của
liên tụcgian
hội tụ đều
cũng là một ánh xạ

1.1.3 Không gian các ánh xạ khả vi liên tục
n
n
Cho
⊂ R|β|
là=một
in) ∈

NnD
, đặt
i1 +tập
. . .mở
+ inbị
. chặn của R . Cho β = (i1, . . . ,

Cho Dβf : D → Rm là đạo hàm riêng của hàm f : D → Rn bậc β
∂ β f (x)
,
β
in
i1
. . . ∂ xn
D f (x) = ∂
x1
trong đó x = (x1, . . . , xn) ∈ D. Định nghĩa
C k(D, Rm) = {f : D → Rm|Dβf (x) liên tục trên D, ∀β : |β| ≤ k}.
Khi
đóxác
Ck(D,
Rmbởi
) là không gian Banach với chuẩn của f ∈ Ck(D, Rm)
được
định
||f ||k =

Σ

|β|

β
max{||D
f ||0}.
≤k

1.1.4 Khơng gian Hilbert
hàm
songnghĩa
tuyến
tính,
đốiX là
xứng
(·, gian
·) : tuyến
X × Xtính.
→ R
thỏa
mãn Định
1.1.4.
Cho
khơng
Nếu
trên
X có một
(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ X và (x, x) = 0 thì x = 0.
Ta gọi X là không gian tiền Hilbert.
Hơn nữa, nếu ta định nghĩa
||x|| =

√

(x, x),

thì (X, || · ||) là không gian định chuẩn. Nếu không gian này đủ thì
(X, (·, ·))
được gọi là khơng gian Hilbert.


1.2

Toán tử liên hợp, giá trị riêng, véctơ riêng

Cho hai không gian véctơ bất kỳ X, Y . Một ánh xạ

A:X→Y
được gọi là một ánh xạ tuyến tính hay tốn tử tuyến tính nếu
(i) A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2).
= αA(x)
vớiAx
mọi
x ∈cho
X và
với mọi α ∈
R.(ii)
ĐểA(αx)
cho gọn
ta viết
thay
A(x).

Toán tử A được gọi là liên tục nếu xn → x0 luôn kéo theo Axn → Ax0 với
mọi dãy {xn} ⊂ X, x0 ∈ X.

Toán tử A được gọi là bị chặn nếu có một hằng số K > 0 để cho
||Ax||Y ≤ K||x||X ,
∀x ∈ X.
Định
1.2.1. Một toán tử tuyến tính A : X → Y liên tục khi và chỉ khi
nó bị lý
chặn.
Cho X, Y là hai khơng gian Banach với
X∗ = {f |f : X → R, f tuyến tính liên tục};
Y ∗ = {g|g : Y → R, g tuyến tính liên tục},
tương ứng là các khơng gian đối ngẫu của X và Y .
Cho A : X → Y là một tốn tử liên tục.
Khi đó, toán tử A∗ : Y
bởi

∗

→ X∗ của A là toán tử tuyến tính được xác định

(A∗y, x) = (y, Ax), x ∈ X, y ∈ Y ∗,
với (·, ·) là cặp đối ngẫu giữa X và X∗, Y và Y ∗.
Cho X là khơng gian Hilbert, tốn tử tuyến tính liên tục A : X → Y gọi là


đối xứng nếu (Ay, x) = (y, Ax).
Ta nói một tốn tử tuyến tính A trong khơng gian Banach X là hồn tồn
liên tục nếu nó biến mỗi tập bị chặn thành một tập hồn tồn bị chặn.

λ
|λ| =tốn
||A||).
tồnhồn
tại x tồn
ƒ= 0 liên
để Ax
Khigiờ
ấy cũng
nghiệm
x (với
này Một
tử Tức
đối là,
xứng
tục= Aλx.
bao
có
một giá trị riêng gọi là một véc tơ riêng của A ứng với giá trị riêng
λ.

1.3

Tốn tử Fredholm

Chotính
X, Yvới
là hai
A:X
→ Y là một tốn tử

∗
tuyến
A∗ :khơng
Y ∗ → Xgian
là Banach,
tốn tử liên
hợp.
Xét các không gian con
kerker
A=
∗
0};
A∗{a
=∈
{yX|Ax
∈Y=
|
∗
A y = 0}.
Các không gian này được gọi là các không gian riêng của A và A∗.
∗
Nếu
ker
= toán
p, (p tử
∞) và dim
p, q < ∞)
thì Adim
được

gọiA là
vớiker
chỉAsố=s q,
= (q
p −≤q.

1.4

Tốn tử liên tục Lipschitz, tốn tử thế năng

Cho X, Y là các khơng gian định chuẩn, ta nói rằng
(i) Tốn
f : Xcho
→ Y là liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L
> tử
0 sao
||f (x) − f (y)||Y ≤ L||x − y||X ,
(ii) f là Lipschitz địa phương
tại
Lipschitz trên U .

∀x, y ∈ X.

x¯ nếu tồn tại lân cận U

chứa

x¯ để f là

∗
Xét
toán khả
tử Avi: X
A sao
đượccho
gọiA(x)
là toán
thếvới
năng
nếulàtồn
tại hàm
f :→XX→, R
= ∂ftử(x),
∂f (x)
vi
dưới phân của hàm f tại x.

1.5

Định lý hàm ẩn

Cho X, Y, Z là các không gian Banach. U ⊂ X × Y là một tập mở.
f : U → Z là ánh xạ liên tục tại điểm (a, b) ∈ U thỏa mãn các điều kiện
sau
(i) f (a, b) = 0,
(ii) Đạo hàm riêng fy′ (a, b) tồn tại trong U và liên tục tại (a, b),
(iii) fy′ (a, b) là ánh xạ 1-1 và lên.
Khi đó, tồn tại một lân cận V1 của a trong X; tồn tại một lân cận V2 của b
trong Y , sao cho V1 × V2 ⊂ U , và một ánh xạ

g : V1 → V2
liên tục tại a sao cho với mọi (x, y) ∈ V1 × V2 ta có

f (x, y) = 0 ⇐⇒ y = g(x).


Chương 2

Lý thuyết bậc ánh xạ
Trong chương này ta định nghĩa bậc của ánh xạ liên tục từ tập
D (D là tập mở bị chặn) vào Rn và mô tả một số tính chất cơ bản
của bậc ánh xạ. Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản về
ánh xạ khả vi.

2.1

Một vài ký hiệu và bổ đề

Định nghĩa 2.1.1. Cho f : Rn → R,

x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn.

∂f
Nếu các đạo hàm riêng
(x) tồn tại với mọi i = 1, 2, . . . , n thì véctơ
∂ i
.
∂f
∂f
∂x1 (x), . . . ,

∂xn (x)Σ

được gọi là gradient của f tại x, ký hiệu grad f (x).
Định nghĩa 2.1.2. Cho ánh xạ f = (f1, . . . , fn) : Rn → Rn.
Nếu tại thời điểm x = (x1 , . . . , xn ) của Rn , tồn tại các đạo hàm
∂x riêng
(x),
với mọi i, j = 1, . . . , n thì ma trận
J
(x)
=
f

∂f
 ∂x11 (x)

·

...
...

∂f1
∂x
n (x)

·



∂ fi

∂x1



∂fn

∂xn

(x) . . .

∂fn

(x)


được gọi là ma trận Jacobi của f tại điểm x, cịn Định thức của nó, ký hiệu
|Jf (x)| gọi là Jacobian của f tại x.
Cho D ⊆ Rn là một tập mở, ánh xạ f ∈ C1(D, Rn) và điểm x ∈ D.
Nếu |Jf (x)| = 0 thì x được gọi là điểm tới hạn của f và tập các điểm tới
hạn
của f trong D ký hiệu là
Z = {x ∈ D||Jf (x)| = 0}.
Điểm
y∈
R gọi là điểm chính quy của f nếu f
kết quả
sau.
n

−1

(y) ∩ Z = ∅. Ta có

1
Định
lý 2.1.1
(Bổ
đềtập
Sard).
Cho
mởthì
D f⊆(E)
Rn cũng
và hàm
∈ Cvà
(D,
Rn). Khi
đó, với
mỗi
E⊆D
đo tập
được,
đo fđược

µ(f (E)) ≤ ∫E |Jf (x)|dx.
Từ đây suy ra µ(f (Z)) = 0.
Định nghĩa 2.1.3. Ta nói hai ánh xạ liên tục f, g : D → Rn đồng luân với
nhau nếu có một ánh xạ liên tục

h : [0, 1] × D → Rn
sao cho
h(0, ·) = f (·),

h(1, ·) = g(·).

2.2

Định nghĩa bậc của ánh xạ liên tục khả vi

n
n
chính
Xéttahàm
∈ C 1 (D,
) vàánh
điểm
∈ Rvi
,p
∈/ tục
φ(∂D).
Trước
hếtqui.
chúng
địnhφ nghĩa
bậcR của
xạpkhả
liên
tại

các điểm
Ta sẽ định nghĩa bậc của hàm φ trên D đối với p là một số nguyên, được
ký


hiệu là deg(p, φ, D).
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu φ ∈ C1(D, Rn), p ∈ Rn \ φ(∂D), φ−1(p) ∩ Z = ∅ thì tập
φ−1(p) hữu hạn.
Thật
giảtại
sử một
có x0lân
∈ cận
D, x0U∈của
φ−1(p)
thìmột
Jφ(x0lân
) ƒ=cận
0. Theo
lý
hàm vậy,
ẩn, tồn
x0 và
V củaĐịnh
p sao
−1
cho φ : U → V là một đồng phôi nên tập φ (p) là rời rạc.
Hơn nữa, D là tập compact nên φ−1
(p) là hữu hạn. Do đó ta định nghĩa

Σ
deg(p, φ, D) =

φ(x)=p

sign |Jφ(x)|.

Như vậy, hiển nhiên ta thấy nếu p ∈/ φ(D) thì deg(p, φ, D) = 0.
Ví dụ 2.2.1. Cho hàm φ xác định bởi
φ(x, y) = (x2 − y2 − ǫ, 2xy),

với

0 < ǫ < 1.

√
√
Xét điểm p = (0, 0) ⇒ φ−1(p) = {(− ǫ, 0), ( ǫ, 0)}.
Nếu D = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 1} thì

Ta có

φ−1 (p) ∩ ∂D = ∅.
2x −2y
J (x, y) = 
 ⇒ |J (x, y)| = 4(x2 + y2).
φ

2y

2x 

φ

Suy ra φ−1 (p) ∩ Z = ∅.
Do đó, deg(p, φ, D) là xác định và theo định nghĩa ta có
deg(p, φ, D) = 1 + 1 = 2.
Trường hợp 2: φ ∈ C1(D, Rn), p ∈ Rn \ φ(∂D), φ−1(p) ∩ Z ƒ= ∅.
Trong
hợp =
này,
theotồn
Định
2.1.1
ta{q
có}µφ(Z)
0. Từ sao
đây
ta suytrường
ra intφ(Z)
0, nên
tạilýmột
dãy
(qn ∈=φ(∂D))
n
cho qn → p và


−1
φ

(qn)ta∩sẽ
Z=
∅. giới
Theohạn
trường
1 ta định nghĩa được deg(qn, φ,
D) và
thấy
limqnhợp
→p deg(qn, φ, D) tồn tại và không phụ
thuộc vào dãy
{qn}. Do đó ta định nghĩa

deg(p, φ, D) =
lim

deg(qn , φ, D), (φ−1 (qn ) ∩ Z = ∅).

qn→p

hàm
C 1 . Trước
xét biểu
diễn tích
deg(p,
φ, D) thuộc
với Đểlớp
chứng
minhhết,
đượctađiều

này, chúng
ta phân
sẽ chỉcủa
ra một
số
tính chất của các ánh xạ φ thỏa mãn các điều kiện trong trường
hợp 1.
Định lý 2.2.1. Cho hàm φ ∈ C1(D, Rn), p ∈ Rn\φ(∂D) sao cho φ−1(p)∩Z =
∅ và họ hàm liên tục fǫ : Rn → R thỏa mãn
(i)
∫R
n

fǫ(x)dx = 1;
(ii
)
Kǫ = support fǫ = S(p, ǫ) = {q ∈ Rn||p − q| < ǫ} = {x ∈

0}.

Rn|fǫ(x)
Khi đó
deg(p, φ, D) ∫= fǫ(φ(x))| Jφ(x) dx.
D

|
Chứng minh. Theo giả thiết φ−1(p) ∩ Z = ∅ nên φ−1(p) là hữu hạn hay
phương trình φ(x) = p chỉ có k nghiệm (x1, . . . , xk) và Jφ(x(ii) =∅1,
. . . , k).
Theo Định lý hàm ẩn, tồn tại lân cận Ui của xi và Ki của p(Ki) = S(p, ǫi)

sao cho
Chọn ǫ = min
i=1,...,
k

φ : U i → Ki
ǫi sao cho

là đồng phôi.


ǫ

ǫ

U ∩ Uj = ∅
i

(i

j; i, j = 1, . . . , k);

và

đồng phôi.
ǫ

ǫ

φ : Ui → Ki

ǫ U iǫ ∩ U j = ∅ nên
i= ∪nǫ K i và
Do hàm fǫ triệt tiêu ở bên ngoài
1
∫
D

fǫ(φ(x))|Jφ(x)|dx = ∫

i

U
∪
k i =1 ǫ

fǫ(φ(x))|Jφ(x)|dx

k ∫
Σ

=
i=1

fǫ(φ(x))|Jφ(x)|dx.

Vì |Jφ(xi)|
0 (i = 1, . . . , k) nên ta có thể cho giả thiết rằng |Jφ(x)|
0
tại mỗi điểm trong Ui. Trong trường hợp này, dấu của Jφ trên mỗi Ui là

ǫ
ǫ
không đổi. Theo định lý đổi biến của phép tính tích phân đối với các đồng
phôi φ : U i → K i , ta đi đến công thức:
ǫ

ǫ

Σi

=1
k

∫
Df

ǫ

sign |Jφ(xi)| = deg(p, φ, D).

(φ(x))|Jφ(x)|dx =

Vậy định lý đã được chứng minh.
Tiếp theo, ta xét hàm véctơ v : Rn → Rn thuộc lớp C 1 , v(x) = (v1(x), .
. . , vn(x))
với vi : Rn → R.
Đặt
f =

Σ

n ∂vi
∂xi ,
i=1

n
thì
hàm
: RKhi
→ đó,
R được
gọiđược
là divergence
của
vàsau,
ký hiệu
là div
v,
(f =
div fv).
ta thu
kết quả của
bổvđề
chứng
minh
của nó suy ra ngay từ Định lý Fubini về tích phân bội.

Bổ đề 2.2.1. Cho hàm véctơ v : Rn → Rn thuộc lớp C1, v = (v1, . . . , vn) và


f = div v. Nếu supp v = K là tập giới nội trong Rn, thì

∫Rn f (x)dx = 0.


Cho v như ở trên và φ ∈ C1(D, Rn) ta thu được kết quả:
Bổ đề 2.2.2. Nếu K ∩ φ(∂D) = ∅, thì hàm
g(x) = f (φ(x))|Jφ(x)|
cũng là divergence của một hàm u nào đó thuộc lớp C1 với supp u chứa trong
D.
1
n
Chứng
minh. Theo
trận Jacobi
của φgiả
tại thiết
x là hàm φ ∈ C (D, R ), do đó tồn tại ma
∂φi
.
Jφ(x) = . ∂xj
i

Σ
∂x phần
Giả sử ai,j là định thức con của |Jφ(x)| bỏ đi thành
Ta xác định hàm u bởi
Σ
u (x) =
vj(φ(x))ai,j(x),

∂φ

.

(i = 1, . . . , n).

i

j

Vì v ∈ C1(D, Rn), φ ∈ C1(D, Rn) nên u ∈ C1(D, Rn).
Từ giả thiết K ∩ φ(∂D) = ∅ nên ta có thể coi u được định nghĩa trên
tồn
Rn (với giá trị 0 nằm ngồi D) và có supp u nằm trong D.
Bây giờ ta chứng minh div u = g. Ta dễ dàng tính được
i

Σ
k,

i

k

uiΣ
=
[v j (φ(x))φ)ik (x)ai,jΣ
(x) + v j (φ(x))ai,j (x)];
div u =
ui = div vJφ(x) +

vj(φ(x))ai,j
i

i

i

i,j

= g(x) +

Σ

v (φ(x))(
j

j

i

Theo định nghĩa thì ta có
Σ j,ji,m
m ,...,m
,...,j
,...,mn−1
(n − 1)!a =
ǫ 1
φj ,...,j
là chu kỳ của hoán vị → jh.
mh

i,j

với

i,m1 ,...,mn−
1

j,j1 ,...,jn−1

1

n−1

1

Σ

1

n−
n−1

,

i

ai,j (x)).


Lấy đạo hàm ta

Σ
được i

aii,j = 0. Từ đó suy ra div u = g(x).


Bổ
hàm
f là hàm
tụcx0xác
định trên Rn với supp f ⊂ D.
Giảđề
sử2.2.3.
x0 ∈ Cho
Rn và
conv(K
∪ liên
(K −
)) ⊂
0
n
n D, khi đó hàm f (x) − f (x
+ x ) là divergance của ánh xạ v : R → R có supp v ⊂ D.
Chứng minh. Đặt
φ(x) = f (x) − f (x + x0),
khi đó, supp φ ⊂ conv(K ∪ (K − x0)).
Ta định nghĩa
∫
Φ(x) = ∞ φ(x + tx0)dt,
−∞

vi(x) = x0i Φ(x).
Suy ra supp vi ⊂ conv(K ∪ (K − x0)). Hơn nữa, nếu v = (x1, . . . ,
vn), ta có

div
v=
Thực
tế,φ.ta
có
Σ
Σ
∂Φ
Σ
i
d
div v =
v =
x0
,
0 ∂Φ
do
là đạo hàm theo phương của hàm Φ tại điểm x0 và bằng
Φ(x+i x
i ∂xi
i
i
dt
i

tx0)t=0.

i

Theo định nghĩa của Φ thì
∫
d
d.

∂xi

0

0

Σ

0

dt
∫
.

)t=0
dt
tx

Φ(x +

=

0

d

−∞

∫

)du

u)x

)
Σ
du

−∞

=

.
=

φ(x + (t +

0

−∞

φ(x + (t +

u)x0
dt
d
φ(x +
ux0
du

t=0

t=0

)
du

= φ(x).

Σ
t=0

Tức là div v = φ(x) = f (x) − f (x + x0). Bổ đề đã được chứng minh.
Choquan
x(s) là
liên
tục[0,
trên
Rn, 0sau:
≤ s ≤ 1. Ta định
nghĩa

hệđường
tương cong
đương
trên
1] như
s1, s2 ∈ [0, 1], s1 tương đương với s2 nếu
f (x + x(s1)) − f (x + x(s2))


là divergence của một ánh xạ u ∈ C1 nào đó với giá nằm trong D.
Theo Bổ đề 2.2.2 ta thấy tính divergence được bảo tồn qua một
đường cong liên tục. Điều này được thể hiện rõ qua hệ quả sau:
Hệ quả 2.2.1. Cho x(s) là một đường cong liên tục trong Rn, 0 ≤ s ≤ 1.
f : Rn → R là hàm liên tục với K = supp f ⊂ D.
Giả sử
(i) K ⊂ convM, M là tập compact, M ⊂ D;
(ii) M − x(s) ∩ ∂D = ∅ với mọi s ∈ [0, 1], khi đó f (x + x(0)) − f (x +
x(1))
là divergence của ánh xạ v ∈ C1, v : Rn → Rn mà supp v ∈ D.
Chứng minh. Lấy s, s′ ∈ [0, 1]. Đặt
x0 = x(s′) − s(s);

Suy ra K1 + x0 = K + x(s

K1 = K + x(s).

).
Do K ∪ K − x0 ⊂ D nên K1 ∪ K1 − x0 ⊂ M ⊂ D.
′

Theo Bổ đề 2.2.3 thì f (y) − f (y + x0) là divergence của một hàm v ∈ C 1
và
supp v ⊂ D.
Mặt khác, y ∈ K1 nên suy ra y = x + x(s), (x ∈ K). Do đó
f (y) − f (y + x0) = f (x + x(s)) − f (x + x(s) + x0)
= f (x + x(s)) − f (x + x(s′))


là divergence của hàm v ∈ C 1 có supp v ⊂ D, tức là s ∼ s′.
Cũng theo Bổ đề 2.2.3 ta kết luận
mở.rằng mọi lớp tương đương là tập
Nhưng
1] là
tập là
liên0 thơng,
vì vậy
một−lớp
tương
đương
là duy [0,
nhất,
nghĩa
∼ 1, hay
f (xchỉ
+ có
x(0))
f (x
+ x(1))
là
divergence của v ∈ C 1 có supp v ⊂ D.